Phần 1 tài liệu Giải bài tập giải tích 12 giới thiệu tới người đọc các kiến thức căn bản, phương pháp giải các bài tập và một số bài tập trắc nghiệm phần: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1NGUYEN VU THANH - TRAN MINH CHIEN
GIAI BAI TAP
Trang 2
Ha NOI
NGUYEN VO THANH - TRAN MINH CHIEN
Gidi bai tap
Gir Tica 12
ge) NHA XUAT BAN Đơn vị liên kết :
Trang 3ca ná¿ đu
Quyển sách GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 này
được biên soạn theo chương trình sách giáo khoa
hiện hành, nhằm giúp các em có tài liệu tham khảo để ôn tập, củng cố kiến thức, đồng thời vận
dung để làm những bài tap có dạng tương tự
hoặc nâng cao đạt kết quả lốị
Quý thầy cô và quý phụ huynh có thể xem
quyển sách này như tài liệu tham khảo thêm
Chúng tôi mong đón nhận ý kiến xây dựng từ quý độc giả
TÁC GIÁ
Trang 4Chuang, I
UNG DUNG DAO HAM DE KHAO SAT
VA VE DO THI CUA HAM SO
§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CUA HAM SO
Ạ KIEN THUC CAN BAN
| TINH DON DIEU CUA HAM SO
1 Định nghĩa: K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng Hàm số y = f(x) xác định trên K Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu: VX\, X; € K, Xị < X; => f(X1) < Í(X¿) Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu: VX\, X¿ € K, Xị < X¿ = Í(Xị) > Í(X;)
2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
a) Néu f'(x) > 0 với moi x thuộc K thi ham sé f(x) đồng biến trên K, b) Nếu f{x) < 0 với:mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K
IỊ QUY TẮC XÉT TÍNH DON BIỆU CỦA HAM SO †1 Tìm tập xác định
2 Tính dao ham f'(x) Tìm các diém x; (i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm
bằng 0 hoặc không xác định
3 Sắp xếp các điểm x; theo thu tu tng dan va lap bảng biến thiên
4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
aby=443x~ x? b)y = iat 43x? Tx —
c) y= x! — 2x? 43 ay =—x? +x? — 5
Trang 56 đài a) Tập xác định: D = R y=8-tý=003- me 0e0x= 2 [y = T7] Bảng biến thiên: x —œ à 2 +9 y + 0 = 25 y “ee ae 4 ~œ Hàm số đồng biến trên khoảng (=š , nghịch biến trên khoảng (3: + “Ì b) Tập xác định: D = R ; x=l (y=- a "=x +6x—-T ý=00 y y cet y= 232) 3 Bang bién thién: x _= -7 1 +2 y + 0 = 0 + 239 17 + y —œ _ ` TP ng — ee Hàm số đồng biến trên các khoảng (-œ; ~7) va (1; +2), nghich biến trên khoảng (—7; 1) c) Tập xác định: D= & 4 3 =0 =8 y’ = 4x3 dx = 4x, y= 0 x= 41 (y= 2) |* Y=)
Trang 70 aE meee er oe avx? — x - 20 Bang bién thién: x | -= -4 5 +0 ý = + y ` +0 0 oe Ham số nghịch biến trên khoảng (—œ; -4), đồng biến trên khoảng (5; +) d) Tập xác định: D = R \ {-8; 3} ,_ 2(x?-9)-2x.2x _ -2(x?+9)
Feo Gag) SORES
Bang bién thién: x _= =3 3 +00 Vy + bỏ Ko y
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (~œ; -3), (-3; 3), (3; +œ)
8 Chứng minh rằng hàm số y = 5 đồng biến trên khoảng (-1; 1); gtd nghịch biến trên các khoảng (~œ; 1) và (1; +2) Gidi Tập xác định: D = R 2 2 2 x=l fy "= x eloee, = eX ey s0e1-# 200 (x? +1} (x? + 1) x=-l (y=-) 1 2 Bảng biến thiên: x —œ =1 1 +0 ý = 0 + 0 = y 0 es a c1 el 0 2 Vay ham số đông biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (—00; -1) va (1; +00)
4 Chứng minh rằng hàm số y = v2x-x” đồng biến trên khoảng (0; 1) va
nghịch biến trên khoảng (1; 2)
Gjidi
y xác định khi và chỉ khi 2x - x” >0 0<x<2
