Phần 1 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 giới thiệu tới người đọc các kiến thức căn bản, phương pháp giải các bài tập và một số bài tập trắc nghiệm về: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1NGUYEN VO THANH - TRAN MINH CHIEN
GIAI BAI TAP
Trang 2
NGUYỄN VŨ THANH - TRẦN MINH CHIẾN
Giai bac
alr th TÍCH 12
NHÀ XUẤT BẢN Đơn vị liờn kết :
Trang 3Quyển sỏch GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 này
được biờn soạn theo chương trỡnh sỏch giỏo khoa
hiện hành, nhằm giỳp cỏc em cú tài liệu tham
khảo để ụn tập, củng cố kiến thức, đồng thời vận
dụng để làm những bài tập cú dạng tương tự hoặc nõng cao đạt kết quả tốt
Quý thầy cụ và quý phụ huynh cú thể xem
quyển sỏch này như tài liệu tham khảo thờm Chỳng tụi mong đún nhận ý kiến xõy dựng từ quý độc giả
TÁC GIẢ
Trang 4ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Đ1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A KIEN THỨC CĂN BẢN
I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1 Định nghĩa: K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng Hàm số y = f(x) xỏc định trờn K Ham so y = f(x) đồng biến (tăng) trờn K nếu: VX\, X¿ € K, Xị < X¿ -3 Í(Xị) < Í(X¿) Ham so y = f(x) nghịch biến (giảm) trờn K nếu: VX\, X¿ € K, Xị < Xa -2 Í(X)) > Í(Xa)
Tớnh đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lớ: Cho hàm số y = f(x) cú đạo hàm trờn K
a) Nộu f(x) > 0 vdi moi x thuộc K thỡ hàm số f(x) đồng biến trờn K b) Nếu f{x) < 0 với mọi x thuộc K thỡ hàm số f(x) nghịch biến trờn K
II QUY TẮC XẫT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1 2
3 4
Tim tap xac dinh
Tớnh đạo hàm f(x) Tỡm cỏc điểm x, (i = 1, 2, , n) ma tai dộ dao ham
bang O hoac khộng xac định
Sắp xếp cỏc điểm x, theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiờn
Nờu kết luận về cỏc khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1 Xột sự đồng biến, nghịch biến của cỏc hàm số:
a)y=4 +4 3x- x? boy = px" + Bxt~ Tx -2
‹
c)y =x! — 2x? +3 d) y =-x" +x? - 5
Trang 73 8 +1 €t X —œ —4 y = + y iia ae $70 0 Mg TK Hàm số nghịch biến trờn khoảng (-z; -4), đồng biến trờn khoảngg (5; +z `) d) Tập xỏc định: D = & \ |-3; 3] 2 2 ‘= 2x -9) 2x2x = _2x +9) < 0; Vx ôÊ +3 (x” - 9) (x” - 9) Bảng biến thiờn: X —= =3 3 +2 x = = = y 0 +x +x
Hàm số nghịch biến trờn cỏc khoảng (-z; -3), (=3; 3) (3; +z)
Chứng minh rằng hàm số y = Ta đồng biến trờn khoảng: (-1; l); X + nghịch biến trờn cỏc khoảng (—>; -1) va (1; +2) Tập xỏc định: D = R x=] =-3) ,_ X°+1-2x7 1-x ` , 9 y 2 Y= yoga WHO 1- x =02 (x +1) (x" +1) x=-l y =— _ 1 2 Bảng biến thiờn: X ~œđ -1 +0 y’ ~ 0 + ~ y _ Vậy hàm số đồng biến trờn khoảng (-1; 1) và nghịch biếr ttrờn cỏc khoảng (—œ; —1) và (1; +2)
Chứng minh rằng hàm số y = V2x - x” đồng biến trờn khoảng ((0; 1) và nghịch biến trờn khoảng (1; 2)
Gjidi
y xỏc định khi và chỉ khi 2x - x” >0 >0 <x< 2
Trang 8
Tập xỏc định: D = {0; 2| , 2- 2x 1 x y = * Ss Sa po 2V2xK ~ x’ Vd2x-x' Bang biến thiờn: X —* ể ] 2 +7 ye + 0 y I Vay ham số đồng biến trờn khoảng (0; 1) và nghịch biến trờn khoảng (1; 2) *, Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau: / ` if a)tanx > x|0<x< 7 b) tanx > x + “(ocx <3 : 2 3 2) soy Gjidi a) Ham so f(x) = tanx — x hộn tuc trộn nua khoang [0; : )va co dao ham f(x) = _- 2 ~ ]1>0 Với mọi X€ KH cos’ xX
