Tổng hợp các bài toán về dãy số, giới hạn trong đề thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố năm học 2011-2012 và một số vấn đề liên quan

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN TRONG ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2011 – 2012 VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN (Lê Phúc Lữ - tổng hợp giới thiệu) A – ĐỀ BÀI Bài (Quảng Bình, vịng 1) Cho dãy số un  xác định sau u1  1, un1   un2011 , n  1, 2, 3, un  u 2011 u 2011 u 2011  Tính lim     n   u2 u3 un1  Bài (Vĩnh Long, vòng 1) u1  Cho dãy số un  xác định  un1  un2  un  4 , n  1, 2, 3,  a) Chứng minh un  dãy tăng không bị chặn n , n  1, 2,3, Tính lim n  k 1 u k  b) Đặt   Bài (Chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre) Tìm số hạng tổng quát dãy un  thỏa mãn: u1  u2   un 1.un  un  2u  u  n 1 n Bài (Bình Định, vịng 1) u    Cho dãy số un  xác định  un1   un2   un  3       n , n  1, 2, 3, Tìm lim k 1 u k  Đặt   Bài (Bình Dương, vịng 2) 1 a   , n  a  0, x1  Cho dãy số  xn  xác định sau xn   xn1   xn1  Chứng minh dãy cho có giới hạn tìm giới hạn dãy Bài (Chọn đội tuyển THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) x  a Cho hai số thực a b Xét dãy số  xn  xác định công thức   xn1   b xn ; n   Tìm điều kiện a, b để  xn  có giới hạn Tính giới hạn Bài (Hà Nam, vịng 2) xn Cho dãy số thực (xn) thỏa mãn: x1  , xn1  với n nguyên dương xn  a Chứng minh dãy số có giới hạn tính giới hạn b Tìm số hạng tổng quát dãy số Bài (Hà Nội, vòng 1) Cho dãy số un  xác định bởi: u1 = un1  un  n với n  Tìm lim n  un un1 Cho dãy số vn  xác định bởi: v1  2015 vn1  vn2  với n 1, 2, 3, vn21  2011 n  v v v 2 n Chứng minh lim Bài (Long An, vòng 2) u1   Cho dãy số xác định  3u  un1  n , n  1, 2, 3, un   Đặt xn  u2 n1 , yn  u2 n a) Chứng minh dãy  xn  ,  yn  có giới hạn hữu hạn b) Chứng minh un  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài 10 (Phú Thọ, vòng 1) Cho dãy số u1  4, un1  un    2un , n  1, 2, 3,   Tìm công thức số hạng tổng quát dãy số Bài 11 (Nam Định, vòng 1) Xét dãy số un  thỏa mãn u1  1, un1  un (un 1)  2, n  n Chứng minh An  uk2  1 1 số phương với n k 1 Bài 12 (Cần Thơ, vòng 2) Cho dãy số  xn  xác định bởi: Chứng minh dãy số  xn   x1  a   2011 2  xn1  ln  xn  2011   2011 có giới hạn Bài 13 (Quảng Ninh, vịng 2)  Cho dãy  xn  xác định x0  a với a  1; xn1    2 xn , n  0,1, 2, Chứng minh dãy có giới hạn tìm giới hạn Bài 14 (Vĩnh Phúc, vịng 1) Giả sử a số thực dương thỏa  a  Lập dãy (an ) sau a1  a, an 1  a an , n  Chứng minh dãy có giới hạn hữu han n tiến tới vô cực Bài 15 (Nam Định, vịng 2) Với số thực x kí hiệu  x  số nguyên lớn không vượt x  x  x  x  Cho un  (45  2012 ) n Chứng minh dãy un  có giới hạn tìm giới hạn   Bài 16 (Đà Nẵng, vòng 2) xn3  xn Cho dãy số thực  xn  thỏa mãn điều kiện xn1  với n  * xn  a) Tìm cơng thức tính xn theo x1 n b) Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn Bài 17 (Hưng Yên, vòng 1)  x1  a  Cho dãy số xác định công thức   xn1  xn  xn , n   n2 1  xn  n a  n(n  1) Bài 18 (Quảng Bình, vịng 2) Chứng minh Cho hai dãy số dương un  , vn  xác định công thức  u  v     un , vn1  , n  1, 2, 3, un1  4vn 1 1 1 4un21  2 a Tính u2011  v2011 b Tính lim un , lim Bài 19 (Vĩnh Phúc, vòng 2) n Cho dãy số dương (an ) thỏa mãn: ak  2ak 1  ak 2  0,  a j  1, k  j 1 Chứng