Trang 8Tập xác định: D = |0; 9| »_ _2-2x 2V 2x - Bang bién thién: =x 0 1 2 + 22 oe 22 Vậ y hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2) w 5 Ching minh các bất đẳng thức sau: if a) sanx > x0 << 5) \ 2 b) tanx> x4 % o<x<2| 3 2) Gidi a) Ham sé f(x) = tanx — x liên tục trên nửa khoảng [0; mì và có đạo hàm f (x) = == = >0 với mọi xe (s2) cos” x 2 Do do f(x) déng bién trén (0; 2 Woi0<x< 5 ta có f(x) > f(0) = 0 = tanx > x; Vx € (0; a) 3
b) Ham sé g(x) = tanx ~ x — = lién tuc trén [az] có đạo hàm
gd) = cos*x 1 — 1= X” = tan”x ~ x”= (tanx - x)(tanx + x) > 0, Vx € (0; a
Do đó g đồng biến trên [0; 3 )
` 1 x? 1
Với 0< x< 2 ta c6 g(x) > g(0)= 0 = tanx > x + zivxe (0; 2) c BAI TAP LAM THEM
1 Xét tính đơn điệu của hàm số:
3
4 2 2
x 3 x xo +3x4+3 x
a)y Lis =— +x" - — - 3x; 2 i ad b)y= ly —————; _ NT œy= a
2 Chitng ruinh ham sé y = mm tăng trên từng khoảng xác định x+
với Imọi m
Trang 9(x+ 1) Xét tính đơn điệu của các hàm số: a)y = V4-x? Chứng minh rằng: 8 1 x 1
a) tanx > sinx,0<x< — b)cosx> 1- 3 0<x< 5
§2 CUC TRI CUA HAM SỐ
KIẾN THUC CAN BAN KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có
thể a là —s; b là +) và điểm xạ e (2; b)
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(xo) vdi mọi x e (Xo — Ay Xo + h và
X #Xq thi ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại xọ
b) Nếu tổn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(xạ) với mọi x e (xo — hị xạ + h và x # xọ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại Xọ
ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Định lí 1: Giả sử hàm số y = f() liên tục trên K = (xạ — h; xạ + h) và có đạo
hàm trên K hoặc trên K\{x]}, với h > 0
a) Nếu f (xo) > 0 trên khoảng (xo ~ h; Xo) và †“(x) < 0 trên khoảng (Xo; Xo + h) thì xạ là một điểm cực đại của hàm số f(x)
b) Nếu f“(x) < 0 trên khoảng (xo — h; Xo) và f'(x) > 0 trên khoảng (Xo; Xo +t) thi
Trang 10(Xo— h; xạ + h) với h >0
Khi đó: a) Néu f '(xo) = 0; f (xo) > 0 thì xọ là điểm cực tiểu;
b) Nếu f "(x;) = 0; f (Xo) < 0 thì xọ là điểm cực đạị bj Các quy tắc tìm cực trị Quy tắc I: 1 Tìm tập xác định 2 Tính f(x) Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f(x) không xác định 3 Lập bảng biến thiên 4 Tử bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị Quy tắc II: 1 Tìm tập xác định 2 Tính f '(x) Giải phương trình f '(x) = 0 và kí hiệu x, (¡ = 1, 2 ) là các nghiệm của nó 3 Tính f "(x) và f "(x)
4 Dựa vào dấu của f “(x;) suy ra tính chất cực trị của điểm x¡
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = 9x) + 3x” — 36x — 10; b) y = x! + 2x? - 3; ©)y=x+ a x đ)y =xŸ(1 - x); * e)y= vx’ -x41 Gidt a) Tap x4c dinh: D=R Y= 6x8 + Ox 86, y =0 c [TẾ ty =-64) x=-8 (y=71) Bảng biến thiên: x _œ -3 2 +00 ý + 0 _ 0 + y eet Pe ae +
Trang 11Hàm số có điểm cực tiểu tại x = 0 và ycr = -3 e) Tập xác định: D = § \ I0] slat ô y x [x=-l (y= ~2) Bang bién thién: x _= -1 0 1 + ý + 0 — - 0 + y -2 -e ” Hàm số đạt cực đại tại x = Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yer = 2 d) Tập xác định: D = & y’ = 3x°(1 — x)’ - 2x°(1 - x) = x”(1 — x)(3 ~ 5X) x=l (y=0) 3 108 “20 ae TY =e y=0e lxeg ng x=0 Bảng siến thiên: a 3 x | 5 1 +0 y’ + 0 + 0 0 + y 108 Fe: -Ð _———— 3125 1 0 ——”
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 » Yop = 208 5 3125 Hàm số đạt cực tiểu tai x = 1, yor = 0
e) Vix?—-x+1>0, Vk © R nén tap xdc dinh: D=R ye tty so0ex-l y= 2Jx xẻ) 2 Bang bién thién: 1 - ee 3 + y = 0 + y + v3 +00 2
Hàm số đạt cực tiểu tai x = „ Yer = =
2 Ap dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
Trang 12a) y = xt — 2x? +1; b) y = sin2x — x; = SỈNX + C08X; đ)y =x”— x”- 2x +1, Gidi ely a) Tap xd4e dinh: D =k y’ = 4x - 4x = Ax(x? — 1) x=0 (y=1) tae Sey Re (y =0) y" = 12x? 4
