Bài giảng toán học tổ hợp và cấu trúc rời rạc chương 1 lê văn luyện

TOÁN HỌC TỔ HỢP VÀ CẤU TRÚC RỜI RẠC Chương TỔ HỢP CƠ BẢN lvluyen@hcmus.edu.vn http://luyen.pe.hu/cautrucroirac FB: fb.com/cautrucroirac Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 1/40 Nội dung Chương TỔ HỢP CƠ BẢN Nguyên lý đếm Tổ hợp Tổ hợp lặp Khai triển lũy thừa đa thức ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 2/40 1.1 Các nguyên lý đếm Nguyên lý cộng Nguyên lý nhân Nguyên lý Derichlet ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 3/40 1.1.1 Nguyên lý cộng Giả sử ta phải thực công việc cách chọn k chọn lựa phương pháp khác T1 , T2 , , Tk Để thực Ti (1 ≤ i ≤ k) ta có ni cách Vậy ta số cách thực công việc n1 + n2 + · · · + nk Ví dụ Một sinh viên chọn đề tài từ danh sách đề tài Số đề tài danh sách đề tài 23, 15, 19 Hỏi sinh viên có cách chọn đề tài? Đáp án 23 + 15 + 19 = 57 cách Nhận xét Quy tắc cộng phát biểu dạng ngôn ngữ tập hợp: Nếu A1 , A2 , , Ak tập hợp đơi rời nhau, ng.com |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = |A1 | + |A2 | + + |Ak | https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 4/40 1.1.2 Nguyên lý nhân Giả sử thủ tục bao gồm k công việc T1 , T2 , , Tk Nếu cơng việc T1 thực theo n1 cách, sau chọn cách thực cho T1 ta có n2 cách thực T2 , v.v cuối cùng, sau chọn cách thực công việc T1 , T2 , , Tk−1 ta có nk cách thực Tk Vậy ta có cách để thực thủ tục là: n1 × n2 × × nk Ví dụ Hỏi có nhiêu cách từ A đến C? ng.com Đáp https://fb.com/tailieudientucntt án × = cách lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 5/40 Nhận xét Quy tắc nhân phát biểu dạng ngơn ngữ tập hợp: Nếu A1 , A2 , , Ak tập hữu hạn, |A1 × A2 × × Ak | = |A1 | × |A2 | × × |Ak | Ví dụ Có chuỗi bit có độ dài 8? Giải Mỗi bit chọn cách: Theo nguyên lý nhân ta có số lượng chuỗi 28 = 256 Ví dụ Cho tập A gồm phần tử tập B gồm 10 phần tử Hỏi a) Có ánh xạ từ A vào B? b) Có đơn ánh từ A vào B? Giải a) Với phần tử x A ta có 10 cách chọn ảnh x (vì B có 10 phần tử) Theo nguyên lý nhân, ta có 106 ánh xạ b) Giải sử A = {x1 , x2 , , x6 } Ta chia toán thành bước: Bước ng.com Chọn ảnh x1 có 10 cách https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 6/40 Bước Chọn ảnh x2 có 10 − = cách Bước Chọn ảnh x6 có 10 − = cách Vậy số đơn ánh là: 10 × × × × × = 151200 Ví dụ Mật máy tính dài từ đến ký tự Mỗi ký tự số chữ hoa Mỗi mật phải có chữ số Có mật ? Giải Gọi L6 , L7 , L8 tổng số mật có chiều dài tương ứng 6, 7, Dùng quy tắc nhân ta có L6 = (10 + 26)6 − 266 L7 = (10 + 26)7 − 267 L8 = (10 + 26)8 − 268 Dùng quy tắc cộng ta có tổng số mật P = ng.com L6 + L7 + L8 = 36https://fb.com/tailieudientucntt + 367 + 368 − (266 + 267 + 268 ) = 2684483063360 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 7/40 1.1.3 Nguyên lý Derichlet (chuồng bồ câu) Ví dụ Trong nhóm có 367 người có người sinh ngày Có 20 chim bồ câu chuồng Khi có chuồng có bồ câu trở lên Định nghĩa Giá trị trần x, ký hiệu x , số nguyên nhỏ mà lớn hay x Ví dụ 2.1 = 3; 1.9 = 2; = 4; −1.1 = −1 −2.9 = −2; −4 = −4 Nguyên lý Derichlet Nếu có n đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp chứa n đồ vật k ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 8/40 Chứng minh Giả sử hộp chứa n vật Khi tổng k số đồ vật nhỏ k n n −1 2; x3 > 5; x4 ≥ −2 Giải Ta viết điều kiện cho thành x1 ≥ 4; x2 ≥ 3; x3 ≥ 6; x4 ≥ −2 Đặt y1 = x1 − 4; y2 = x2 − 3; y3 = x3 − 6; y4 = x4 + Khi yi ≥ (1 ≤ i ≤ 4) Phương trình (∗) trở thành y1 + y2 + y3 + y4 = (∗∗) Ta có số nghiệm phương trình (∗) số nghiệm phương trình (∗∗) Do số nghiệm phương trình (∗) K49 = C12 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 32/40 Ví dụ Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 20 thỏa điều kiện x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 > (∗) Giải Ta viết điều kiện cho thành ≤ x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ Xét điều kiện sau: x1 ≥ 0; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ x1 > 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ (∗∗) (∗ ∗ ∗) Gọi p, q, r số nghiệm ngun khơng âm phương trình thỏa điều kiện (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) Ta có p = q − r ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 33/40 Trước hết ta tìm q Đặt y1 = x1 ; y2 = x2 − 2; y3 = x3 − 5; y4 = x4 Phương trình (1) trở thành y1 + y2 + y3 + y4 = 13 (2) Số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (**) số nghiệm ngun khơng âm phương trình (2) 13 13 Vậy q = C 13 Số nghiệm K413 = C4+13−1 = C16 16 9 Như Lý luận tương tự ta có r = K49 = C4+9−1 = C12 13 p = q − r = C16 − C12 = 560 − 220 = 340 Vậy số nghiệm ngun khơng âm phương trình (1) thỏa điều kiện (∗) 340 Hệ Số cách chia k vật đồng chất vào n hộp phân biệt số tổ hợp lặp chập k n ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 34/40 Ví dụ.