Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 nâng cao, phần 2 giới thiệu tới người đọc các kiến thức căn bản, phương pháp giải các bài tập và một số bài tập trắc nghiệm nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng, số phức. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1{NGUYEN HÀM, TÍCH PHAN CHUONG HI NV A UNG DUNG Seomarearennen AIRS §1 NGUYEN HAM A TOM TAT Li THUYET
1 Khai niém nguyén ham
Định nghĩa: Cho hầm số f xác định trên K hàm số F được gọi là nguyên hàm
của f trên K nếu Fˆ(x) = f(x) với mọi x thuộc K
Định tí 1: Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K Khi đó a) Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f
trên K
b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tổn tại một hằng số C
sao cho G(x) = F(x) + C voi moi x thuéc K
2 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1) fodx =C, fax = fidx =x+C att x atl 2) Íx"dx = +C(œ#~l) 3) n =Inlx|+C 4) Với k là hằng số khác 0 coskx sin kx a) fsin kxdx =-——+C b) |coskxdx = ———+C k k k ca a* c) fe“dx = —— +C d) fa*dx = —— +C(O<a¥l) , [ k ỷ J Ina 5) a) ị r dx = tanx + C b) f - i dx = -cotx + C cos” x sin’ x
3 Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lí 2: Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì:
a fiteo) + 200] dx = frexy dx + fa(x) dx
b) Với mọi số thực kz 0ta có [kf(x) dx =k free dx
Trang 2B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
“Tìm nguyén hàm dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản Áp dụng các công thức: a™ = ape =a "i (a")"a"a™=a afm a
Trang 3xứ cá Ln i y PRS an = foedne [See fx dx + fx? dx x +C=2/2 =+C 2 vx + | bes 4 2 Nie c) Jasin? xdx = pa —cos2x)dx =2 fax ~ 2 |cos2xdx = 2x ~ sin2x + C d) ——=- : + Ìgin4x +C
3 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây : Nguyên hàm của hàm số y = xsinx là
(A) Xăm: “Cy (B) -xcosx + €; (C) -xcosx + sinx + C
Gjidi
Ta c6 (—xcosx + sinx + C)! = ~cosx + xsinx + cosx = xsinx Chon (C)
Trang 4tướng SÃn
b) c) Áp dụng công thức biến tích thành tổng
§2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM TOM TAT Li THUYET
Phương pháp đổi biến số
Dinh li 1: Cho hàm số u = u(x) có đạo hầm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f{u(x)] xác định trên K Khi đó nếu F là một nguyên hàm của
f, tức là jftun = F(u) + C thi Jflucxylu'Godx = Flu(x)] +C
Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu u,v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — Jucow'@odx
Công thức trên gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần (gọi tắt là công
thức nguyên hàm từng phần) và được viết gọn đưới dạng foav =uv- fodu
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trang 5Do dé: f = fA = Pav= 2usc= 2 Viera +¢ = V5x +4 c) Datu= Vi-x? > ut=1-x? = 4uÌdu = -2xdx => xdx = -2u‘du 5 Do dé fx*Vi=x? dx = -2utdu = 22 +e=-s fa-0y +C dx dx d) Datu=1+ Vx >du= = = 2du =-—+C=-—~= +C =a u u I+⁄x 6 Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phân, tìm nguyên hàm của các hàm sO sau: dx pe 2 2 a) f(x) = asin ỹ b) Ñ[x) = X cosx : co) fix) = xe’; 4) x) = xIn(21) Gia u=x {du =dx a) Dat dv =sin—dx eR ge v=-2cos— x 2 2 Do đó {xsinXdx =-2xeos> +2 [cosÖdx =-2xcosŠ + 4sinŠ +C Š 2 2 2 2 2 u=x? th =2xdx Bản, dv=cosxdx v=sinx b) Đặt | Do đó fe cosxdx = x’sinx - 2 fesinxdx () Tính |xsinxdx u=x du =dx Đặt = dv =sin xdx v=~co0sx
= ƒxsinxdx = -XCOSX + Joosxdx = —xcosx + sinx + C
Trang 6jus In(2x) }
d) Dat + „295
|dv=x dx | x
1 x?
