GIẢI BÀI TẬP
Sep Then
Te NANG CAO
Trang 2NGUYỄN VŨ THANH
2% ba tap
GIẢI TícH |2 NÂNG CAO
Trang 3Lai nbi dle
Quyển sách GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
NÂNG CAO này được biên soạn theo chương
trình sách giáo khoa hiện hành, nhằm giúp các
em cĩ lài liệu tham khảo để ơn tập, củng cố kiến thức, đồng thời vận dụng để làm những bài
lập cĩ dạng tương tự hoặc nâng cao theo dạng
tự luận hay trắc nghiệm đạt kết quả tốt
Quý thầy cơ và quý phụ huynh cĩ thể xem
quyển sách này như tài liệu tham khảo thêm
Chúng tơi mong đĩn nhận ý kiến xây dựng từ quý độc giả
NHĨM BIÊN SOẠN
Trang 4ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VA VE ĐỒ THI CUA HAM SO
CHUONG 1
RIAD IDI RIE DRIII
$1 TINH DON DIEU CUA HAM SO
A TOM TAT Li THUYET
Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác
định trên K
Hàm số F được gọi là đồng biến trên K nếu W%q, x; € K,xị <x; =3 Ẩ(X) < G2): Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu Vxị, x; © Ky x) <x) > FOX) > EU),
Định lí 1
Giả sử hàm số F cĩ đạo hàm trên khoảng Ï
a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng l thì [ '(x) >0 với mọi xe I b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng [ thì f (x) <0 vai moi x € 1
Định lí2
Giả sử hàm số F cĩ đạo hàm trên khoảng Ï:
a) Néu f(x) > 0 véi moi x € I thì hàm số f đồng biến trên khoảng Ï
b) Néu f(x) < 0 với mọi x € T thi hàm số f nghịch biến trên khoảng I
ce) Néuf (x) = 0 với mọi xe Ï thì hàm số f khơng đổi trên khoảng I Chú khoảng (a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a: bỊ ý: Nếu hàm số Ÿ liên tục trên đoạn [a; b| và cĩ đạo hàm Ÿ '(x) > 0 trên Bảng biến thiên: ® a b là 3) + f(x) et f(b) ta)
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
._ Vét chiêu biển thiên của các hàm số sau :
: 3
Trang 6Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (~œ; - v3 ) và (3 ; + ø), nghịch hiến
trên khoảng (— 3:0) và (0; V3) đ) Tập xác định: D = JR\{0}
y=l+ 2 >0 với mọi x # 0 ”
Trang 71 -2 , 1l 2] — 4 (x+2#Ÿ (x+2)Ÿ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (—œ; -2) và (~2; +0) b) Tập xác định: D = R\ {-1} y >0 với mọi x #~2 _ (2x-2)(x+l)~ (x +1) ~ <0 vdi moi x #-1, (x +1)
Ham sé nghich bién trén mdi khoang (~~; —1) và (~ 1; +œ) 3 Chứng mình rằng các hàm số sau đây đồng biến trén R
a) fix) =x" -6° + 17x44; b) fix) = x' +x -cosx - 4, Gidt a) Tập xác định: D = R f'{x) = 3x? - 12x + 17>0 với mọi x e R(vìa>0,A'<0) Hàm số đồng biến trên R b) Tập xác định: D = f(x) = 3x? + 1 + sinx
Vi 1 + sinx = 0 va 3x? > 0 nén f (x) 2 0 với mọi x € R, voi x = 0 thì 1 +sinx = 1 > Onénf'(x)>0 Vx € R do dé ham sé déng bién trén R
4 Với các giá trị nào của a hàm số y = ax —x' nghich biển trên & ?
771
Tập xác định: D = ïR
y'=a-3x?