(tự làm) Tìm số cách chia 15 viên bi giống cho đứa trẻ 15 Đáp án K415 = C18 Ví dụ Tìm số nghiêm ngun khơng âm bất phương trình sau: x1 + x2 + x3 ≤ 11 Giải Đặt x4 = 11 − (x1 + x2 + x3 ) Khi x4 ≥ bất phương trình cho tương đương với phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 11 với x1 , x2 , x3 , x4 số ngun khơng âm Do số nghiệm bất 11 = 364 phương trình là: K411 = C14 Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm ngun bất phương trình x + y + z ≤ 20, biết x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ https://fb.com/tailieudientucntt ng.com lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 35/40 Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm ngun bất phương trình x + y + z ≤ 15 thỏa điều kiện ≤ x ≤ 6, y ≥ 2, z ≥ Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y + z + t = 16 thỏa điều kiện ≤ x ≤ 5, y ≥ 1, z ≥ 2, t ≥ Ví dụ.(tự làm) Có cách chia 18 viên bi giống cho đứa trẻ cho đứa trẻ có bi đứa lớn nhất viên bi ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 36/40 1.3.3 Khai triển lũy thừa đa thức Định lý Cho x, y biến n số tự nhiên Khi n n Cnk xn−k y k (x + y) = = k=0 Cn0 xn + Cn1 xn−1 y + · · · + Cnn−1 xy n−1 + Cnn y n Chứng minh Ta có (x + y)n = (x + y)(x + y) (x + y) Các số hạng khai triển (x + y)n có dạng xn−k y k với k = 0, 1, , n Để nhận số hạng xn−k y k ta chọn x từ n − k tổng (x + y) có Cnn−k cách chọn vậy, y chọn từ k tổng cịn lại (chỉ có cách nhất) Đó hệ số xn−k y k Cnn−k ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 37/40 Hệ Lần lượt cho x = y = x = 1, y = −1 vào khai triển ta có n (i) k=0 n (ii) Cnk = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2n (−1)k Cnk = Cn0 − Cn1 + Cn2 + + (−1)n Cnn = k=0 Ví dụ Khai triển (x + y)4 Giải (x + y)4 = C4k x4−k y k k=0 = C40 x4 + C41 x3 y + C42 x2 y + C43 xy + C44 y = x4 + 4x3 y + 6x2 y + 4xy + y Ví dụ.(tự làm) Khai triển (2x − 3y)5 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 38/40 Ví dụ Tìm hệ số x12 y 13 khai triển (2x − 3y)25 ? Giải Dựa vào Định lý, ta có 25 25 2x + (−3y) k C25 (2x)25−k (−3y)k = k=0 Do hệ số x12 y 13 có k = 13 Suy hệ số cần tìm là: 13 12 C25 (−3)13 = −33959763545702400 Định lý Cho x1 , x2 , , xm biến n số nguyên dương Khi (x1 + x2 + · · · + xm )n = k1 +k2 +···+km =n ng.com n! xk11 xk22 xkmm k1 ! k2 ! km ! https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 39/40 Ví dụ Tìm hệ số x3 y z khai triển (x + 2y − 3z + t)9 Giải Áp dụng Định lý trên, ta có số hạng chứa x3 y z 9! x3 (2y)5 (−3z)1 t0 = −48384 x3 y z 3! 5! 1! 0! Vây hệ số x3 y z −48384 Ví dụ.(tự làm) Cho khai triển (−x + y − 2z + t)10 a) Tìm hệ số x5 y t b) Có số hạng khác phép khai triển trên? Hướng dẫn b) Mỗi số hạng có dạng M xa y b z c td Suy số hạng khác khai triển số nghiệm phương trình a + b + c + d = 10, với a, b, c, d số nguyên không âm Đáp ng.com 10 án K410 = C13 https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2016 40/40 ... lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2 016 11 /40 3.2 Tổ hợp Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2 016 12 /40 1. 2 .1 Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp. .. C10 10 10 10 10 Ví dụ.(tự làm) Từ nam 11 nữ, ta muốn chọn đội văn nghệ gồm 10 người cho số nam số nữ đội chênh lệch khơng q Hỏi có tất cách chọn đội? + C5 × C5 + C6 × C4 Đáp án C94 × C 11 11 11. .. lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2 016 23/40 1. 3 Tổ hợp lặp Hoán vị lặp Chỉnh hợp lặp Tổ hợp lặp Khai triển lũy thừa đa thức ng.com https://fb.com/tailieudientucntt lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Tổ hợp 09/2 016