Do do fx’ In(2xjdx = —x*In(2x) 4 - id frradx = 1 in(2x) - Boe 4 4 16
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
7 a) fix) =3xV7~3x* | b) fix) = cos(3x + 4); vibÍs = mở cos’ (3x +2) 4)ffx) = sinŸ eos Gidi a) Datu= V7-3x? =u’ =7- 3x? => 2udu = -6xdx = 3xdx = -udu 3 Do ds [3xV7-3x? dx =~ fu’du =-D4e=-3 (7-3 bì |cos(3x + 4)dx = xin +4)+€ = + tan(3x + 2) + cos (3x +2) d) Datu= sin = du= cos dx =: cos dx = 3du 6 x 3 6i X 5 u Ì su
Do dé [sin’ =cos—dx =3 fu’du = — +C= ~sin ( ) +€ [me J 2 2 Xã
Trang 75 ini Hews =~ [udu =—— +e=~1an(1) + x x 2 2 š u=#` X z3 du =3xÌdx u 2 =1= [x'e`úx =x'e*— 3 fre'dx (D dv=e*dx |v=e* Tinh I, = Íx°e*dx 2 =x du = 2xdx pat {" => =li=xŸe'~ 2 j*e*dx (2) dv =e*dx v=e' Tinh I, = fxe*dx u=x du = dx Dat > => I, = xe*- Jevax =e(x-1)+C dv =e*dx v=e*
Thay I; vao (2) ta duge: I, = xe" - 2e*(x — 1) = e'(x? - 2x +2) +C
Thay I, vao (1) ta được: I= xÌe*~ 3e (x- 2x +2) = eÝ(x`~ 3x? + 6x — 6) +2 d) Đặtu= V3x—9 =uˆ= 3x - 9 => Qudu = 3dx => dx = ead
Do đó feY? dx = ; fue’du = Seta 1) + C (Bai 6c)
0 (V3x-9 -1)4C
Tìm nguyên hàm của các hàm SỐ sau:
Trang 83 1 ] 1 Thay vao (1) ta duge fe cos2xdx = 7 x’sin2x + 5 XCOS2X + 1 sin2x + € ( - u=Ïnx | x b) Dat 4 ie => 4 |dv = Vxdx v=~x? 2) Suy ra: [Vx Inxdx = Suy ra: fsin'x cos xdx d) Đặtu = x” = du = 2xdx = xdx = „du Suy ra: i cos(x”)dx = ề ƒcosudu = + ng +C= deine +C 2 2 2 c BÀI TẬP LÀM THÊM 1 Tim nguyên hàm của các hàm số sau: sinx 2
a) [anxdx b) Scone” ce) fe #xúX
d) poe e) fee’ cosxdx
2 Tinh:
a) fox l)cosxdx b) jx?e "dx ce) frincx - dx
d) Je* cosxdx e) jdnx)?dx
Trang 9§3 TÍCH PHÂN
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1 Khái niệm tích phân
Định nghĩa: Cho hàm số F liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích
phân của f từ a đến b và kí hiệu là Jeok
“Trong trường hợp a < b, ta gọi han là tích phân của ƒ trên đoạn [a; b]
Định lí 1: Cho hàm số y = Tạ) liên tục, không âm trên đoạn [a; bỊ khi đó điện tích S của hình thang cong giới hạn hởi đỗ thị hàm số y = f(x), truc b hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là § = jfx)ux 2 Tính chất của tích phân Định lí 2: Giả sử các hàm số f, g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K Khi đó ta có: 1) jtean = 0; 2) [le ¬ 3) [feos + jte = Joa a h a h h h 4) fitoo + eGgldx = foods + fecodx b h
5) [kf&)dx =k froodx voi k € R
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
10 Không tìm nguyên hàm, hãy tính các tích phân sau :
4) ID ; b) [la : ce) [ 9—x?dx,
-2 “1 53:
Hướng dẫn Áp dung dinh li 1
Trang 10Gjidi a) Tich phan do bang dién tich hinh thang ABCD với cạnh nghiêng là đường 4 , : 6 \ thing y= ~ +3 Dign tích đó là (2 + 5)— = 21 Vay lÍŠ +3 Jdx =21 2 2 (2 `) b) Từ hình trên ta thấy hình A gồm hai tam giác Do đó tích phân bằng diện tích của A và là 2 + 0,5 = 2,5 Vậy Íldx “š