e« Nếua<0thì y'<0 với mọi x e R, khi đĩ hàm số nghịch biến trên lR
Trang 8Trong trường hợp này: hàm số khơng đồng biến trên Ït
Vậy hàm số nghịch biến trên lR khi và chỉ khi a < Ư
Tìm các giá trị của tham số a để hàm số: f[x) = ; x’ tax + 4x +3 déng bién trên & Gidi Tập xác định: D = R f(x) =x? + 2ax +4; A'=a” Hàm số đồng biến trên I§ khi và chỉ khi f 4x) >0, Vx e R {l>0 1>0 Sy, ee ©-2<a<2 Va <0 aˆ-4<0 Xét chiêu biến thiên của các hàm số sau : aye bet 24-154 pyre 2 go? 922 : 3 3 3 dy= REE d)y=V2x-x? ; ey= Jy= — ~2* x+1 Gidi a) TXD:D=R
Trang 9Bảng biến thiên: 1 2i x 0 y + 0 = y i a 22 Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2) e) TXĐ: D = R (vì x?- 2x+ 3 >0, Vx e R) "5" _ 2Vx?~-2x+3 \x?~2x+3 Bảng biến thiên ¡y'=0€©x=l(@y= v2) x _œ 1 +0 y = ° = y eg Hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ; 1) và đồng biến trên khoang (1; +) f TXB: D=R\ {-1} i 1 yV=- z 7 2<0,Vx#-1 (x +1)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (—œ, - l) và (- l; +œ) , Chứng mình rằng hàm số : ƒ[x) = cos2x — 2x + 3 nghịch biến trên & Gidt TXD: D=R f (x) = —2sin2x — 2 <> -2(sindx + 1)<0,VxeR [ (6) =0 © sin2x =~l ©2x== 2 +kÐn,k€Z co x2 +kr,kc Z Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn < +kn; - ` +kfỀ+Tr Do đĩ hàm số nghịch biến trén R
Ching minh các bất đẳng thức sau :
Trang 10Gidi a) Ham số f(x) = x - sinx liên tục trên nửa khoảng |0: ;) và cĩ đạo hàm poy š T ¬" wa „ ă f(x) = ]- cosx > 0 với moi x € (0 3) Do đĩ hàm số đồng biến trên ƒ T T | 0; : „ từ đĩ với mọi X € (o *) ta cĩ: L 2
f(x) > £0) = 0 => x= sinx > 0 Vx € (0.2) voix ¥ thix> 1 sim
Vậy sinx < x với mọi x >0
* Với mọi x < 0 ta cĩ —x > 0, áp dụng chứng minh trên ta cĩ:
Sin(-X) < ~X = —§SinX < —x = sinX > X
Vậy sinx > x với mọi x < 0 2 b) Hàm sé g(x) = cosx + _ - 1 Hên tục trén [0; +0) va cé dao ham g'(x) =X — sinx Theo câu a) g'(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g đồng biến trên (0; +0), khi đĩ ta cĩ 2 g(x) > ø(0) = 0 vdi moi x > 0, tức là cosx + = — ] >0 với mọi x >0 2
hay cosx>l~ + với mọi x>0(l)
Trang 119 Chứng mình rằng : sinx + tanx > 2x với mọi x € (0 ỹ tua Huong dan: Ching minh ham sé f(x) = sinx + tanx = 2x đồng biến trên nửa T khoảng |0;— | ° re| 4 Gidi Ham sé f(x) = sinx + tanx - 2x liên tục trên nửa khoảng |a H và cĩ đạo ham: f ‘(x)= cosx + -2 cos? X TC A Vixe (0: 5) nén 0 < cosx < 1 = cosx > cos’x -2>0 7 72> cos’x + 7 cos” x cos” x => cosx + >2 véi moix € (0 5)) (w cos? x + 7 cos” X Do 46 f '(x) > 0 với mọi x € (s 5)
Suy ra hàm số f đồng biến trên È |
Khi đĩ ta cĩ f(x) > f(0) = 0 với mọi x € (0, 3) tức là sinx + tanx > 2x với mọi x € (0 HỆ 2 10 Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tinh bởi cơng thức: flt) = 26t +10 „ (ft) được tính bằng nghìn người)
a) Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995
b) Xem ƒ là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0 ; +00) Tinh f’ va xét chiều biến thiên của hàm số ƒ trên nửa khoảng {0 ; +0)
©) Đạo hàm của hàm số ƒ biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng
nghìn người / năm)
© Tinh téc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn
©- Vào năm nào thì tốc độ tăng đân số là 0,125 nghìn người / năm?
Gidi
a) Vào năm 1980 thì t = 10, số dân của thị trấn năm 1980 là:
Trang 12260 +10
{(10) ) = 1035 ———— = IĐ nghìn nghìn người người
Vào năm 1995 thì t= 25, số dân của thị trấn năm 1995 là: 0 §(25) = — = = 22 nghìn người ) b) Ta cĩ f(t) = = = >0 với moit > 0 (t+5) Hàm số đồng biến trên [0; +20) c› Tốc độ tăng dân số vào năm 1990 là f '(20) = vĩ =0.192 Sổ: ai ¬ > 120 Tốc độ tăng dân số vào năm 2008 1a f (38) = a = 0,065 4 xi =0,125 ©t+5= =3l=tx 26, (t+5) Vào năm 1996 tốc độ tăng dân số của thị trấn là 0,125 BÀI TẬP LÀM THÊM Xét tính đơn điệu của hàm số: b)y= — x" +3x4+3 : Đã x+1 ; x? —m?x+m-2 Chứng minh rằng hầm số y = ey tăng trên từng khoảng xác x+ định với mọi giá trị m 2.3 Bà Hướng dẫn: y' = * TT Mt? pans em Teo x+ Boni coma’ Xác định m để hàm số y = ne Cae giảm trong từng khoảng x-I xác định Đáp số: -l <m<0
Trang 13b) Chứng minh rằng btana < atanb với 0< a< b< 5