Do đú fix) đồng biến trờn (0: 5 )
Trang 9Hung ddan x? +2x—-m’?-m+2 e y`= —————— 6 Ao =-m’*?+m-—-1<0 (x +1) 3 Xột tớnh đơn điệu của cỏc hàm số: a)y= w4-x? b)y= a V9 -é, 4 Chứng minh rằng: 1 x” 1 a) tanx > sinx,0<x< — Dp Rage b= sa RE 3 10
Đ2 CUC TRI CUA HAM SO
KIEN THUC CAN BAN
KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xỏc định và liờn tục trờn khoảng ((a b) (cú
thộ ala —ằx; bla +x) và điểm xạ c (4; b)
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho ớ(x) < f(x;) với mọi x c (Xọ - h; Xo ~ MH) và X # xạ thỡ ta núi hàm số f(x) đạt cực đại tại xo
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(xo) vai moi x â (Xo — h, Xo ơ !) và x # Xọ thỡ ta núi hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xạ
ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ Cể CỰC TRỊ
Định lớ 1: Giả sử hàm số y = f(x) liờn tục trờn K = (xạ - h; Xọ + h) v:à :ú đạo
hàm trờn K hoặc trờn K\{xọ}, với h > 0
a) Nếu f '(xo) > 0 trờn khoảng (xạ - h; xạ) và f '(x) < 0 trờn khoảng) (:o; Xe +
h) thỡ xạ là một điểm cực đại của hàm số f(x)
b) Nếu f '(x) < 0 trờn khoảng (xọ - h; xọ) và f (x) > 0 trờn khoảng (%ọ; ›Xo + A) thi
xọ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) x Xo—h Xo xo+ủh f(x) + _ f(x) ee fice) Oe X xo—h Xo Xo+ h f'(x) — + f(x) oo fiery _ -
Quy TAC TèM CỰC TRI
a) Dinh li 2 Giả sử hàm số y = f(x) cú đạo hàm cấp hai trong khoảng
Trang 10(Xy) - hy Xy +h) vor h > O
Khi đú: a) Nếu † (Xe) = 0; f (xg) > O thỡ xạ là điểm cục tiểu; b) Nếu † “(xo) = 0;† “(xe) < O thỡ xạ là điểm cực đại b) Cac quy tắc tỡm cực tri
Quy tac I
* Tim tap xac dinh
2 Tớnh f(x) Tỡm cỏc điểm tại đú f(x) bằng 0 hoặc f(x) khụng xỏc định 3 Lập bảng biến thiờn 4 Từ bảng biến thiờn suy ra cỏc điểm cực trị Quy tắc II: 1 Tỡm tập xỏc định 2 Tớnh f '{x) Giải phương trỡnh f '{x) = 0 và kớ hiộu x, (i = 1, 2 ) là cỏc nghiệm của nú 34 Tớnh f “(x) và f “(x,)
4 Dựa vào dấu của f ”(x,) suy ra tớnh chất cực tri của điểm x B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1 Ấp dụng quy tac I, hay tỡm cỏc điểm cực trị của cỏc hàm sụ sau: ay = 2x" 4 8x" — 36x — 10: bby = x! 4 2x? — 3: Chy =x + 5 d)y= x(1 ws x)": ey= Vx’ xỡ 1 x Gjiai a) Tập xỏc định: D=z < 3 x=2 (y= 54) y’ = 6x? + 6x — 36; y' = 0Â> y8 xX 3 (y=71) Bang biộn thiộn: x —% -3 2 +2 _V + 0 = 0 + ° x —— “64 ẹ
Trang 11Hàm số cú điểm cực tiểu tại x = 0 và ye+ = —3 câ) Tập xỏc định: D = & \ {0} y=1- = = xt sy =O00x-1=0 * 1 Ợ: ai x x x = (y 2) Bảng biến thiờn: x —~ m 0 1 ae y’ + OO - - 0 + y —2 +x +e —œ 2 wt =“, 2 a
Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yep = =9 Hàm số đạt cuc tiộu tai x = 1, yer = 2 d) Tap xadc dinh: D=& y' =3x (1 - x)” - 2x%(1 - x) = x*U1 — x3 - 5x) x=1 (y=0) 3 108 “=0<> |x=- (y=-—— : 5 3125 0 Bang biộn thiộn: 0 : 1 —x me <x 5 y + 0 + 0 - 0 + y —o 3125 108 70 _ —” ~% Hàm số đạt cực đại tại x = 3 ằYƠcp = 108 5 3125
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yer = 0
e) Vix?-x+1>0, Vx e đ$ nờn tap xde dinh: D = & ye 2X cy coox-t y= 8) mũ 2 2 Bảng biến thiờn: * GD 3 4K y’ — 0 + y +00 J3 +x v3
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ; „ YCT = 3