y”(0) = =4 < 0, hàm số đạt cực đại tai x = 0; yep =
#71) =8 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x = +1, yer = 0 b) Tập xác định: D = R ý = 2cos2x - 1; 2 +k2n, keZ " 1 T ý = 0 <> cos2x = 3 <> cos2x = cost <> 2x tkrkeZ y“= -4sin2x * Với xe= a} + km ta có: ye + ka) = ~dsin =-2V3 <0
Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = s +kn,ke Z
* Với x = + kn taco: y"- 8 + km) = ~4sinC 2) = 2/8 >0
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = - : +km,ke Z
e) Tập xác định: D = RB
y’ = C0SX - sinX; ý = 0 ¢ sinx = cosx
= tanx = =tanT cx= 2 + km ke Z
y" = —sinx ~ cosx
*- Với k = 2m (m € 2) ta e6: y"(F + 2mm) = -sin t ~ cost =-⁄2 <0 Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = a + 2mm, m e Z
* Voik = 2m +1 (m © 2) ta có: y( +m + Ln) = sin? + cost =2 >0
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = 7 +(2m+1)t;meZ
Trang 13- d) Tap xdc dinh: D =
y= 6x - 8x°-2;ý=0ox=lex=tl
y" = 20x - 6x
y"(1) = 14 > 0 Do dé ham sé dat cue tiéu tai x = 1
y"(-1) = -14 < 0 Do dé ham sé dat cuc dai tai x = -1
3 Chứng minh hàm số y = vel không có đạo hàm tại x = 0 nhưng van dat
cực tiểu tại điểm đó Guat Tập xde dinh: D = R Dat fix) = JX) =f pa eb: tim £22) oi Yim L = 0 x30" x x0 xX 0 = Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực tiểu tai x = 0 vì f(x) 2 0 = f(0), Vx e R
4 Chứng minh rằng*ới mọi giá trị của tham số m hàm số y = x ~ mx? - 2x41 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểụ
Gidi
Ta có ý = 8x? - 2mx — 2
Á =mÊ+6 >0 Vm c R nên phương trình ý = 0 luôn có hai nghiệm phân
biệt và ý đổi đấu khi qua các nghiệm đó Do đó hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểụ
5 Tim a và b để các cực trị của hàm số y = 3 ax’ + 2ax? — 9x + b déu la
Trang 15Bang bién thién: x =o 2 3 4 + y! + 0 — = 0 + y _ ; ¬¬ CĐ + _ cr ee +00 0 -0 5 Vậy với m = -3 thì hàm số đạt cực đại tại x = 2 Cách 2 Ta có thể sử dụng dấu hiệu II (2) =0 y đạt cực đại tại x = 2 <> y V2) m=-3 y"(2) <0 C BAI TAP LAM THEM 1 Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x + 3x’ - 36x - 10; b)y =x‘ + 2x’ - 3; ©)y = xe”; đìy= 9 Tùy theo a hãy tìm cực trị của hàm số: " * + a) y = x° - 2ax? + ax; by 8 Cho hàm số y = lờ ~ mxẺ + (m” - m + 1)x + 1 Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 4 Định m để hàm số y = 9x” - 3(2m + 1)x? + 6m(m + 1)x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại xị, x2 Chứng minh rằng khi đó x; - xị không phụ thuộc vào m Đáp số: xị = m; xạ = m + 1 2 5 Chứng minh rằng hàm số y = ˆ vớ luôn luôn có một cực đại và muột cực tiểụ §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ _ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ạ KIEN THUC CAN BAN Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) < M
Trang 16Ki hiệu M = maxf(x)
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu
f(x) >m với mọi x thuộc D và tồn tại xạ e D sao cho f(xạ) = Kí hiệu: m = minf() 2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn 1, Tìm các điểm x¡, xạ, ., xạ trên khoảng (a; b), tại đó † (x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định 2 Tính f(a), f(x;), f(X¿), f(Xa), f(b) 3 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có: M = maxf(x), m = minf(x) {a; b} {a:b}
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1 Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = x" ~ 3x” — 9x + 35 trén các đoạn [~4; 4] và [0; 5] b) y = xf - 8x” + 2 trên các đoạn [0; 3] va [2; 5} oye at trén ede doan (2; 4] va [-3; -2] dy = v5-4x trên đoạn [~1; 1] Gidt a) * Xét D =[-4; 4] 2 x=3eD ý = 3x" — 6x - gyno [ee