Trang 1112 13 14 164 s 5 5 &) fi4toy eGo }dx =4 foods -— [goods = 4.6~ 8 = 16 1 1 1 3 4 4 Cho biết [[(z)dz = 3 [[(x)dx =7 Haytinh [†(U)dL 0 0 4 777 4 6 4 3 4 Ta có ff(ndt = fede + ficode =~ frrode + [ft =-3+7=4, 3 3 0 ụ o h a) Chứng mình rằng nếu {[x) >0 trên [a ; b] thi ƒf(x)dx >0 h b) Chứng mình rằng nếu f[x) > g(x) trên [a ; b] thì ƒf(x)ax a fa(x)as $ “¡ải " a) Ta cd Jicodx là diện tích hình thang cong giới han bởi đổ thị hàm số b
y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng X=a,x=b, do đó Íteo >0
b) Dat h(x) = f(x) — g(x) 20 vdi moi x € [a; b] Theo a) ta có:
h h h h h
ÏIf()~g(x)ldx 20> Jfoodx - fecoux 20> Jfcoux 2 jgotx
a a a a a
4) Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = ] — 2sin2t (m/s) Tính quãng
đường vật di chuyến trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (x) đến thời
2 3n
điểm t= — (s) 4 )
Trang 1215 16 b) Gọi tụ là thời điểm vật dừng lại, khi đó: Vity) = 0 > 160 - 10) = 0 > = 16 Quảng đường vật di chuyển từ L= 0 đến t= 16 là 16 C S=Í(d60 - 100ML =(1601- 5)|,- = 1280 (m), 0 ụ
Một vật dang chuyển động với vận tốc 10 m⁄s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + f (m2) Tính quãng đường vật đỉ được trong khoảng thời gian
10 giáy kế từ lúc bắt đầu tăng tốc Gidi Goi v(t) lA van te của vat Ta c6: v(t) = a(t) = 3t + Ủ 2 3 sử Suyra V(U= pe + fe +€ Vì v(0) = I0 nên suy ra C = 10 as 3t Vậy v= 5 +—+10 Quang đường vật di được là: HD Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đâầu 25m/s Gia tốc trọng trường là 9,8 m/%” a) Sau bao lau viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất ? b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lác bắn lên cho đến khi rơi xuống đất (chính xác đến hàng phần trăm) Gidi
a) Goi v(t) la vận tốc của viên đạn Ta có v'(t) = a(t) = -9,8
Suy ra v(t) = -9,8L+ € Vì v(0) = 25 nên suy ra C = 25, Vậy v(t) = -9,8t + 25
Gọi T là thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất Tại đó viên đạn có vận tốc bằng 0 Vậy v(T) = 0 Suy ra T= a ~ 2,55 (giây)
Trang 13C BAI TAP LAM THEM 1 Tính các tích phân sau: 3 «) fix —2idx Ỹ b) fx? - tk: o lạ " “3 2 0 x x 2 4 a(n d) [sin2xsin7xdx ; e) fin? —x x x 0 4 “2 Tính các tích phân sau: 3n : 4 | Xdx 3 dx a) |cos” xdx; b) — đ) [— —- J ng " Is XẴCOS” X x “tướng dan 2 1+cos2 a) Ap dụng cos”a = ee zy x xt1-1 | I x b) (+)? ay) “(x+DỀẺ (xt) dx tT et 2 eel} 1 I Sin “X€OS”X sin X COS 7X 4) = 3 Tính tích phân: Je? ~2xx 1 i 2 §4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TICH PHAN TÓM TẮT LÍ THUYẾT Phương pháp đổi biến số uch) frees = ƒ truldu u(ay
Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) lién tue
và sao cho hàm hợp f{u(x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K
Trang 142 Phương pháp tích phân từng phần fui X)V'(X)dx = (u(X)v(x))| b Ja - Jrcou'cods
Trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liền tục trên K và a, b là hai số thuộc K
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trang 17du=dx u=x Đặt => 1 dv = sin2xdx v=- Ø CON 2K x
sin) bey dl * 14 fe wile