Hướng dẫn: a) Xét hàm số f(x) = cosx + xsinx — l với x € (0; ?) segues x _ tanx sTt b) Xét hàm số g(x) = x VỚI X € (o ) §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 1 Khái niệm cực trị của hàm số Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên tap hdp D (D CR) va x € D
a) xạ được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tổn tại một khoảng (a; b) chứa điểm xọ sao cho (a; b) C D và f(x) < f(x») với mọi x (a; b) \ (xạ)
Khi đĩ f(xo) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f
b) xo được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tổn tại một khoảng
(a; b) chifa diém Xp sao cho (a; b) CD va f(x) > f(x») với mọi x e (a; b) \ {Xu}
Khi đĩ f(xu) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi là chung là cực trị 2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí I: Giả sử hàm số † đạt cực trị tại điểm xạ Khi đĩ, nếu f cĩ đạo hàm
tai Xo thi f (xo) = 0
3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm xụ và cĩ đạo hàm trên các khoảng (a; xo) và (xụ; b) Khi đĩ
a) Nếu f (x) < 0 véi moi x € (a; Xo) va f (x) > 0 với mọi x e (xụ; b) thì hàm
số f đạt cực tiểu tại điểm xụ
b) Nếu f '{x) >0 với mọi x e (a; xo) và f '{x) < 0 với mọi x e (xụ; b) thì hàm
số f đạt cực đại tại điểm xo
Trang 144 Bảng biến thiên: x a Xu b f"(x) - + f(x) a ne f(xu) mí (cực tiểu) x a Xo b F'(x) + - f(x) eee f(xu) n HH cu (cực đại)
Định lí 3: Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm xo,
£ '(x¿) = 0 và f cĩ đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xạ
a) Nếu f “(x,) < 0 thì hàm số f đạt hàm số f đạt cực đại tại điểm xụ
b) Nếu f “(x¿) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xạ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
1 Tìm cực trị của hàm số: Thực hiện các bước sau:
+ Tìm miễn xác định của hàm số
¢ Tinh dao ham y“
©- Giải phương trình y' = 0 và lập bảng biến thiên
+ Nếu y' đổi dấu từ - sang + khi qua xạ thì y đạt cực tiểu tại xụ + Nếu y' đổi dấu từ + sang - khi qua xụ thì y đạt cực đại tại xo
Lưu ý: Hầm số cĩ thể đạt cực trị tại những điểm cĩ đạo hàm bằng 0 hoặc
tại những điểm khơng tơn tại đạo hàm
2 Điều kiện để hàm số cĩ cực trị
y cĩ cực trị hay khơng và bao nhiêu cực trị tùy thuộc vào y“ cĩ nghiệm
(hoặc khơng cĩ y') và tại các giá trị đĩ y' cĩ đổi dấu hay khơng khi x qua xụ
Đặc biệt nếu là y' là tam thức bậc hai thì hàm số cĩ cực trị © y' = Ú cĩ
hai nghiệm phân biệt
Trang 15đái a) TXD:D=R , stl " 3:-3)= 1 Bang bién thién x _œ -3 =] +00 ý + 0 - 0 + y tas ale 3 Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -3, giá trị cực đại của hàm số là f(~3) = -Ì ể : š Š 7" Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = - I, giá trị cực tiểu của hàm số là f(- L) =~ = b) TXD: D=R f(x) =x’ - 2x +2 >0 với mọi x € R(via>0, A’<0) Hàm số đồng biến trén R, kh6ng cĩ cực trị c)TXĐ: D=R\ (0] f(x) = 1- Bang bién thién x —œ mi 0 1 +0 y’ + 0 - - 0 + yi ie Ne”
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = - l, giá trị cực đại f(~ 1) = -2 Hàm số (ạt
Trang 17Bảng biến thiên: x —œ 0 1 2 +00 f '(x) + 0 _ - 0 + f(x) — +3 —— es a 1 ~3 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =2, giá trị cực tiểu f(2) = 1 12 Tìm cực trị của các hàm số sau : ay =xV4—x? § b)y= V8-x° x €)y=x—sin2x + 2; d) y = 3 -2cusx -cos2x, Gidi Ham sé dat cực đại tại điểm x = 0, giá trị cực đại f(0) = a) Tập xác định: D = [~2; 2] z 2 , 2 Xx đi: me, y’= V4—-x° +x, 2 v4-x? V4-x? y=0©4-2x1=0œx=+V2 y(-⁄2)=-2;y(2)=2 Bảng biến thiên: x | si cold #2 2 +” tà 4-2x ”= ` v 2 0 0 y a ee ae 7
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = - M2, giá trị cực tiểu-y(- M2)=-2
Trang 18c) Áp dụng quy tắc 2 TXD:D=R seosy onal +km,ke 2 6 Nie y’ = 1 - 2cos2x: y'= 0 © cos2x = y” = 4sin2x * Ta cĩ: y'(-34 kx} = 4sin( `) =-2V3 <0 Do đĩ hàm số đạt cực đại tại các điểm x = rie + km, k € 2¡ giá trị cực đại 3 v(-ÿ+k) =- 5 +km+ “+2 6 6 2 * y'(E+kx} =4sin =23 >0 “ Si Bg " T Sử Sử # Do đĩ hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = 3 +kn,k € Z; gid tri cue tiéu: 3 y(E+kx) = © eked! 43) 6 6 2 d) Ap dung quy tắc 2 y' = 2sinx + 2sin2x = 2sinx(1 + 2cosx); sinx =0 x=kn '=0© © , c0sx=~2 x=+^” +2kx, keZ y= 2co§X + 4co0S2x
* y”(km) = 2coskmr + 4cos2kmt = 2coskr + 4 > 0 với mọi k € Z