Ta cd: y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-1) = 40; y(3) = 8
Vay: max y=40; min y=-41 xel-4;4] xel-4;4Ï * Xét Ð = [0; ð] x=3eD y=0œ x=-l¢D
Trang 17leo 2 3 1 ‘ 1 Ta có y(0) = 2; y(3) = 56, fot va miny =-—; ma = 56 oy " » 2 4 2 jal 4 (oar ° * V6i D = [0; 3] thi x =
* V6i D = (2; 5) thix=0;x= +f đều không thuộc D nên: y(2) = 6; y(5) = 559
Vay miny = 6; maxy = 552
[25] 195]
x-2 , 1
ce) y= ser⁄# = Rep >0; Vx 41
* Voi D = (2; 4]: y(2) = 0; y(4) = 2 Vay miny =0; maxy = 2
3” 14 (2:4) 3
ì 5 4 3 5 4 * V6i D = [-3; -2]: y(-3) = —; y(-2) = = Vay m =~; max y=
, L Hoyt 4 yee) 3 sự 1 ai 4 pce 3
@) Deb liy= 5 <0, vee F411 _* y(-1) = 3; y(1) = 1 Vậy min y =1; maxy =3 [-t1I tau) 2 Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 em, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất Gidi Gọi x là một cạnh của hình chữ nhật (x > 0) Cạnh còn lại là 8 ~ x (0 <x < 8) Khi đó diện tích hình chữ nhật là: S=x(8 - x)= 8x~x’=>S' =8-2x;S'=O0c>x=4 Bang bién thién: x 0 4 8 sG * 0 S =—= Yj Max§ = 8(4) = 16 © x = 4
Vậy khi hình chữ nhật là hình vuông thì diện tích lớn nhất
Trang 18ps0ox=48x=43 Bang bién thién: x 0 43 Pp = 0 + ‘ ee p đạt giá trị nhỏ nhất «› x = 4 v3, minp = 163 Vậy khi hình chữ nhật trở thành hình vuông thì chu vi nhỏ nhất 4 Tính giá trị lớn nhất của các hàm số: b) y = 4x) - 3X, a)y= 2 1l+x Gidt a) Tap xac dinh: D=R ye Trai =0 xe 0y =4) Bảng biến thiên: x _®= 0` + bà + 0 = y 4 wwe totes 0 Vay maxy = 4 b) Tập xác định: D = R y! = 12x? ~ 12x) = 12x (1 - x) Pade x=0 (y=0) = > y x=1 (y=D Bang bién thién: x ~œ 0 1 +œ y + 0 + 0 = y ean I ~œ = Vay maxy = 1
5 Tinh giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)y = Ixl; b)y=x+ 5 (x>0)
Gidi
a) Tap xác định: D = R
Ta có |x| > 0 với Vx e R, dấu bằng xảy ra khi x = 0 Vay miny = 0
Trang 19b) Xét D = (0; +>) i 4 yel-3= Bang bién thién: x 0 2 +? We ° es nh ” Vậy miny =4 \\ 1 = + C BÀI TẬP LÀM THÊM 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = 2x + Võ - x? Đáp số: miny = —2 V5 , maxy = 5 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = log”x + = — log”x + 2
Hướng dẫn: Đặt t = log”x (t > 0) Tim miny trén [0; +2)
3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau đây trong đoạn đã chỉ ra: a) y = 2x” + 3x? ~ 12x + 1 trong [-1; 5] b)y = v5-4x trong [-2; 0] 4 Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng 16 em
5 Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp hình tròn bán kính R
thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất và có diện tích lớn nhất
6 Trong các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R, xác định hình nón có
thể tích lớn nhất
§4 ĐƯỜNG TIỆM CAN
Ạ KIẾN THỨC CĂN BẢN
| ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
Đường thẳng y = yọ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
im Íx)=yg hoặc vn fX)=Yo
IỊ ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
Đường thẳng x = xo là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
Trang 20lim f(x) = + hoặc lim f(x) = -z hoặc
x sổ xo
lim f(x) =-% hoặc lim f(x) = +x
xổ x0
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1 Tìm các tiệm cận của dé thi hàm số đơn công 2-x lầy CS; x+1 c)y= : dy= 7-1 x Gidi
a) Vi lim " x 7102 —X = ~1 nên đường thẳng y = —1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C)