minh  ak  ak 1  , k  k2 Bài 20 (Vĩnh Long, vịng 2) Xét phương trình x n  x  x  1, n  , n  a Chứng minh với số tự nhiên n  phương trình có nghiệm dương Gọi nghiệm xn b Chứng minh lim xn  n  Bài 21 (Bến Tre, vịng 1) Cho phương trình x n  3x   n số tự nhiên lớn 1 Chứng minh ứng với n, phương trình có nghiệm xn   0;1 Gọi  xn  với n  2, 3, 4, dãy số có theo cách xác định Chứng minh dãy số đơn điệu bị chặn Bài 22 (TP HCM, vòng 2) Cho dãy un  xác định công thức  u1    un4 un1  n  *  un  8un  Tìm công thức tổng quát dãy un  Bài 23 (Tiền Giang, vòng 2) Cho dãy số un  xác định u0  0, un1   2un2  4un  un , n  1, 2, 3, Chứng minh dãy un  có giới hạn tìm giới hạn Bài 24 (Chọn đội tuyển Phổ thông khiếu TP HCM) Cho dãy un  thỏa mãn điều kiện u1  un1  un2  un với n nguyên dương 5un21  2un2un1  5unun1 n  3un2  unun 1 (4  un2 ) Tính giới hạn sau lim Bài 25 (Hà Tĩnh, vòng 2) Dãy số  xn  với n  1, 2, 3, bị chặn thỏa mãn điều kiện: xn  xn 1  xn với n  1, 2, 3, 4 Chứng minh dãy số có giới hạn Bài 26 (Ninh Bình, vịng 2) n Chứng minh dãy un  xác định công thức un    ln n có giới hạn hữu hạn k 1 k Bài 27 (Hà Nội, vòng 2) Cho dãy số nguyên dương U n  thoả mãn U1  1, U  2, U  với n  U n1U n1  U n2  a với a  1) Xác định số hạng tổng quát dãy số 2) Tìm số tự nhiên n khơng vượt q 2012 cho U n chia hết cho 10 Bài 28 (KHTN, vòng 3) Cho dãy số dương an  thỏa mãn a1  1, a2  , an2  an21  an , n  1, 2, 3, 4 Chứng minh an hội tụ tìm giới hạn Bài 29 (Chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội) Cho dãy số an  , n 1 thỏa mãn: a1  1, an  2n  an1 , n  dãy bn  thỏa mãn 2n n bn   , n  Chứng minh dãy bn  có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn i 1 Bài 30 (Đại học KHTN Hà Nội, vòng 1) a1  6, a2  14 Cho dãy số an  xác định sau  n an  6an 1  an  24.(1) , n  1, 2,3, n Tính giới hạn lim n  a k 1 k B – LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT Bài (Quảng Bình, vòng 1) Cho dãy số un  xác định sau u1  1, un1   un2011 , n  1, 2, 3, un  u 2011 u 2011 u 2011  Tính lim     n   u2 u3 un1  Lời giải Từ công thức xác định dãy, ta có u 2011 u 2011 1 1   n  n   , n  1, 2, 3, un un1 un1 un1 un un1 n n  u12011 u22011 un2011 uk2011 1  1    Do         u2 u3 un 1  uk uk 1  u1 un 1 k 1 uk 1 k 1  Dễ thấy un  0, n nên ta có: un1  un  un2012  un hay dãy cho tăng thực Giả sử dãy khơng có chặn có giới hạn, đặt  , rõ ràng   Chuyển công thức tổng quát dãy giới hạn, ta có      2012    , mâu thuẫn Suy dãy cho không bị chặn hay lim un    u 2011 u 2011 1  u 2011  Từ đó, ta lim     n   lim      u2 u3 un1  1 un  Nhận xét Bài toán thuộc dạng quen thuộc với ý tưởng rút gọn tổng dạng sai phân để đưa giới hạn cần tính giới hạn dãy ban đầu Đề thuận lợi cơng thức sai phân thể rõ, cần lập luận cẩn thận, đầy đủ bước giải trọn vẹn Bài (Vĩnh Long, vòng 1) u1   Cho dãy số un  xác định  un1  un2  un  4 , n  1, 2, 3,  a) Chứng minh un  dãy tăng không bị chặn n , n  1, 2,3, Tính lim n  k 1 u k  b) Đặt   Lời giải a) Dễ thấy với n  số hạng dãy dương 1 un  un  4  un  un2  4un  4  un  2  nên dãy cho không  5 giảm Hơn nữa, từ u1   nên un  2, n Từ un1  un   un1  un , n hay dãy Ta có un1  un  cho đơn điệu tăng Giả sử dãy bị chặn phải có giới hạn, đặt   Chuyển công thức dãy qua giới hạn, ta        4    , mâu thuẫn Từ suy dãy khơng bị chặn Ta có đpcm b) Giả sử ta có cơng