Do đĩ hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm x = kĩ; giá trị cực tiểu: y(kn) = 3 - 2coskx — cos2kn = 2 — 2coskz
* Gan) = 2eos 2 +dcose® = 60s == =-3<0 Do đĩ bàm số đạt cực đại tại điểm x = + a + 2km, k € Z¡ giá trị cực đại: 2m 2m 4n _ 9 +t—+k2a| =3-2cos— -cos— = = Ỷ ( 3 ) 3 aD
13 Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số : f[x) = ax! + bx + cx + d sao cho hàm
Số ƒ đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 va đạt cực đại tại điểm x = 1, f1) = 1 `
Giidi
Taco: f(x) =3ax? + 2bx +c
Trang 19f đạt cực tiểu tại điểm x = 0 nên f '(0) = 0 =» e=0 f(0) = 0 > d=0 Vay f(x) = ax’ + bx? f dat cue dai taix = 1 nénf (1) =0 = 3a + 2b =0 fI)=1l=»a+b=l 3a+2b=0 a=-2 Ta cĩ hệ phương trình: -© a+b=l b=3 Thử lại với a = -2, b = 3,c = d= 0 ta được: f(x) =~2xÌ + 3x”; f'%x)=-6x +6x; f“X)=-l2x+6 f0) = 6 >0: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; f(0) = 0; f “1)= 6<0
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1; f(1) = |
Vay a=-2;b=3;c=d=0
14 Xác định các hệ số a, b, c sao cho ham sé ; f(x) = x° + ax’ + bx + ¢ dat cực
trị bằng 0 tại điểm x = =2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(I : 0) Gidt f(x) = 3x? + 2ax +b f dat cực trị tại điểm x = —2 nén f (-2) =0 => 12-4a+b=0 a) f(-2)=0 => -8 + 4a - 2b+c=0 (2) Đề thi ham sé đi qua điểm A(1; 0) nên: fI)=0=l+a+b+c=0 (3) 4a-b=12 a=3 Từ (1), (2), (3) ta cĩ hệ phương trình: 44a-2b+c=8 © 4b=0 a+b+c=-l c=-4 Vay a=3,b=0,c=-4
15 Ching minh rang với mọi giá trị của m, hàm số:
Trang 21§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp 9 (8® R) f(x)<M, VxeD 3x; eD:f(xs)=M f(x)2m, VxeD b) m= Min y oo { " xe <0 (3x, €D:f(x,)=m a)M= Max y =| xeD 2 Quy tắc
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]} và cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b), cĩ
thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a; b) thì ta cĩ quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f trên đoạn
[a; b] như sau:
Quy tắc
1 Tìm các điểm xụ, xạ, ., x„ thuộc (a; b) tại đĩ hàm số f cĩ đạo hàm bằng 0
hoặc khơng cĩ đạo hàm
2 Tính £(X1), f(x;), ., f(Xm), f(a) va f(b)
3 So sánh các giá trị tìm được
Số lớn nhất trong các giá trị đĩ là giá trị lớn nhất của f trên đoạn {a: b], số
nhỏ nhất trong các giá trị đĩ là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn {a; b]
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
16 Tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cia ham sé: fix) = sin'x + cos'x
Gidi
TXD:D=R
f(x) = (sin’x)’+ (cos2x)” + 2sin’xcos’x — 2sin°xcos”x
= (sin’x + cos’x)? — 2sin’xcos’x = 1 - + sin?2x
Trang 2217 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) fo) = x” + 2x —5 trên đoạn [~2 : 3] ; 3 bifid = y + 2x + 3x —4 trên đoạn [—4 ; 0: 1 c) f(x) = x + — trên khoảng (0 ; +2): x d) fix) = + 2x + 4 trên đoạn [2 : 4] ; 2x? 45x44
e) fix) = x+2 7 P**" trên đoạn [0: 1]:
Trang 231z|0: I e) D=[0; 1] sf") = 2% (x +2) X18 <0 3#£{0: 1] ed Ta cĩ: f(0) = 2: f(1)= Ỹ Vay min f(x) =2; max f(x) = es xe(0; 1) xe|0: | 3 0 D=(0;2];fx)=1+ + >0 với mọi x e (0; 2]; f(2) = ; x? Bảng biến thiên x 0 2 Ữ + f 3 2 " el max f(x) = — Hàm số khơng đạt giá trị nhỏ nhất trên (0; 2] xe(0: 2|
18 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) y = Qsin?x + Qsinx - 1; b)y= COS 2x = sinxcasx + 4
“¡ải
a) Datt=sinx,-I <ts1
y=f(t)=2+ 21-1
Ta tìm giá trị lớn nhất va giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t) trên đoạn
Trang 24: ; ] | 1 y=f(Œ)= ot+ 5S 0 =-2A- ;;:£ƒ)=0<st= e181 y > 3 4 I | 9 \ ” Ta cĩ: {(-1) = 2° if he 2 aye 2 4)” 16 2 7 3 81 min f(t) = >: max f(t) = — tel-L 2l 16 7 8 Vậy miny ==; maxy = gh xeR 2 x:R l6 19 Cho một tam giác đều ABC cạnh a Người ta dựng một hình chữ nhật MNPO cĩ cạnh MN nằm trên cạnh BC hai đính P và Q A
Trang 2520 21 26 hình chữ nhật là: max six)=s($) = a xe, 2 V8
Khi nuơi cá thí nghiệm trong hơ, một nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu trên
mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ cĩ n con cá thì trung bình mỗi con cá sau
một vụ cân nặng : P(n) = 480 - 20n (gam)
Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị điện tích của mặt hồ đỂ sau một vụ thu hoạch được nhiễu cá nhất ?