2 Ap dung quy tắc II, hóy tỡm cỏc điểm cực trị của cỏc hàm số sau:
Trang 12why = x) - 2x’ + 1; bry ui sin2x ~ X; fy $ C) y = SINX + COSX: đ)ỡyv=x ` —=x - 2x41 HH a) Pập xỏc định: D = ‹ y.=4x — 4x= 4xx — 1) x20 ty #1) y= 12x" -4
y0) = -4 <0, hàm số đạt cực đại tai x = 0; yep = 1
y+10 <=8>0, hàm số đạt cực tiờu tại hai điểm x = +1, yer= 0
Trang 13d) Tập xỏc định: D = x
y' = 6x‘ - 3x” — 2,y' =0 co XÃ = lc>xe= tl
y”= 20x” - 6x
y“(1) = 14 >0 Do đú hàm số đạt cực tiờu tại x = 1 y"(-1) = -14 < 0 Do dộ hàm số đạt cực đại tại x = -1
3 Chứng minh ham sộ y = Vixl khụng cú đạo hàm tai x = O nhung “an dat
cuc tiộu tai diộm do Gjidi Tập xỏc dinh: D = =< Dat fix) = Vix f(x) ~Ê(0) Vx 1 Ta cú: lim ˆ <= = lim = lim = = +x x-ằ0* X yoo Xx x90" Vx Vậy hàm số khụng cú đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực tiểu tai > = 0 vi fx)>0=f(0),Vxc x
4 Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của tham số m hàm số y = x” — mx — 2x +
1 luụn luụn cú một điểm cực đại và một điểm cực tiểu
Gjidi
Ta cú y' = 3x” - 2mx — 2
A=m”+6>0Vm c s nờn phương trỡnh y' = 0 luụn cú hai nghiện phõn
biệt và y' đổi đấu khi qua cỏc nghiệm đú Do đú hàm số luụn cú một cực đại và một cực tiểu
™ › a rn ~ Ds ony? Âu đa
Trang 15C 1 - 16 Bảng biến thiờn: Xx —đ 2 3 4 +Z y’ + 0 _ ~ 0 + y CD + + ` 1 NN we CT _ —œ ~œ 5 Vậy với m = -3 thỡ hàm số đạt cực đại tai x = 2 Cỏch 9 Ta cú thể sử dụng dấu hiệu II (2) =0 y đạt cực đại tại x = 2 â y ô>m = -ọ y"(2) <0 BAI TAP LAM THEM Tỡm cực trị của cỏc hàm số sau: a) y = 2x" + 3x” — 36x — 10; b)y = x’ + 2x°- 3
c)y = xe*; d)y= HH In’x
Tuy theo a hóy tỡm cực trị của hàm số:
a
a) y = x — 2ax* + a°x; bby=x+—
x
Cho ham so y = 1 3 _ mx? + (m? — m + Ue + 1, Xộe dinh m dộ him s6
dat cuc tiộu tai x = 1 Định m để hàm số y = 2x” - 3(2m + 1)x” + 6m(m + 1)x + 1 dat cu đại, cực tiểu tại xị, xa Chứng minh rằng khi đú x; - xĂ khụng phụ thuộc vo m Đỏp số: xị = m; x; = m + 1 x? +2x+m Chứng minh rằng hàm số y = “ a luụn luụn cú một cực đại va x” + một cực tiểu Đ3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ KIEN THỨC CĂN BẢN Dinh nghĩa Cho hàm số y = f(x) xỏc định trờn tập D
a) Số M được gọi là giỏ trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trờn tập D nếu f(›) < M
với mọi x thuộc D và tổn tại xạ c D sao cho f(xẹ) = M
Trang 16hiệu M = maxf(x)
b) Số m được gọi là giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trờn tập D nếu f(x) › m với mọi x thuộc D và tốn tại xạ câ D sao cho Í(xạ) = m Ki hiộu:m = minf(x) O 2 Quy tac tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số liờn tục trờn một đoạn 1 Tim cỏc điểm xị, X;, , xạ trờn khoảng (a; b), tai dộ f (x) bằng 0 hoặc f “(x) khụng xỏc định
2 Tinh f(a), f(x:), (xạ), ., (xa), f(b)
3 Tim số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong cỏc số trờn Ta cú:
M = maxf(x), m= minf(x)
[a:b] [a: b]
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1.Tớnh giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số:
a)y =x'`~ 3x” -— 9x + 35 trờn cỏc đoạn [=4; 4| và [0; 5] b) y = x” - 3x + 2 trờn cỏc đoạn [0; 3] và {[2; 5] €)y= : = trộn cac doan [2; 4] va [-3; -2] d) y= v5 4x trờn đoạn [-1; 1] Gjiat a) * Xột D = [-4; 4] x=3eD x=-leD