thức  uk 1  uk 1     a   a  uk  b uk 1  b  uk  uk  uk  b uk 1  b Quy đồng biến đổi, ta (3a  b)un 1  (a 1)un1un  aun2  (3a  b)un  b Để tương ứng với công thức quan hệ xây dựng dãy, ta chọn a  quan hệ đơn giản (3  b)un1  un2  (3  b)un  b , chọn tiếp b  2 cơng thức cho Như thế, ta có n u k 1 1   , k Suy uk  uk  uk 1  n  1  1         1  uk  uk 1   u1  un 1  un 1  k 1  k 3  1    Vậy giới hạn cần tìm  lim 1  un1   k 1 uk  n Do lim un   nên lim  Nhận xét Trong toán này, ta dùng phương pháp hệ số bất định để thử tìm quan hệ có dạng sai phân biểu thức liên quan nhằm rút tổng cần tính để tìm giới hạn Bài (Chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre) Tìm số hạng tổng quát dãy un  thỏa mãn: u1  u2   un 1.un  u  n   2un1  un  Lời giải Bài đổi điều kiện số hạng đầu để không rơi vào trường hợp đặc biệt Ta xét toán tổng quát là: Tìm số hạng tổng quát dãy số un  thỏa mãn: u1  a, u2  b, 2a  b   un 1un  un  2u  u , n  1, 2,3,  n 1 n Từ công thức xác định dãy, ta có 2u  u 1  n1 n   Đặt yn  , n  1, 2, 3, un1 un 1un un un1 un Ta có yn1  yn  yn 1 , n Xét phương trình đặc trưng t   t  t  t    t   t  2 Cơng thức tổng qt dãy có dạng: yn  r  (2)n  s, n  1, 2,3, a b   2r  s  a r  6ab So sánh với hai số hạng đầu dãy, ta có:    4r  s   s  a  2b   b 3ab Từ thay vào suy công thức tổng quát dãy ban đầu xn  a b a  2b (2)n  6ab 3ab  6ab , n (a  b)(2) n  2(a  2b) Trong toán ban đầu, thay a  b  , ta có cơng thức tổng quát dãy xn  1, n Nhận xét Trong tốn trên, ta khơng nhắc đến điều kiện a, b để dãy xác định với n Điều kiện xn 1  xn  0, n hay 12ab 6ab   0, n n 1 (a  b)(2)  2(a  2b) (a  b)(2) n  2(a  2b) n Ngồi điều kiện ab  suy từ đó, ta cịn cần có (a  b)  2   2(a  2b)  0, n 2(a  b)(2) n  4( a  2b)  ( a  b)( 2) n 1  2( a  2b)  4a( 2) n  a  4b  Đây hai điều kiện số hạng đầu để dãy cho xác định Ngồi ra, cịn tốn có giả thiết tương tự yêu cầu khác: Cho dãy số  xn  thỏa mãn xn2  xn xn1 , n  * Tìm điều kiện x1 , x2 để dãy số có xn  xn1 vô hạn số nguyên Lời giải Đặt x1  a, x2  b, ab  Trước hết, dãy cho phải có tất số hạng khác Ta có  xn2 xn 1  1 , n  *  yn 2  yn1  yn , n  * với yn  , n  xn xn Phương trình đặc trưng dãy có nghiệm kép t  nên cơng thức tổng qt có dạng 1 yn  rn  s với r , s xác định theo y1  , y2  a b  r  s  1 a Ta có:   r   ,s    b a a b 2r  s  b   a  b  2b  a ab Do yn   n  xn   ab  ab (a  b)n  (2a  a ) Ta thấy a, b nhận giá trị không đổi muốn dãy cho có vơ số số ngun cần phải (a  b)n  (2b  a ) ab với vơ số n Dễ thấy cần có hệ số trước n phải a  b Khi xn  a nguyên khác Thử lại thấy thỏa Vậy điều kiện để dãy có vơ số số nguyên a  b   \{0} Bài (Bình Định, vịng 1) u    Cho dãy số un  xác định  un1   un2   un  3       n , n  1, 2, 3, Tìm lim k 1 u k  Đặt   10 ... Chứng minh dãy số có giới hạn tính giới hạn b Tìm số hạng tổng quát dãy số Bài (Hà Nội, vòng 1) Cho dãy số un  xác định bởi: u1 = un1  un  n với n  Tìm lim n  un un1 Cho dãy số vn ... có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài 10 (Phú Thọ, vòng 1) Cho dãy số u1  4, un1  un    2un , n  1, 2, 3,   Tìm công thức số hạng tổng quát dãy số Bài 11 (Nam Định, vòng 1) Xét dãy số. .. Vậy giới hạn dãy cho a không phụ thuộc vào giá trị x1 Nhận xét Bài giải cách sử dụng hàm số f (t ) liên hệ số hạng xn , xn1 dùng định lí Lagrange Tuy nhiên, cách cần xem xét số trường hợp đòi