Gidi
Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ cĩ n con cá thì sau một vụ, số cá
trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng f(n) = nP(n) = 480n - 20n” (gam) Xét hàm số f(x) = 480x - 20x trên khoảng (0; +) (Biến số n e NỈ được thay bằng biến số x e (0; +œ)) Tacd f(x) = 480 - 40x; f(x) =O@x= 12 f(12) = 2.880 Bảng biến thiên: X 0 12 +0 fo) + 0 - f(x) ——— 2880 ee ee
Trên khoảng (0; +00), hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = 12 Từ đĩ
suy ra rằng trên tập hợp NỈ” các số nguyên dương, hàm số f đạt giá trị lớn
nhất tại diém n = 12
Trang 26
h I x=l fl) = 2 :fƒ'{x) =0 x=-l f(-Ù=-_ | E Bang bién thién: x _œ -] 4 +0 CO = f(x) ee
Hàm số dat cuc ti€u tai diém x = -1, gid tri cue tiéu {(-1) = - > Ham so
Trang 2722 23 28 Bang gia thién: x 0 m ar a i Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực dai f(0) = đ) f(x) xác định khi và chỉ khi x~ 1>02x<~1 oS x21 TXD D = (~00; = 1] U [1; +00) x)= 1+ Re = MESES voix ct hode x > 1 vx? -1 vx" -1 ae x<0 f'(x)=0© Jx'~l =-xe© 4, 1 „ vơ nghiệm x-I=x” f'{-2) <0 = F(x) < 0 với mọi x <-1 f2) >0 = f(x) > 2 vdi moi x > 1 x _œ -Ï ] +H f(x) _ + >> -1 | —— Hàm số nghịch biến trên (—œ; -1] và đồng biến trén (1; +00) Hàm số khơng cĩ cực trị 2 pat ag NT x‡mx-l „ of rể Tìm giá trị của m để hàm số: f[x) = TT cĩ cực đại và cực tiểm TXD: D=R\ {1} f(x) = 09x? - 2x+1-m=0(1) Hàm số f cĩ cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) cố hai A=m>0 nghiệm phân biệt khác 1, tức là $ „ «»>m>0 Vậy n >0 I~2.1+l-m#0 thì hàm số f(x) cĩ cực đại và cực tiểu
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi cơng thức:
G(x) = 0.025x (30 - x), trong đĩ x là liều lượng thuốc được tiêm clho bệnh
nhân (x được tính bằng miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cỉầo bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đĩ
Trang 2824 25 Gidi D = (0; +22); G(x) = 0,75x? ~ 0,025x' G'(x) = 1,5x — 0,075x"; G'(x) = 0 x = 0 hoặc x = 20, x | %œ 0 20 + cao G 20 + 0 ‘ axa GG Y ———*\0———_ y max G(x) = G(20) = 100
Liễu lương thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là
20 mg Khi đĩ, độ giám huyết áp là 100
Cho parabol (9): y = x va điểm A(—3: 0) Xác định điểm M thuộc parabol (9)
sao ch "hoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đĩ Gjidi Goi M(x; x’) € (9) Ta cĩ: AM? =(x +3)” + x”= x”+ x”+ 6x +9 AM dat giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi f(x) = xỶ + x” + 6x + 9 đạt giá trị nhỏ nhất Ta cĩ: Í'(x)=4x`+2x+®6=2(x + 1)(2x” = 2x + 3) f(x)=0€©x=-l;Đ-l)=5 Bảng biến thiên: x _œ= -1 +00 f(x) - 0 + f(x (x) aig ae ee { dat gid tri nhd nhat tai điểm x = -I, giá trị nhỏ nhất là f(- 1) = 5
AM đạt giá trị nhỏ nhất khi M ở vị trí điểm Mu(-1: 1) khi đĩ AM¿ = 5 Một con cá hồi bơi ngược dịng để vượt một khoảng cách là 300km Vận tốc
địng nước là 6km/h Nếu vận tấc bơi của cá khi nước đứng yên la v (km/h) thi
năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi cơng thức E(v) = cv,
trong dé ¢ la một hằng số, E duge tinh bang jun Tim van tốc bơi của cá khi
Trang 2926 3 E(v)= ev’, #00 =°300c v- vĩ (Jun) với v>6 v-6 3v?(v~6)~vỶ (v-6)° Năng lượng cực tiểu khi: E'(v) =0 © v= 9 (vì v >6); E(9) = 72900c) Bảng biến thiên: x 6 9 +0 E(v) 4 - 0 + EQ) Prt ee 72900c Để ít tiêu hao năng lượng nhất, cĩ phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên) la 9 (km/h)
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm
bệnh kế từ ngày xuất hiện bệnh nhân đâu tiên đến ngày thứ t là
Wt)= 45Ẻ —t,t= 0,1,2, , 25
Nếu coi ƒ là hàm số xác định trên đoạn [0 : 25] thì ƒ{t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người / ngày) tại thời điểm t