Ta cú: y(—4) = -41; y(4) = 15; y(—1) = 40; y(3) = 8 Vậy: max y=40; min y= -41 xe[-4;4] xe[-4;4] * Xột D = [0; 5] y'=3x”— 6x— 9;y' =0 <2 x=3cD y=0<ằ x=-l#D
Ta cú: y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8 \
Trang 1718 Vai D = (0; 31 thix =~? €D Ta cú y(0) = 2; y(3) [3 1 1 56, (| )=~ “ Vậ niny = ; axy = 56 mở \3 4 sl 1031 4 103)” ,
* Voi D = [2; 5] thỡ x = 0; x = + V5 đều khụng thudc D nộn: y(2) = 6; y(5) = 552
Trang 18Đ=ẽ0ô<>ằ x = d8e>ox=4 v3 Hang biển thiờn: x 0 4 j3 p' - 0 + —= = TH EF p dat gia tri nho nhat <> x = 4 V3 , minp = 16 v3
Trang 19b) Xột D = (0; +x) y=1- 4 7 x4 ey =0<ằ>x=2 x x Bang biộn thiộn: x 0 2 +2 y’ - 0 + y +00 ee : _eeo™ +œ Vay miny =4 (0;+z) C BÀI TẬP LÀM THấM 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = 2x + v5 - x? Đỏp số: miny = -2 V5, maxy = 5 2 Tim giỏ trị nhỏ nhất của hàm số: y = log”x + a log*x + 2 Huộng dan: Dat t = log’x (t > 0) Tim miny trộn [0; +2)
3 Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của cdc ham s6 sau day trong daam da chỉ ra: a) y = 2x" + 3x” — 12x + 1 trong [-1; 5] b) y = vV5-4x trong [—2; 0] 4 Dựng hỡnh chữ nhật cú diện tớch lớn nhất biết rằng chu vi cua no chong đổi và bằng 16 em
ð Chứng minh rằng trong cỏc hỡnh chữ nhật nội tiếp hỡnh trũn bỏn kớnh R thỡ hỡnh vuụng là hỡnh cú chu vi lớn nhất và cú diện tớch lớn nhất
6 Trong cỏc hỡnh nún nội tiếp hỡnh cầu bỏn kớnh R, xỏc dịnh hỡnh túm cú thể tớch lớn nhất ˆ Đ4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN A KIẾN THỨC CĂN BẢN
I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
Cho hàm số y = f(x) xỏc định trờn một khoảng vụ hạn
Đường thẳng y = yọ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nộu: lim f(x) =Yp hoặc im f(X) = Yo
Il DUONG TIEM CAN DUNG
Đường thẳng x = xọ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nộu:
Trang 21xo +x41 a + x3 —- 5x) lim y =-x; lim y = +x nộn x = -]1 là tiệm cận đứng x(-1Ƒ &=H SẮP" lim y =+z; lim y =-z nờn x= 5 là tiệm cận đứng ~ + *ơ) 5 mỹ 5 1 1 l+-+ % x x2 1 8ỡ 1 ^ si a lim y = lim ————-^—- =-~ nờn y=—— là tiệm cận ngan;g x-+>+z xoto 3 _ 2 _5 5 5 x? x c) lim y =-x; lim y = +> nờn x= -l là tiệm cận dứng x—(-1" xơ(-1 d) lim y = +z nờn x = 1 là tiệm cận đứng x1" lim y = 1 nờn y = 1 là tiệm cận ngang XP +E
C BAI TAP LAM THEM
1 Tỡm cỏc tiệm cận đứng và ngang của dộ thị mỗi hàm số sau: 3x- 2 5 - 2x 3 -5 8)y= ———; b)y = - ; €QÿY= ——; d)y= ——— y= x+1 y 3x -1 : 1-4x y 1 + ex 2 Tỡm cỏc tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: 2x” ~3x-1 x’ ~3 a)y= -——> ; b)y= ———y z 3x? +1 Ơ* (x1? 2Q- ale c) y= a d) = 1 - Vx 4-3x+4x Ÿ2x (1 Đ5 KHẢO SÁT SỰ BIE 'N THIấ N VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CĂN BẢN I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 Tỡm tập xỏc định của hàm số 2 Xột chiều biến thiờn của hàm số
a) Tỡm giới hạn tại vụ cực và giới hạn vụ cực (nếu cú) của hàm sộ Tỡm cỏc đường tiệm cận của đồ thị (nếu cú)
b) Lập bảng biến thiờn của hàm số, bao gồm: Tỡm đạo hàn ‹của h¿m
Trang 22số, xột dấu đạo hàm, xột chiều biến thiờn và tỡm cực trị của hàm số (nờu cú), điền cỏc kết quả vao bang
3 /ẽ đồ thị của hàm số
Vừ cỏc đường tiờm cận của đồ thi (nếu cú)