lim —— = 40; lim -Š— = ~ nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận xỏ 2—X xez!'2—X đứng của (C) b) lim —X4* = -1 nen y = -1 là tiệm cận ngang xote X+ lim mid = +0; li Set = = nên x = -1 là tiệm cận đứng M1 ¬ X +1 2x-5 2 2
c) lim =—— = = nény= = là tiệm cận ngan TT -
Trang 21x’+x41 b) y= (1+ x)(3 - 5x) lim y =-œ; lim y = +œ nên x = -1 là tiệm cận đứng xo roel lim y=+0; lim y =-œnênx= 3 là tiệm cận đứng (3) 5 x3) 5) s Toye pox lim y = =-= nén y=-— 1a tiém cận ngang x0 5 5 c) lim y =-s, lim y = +s nên x=-1 là tiệm cận đứng xo(-<U” x4(-)*
d) lim y = +œ nên x = 1 là tiệm cận đứng
lim y = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang
Xb :
c BAI TAP LAM THEM
1 Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: 3x-2 5-2x 3 5 asả PP! ge aa 2 Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: dys 2x? =3x~1, 3x”+1 ays 2-x ; 4-3x+4x
§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VE DO THI CUA HAM SỐ Ạ KIEN THỨC CĂN BẢN
Ị SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1 Tìm tập xác định của hàm số
2 Xét chiều biến thiên của hàm số
a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
Trang 22xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên va tim cực trị của hàm số (nếu có), điển các kết quả vào bảng
3 Vẽ đồ thị của hàm số
Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
_ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của
đồ thị với các trục tọa độ (Trong trưởng hợp đồ thị không cắt các trục toa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần nay) IỊ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA y = ax’ + bx? + cx +d (a #0) a>0 a<0 y ¥ Phuong trinh y =0
có hai nghiệm AGO:
Trang 23Phuong trinh ý=0 có một oO x Oo x nghiém WV ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = 2%*® (e +0, ad cx+d — be z 0) D = ad —be>0 D=ad- be<0 M y O} 0 x x
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Cho phương trình fx, m) = 0 (1) (m là tham số) Đưa (1) về dạng: fx) =m (2)
- 5 dé thi (C)
Xét đu ham so (Cc); {¥1 = f00 có đổ thi (C y„ạ =m có đồ thị d
d là đường thẳng song song trục tung tại tung độ y = m
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (e) và d
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Trang 24lim y =+x; lim y =—x» xe xe Bảng biến thiên va dé thi x —% =1 1 + v z 0 + 0 | "=——, —— b) Tập xác định: D = R ý = 3x? + 8x + 4; x == Be — y=0œ a 27 x=-9 (y=0) lim y =+z;¿ lim y =-—= — xe Bảng biến thiên và đồ thị Ñ —œ% =2 y’ + 0 = 0 + y _ 0 +90 a Os 32 ee 27 c) Tap xác định: D y y= 3x? + 2x+9>0, Vee R
Hàm số luôn đồng biến và không có cực trị
lim y =+=, lim y = —, đồ thị hàm số không có tiệm cận 0 x
xeytee xe» cơn Bảng biến thiên và đồ thị x _ +00 y + y "1 uaa šãã — +0 đ) Tập xác định: D = # ý = -6x” <0, Vx e Ẹ Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định và không có cực trị
Trang 26d) Tap xác định: D = # y! = 4x - 4x? = -4x(1 + x?) ý=0e>x=0(y =3) lim y =-2 xe»tsr Bảng biến thiên và đỗ thị x _œ 0 +20 (6A oe TT Hi HiUng y peo “Se 3 Đô thị cắt trục Ox tại x = +1 8 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức: a)y= xrã b)y= L~2x ey= rete x-1 2x-4 2x+1 Gidt a) Tập xác định: D = 3 \ 1] y= ze <0,Vx#l lim y =-z; lim y = + nên x = 1 là tiệm cận đứng xo x¬1t lim y = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang x-x‡tm y
Điểm dac biét: x = 0 > y = -3
Bang bién thién va dé thi x = 1 +20 y: = = 1 1 y >> mm ot - b) Tập xác định: D = R \ {2} 3 "= — >0, Vx #2 y* 3a 7 lim y =-«;, lim y = + nên x = 2 là tiệm cận đứng xỏ x2 lim y= -1 nên y = -1 là tiệm cận ngang bs x30 2 3 1