a) Tinh tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5:
b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đĩ: ©) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600:
Trang 3027 Tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cia các hàm số sau:
a) fx) = j3-2x trên đoạm[-3: 1]: — b)fa)=x+ j4 -x? 4 2 3 co) Ax) = sin’x + cosxt 2; d) fix) = x —sin2x trên đoạn ia rT a) TXĐ:D=[-3: I];f'(x)= = <0 với mọi x< ; 2x
Ham so f nghich bién trén doan [~3; 1]
Do d6 max f(x) = {(-3)=3; min f(x)= f(I)= I xe|~3:1| Ae|~3: 1} x Tea =0© 44-x? =e b) TXĐ: D = [-2; 2] ; f(x) =1- với x e (—2; 2) 0<x<2 f(x)=01- 4-x° =x Ta cĩ Í(~2) = ~2: f2 ) =22 : f2) =2 Vay max f(x)=2V2; min f(x)=-2 xe|~3 2| xe|~3: 3| c) TXD:D=R Ta c6: f(x) = sin'x + l ~ sin”x + 2= sin”x ~ sin’x + 3 Đặt t= sin x; 0 <t< I Tim giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hầm số g(U = ~ t+ 3 trên doan (0; 1] g(t) = 2t- ig =0e0= 5 Tacĩ: g(0)= 5| 2]= = Lf —:g()=3 Dođĩ: + e|0; 1| min g()= Lh max g(t)=3 14 teloll ll Vay: dy mun (x) in f(x) = — va 14 vi max (x) f(x) = 3 an) f'{x)= 1 = 2cos2x;
"(x)= 0 cos2x = ; = cost emxete +kineox att +km,ke Z Voi -2 <x <n, "(x)= 0 tại các điểm ~ ^., Bog SE
2 6 6 6
Trang 31a ( Ta cĩ (-2] =- ()- So sánh năm giá trị trên, ta được: : sx VB max | f(x) = — + — va 1 2 xe|~ấi v3 ( +—f 2 ¡ Ẩ(Ð) = 1 )-‡- (9) sn 3 Ì*§ 2` j ` a 6 a Nila ala 28 Trong các hình chữ nhật cĩ chư vì là 40cm, hãy xác định hình chữ nhật cĩ điện tích lớn nhất Gidi Gọi x (cm) là độ dài một cạnh của hình chữ nhật thì cạnh kia cĩ độ đài 20 x (cm) Điều kiện: 0< x< 20 Diện tích hình chữ nhật là S(x) = x(20 - x) = 20x - xỶ với x (0: 20) Ta cĩ S'(x) = 20 - 2x; S'(x) =0 ©x= 10 S(10) = 100 Bang bién thién: 10 20 X 0 sỉ 7 + 0 33 § 100 PT max Š(x) = 100 khi x = 10 xe(0; 20) Vậy hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhất khi nĩ là hình vuơng cĩ cạnh dài 1C crn BÀI TẬP LÀM THÊM Tim giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 2x + Ý5~-x” Đáp số: ~2 ý : 5 Trong tất cả các hình chữ nhật cĩ diện tích 48 m’, hãy xác định hình chữ mhật cĩ chu vi nhỏ nhất Tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây Trên đoạn đã chỉ ra: a) y = 2x’ + 3x? - 12x +1 trén [-1; 5]; b)y= vŠ-4x trên [—l; 1] Dựng hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nĩ khơng đối và bằng 16 cm
Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp hình trịn bán kín R: thì
hình vuơng là hình cĩ chu vi lớn nhất và cĩ diện tích lớn nhất
Trang 32À 2 ` ~ `
§4 DO THI CUA HAM SO VA
PHEP TINH TIEN HE TOA DO
A TOM TAT Li THUYET
Phép tịnh tiến hệ toa đơ và cơng thức chuyển hệ tọa độ Giả sử l(x„: vụ) đối
với hệ trục Oxy: Míx: y) đối với hệ trục Oxy và M(X; Y) đối với hệ trục IXY x=X+Xj Cơng thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectd OL ia: \ y YEE Chi ý: Đỗ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa đơ làm tâm đối xứng Đồ thị hàm số chẩn nhận trục tung làm trục đơi xứng
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
29.- Xác định đỉnh I cia méi parabol (9) sau đây Viết cơng thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vect OL và viết phương trình của parabol (Ø) đổi
Trang 33Phương trình của (2 đối với hệ tọa độ IXY là 7 i 3 Y-~=„(X+l)-(X+l)-3©Y= 2 ae) X+l)-3© I)*4 x’ ri c) y'=l-8x;¿y'=0€x= Đỉnh (4) 8 16 = i, gi _ x=X+ ` Cơng thức chuyển hệ trục tọa độ tịnh tiến theo OF : T Ve 3 16 Phương trình của (P) đối với hệ tọa độ IXY là Y+ i =X+ di -4{x+2) œY=-4X' 16 8 8 đ) y'=4x;y'=0 x =0; y(0) =-5 Dinh (0; —5) x y Cơng thức chuyển hệ trục tọa độ tịnh tiến theo Ọ: a“ it
Phương trình của (P) đối với hệ trục tọa độ IXY là
Y-5=2X -5œY=2XỈ