Xỏc định một số điểm đặc biệt của dộ thi, chang han tim giao điểm của
đụ thị với cỏc trục tọa độ (Trong trường hợp đụ thị khụng cắt cỏc trục tọa đụ hoặc việc tỡm tọa đụ giao điểm phức tạp thi bỏ qua phõn này)
Trang 23Phương trỡnh y=0 cú một X O x nghiộm IV ĐỒ TH| HAM SO y = 5X†P (c ¿ 0, ad — bc z 0) cx+d D=ad-bc>0 D = ad — be < 0 y y a x X
V BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH BẰNG ĐỒ THỊ
Cho phương trỡnh f(x, m) = 0 (1) (m là tham số)
Đưa (1) về dang: f(x) = m (2)
, =f 6 dộ thi (C) ˆ
Xột dấu hàm số (C): (21 7 "9 e6 đồ thị ( y„ =m cú đồ thị d
d là đường thẳng song song trục tung tại tung độ y = m
Số nghiệm của phương trỡnh (1) chớnh là số giao điểm của (c) va d
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trang 24by) C) di) Tap xac dinh: D = x lim y =+4; lim y =~ằ Ni ng s X-ằ+ử Bang bien thiờn và đồ thị X —# 1 1 +7 Vớ = 0 + 0 — — y +h i oy —~7 y' = 3x” + 8x + 4; | 2 32 , |X = (y —) yO! 3 27 Lx -2 (y = 0) lim Y=+%; lim y=u-x Dan ee Xx-9-% Bang biộn thiộn va do thi 2 x e0 =o = 3 +0 _y + 0 = 0 + y _ +7 ~x TƯƠNG 85 ee "ạ„ Tập xỏc định: D= + y y’ = 3x* + 2x +9>0, Vx â 5
Hàm: số luụn đồng biến và khụng cú cực trị
lim y =+z, lim y = ~z, đồ thị hầm số khụng cú tiệm cận O X X-++” Xx——” Bảng biến thiờn và đồ thị xX —ằœ +2 cy $ y ot Tập xỏc dịnh: D = % M y'=-6x”< 0, Vx c 3 Hàm số luụn nghịch
biến trờn tập xỏc định và khụng cú cực trị
Trang 26d¿ Tạp xỏc định: D = + y'.= -4x - 4x” = -4x(1 v' il 0 c>x= Oly =3) lim y = -z X -s?/ Dang biển thiờn và đồ thị X SF 0 y + + x") \ 3 ” ee i
16 thi cat truc Ox tai x = +1
3 Khao sỏ: sự biến thiờn và vẽ đồ thị của cỏc hàm số phõn thức: x+3 1 2x x+2 aby = —- b)y = ~ c)y # ——— x 1 2x-4 2x+] Gjiai a) Tập xỏc định: D = < \ {1} ' 4 y = „ <ô&0,Vxz ] (x17 lim y =-x; lim y = +z nờn x= 1 là tiệm cận đứng x ol xol* lim y = 1 nộn y = 1 1a tiộm can ngang X +†z
Điểm dac biột: x = 0 -> y = -3 Bang biộn thiộn va dộ thi X - ] +# vớ eee si V 1 Oe +o ey No 1 ẹ b) Tập ằỏc định: D = = \ {2} 3 y= ——>x >0, Vx# 2 Ax-32) lim y =-—z; lim y = +z nờn x = 2 là tiệm cận đứng x22" x->2 lim y=~—1 nộn y = -1 1a tiộm can ngang y X-+1/ " - Sa 1
Diộmdac biột: x =0 >y = -
Bang biến thiờn và đồ thi O
x —J 2 + ” 2 X
y + + -1
Vv LH +7 | ae =]
Trang 28€) 5 a) b) lim y = +z XARA lim vy =-ằ%, Xe 7 Đang biển thiờn và đồ thị: x | ⁄ () 1 + O T1 —Š “= Ọ + 0 - : VY [+x 4] | NN ee Os Đỏ thị (C) hàm số y = —2x" + 3x° — 2 cat trục ệx tại một điểm nờn phương trỡnh 2x/+ 3x” = 2 =0 cú nghiệm duy nhất ; y Xột ham so y = -x' + 2x” TXD: D = x 1 yo=-4x' 4+ 4x =-4x0Q°- 10 NRT y=0e2|X 9 =O x =i] (y=1) To] 1 1 x lim y =-x X- DEL Bang biộn thiộn va dộ thi xX | -x -1 0 1 + ị + 0 — 0 + 0 z= sả 1 1 |-„ ” iy ee TC oy
Đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (C) hàm số y = —x* + 2x* tai hai diộm
phõn biệt nờn phương trỡnh —x” + 2x” = -1 cú hai nghiệm phõn biệt Khảo sỏt sự biến thiờn và vẻ đồ thị (C) của hàm số y = -x” + 3x + 1
Trang 296 Cho hàm số y = — 30 b) Ta cú xè- 3x+m<=0<ằ-x +3x+ l=m+]l Từ đồ thị ta cú: đô m+ 1<-l hoặc m+ l>ọ3<›ằm < -2 hoặc m > 2 Phương trỡnh cú một nghiệm e m+1=-1 hoaec m+ 1=3 <> m = -2 hoặc m = 2 Phuong trỡnh cú hai nghiệm e -l<m+ l1<3ô<ằ-2<m <2: phương trỡnh cú ba nghiệm mx ~ 1 2x +m
a) Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của tham số m hàm số luụa đồng
biến trờn mỗi khoảng xỏc định của nú
b) Xỏc định m để tiệm cận đứng của đụ thị qua A(-1; v2) c) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2
Gidi
a) TXD: D = % \ 2 |
to tet = >0, Vm â XR va Vx # - m
(2x + m) 2
Do đú hàm số luụn đồng biến trờn mỗi khoảng xỏc định của nú b) Tacú lim y=-z;, lim y =+z
xơ{ _m Ỷ xơ[- mỡ \ 2) 2 }
m , ˆ 2 › + ˆ
Suy ra x = — 2 là tiệm cận đứng của đồ thị
Trang 30a) b) Cc) b) €) 8 Xột họ dường cong (C,,) cú phương trỡnh là: y Cho hàm số y = 1, 1 xX: '# 4 9 x +n
Với gia tri nao cua tham so m, do thi cua ham s6 di qua diộm (—1; 1)? Khao sat su biộn thiộn va vộ do thi (C) cua ham s6 khi m = 1
Viết phương trỡnh tiếp tuyển của (C) tai diem co tung do bang Gjiai sài 1 Do thi ham so di qua diộm (—-1; 1) khi va chi khi 1 = j ' 1 1 Với m= ltacúv= x'+ x +1 4 2 TXD: D = = y=x+x=axlx + ly y =0Â>x=0(y=)D lim y= +z Kp tT Bang biộn thiộn va do thi X ⁄ 0 +7 _y' - 0 + y +ự +#⁄ i Facú xỶ+ ly x° +1 = 7 4 2 4 ee 7 7 Với x= 1 La cú y= : AC; -) 4 4 Với x= -lta cú y= {Bs ` Ta cú y'(1) = 2: y1) = =9
Phương trỡnh tiếp tuyển qua A là v - Phương trỡnh tiếp tuyến qua l3 là y - trong đú m là tham số — ~]1 ~ =) v14 — 1)‹ ‘ 1 + Iỡèè €> II = : >y = 2x - 1 7 4 1 yl(-1x + 1) <Â>y = -2x - a) Xỏc định m để hàm số cú điểm cực đại là x = ~1 x’ + (m + 3)x? + 1 - m;
b) Xỏc định m để đụ thị (C„„) cắt trục hoành tại điểm x = -2
a) làm số cú điểm cực đại x = —1 khi và chỉ khi
Trang 315 b) (C,,) ct truc hoanh tai x = -2 <> -8 + 4(m +3) + 1=0Âs3 ms — n 9 Cho hàm số y = KH CHẾ," (m là tham số) cú đồ thị là G
x-1
a) Xỏc định m để đường cong (G) đi qua điểm (0; -1)
b) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số với m tỡm được
c) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đụ thị trờn tại giao điểm củ¿a nú với trục tung Gjidi Đ -2m+1 a) (G) di qua (0; -1) = -1 = =————— => m=0 b) Với m = 0 ta cú y= X*1 x-1 TXD: D=R \ {1} -2 ‘= 0, Vx#1 y GoD < x #
Tiệm cận đứng: x = 1; tiệm cận ngang y = 1 y
Bang biộn thiộn va dộ thi
X —œ 1 +x
* = =
y 1 > oN 1 +0 — x ù *
c) Giao điểm của (G) với trục tung là M(0; -1) \
"=——> =y(0)=-2 res ened
Phương trỡnh tiếp tuyến tại M là y + 1 = -2x hay y = -2x - ]
C BÀI TẬP LÀM THấM
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đụ thị cỏc hàm số:
a)y =xXx”— 3x — 1; by = % - x41; chy = X42 d)y= a
2 xe] }
2 Cho hàm số y = x” - (m + 4)x” - 4x + m (1)
a) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số (1) luụn cú cực trị b) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0
c) Xỏc định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tai ba điểm phõn biệt 3 Cho hàm số y = x‘ — mx” + m — 5 (2)
a) Xỏc dinh m dộ dộ thi (C,,) cua ham số (2) cú ba cực trị
b) Khảo sỏt va vẽ đồ thị (C;) hàm số ứng với m = 2
Trang 32â) Viết phương trỡnh tiếp tuyờn của (C,) song song với đường thang
v=394x- 5
` : 2x+]
4 Cho ham so y =
x +]
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẻ đồ thị hàm số
b) Tỡm trờn đồ thị những điềm cú tụng khoảng cỏch đến hai tiệm cận nho nhất
Dap s6: M\(O; 1), MA-2; 3)
_ ` s8 axtb „
5 Tim ham so y = biết: cxtd