Trang 19Gjidi a) Đặtu = xÌ = du = 3x”dx = x”dx = " X(t 2 ufl 8 fre" x“e* dx = — fe"du 3 i tovaa = —e'l, 3° =! ‘ = —(e*~ (e ‘ ~e) Đ):Đifu<ilie 0n Độ x Ì 3 u| 0
Fens ?ax = = = (In3)
Trang 21› 2 đ) Đặtu= Vx`+l =uˆ=xÌ`+1 =2udu = 3xÌdx = xÌdx = : udu E10 1 ufl X2 v2 2u` i viet số [va = TT QV 9 ft dx u=lnx ju x e) Dat = 3 dv=x“d | vz— 2 3 : Do đó fx? Inxax = Ti) C BÀI TAP LAM THEM 4 1 Tinh: a) lu 1+cosx [Ÿ aay 2 Tinh: a) —=% b) [xÌI -x?dx Fe jain] j š = 2 3 3 Chứng mình rằng: es sin’ xy = x = Í— == ad x+cos*x j Sin” x + cos” x 4 z 4 Tính ke» xdx và bat xdx 0 5 Tinh cdc tich phan sau:
Trang 22§5 UNG DUNG TICH PHAN DE TINH DIEN TICH HINH PHANG
A TOM TAT Li THUYET
1 Nếu hàm số y = f(x) lién tue trén đoạn {a; bỊ thì diện tích S của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), true hoành và hai đường thắng x =a, x = b là: h $= [f@jdx () 2 Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi dé thị hàm số y = f(x), y = g(x) lién tuc trên đoạn [a: b] và hai đường thẳng x = a, x = b, ta có công thức sau: b S= [Ìfx)=g@jdx @)
3 Tương tự (bằng cách coi x là hàm của biến y), diện tích S của hình phẳng giới
hạn bởi các đường cong x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm liên tục trên đoạn [c: d]) và hai đường thẳng y = c, y = d là
d
S= g@)-h@w)|dy 3) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
26 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx + l, trục hoành In và hai đường thẳng x = 0 và x = = “iu Vì sinx + I >0 với mọi x nên ?x/ | ⁄ J (sin x + dx =(-cosx +x) 6 3 ò i 6 2
27 Tinh dign tich hinh phẳng, giới hạn bởi :
a) Đồ thị hàm số y = cos2x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = b) Đồ thị hai hàm số y = vx va y= Wx;
€) Đồ thị hai hàm số y = 23 và y = x” ~23Ý trong miễn x >0
Trang 24
1 i Do db $= ffx? 4 (x? = 2xofdx = fax? + 2x ~aldx 2x? 42x 4)dx (Vin 2 <x <1 eo 2x? 4 2x—4<0) 1 ( 3 1 = {(-2x? 2x+#4x =| TH ân) =9, =je 4x)dx~ joo ~4x)dx + fe 4x)dx = 44 o) S= Ít 0 4 | 7 £m
C BAI TAP LAM THEM
1 Tính diện tích cúa hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: o> —|N fe Ñ a)x=0.x=l,y=0,y=5x +3 +3; b)y=x+l,x+y=3; c)jy=x +2, d)y=4x-x,y=0; e)y= In, y=0.x=e; x=) wx = 8 — 9 a 32 17
Đáp số: a)Š b) a c) é a) — e)l ay:
2 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol: y = x` - 2x + 2; tiếp tuyến
với nó tại điểm M(3; 5) và trực tưng Đáp số: 9 3 Tính diện tích giỏi hạn bởi các đường x + y = 0; - 2x + y = 0 5 Hướng dẫn: S = ) 9 x +2x)~(=x)|dx = 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: p q 3 a)xy = 4, y=0, x= a,x = 3a (a > 0); b)y= Đáp số: a) 4in3 b)e+e =2,
Š Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = -x` + 4x - 3 và các tiếp
tuyến của nó tại các điểm M(0; 3) và M:(3; 0)
Đáp số: =
4
Trang 25§6 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN DE TINH THE TICH VAT THE
A TOM TAT Li THUYET
1 Cho hàm số y = f(x) lién tuc, khong 4m trén [a; b]
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng x = b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay Thể tích V của nó được tính theo công thức