Diém dac biét: x =O > y = “7
Trang 28lim y ==z, lim y = +0 Bang bién thién va dé thi: x _® 0 1 _ | — 0 + 0 y | +0 fy 2 a Dé thi (C) ham s6 y = -2x” + 3x” - 2 cắt trục Ox tại một điểm nên phương trình 9 =0 có nghiệm duy nhất -9xŸ + 3x” c) Xét hàm số y = —x' + 2x” +3 %œ TXD: D=® yl = 4x" + 4x = -4x(Ÿ — 1) x=0 = 0) : MD SY pc In = : lim y = —x xvi Bang bién thién va dé thi x —% -1 0 1 +0 y" ° ee i
Đường thẳng y = -1 cắt đỗ thị (C) hàm số y = -x' + 2XẺ tại hai điểm phân biệt nên phương trình -xỶ + 2x” = -1 có hai nghiệm phân biệt
5 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị (C) của hàm số y = -xŸ + 3x + 1
Trang 2930 b) Taco x* - 8x+-m=00-x'+ 38x+1=m+41 Cho hàm số y = Từ đồ th ta cú: đ m+1<-1lhocm+ 1>3ô>m <-2 hoặc m > 2 Phương trình có một nghiệm ` ® m+1=-l hoặc m + 1= 3cm = ~2 hoặc m = 2 Phương trình có hai nghiệm © =l1<m+1<83ôâ>-2<m <2: phng trỡnh cú ba nghiệm mx~1 2x+m
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng
biến trên mỗi khoảng xác định của nó
b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị qua Ă-1; v2) e) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 Gidi a) TXD: D = R \ t3] "= ee >0, Vm ¢ Rvavxe-™ Ÿ Øxrmj : 2
Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
bì Tacó lim y=-; lim y =+= c) mì m Cy
Suy ra x = me là tiệm cận đứng của đồ thị
Trang 30- 1 lo
7 Cho ham sé y = =x'+ yea 2 =x? +m
a) Với giá trị nào của tham số m, đỏ thị của hàm số đi qua điểm (~1; 1}? ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng fs Gjidi Ậ x seege we rà nh? Phí 1 1 1 ) Đồ thị hàm số đi qua điểm (~1; 1) khi và chỉ khi 1 = aes +mom= Ỹ ge # 1a, da b) Với m = 1 ta có y = a + z* +1 TXD:D=& yex+xaxx’ +l: y =0ox=0ly=D lim y = +2 xakm Bảng biến thiên và đồ thị —% 0 +0 - 0 + +00 +0 Oe eee ©\ Ta có 1xt+ 1x +1= oxteoxt-3200K821ox=tl 4 2 4 Voi x= 1tac6 y= 1: AQ; 2 ae 7 7 Với x = —1 ta cóy = —:B(-1; —) 4 4 Ta có y(1) = 2; y(-1) = -2
Trang 31£
b) (Ca) cắt trục hoành tại x = -2 ~-8 + 4(m +3) + 1=0c<+m= a 9 Cho ham sé y = (mi Ux 2m x (m là tham số) có đồ thị là G
a) Xác định m để đường cong (G) di qua điểm (0; ~1)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị của hàm số với m tìm được
©) Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung Gidi @ ~-2m +1 a) (G) di qua (0; -1) > -1 = - ©em=0 b) Với m= 0 ta có y= XÈ1 x-1 TXD: D=R \ {1} "= <0, vxal y E by < x
Tiệm cận đứng: x = 1; tiệm cận ngang y = 1 y
Bang bién thién va dé thi x _= 1 + uw = = ỳ y 1 +0 Se seg e) Giao điểm của (G) với trục tung là M(0; -1) =0 w= Gayo Phương trình tiếp tuyến tại M là y + 1 = —2x hay y = -2x ~ 1 C BÀI TẬP LÀM THÊM 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: x! 2 x+2 2-x ye ths ys cng Oye Fe 2 Cho hàm số y = x” ~ (m + 4)x” ~ 4x + m (1)
a) Chứng minh rằng với mọi m, dé thị hàm số (1) luôn có cực trị b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của (1) khi m = 0
Trang 32c) Viét phuong trình tiếp tuyến của (Cz) song song với đường thẳng y=24x- 5 2x+1 x+1 4 Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị hàm số
b) Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất Đáp số: MỊ(0; 1), M¿(~<2; 3) 5 Tim ham sé y = axe biét: ex+d - đồ thị có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = ; Auge ons " - ~ đồ thị đi qua điểm A (o “5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm x41 Đáp số: y= ——— PY KD ON TAP CHUONG I