đồ thị cú tiệm cận dung x = 1, tiộm cận ngang y = đồ thị đi qua điểm A | 0; - 2 \ ‘ EKhỏao sỏt và vẽ đồ thị hàm số vừa tỡm xi l Dap sộ y = 2x 1) ON TAP CHUONG I
5 Cho ham số y = 2x” + 2mx + m - 1 cú đồ thị là (Cạ), m là tham số
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
Trang 33Đồ thị đi qua O(0; 0), A(—1; 0) b) Tacú y'=4x+ 2m m '"=0<{€ề>x=—— y 2 Bang biộn thiộn m x —đ = 3 +20 y’ - 0 + y +00 cy ” +œ
Ă_ Hàm số đồng biến trờn khoảng (—1; +) khi và chỉ khi - = <-lom2>2
ii) Ham s6 c6 cue tri trộn khoang (-1; +90) khi va chi khi -1 < — 5 <>1In <Ê
c) Phương trỡnh hoành độ giao điểm cửa (Cmạ) với trục hoành
2x? + 2mx + m-1=0
Tacú: A'=m2-2m+2=(m-1+1>0,Vme
Vậy (C„) luụn cắt trục Ox tại hai điểm phõn biệt
Trang 347 a) Khao sat sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của ham so y = x” + 3x” + 1
b) Dua vao dộ thi cua (C), biện luận số nghiệm của phương trỡnh sau theo m: 3 age m x + 3xo 4+ l= — € c) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đụ thị (C) Gidi y (C) a) TXD: D= 8 y’ = 3x” + 6x = 3x(x + 2) x=0 (y=) y=00> x=-2 (y = 5) lim y =-x; lim y = +x a xe>~z x->+z x Bang biộn thiộn va dộ thi vớ + 0 — 0 + ý x _ ° HH ——”
b) Số nghiệm của phương trỡnh xỶ + 3x? + 1 = ơ là số giao điểm của đổ
thi (C) va đường thẳng (đ) cú phương trỡnh y = >
Dựa vào đồ thị ta cú:
i) n < 1 hoac > 5 <> m < 2 hoặc m > 10: phuong trinh cộ 1 nghiộm ii) = = 1 hoac > = 5 <> m = 2 hoặc m = 10: phương trỡnh cú 2 nghiệm ii) 1 < 5 <5<+ằ2<m< 10: phương trỡnh cú 3 nghiệm
e) Điểm cực đại A(-2; 5), điểm cực tiểu B(0; 1) Đường thẳng qua A, B cú
phương trỡnh là:
SY Ys i X= Xp ; Ơ=1 ss x oye -9x+ 1
Yx~Yp Xa ~Xp 4 -2
Đ Cho hàm số: f(x) = x” - 3mx” + 3(2m — 1)x + 1 với m là tham số a) Xỏc định m sao cho hàm số đồng biến trờn tập xỏc định
b) Xỏc định m sao cho hàm số cú một cực đại và một cực tiểu
â) Xỏc định m sao cho f "{x) > 6x
Trang 35Giidi a) TXD: D= 8 y’ = 3x” — 6mx + 3(2m — 1) = 3(x* ~— 2mx + 2m — 1) Hàm s6 dộng biộn trộn 2 <> y' >0, Vx € & =1>0 , nh ”” &œ m?- 9m + 1<0c>(m-1)/“<0c>n=1 A<0
b) Hàm số cú một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi y' = 0 cú hai
nghiệm phõn biệt <> A' = (m - 1“>0<>m z 1
c) Ta cú f (x) = 3x” - 6mx + 3(2m - 1)
f ”(x) = 6x - 6m
f ”(x) > 6x ô2 6x - 6m > 6x > m < 0
9 a) Khao sat su biến thiờn và vẽ đồ thi (C) cua ham sộ f(x) = ỹ x'- 3x + 5 i
b) Viột phuong trinh tiộp tuyộn cua dộ thi (C) tai diộm c6 hoantk dộ là
nghiệm của phương trỡnh f “(x) = 0
Trang 36va Tu đú ta cú: 5 < =3 <ằ>m < =6: phương trỡnh vụ nghiệm 2 , Mm # ˆ i m 5 = =3 <>m = =6: phương trỡnh cú 2 nghiệm ` m 3 ` : ` , ` =đ< < „ <ằ=6<m<3: phương trỡnh cú 4 nghiệm m 3 = š <> m = 3: phương trỡnh cú 3 nghiệm 3 ` củ " m 5 > 5 <ằ m> 3: phương trỡnh cú 2 nghiệm 3 , & 2% T 10 Cho hàm số: y = -x” + 2mxí - 2m + 1 (m là tham số) cú đồ thị là (Cạ) 11
a) Biện luận theo m số điểm cực trị của hàm số
b) Với giỏ trị nào của mỡ thỡ (C„,) cắt trục hoành? >) Xỏc định m để (C„) cú cực đại, cực tiểu Gidi 1) Ta cú y' = -4x” + 4mx = —4x(x? - m) m < 0: làm số cú một cực đại (tại x = 0); m >0: Hàm số cú hai cực dai (tai x = + Vm ) va một cuc tiộu (tai x = 0) x | ~ Vm 0 vm +x y + 0 — 0 + 0 - y CD CD a= _ ope ăấ Te
