Su dung BDT Cosi tim cuc tri

[r]

Bài tập ứng dụng bất đẳng thức Cơ-si I Lí thuyết

Bất đẳng thức Cụ-si:

Với n số không âm a1,a2,,an : a1 a2 an n a a a1 2 n n

  



II Bµi tËp

Bµi 1: Cho x > ; y > xy2a(a > 0).

Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = 1x 1y

Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thøc A = x 5 23 x

Bµi 3: Cho x y15, Tìm giá trị nhỏ nhất, Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: B = x 4 y

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A =

x x x

2 2  

x >

Bµi 5: Cho a, b, x số dơng Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc:    x

b x a x

P   

Bµi 6: Cho x0, Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q =

 1

2

17

2

  

x x x

Bµi 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức M =

3 34

  

x x x

Bµi 8: Cho x > 0, Tìm giá trị nhỏ biểu thức N = x

x3 2000



Bµi 9: Cho x > ; y > vµ xy6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y

x y x

P5 3 1216

Bµi 10: Cho x > y xy = 5, Tìm giá trị nhỏ biểu thức

y x

y xy x

Q

  



2 1,2

Bµi 11: Cho x > 1, Tìm giá trị nhỏ biểu thøc A =

1 25

 

x x

Bài 12: Cho 0x1, Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc B =

x x

4

3  

Bµi 13: Cho x, y, z thoả mÃn điều kiện xyz a a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = xyyzzx b) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc B = x2 y2 z2

 

Bµi 14: Cho x, y, z lµ số dơng thoả mÃn điều kiện xyz12 Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = xy  yz  zx

Bµi 15: Cho x, y, z số dơng thoả mÃn điều kiện xyza Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q =

    

      

      



z a y a x

a

1

1

Bµi 16: Cho a, b, c số dơng thoả mÃn điều kiện abc1

Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc A =      a b c c b a

  

  

1 1

1 1

Bài 17: Cho x, y thoả mÃn điều kiện xy1 x > Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: B = x2y3

Giải

Bµi 1: xy  2

2 a a xy a a

y x

    

A =

2

2

a a

a xy

y x

  

(dÊu “=” x¶y  x = y = a) VËy A =

2 a

(khi vµ chØ x = y = a)

Bµi 2: §K: 5x23

max A2 = 36  max A = (khi vµ chØ x = 14)

Bµi 3: ĐKXĐ: x4 ; y3

B   B = (khi vµ chØ x = 4; y = 11 x = 12; y = 3) max B2 = 16  max B = (khi vµ chØ x = 8; y = 7)

Bµi 4: A = 10

2 5        x x x

x (dÊu “=” x¶y 

x x

2

  10

2 

x )

VËy A = 10 (khi vµ chØ 10

2 

x )

Bµi 5: P =   a b  a b2 x ab x b a x ab

x         (dÊu “=” x¶y  x ab) VËy P =  2

b

a (khi vµ chØ x ab)

Bµi 6: Q =  

 

8 2 1 16 12             x x x x x x

(dÊu “=” x¶y ra

1    x x 

x = 3)

VËy Q = (khi vµ chØ x = 3)

Bài 7: ĐK: x0

M = 25 10

3 25 3 25 32          x x x

x (dÊu “=” x¶y  4

3 25

3  

 

 x

x

x )

VËy M = 10 (khi vµ chØ x = 4)

Bµi 8: N = 2000 1000 1000      x x x x

x 1000 1000

x x

x   = 100 = 300

(dÊu “=” x¶y 

x

x2 1000

  x = 10)

VËy N = 300 (khi vµ chØ x = 10)

Bµi 9: P =  

y y x x y y x x y

x 12 16 12 12 16

2     

               

= 12 + 12 + = 32 (dÊu “=” x¶y 

x

x 12

3  vµ

y y16 )

 x 2 vµ y4 )

VËy P = 32 (khi vµ chØ x2; y4)

Bµi 10: Q =   3,2   16 16

2          y x y x y x xy y x

(dÊu “=” x¶y  16   4

 

 x y

y x y

x , kết hợp ĐK xy 5 ta đợc

x = ; y = vµ x = -1 ; y = -5)

VËy Q = (khi vµ chØ x = ; y = hc x = -1 ; y = -5)

Bµi 11: A =     2.10 24 25 4 25

4    

       x x x x

(dÊu “=” x¶y   

2

25

4  

 

 x

x

x )

VËy A = 24 (khi vµ chØ

2 

x )

Bµi 12: B =   41  7 2 32              x x x x x x x x

(dÊu “=” x¶y  41   12     

 x x

x x

x

) VËy B =  2

3

2 (khi vµ chØ x 3 12)

Chú ý: Làm để biến đổi đợc:

1  7

4        x x x x x

x ?

Ta viÕt   c

Sau dùng phơng pháp đồng hệ số, ta tìm đợc a = b = ; c =

Bµi 13: a)

2

2

2 y

x

xy  ;

2

2

2 z

y

yz  ;

2

2

2 x

z

zx 

2

2 y z

x zx yz

xy     ;

x y z xy yz zx

zx yz

xy     2  

3A a2

 ; A 

2

a (dÊu “=” x¶y

 x = y = z =

3 a ) VËy max A =

3

2

a (khi vµ chØ x = y = z = a

) b) B = x2y2z2xyz2 2xyyzzx

B = a2 2xyyzzx

B  xyyzzx max 

3

2

a zx yz

xy   (theo c©u a) VËy B =

3 2

2 a a

a   (khi vµ chØ x = y = z = a

)

Bµi 14: P2 =

y x z x

z y z

y x x z z y y

x2 2 2

 

  

áp dụng BĐT Cô-si cho số dơng ta đợc: x yz

z y x x z

z y x z

y x y x

4 44

2 2

 

 



y xz

x z y y x

x z y x

z y z y

4 44

2 2

 

 



z yx

y x z z y y

x z y

x z x

z 4 4

4 2

 

 



Do P2  4xyz  xyz3xyz

P2  3.12 = 36 (dÊu “=” x¶y  x = y = z = 4) VËy P = (khi vµ chØ x = y = z = 4)

Bµi 15:

x yz x x

yz x

x z y x x x

a 2 2 44

1        ;

y xz y y

xz y

y z x y y y

a 2 2 44

1        ;

z yx z z

yx z

z y x z z z

a 2 2 44

1        ; Do Q  644   64

4 

xyz

xyz (dÊu “=” x¶y

 x = y = z =

3 a ) Vëy Q = 64 (khi vµ chØ x = y = z =

3 a

)

Bµi 16: abc11 abc0

Tơng tự b0 ; c0

Mặt kh¸c 1a11 b c1 b  1 c2 1 b1 c

T¬ng tù 1b2 1 a1 c ; 1c2 1 a1 b

Suy 1 a1 b1 c 8 1 a 2 1 b 2 1 c2

  

   

= 81 a1 b1 c

A =     1 1 1 

1 1

   

  

c b a

c b a

(dÊu “=” x¶y 

3 1

1

1 a  b  c abc ) VËy A = (khi vµ chØ

3   b c

a )

Bài 17: Nếu y0 B0 (1)

NÕu y > th×:

5

108 3 2 3 2

1xyx xy  y y  xxyyy  x y Suy

3125 108

1 108

3 2

2

 

     

 x y

y

x (2)

VËy B

3125 108

 (dÊu “=” x¶y 

5 ;

2  x y y

x

) Tõ (1) vµ (2) suy ra: max B =

3125 108

(khi vµ chØ

5 

x ;

5 

y )