5 Cho ham sé y = 2x” + 2mx + m ~ 1 có đổ thị là (C„), m là tham số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 b) Xác định m để hàm số: ¡) Đồng biến trên khoảng (~1; +=)
ii) Có cực trị trên khoảng (~1; +œ)
Trang 33Đồ thị đi qua O(0; 0), Ẵ1; 0) b) Tacó ý= 4x+ 2m m y=0œ<x=-— Bảng biến thiên m x —œ a +» v = 0 + y $000 to
i) Ham sé déng bién trén khoang (-1, +0) khi và chỉ khi — <-lom22
ii) Hàm số có cực trị trén khodng (-1; +«) khi va chi khi ~1 < — = om<2 c) Phuong trinh hoanh 46 giao diém ciia (C,,) véi true hoanh
2x? + 2mx +m-1=0
Ta có: Á=m°-2m+2=(m-1”+1>0,VmeR
Vay (Cm) luén cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt
Trang 347 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = xỶ + 3x” + 1
b) Dựa vào để thị của (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: "+32 + 1= TT, 2 e) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) Gidi a) TXD:D=R ý = 8x? + 6x = 3x(x + 2) =0 (y= ý=0 x yell x=-2 (y =5) lim y =~; lim y = +0 Xe xe»te Bảng biến thiên và đỗ thị x _= -3 0 rỷ + 9 = 0 + yf ee b) Số nghiệm của phương trình xŸ + 3x” + 1 = a là số giao điểm của đô |5 thị (C) và đường thẳng (d) có phương trình y= — Dựa vào đồ thị ta có:
i) 5 < 1 hoặc = > 5 <> m < 2 hoặc m > 10: phương trình có 1 nghiệm ii) > = 1 hoặc = = 5 <= m = 2 hoac m = 10: phương trình có 2 nghiệm
iii) 1 < <5 <2<m< 10: phương trình có 3 nghiệm
e) Điểm cực đại Ă-2; 5), điểm cực tiểu B(0; 1) Đường thẳng qua A, B có
phương trình l:
âđy=-2x+ 1
8 Cho ham sé: f(x) = x° ~ 3mx? + 3(2m — 1)x + 1 với m là tham số a) Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định
b) Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu
e©) Xác định m sao cho f "(x) > 6x
Trang 35Gidi a) TXD: D=R y’ = 3x” - 6mx + 3(2m - 1) = 3(x” - 2mx + 2m - 1) Hàm số đồng biến trên R © ý >0, Vx e R la=1>0 2 2 © m- 2m +1<0€©(m- 1ƒ <0<»me= l1 Á<0
b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi ý = 0 có hai
nghiệm phân biệt œ Á = (m - 1Ỷ>0 cm z1
e) Ta có f (x) = 3x” ~ 6mx + 3(2m ~ 1)
f"(x) = 6x — 6m
f "(x) > 6x @ 6x —- 6m > 6k om <0
9 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị (C) của hàm số fx) = ix! - 8x +
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị (C) tại điểm có hoành độ là
nghiệm của phương trình f (x) = 0 e) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x' - 6x” + 3 = m Gidi a) TXĐ: D= ý= 2x’ ~ 6x = 2x(x? ~ 3) 3 x=0 (f(0)= =) 6200 2 x = ¢V3 (f(+V3) = -3) Bang bién thién va dé thi x | -0 ~-Vv3 0 v3 y’ = 0 + 0 - 0 + y +00 —_S _a 2 ni KH 3 ga +® b) Ta có f "(x) = 6x” - 6; f"(x) = 0 > x = 41 f(41) = -1,f (-1) = 4, f'() = =4
Trang 36Từ đó ta có: < =3 © m< -6: phương trình vơ nghiệm © |B w|5 = -3 <> m = ~6: phuong trinh cé 2 nghiém 3< < 3 « -6 <m < ä: phương trình có 4 nghiệm 5 wie wie [3 < m = 3: phuong trinh cé 3 nghiém 2>; €° m>3: phương trình có 2 nghiệm 10 Cho hàm số: y = —x” + 2mx” ~ 2m + 1 (m là tham số) có đổ thị là (C a) Biện luận theo m số điểm cực trị của hàm số
b) Với giá trị nào của m thì (C„) cắt trục hoành? m): ©) Xác định m để (C„) có cực đại, cực tiểu Gidi a) Ta có ý = —4x° + 4mx = —4x(x? — m) m <0: Hàm số có một cực đại (tại x = 0); m >0: Hàm số có hai cực dai (tai x = + m ) và một cực tiểu (tại x = 0) x _œ© -Jm 0 vm +00 y + 0 = 0 + 0 = y _— CĐ mm , ope CD Tm— Ố
b) Phương trình -x' + 2mx? - 2m + 1 = 0 luôn có nghiệm x = +1 với Vm
nên (C„) luôn cắt trục hoành,
e) Ta có ý = -4x(x” - m)
(Cm) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi m > 0