ằ) Phương trỡnh —x' + 2mx* - 2m + 1 = 0 luụn cú nghiệm x = +1 với Vm
nờn (Cạ;) luụn cắt trục hoành
) Ta cú y' = -4x(x” - m)
(Cm) cú cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi m > 0
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đỏ thị (C) của hàm số: y = sỹ ó
x +
b) Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của m đường thẳng y = 2x + m luụn
cắt (C) tại hai điểm phõn biệt M và N
â) Xỏc dịnh m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất
Trang 37lim y =+œ, lim y = -œ nờn x = -1 là tiệm cận đứng x.-1#? xo-l" y lim y = 1 nờn y = 1 là tiệm cận ngang \ x->tœ Bảng biến thiờn 3 x | —đ -1 +20 ` y’ ~ — —— i= 1 y | 1 —m— _ +00 TH i -3\-1] 0 x b) Phương trỡnh hoành độ giao điểm của d va (C) là: " x+3 =9x+m x x+1 ô2x? + (m+ 1)x + m-3 = 0(1) (x -1) Ta c6 A = (m + 1)? — 8(m - 3) = m? - 6m + 25 = (m - 3)” + 16 : 0, Ym Vậy d luụn cắt (C) tại hai điểm M và N cú hoành độ xị, x;¿ thỏa: m+1 m-3 ; XIX¿ = Xi+Xa=— c) Ta cú: MN? = (x; - Xu)” + (y¿ — yỡ)ấ = (X; — xị) + (2x; + m — 2x,;- m)? 2 = ð(Xx; — Xị)? = B[(X\ + X¿)” — 4XiX;] = l& " ~ 2m ~ J = 2 (m ~ 6m + 25) = 2 (ứn — 3 + 16] > 20 Đẳng thức xảy ra khi m = 3 và min MN = 2V5
d) Gọi S(xọ, yo) € (C) Phuong trỡnh tiếp tuyến của (C) tai S là: - ~-9(x— 1x, - TH 0 0 nan 0 Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại P và tiệm cận ngang tạ: Q Ta cú: xp = -]; Yq = 1=>xạ=~ 2 [G6 + 1) — (Xe + 1XXo + 3)] + xạ = 2o t 1 ` Do đú: xp + xạ = 2xọ = 2xs Vậy S là trung điểm của PQ 12 Cho ham sộ: f(x) = 5 = st — 4x + 6
a) Giải phương trỡnh f ‘(sinx) = 0 b) Giải phương trỡnh f “(cosx) = 0
c) Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm cú hoành độ là nghệm của
phương trỡnh f “(x) = 0
đả a) Tacộ f(x) = x?-x-4;
Trang 381+ v17
F'(x)=0<ằx”-x~4=0<ằx=z=- 3 - Ta cú |x| >I
Ca hai gid tri nay cua x đều nằm ngoài đoạn [—1; 1] Suy ra phương
trỡnh Ê (sinx) = 0 vụ nghiệm , 1 L) Ta cộ f(x) = 2x - 1, do d6f"(x)=O0<co x= 2 1 T1 Suy ra phương trỡnh f “(cosx) = ệ ộ> CoSx = - cằ>X= † 3 +k2n,ke Z 2 , ` 1 â) Theo cõu b), nghiệm cua phương trỡnh f ”(x) = 0 là x= 5 Ta cú r{2] amelie va (5) = Av 2 4 2 12 Vay phuong trinh tiộp tuyộn can tim cộ dang _- l7 |x- 3] + hayvyv=-l2„„ Hỗ a 2 2 yr 24
BAI TAP TRAC NGHIEM
Trang 3940 1-x Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = a la: (A) 1 (B) 2 (C) 3 ‘D) 0 Trả lời: Tiệm cận đứng: x = -] Tiệm cận ngang: y = —] Chọn (B) Số khoảng đồng biến của hàm số y = - “5 la: (A) 1 (B) 0 (C) 2 (D)) 3 Tra lời: y' = —- = > 0, Vx #-3 (x + 3) x —x -3 +x y' + + y + 2 — ~ Chon (C)
Tiộp tuyộn tại điểm cực tiểu của đụ thị ham sộ y = 5% — 2x? + 3x ~ 5
(A) Song song với đường thẳng x = 1
(B) Song song với trục hoành (C) Cú hệ số gúc dương (D) Cú hệ số gúc bang -1 Trả lời: y' = x” - 4x + 3 y=0ô‹ằ xa] x3
y” = 2x - 4; y(3) = 2 > 0 Ham số đạt cực tiểu tại x = 3
Ta c6 y(3) = 0 Hộ s6 gộc tại A(3; -5) bằng O nộn tiếp tuyến song song với trục hoành
Chọn (B)
Trang 40HÀM SỐ LŨY THỪA,
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Đ1 LŨY THỪA
A KIEN THUC CAN BAN
I KHAINIEM LUY THUA
1 Lũy thừa với số mũ nguyờn
Cho n là một số nguyờn dương
Với a là số thực tựy ý, lũy thừa bậc n của a là tớch của n thừa số a a"- aa a n thừa số Vớiaz0 a° s1 n 1 a n a 2 Căn bậcn