30 Cho ham sé fix) = x° — 3Ý + 1
a) Xác định điểm I thuộc đồ thị () của hàm số đã cho biết rằng hồnh độ
của điểm 1 là nghiệm của phương trình Ƒ{x) = 0
b) Viết cơng thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OÌ và
viết phương trình của đường cong (9) đối với hệ toạ độ IXY Từ đĩ suy ra
rang [1a tâm đổi xứng của đường cong ()
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong () tại điểm † đối với hệ toạ
độ Oxy Chứng mình rằng trên khoảng (—ø; 1) đường cong,() nằm phía
dưới tiếp tuyến tại I của (f) và trên khoảng (l ; +œ) đường cong () nằm phía trên tiếp tuyến đĩ
Hướng dẫn Trên khoảng (—œ ; 1), đường cong () nằm phía dưới tiến
Trang 343 x=X+1 Bì Cơng thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectsé OF 1a ‘ " y=Y- Phương trình của đường cong (9 đối với hệ tọa độ IXY là Y-I=(X+l)`-3X+l+l =XÌ+3X )+3X+1-3X)-6X- 3+ 1© Y = X'-3X Vi đây là một hàm số lẻ nên đồ thị (2 của nĩ nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng ©) Phương trình tiếp tuyến của đường cong (9 tại điểm I đối với hệ trục tọa đĩ Oxy là: y - vị= (X) (xX—x) oy +l =-3(x- 1) oy =-3x4+2 Dat g(x) = -3x +2, ta cĩ: f(x) = g(x) = x* = 3x74 1 = (3x + 2) = x)= 3x? + 3x- Le (x- 1)? Vi M(x) - g(x) âm với x < 1 và dương với x > 1, nén trén khodng (=%; 1), (Ĩ nằm phía dưới tiếp tuyến tại cla (A va trên khoảng (1; +), (2 nằm phía trên tiếp tuyến đĩ
Š a7 ] 2# PT an
31 Cho đường cong () cĩ phương trình là y= 2 ~ ro va diém I{-2 ; 2) Viết cơng
x#
thức chuyến hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OL va viet phương
trình của đường cơng (Ĩ) đối với hệ toạ độ IXY Từ đĩ suy ra Ú là tâm đối xứng của (9) Gidi # weal ~ {x= X-2 Cơng thức chuyển hệ tọa độ trong phép tinh ti€én theo vectd OI: | y=Y+2 Phương trình của đường cong (2 đối với hệ toa độ IXY Y+2=2~—L—e@y=-l X-24+2 X
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị (2 nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng
Trang 35Đây là cơng thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OL với I(1; ])
Khi đĩ, Y = 5 là phương trình của (2 nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng
3 of
Tey a So) =3- <i @y-3= =
x+I x+I x#l x+I
= =X-I1
An x+I X os x
y-3=Y y=Y+3
Đây là cơng thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo Ọ với
I(-1; 3) và Y = a là phương trình của (2 đối vdi hé toa db IXY
Y= S3 là hàm số lẻ nên đồ thị (2 nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng
33 Cho đường cong (9) cĩ phương trinh y = ax + b + -„ trong đĩ a z0,
X=Xy
¢ #0 va diém 1 c6 toa độ (xạ ; yo) thoả mãn yạ = axu + b Viết cơng thức chuyến hé toa độ trong phép tịnh tiến theo vecto OL và phương trình của ()
đối với hệ toạ độ IXY Từ đĩ suy ra rằng Ï là tâm đối xứng của đường cong (9 Giidi € <> y = a(x -— Xp) + aXy + b+ —— X-Xy xu Ta cĩ: y=ax+b+ © Y- Yo= a(x — Xo) + oe X=X+Xy Dat ° Y-Yo= y=Y+Yo
Đây là cơng thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ Ọ với
I(Xa, yo) và Y = aX + - là phương trình của (2 đối với hệ tọa độ ]XY R— Ky
Y=aX+ = là ham số lẻ nên đồ thị (9 nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng
c BAI TAP LAM THEM
Trang 36§5 DƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A TOM TAT Li THUYET
1 Đường tiệm cận ngang
Nếu lim f(x)= yo hoặc lim f(x) = yạ thì đường thẳng y = y¿ được gọi là tiệm
cân ngang của dé thị hàm số y = f(x)
2 Đường tiệm cận đứng
Nếu lim f(x) = +00; lim, f(x) = +00; lim Í(x) = -œ hoặc lim, f(x) = -00 thi Sox Lana) xo xổ,
đường thẳng x = xạ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x)
3 Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng y = ax + b, a #0, được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là
tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) néu
lim [f(x)- (ax+b)|=0_ hoặc lim [f(x) - (ax +b)]=0 NoHo — ® Để xác định các hệ số a b trong phương trình của đường tiệm cân xiên, ta cĩ thể áp dụng các cơng thức sau: a= lim £®) sie Xx b= lim [f(x) - ax] x-ste f(s
hoặc a= lim feo x¬~m Xx b= lim [f(x) xo — ax] (Khi a = 0 thì ta cĩ tiệm cận ngang)
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trang 37(_2)° 2 (4) (5) đứng của đồ thị - b) TXP:D=R\(-3} t > 2 § 3 % 2 2 8
Vì lim y =-%; lim y = +œ nên đường thẳng x =- a là tiêm cận
Vì lim y= lim ——=Š =-2 và lim y = -2 nên đường thẳng y = -2 là xe xe 3 Ko
lŒc
x
tiệm cân ngang của đồ thị
Vì lim y=+œ và lim y = ~ø nên đường thẳng x = -3 là tiệm cận xara) x3)" đứng của đồ thị c) TXP:D=R\(3) Vì limy=-ø và lim y = +o nên đường thẳng x = 3 là tiệm cán đứng t xo của đồ thị Ta cĩ: lim [y-(x+2)]= lim ——— =0 Yorn X2 X— và lim [y - (x + 2)] = lim no = 0 nên đường thẳng y = x + 2 là tiệm x¬- reo X= cận xiên của đồ thị d) TXĐ:D= R\ {-3} 2 1 Vi lim y=+ova lim y=-ø% nên đường thẳng x = ~-~ là tiệm cận (-3) +4) ° my 5] đứng của đồ thị Tiệm cận xiên cĩ dạng y = ax+b ae Tee Nữ x a3x+4 1 xo‡m X x42 X(2X+]) 2 3 x i x?-3x44 x A -7x+8 A b= lim y2 = lim |—————-~| = lim ————=-—
Aste xotel 2X+l 2 rose 22x41) 4
Trang 38-3 1 7 2 2 fo of \ 3 Vì lim ừ =| : -2)| = lim = = 0 nên đường thẳng y = Xf cm (2: +4 las ) 27 4 2) là tiêm cận xiên của đồ thị e) TXD:D=R\ {-1;, 1} * Vi lim y =0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cân ngang của đồ thị x+2 a x+2
* lim y= lim - —- =+œ và lim y= lim -————— =-œ xơit xi (X+])(x =l) nor rer (x#])(x=l)
nên đường thẳng x = I là tiệm cận đứng của đồ thị
7 x+2 7 x+2
* lim y= lim ————=-ova lim y= lim ———— =+0
xen xi (K+lJX—]) reer seer (x+)(x= DD nên đường thẳng x=-I là tiệm cân đứng của đồ thị
f) TXD: D=R\ {-1)
* Vi lim y=0nén y=0 là tiệm cận ngang
Trang 39i š x'+2 xa * x'+2 & * lim y = lim =+œvà lim y = lim — =-œnênx=2 ¬? x-+?* X(X—2) x-»2 x92” x(x —2) là tiệm cận đứng * Tiém cận xiên cĩ dạng y = ax +b I+ 2 3 i x‡2 š 3 a= lim » = lim 5 rain x atte x3 9x? ~= lim nate x =I 2 x 5 ` b= lim (y-x)= tm (2 ““^~x|= lim Nertoo rote | x? note x? x= 2K J Đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị c) TXB: D= R\ {-1; 1} 7 ý x"+x+l ¬ * lim y= lim —————=+ova lim y=-0 x9 Dt xa nt (x-D(x +1) x (1 nén x =~1 1a tiệm cận đứng fi 8 x`+x#l : lim y= lim ———————- =+œVà lim y=~=œ wt xo? (x-D(x +1) xo! nén x = | 1a tiém cận đứng * Tiệm cận xiên cĩ dạng y = ax +b y x'+x+l _ a= lim == lim —>— = xt X xo#n X(X”—l) b= lim (y-—x)= lim xe»te x-xtm => y=x là tiệm cận xiên d) TXD: D=R\ {-t 3 5 I1 Photo , đ x x Lg ener ote
* Vì lim y= lim = ————^— =-—~ nény =-— là tiệm cận ngang
Trang 403 lim y= +2 nênx= — là tiềm cân đứng ì a 36 7ìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau : uJy= Vx?~1 ý b)y=2x+ jx?—L ; cyyswt veel; d)y= Vx? 4x41, “¡ải a) TXB: D = (-%; -1] U [1]: +) mì cận xiên khi x => +
Tacĩ: a= lim — rie X XE lim XK — lim ,Jl-— =
Be fae _ aye Ais en 2 ee Ty xore Vxo 14x
Vậy đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của dé thi (khi x +00)
*- Tiêm cận xiên khi x => -% a= lim xâm HN = Xe b= lim (vx? -1+x) = ie Vậy đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x > ~00) b) TXĐ:D=(=z;:~—1]+2{1: +) *- Tiệm cận xiên khi x => +
Tacĩ:a= lim Ý = lim b rb Ree XK tte
b= lim (y-3x)= lim (¥x?-1-x) = lim =e =0 Vậy đường thẳng y = 3x là tiêm cận xiên của đồ thị (khi x > +00) *- Tiêm cân xiên khi x =>» =œ : 7
a= lim » = tim [4 W4 €C ng s = (2-4-3) =! ihm x
b= lim (y—x)= lim (Vx? =1 +x)= lim —=.—- x¬ — xo 2p
@BT GIẢI TÍeMtawc 4]