11 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của hàm số: y= SẺ,
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N
©) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất
đ) Tiếp tuyến tại một điểm § bất kì của (C) cắt hai đường tiệm cận của
Trang 37lim y =+s, lim y =-% nên x= ~1 là tiệm cận đứng xo-l* xa+-E y lim y = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang x-x+e Bảng biến thiên 3 x _—œ =1 +0 NO ý t6 _ y= 1 y | 1 —~, co +00 mm 1 0 š b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 7 X+3 Loxa4m * x+1 2x? + (m+ 1x +m-3=0(1)(x#-1) Ta có A = (m + 1)? - 8(m — 3) = m? - 6m + 25 = (m - 3)’ + 16 > 0, Vm Vậy d luôn cắt (C) tại hai điểm M và N có hoành độ xị, x; thỏa: TT 2 noe 2 e) Ta có: MN? = (xp — xy)" + (yz — ya)? = (X; ~ x1)? + (2x, + m ~ 2x, - m)? š = B(x; — XU Ế = BÍ(ị + Xe” = 4XyX¿] = :Í°¿ °) (m ~ 3) 2 Š tmẺ ~ ôm + 28) = Z lm = 8) + 16] > 20
Đẳng thức xảy ra khi m = 3 va min MN = 25
d) Gọi SŒọ, yo) e (C) Phương trình tiếp tuyến của (©) tại 8 là:
-2 (0%) + xẹ+3 _ -2(X-Xụ)+(Xụ + 1(Xạ + 3)
(x, +1) ® Xp +1 (x, +1)”
y=
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại P va tiệm cận ngang tại Q
Ta c6: xp = ~1; yạ = 1 =xe=—2 [bo + 1)? = (% + 1)(Xo + 3)] + Xo = 2Xọ + 1
Do dé: xp + Xq = 2% = 2xs Vay S là trung điểm cia PQ
12 Cho ham sé: f(x) = 3 - se ~ 4x +6 a) Gidi phuong'trinh f '(sinx) = 0
b) Giải phương trình f “(cosx) = 0
cœ) Viết phương trình tiếp tuyến tai điểm có hoành độ là nghiệm của
phương trình f “(x) = 0
Giidt
Trang 38f%)=0<sx”-x-4=0@Ằxe= 1# V17
2 - Ta có Ìx| >1
Cả hai giá trị này của x đều nằm ngoài đoạn [-1; 1] Suy ra phương
trình f (sinx) = 0 vô nghiệm b) Ta có f“(x) = 2x — 1, do đó f "(x) = 0 œ x= Suy ra phuong trinh f "(cosx) = 0 <> cosx = ©œx=# Nie wie + k2n, ke Z iH lA c) Theo cau b), nghiém cia phuong trinh f "(x) = 0 1a x = Tacof' 5) et v2) = 2 4 2 12 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng =e 1Ì „ # hayy tty 4 Hỗ + ga SƯ ST ET BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trang 393 Số đường tiệm cận của đỏ thị hàm số y = = la: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0 Trả lời: Tiệm cận đứng: x = —1 Tiệm cận ngang: y = -1 Chon (B) 4 Số khoảng đồng biến của hàm số y = a8 la: (A) 1 (B) 0 — (0.8 (D) 8 Trẻ lời: ý = is z > 0, Vx¥-3 (x + 8) x ~œ -3 + ' + + + 2 sư ni ye Chon (C)
5 Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đổ thị hàm số y = ; x? — 2x? + 8x - £
(A) Song song với đường thẳng x = 1
(B) Song song với trục hoành (C) Có hệ số góc dương (D) Có hệ số góc bằng -1 Trả lời: ý =x’ - 4x +3 y6 x=l x=3
y” = 2x — 4; y"(3) = 2 > 0 Ham sé dat cực tiểu tại x = 3
Ta có y(3) = 0 Hệ số góc tại Ă3; -5) bằng 0 nên tiếp tuyến song sorg Với trục hoành
Chọn (B)
Trang 40Chuang UI HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT §1 LŨY THỪA
Ạ KIEN THUC CAN BAN
Ị KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1 Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương
Với a là số thực tùy ý, lũy thửa bậc n của a là tích của n thừa số a á= aạ a oe 8 | n thừa số Vớiaz0 ae1, we“ a"=— a 2 Căn bậc n
a) Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n > 2 Số a được gọi là
cần bậc n của số b nếu a” = b b) Tính chất Ya Ya % = 9 Ya _ fạVb = Yab : Wb 7 Vb ma gen _ [2 khin lẻ (%) = Va : 2 -ñ khi n chẵn
3 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a dương và số hữu tỉ r = Tả trong đó m eZ„nÑ,n>2
Lũy thừa của a với số mũ r là số á xác định bởi