h
V=n[f?()dx 4
2 Tương tự, cho đường cong có phương trình x = g(y), trong đó g là hàm số liên tục và không âm trên đoạn
(c: d] Hình phẳng giới hạn bởi đường cong
x = g(y), truc tung và hai đường thẳng y = c, y = d,
quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay
Thể tích V của nó được tính theo công thức
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
29 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và x = 1, biết rằng
thiết điện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Óx tại đểm có hoành độ x (—l <Sx < Ì) là một hình vuông cạnh là 2L ~ x Gat S(x) = (2VI-x?)? = 4(1 - x?) 1 af Tacó V= ƒ(4d—x2)4x ae (Gets = 16: 2 314 3
30 Tinh thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = Z biể rằng thiết điện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 <x < #) là một tam giác đêu cạnh là 2xlsinx
Gidi Tacó S(x) = (2Vsinx ae = V3 sinx
Trang 26š =2 š 5 Đo đó V= ÍS(x)dx = [V3sinxdx = -V3cosx i 4
31 Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y =0, = 4 vay = Vx =1, Tính thế tích của khói tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành “¡ải Hoành đó giao điểm của đường thẳng y= vx - 1 với trục hồnh Wx -Il=0«sx=l 4 4 ( V =z ÍOVx =ĐỶdx = XJR-RiEnpgrenil 1 1 32 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = —, y = 1 va y = 4 Tinh thé sj tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung Gjiat 4 2 4 Ta có ven {2] dy =4n 4 = ax( 4) dy on! y
33 Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường
Trang 28Diện tích cần tim là \ | = fc x? =x +2)dx = - S " x? 4+1-(3- xi dx = b) Diện tích cần tìm là x : 3 4 fix =l)dx = | ~3 i 4
¢) Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là:
J4 =6-xex+vx ~6=0
€6 vdx =2c©x=4
36 Tính thể tích của vật thế T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 va x = # biết rằng thiết điện cúa vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trực Ox tại điểm có
hoành độ x (0 <x <ø) là một hình vuông cạnh là 2 sin x đài Tacó S(x)=(2 XSinx y = 4sinx x n ® Ve fsoodx = Jasin xdx = -4cosx} =8 4 4 0 ác đường y = x), x = 0 và x = 2 Tinh thé tich
37 Cho hìmh phẳng A giú: hạn bởi
của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành
Trang 2938 39 40 182 T
Cho hình phẳng A giới hạn bởi cde duéing y = cosx, y = 0, x = Ö và x = Ze
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành Gidi % % Tacé6 V =n Joos" xdx = = ƒd+cos2x)dx 0 2 o ‘a (241) - n(n +2) T đu = ; (x +7sin 2x) 0
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = xe?, v=0.x=0yàx= Í
Trang 30C BÀI TẬP LÀM THÊM 1 Cho D là miễn được giới hạn bởi các đường: y =Ú: y= Veos” 3 Is R xe -¡x= Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên do ta quay miễn D quanh 3 truce Ox l > ỷ 3 3 +cos4x 3m Nướng dân: V = T J (cos* x+sin’ xjdx = 7 J ~dx = ` x2 x4
2 Tinh thé tich của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình (H) quay quanh trục Ox với (H) là hình được giới hạn bởi các đường:
y=0:¿y= Vcos”x+sin”x ;x =0; x= x
Dap sé: V = Sat : 16
4 Gọi miễn được giới hạn bởi các đường: y = 0 và y = 2x ~ x” là D Tính thể tích vật thể được tạo thành do ta quay D
Trang 31CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (từ bài 41 đến bài 43) : 41 ay = 2x1 -x"); Blu=iBEr=e 4 : x4 ị ; sin(2x +1) c)y = x? sin(x? +1) ; d)y= SS cos* (2x +1) Giidi > ¬- a) ƒ?2xd~x dx = fex-2x “\dx =x°+=—4+C x 1 3 Í(8x-2x #)dx aac Es +C u b) || 8x “ dx x4 1 1 Bì 2 c) Datu= x? +1 du= ge ox = dx as du if 3 (3 fe? x? +1 x = 2 fainudu = -2cosu +C=~2c0s x?+lI|+C 3 3 3 d) Dat u=cos(2x + 1) => du = —2sin(2x + 1)dx => sin(2x + 1)dx = - „ửu
Dođó [XHÊX+)Đ u27 [Ö~ Tècc————+C
cos’ (2x +1) 2 “ur 2u 2cos(2x + 1)
Trang 3345 46 Vì f1) = 3 nên 22" +C=3=C=-5 Vậy f(x) = a8 1s b Xác định số b dương để tích phân ffx ge Jax có giá trị lún nhất Xét hàm số l(h) = - Tacó I(h)=b-bỂ ((b)=O0c>b=0:b=1 Bang bién thién b 0 1 + I'(b) + 0 - I(b) ee é oN, 0 _œ®
I(b) đạt giá trị lớn nhất khi b = I
Cho biết jts)& =¬l, j6) =5, b)k =4 Hãy tìm:
Trang 3447 48 49 ©) [[BÍ(x) -3g@)ldx =2 [f(X)dx - 3 [gx)dx =25 345-2 ? T 7 6 ; 8 a 5 5 d) [fx0dx = [fG0dš + [fix = [fx)dx - [ÍGdx=-1—5 1 1 ụ 1 7 h Cho hàm xổ ƒ liên tục trên [a ; bỊ Tỉ số: Œ ƒtx)ax được gọi là giá trị a 4
trung binh cua ham sdf trén [a ; b] va duge kí higu la m(f) Chứng mình rằng tấn tại điểm c € [a : b] sao cho m(f) = fie) “¡ải Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên [a: b] Ta có m < f(x) <SM Vx e [a:b] Do đó theo bài tập 13: h h h h Ímax s ƒteoax < Max =>m(b- a)< ficodx <M(b-—a) bh frc x)dx a
Giá sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyén động thẳng với vận tốc
v(t) = (5 —1) (m/s) Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại Giai t=0 Tacó v()=0<> t=5 Vật dừng lại tại thời điểm t = 5 Quãng đường vật đi được là es _ 125 3J = ——(m) 3 ụ 6 5 S= fus-var = 0
Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyến động thẳng nhanh dân đều ; 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 mựs Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều Một chất điểm B xuất phát từ càng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyến động thẳng nhanh dan đêu Biết rằng B đuối kịp A sau 8 giây (kế từ lúc B xuất phát) Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kip A
Trang 3550 188 Thời điểm A và B gặp nhau là 20 giây kể từ lúc A xuất phát Đồ thị vận tốc của A là đường gấp khúc OMN,
Quãng đường mà A đi được (s = vU là
diện tích hình thang OMNG
Sowng= z0 + 12).6=96
Vậy lúc gặp B, A đi được 96 m
Trang 3752 Tính diện tích a) Paraboly b) Parabol y va B(3 ; 0) ía các hình phẳng giới hạn bởi :
—2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3 ; Š) và trục tưng ;
aV + 4x = 3 tà các tiếp tuyến của nó tại các điểm A(0: ~3) Gjidi a) Tacé y'=2x-2>y'(3)=4, Phương trình tiếp tuyến với parabol tại M(3; 5) la: y-S=4(x-3)ay=4x-7 Gọi S là diện tích cần tìm, ta có: 3 S = f(x? -2x +2-4x 4 Tdx ù 3 3 = foe -6x+9)dx = fix-3y°ax ò j 3 =9 I =(x-3) 3 0 b) Ta có y' = -2x + 4 = y1(0) =4; y3) =-2 Phương trình tiếp tuyến tại A(0: 3) là: y+3=4x- 0) coy=4x-3 Phương trình tiếp tuyến tại B(3; 0) là: y=~2(x- 3) y=-~2x+6
Giao điểm của hai tiếp tuyến là c(ša] Kí
Trang 3853:
$4
55
56
Tinh thể tích cúa vật thể nằm gitta hai mat phdng x = 0 va 3, biết rằng thiết diện của vật thế bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục ÓX tại điểm có hoành độ x (0 < <2) là một nứa hình tròn đường kính SS Gidi Diện tích của vật thể bị cất bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm 0 Xét hình phẳng giới hạn bởi đường hypebol y = và các đường thắng \ x y
4,x= 0 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng de quanh truc tung Gidi T: có y= — ©x= zB “ii 3 4/22 44 Thể tích cần tìm là: V = x lÑ dy =4m ja = a i\y iy” Cho hinh phdng A duge gidi han bdi dé thị hàm số : ) = Jeosx(0<x=4) vẻ hai trực toạ độ, Tinh thé tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trác hoành Gidi Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = Vcosx [o<x < *) với trục Vcosx =0 heanh là nghiệm phương trình; sa : Osxs— 2 2 %5 Tú Vìy thể tích cần tìm là: V = x Jcosxdx = Tsinx| ` =m 0 0
Co hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình x(y +1)= 2 1c các đường thắng x = 0, y = 0, y = 3 Tính thế tích khối tròn xoay tạo được kii quay A quanh truc tung
Trang 39S7: 58 59 192 3 \ bs „dy = ay(- 7a =3n OED: #1
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình
x—y” = 0 và các đường thẳng y = 2, x = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tao thành khi quay A 4) Quanh trục hoành ; b) Quanh truc tung Gidi a) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh Ox là: Vậy thể tích cẩn tìm là: V = 0 4 4 2 x” 6 V=xÍ@?-x)dx =x|4x-S || =8x 0 b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh Oy là 5 : 1 Ven [y‘dy =—y` fae; 0 L#
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đường cong có phương trình y = x20?
tà các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 0 Tính thế tích khối tròn xoay tạo thành khi quay A quanh trực hoành Gidi Thể tích cần tìm là: V = x [xe*dx 1 u=x du = dx Dat = dx dv=e% v=e* = fos| = (2e?-e-e? +e) = ne’, 1 1 Do đó V= ese
Cho hình phẳng A dược giới hạn bởi đường cong có phương trình y` = x` và
các đường thẳng y = 0, x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A a) Quanh trục hoành ; b) Quanh trục tung,
Gidi a) Ta có y= ve (y 20)
Trang 401 41 mM ye 2 ts 3 TX | TL Thể tích cần tim la: V= x fx dx = ; = 41) 4 F b) Tac x= Vy o 0 1 eas Thể tích cần tìm là: V = x fa? -ay* dy = “ls 33]! 4, 7 I 7
BAL TAP TRAC NGHIEM KHACH QUAN
Trong mỗi bài tập đưới đây, hãy chọn một phương án trong các phương án cho đế được khẳng định đúng 5 60 Gui sit (oes = Inc Giá trị của c là 7261 (AI9; (B)3; (C) 8] ; (D)8 Gidi 5 5 fo = 4injax-a) = 1n3 pex-1 2 i
Inc = In3 = c = 3 Chon (B)