Cuc tri

2) Trong tröôøng hôïp toång quaùt, haõy xaùc ñònh taát caû caùc tham soá m ñeå ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ cho coù ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu ôû veà hai phía cuûa truïc tung. Ba[r]

VẤN ĐỀ 2

CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:

Chủ đeà II: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HAØM

11 I)Dấu hiệu cực trị:

1) Dấu hiệu I :

Quy tắc I để tìm điểm cực trị:

1)Tìm f’(x) 3)Xét dấu đạo hàm

2)Tìm điểm tới hạn 4)Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị

II) Điều kiện để hàm số có cực trị:

Hàm số có cực trị  Hàm số có điểm tới hạn & y’đổi dấu qua điểm tới hạn

 Đặc biệt: 1)Hàm số y = ax3+bx2 +cx+d (a0) coù

  

tiểu cực đại cực

trị cực hai

y’= có hai nghiệm phân biệt 2)Hàm số y ax2 bx c

dx e   

 coù  

tiểu cực đại cực

trị cực hai

 y’= có hai nghiệm phân biệt thuộc TXĐ x a x0 b

f’(x) + -f(x) f(x)

Hàm số đạt cực đại x0

x a x0 b

f’(x) - + f(x) f(x)

Hàm số đạt cực tiểu x0

2) Dấu hiệu II :

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục (a;b) , x0  (a;b) & f’(x0) =

a) f”(x0) 0  Hàm số đạt cực trị x0

b) f”(x0) <  Hàm số đạt cực đại x0

c) f”(x0) >  Hàm số đạt cực tiểu x0

* Chú ý: Nếu f”(x0) = f”(x0) khơng tồn khơng kết luận điều điểm x0

Quy tắc II để tìm điểm cực trị:

1)Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = Gọi xi (i= 1, 2…) nghiệm

2)Tính f”(x)

3)Từ dấu f”(xi) suy tính chất cực trị điểm xi theo dấu hiệu II

III) Điều kiện để hàm số y = f(x) đạt cực tri tại x0:

1) y = f(x) đạt cực tri x0 f’(x0) = (Thử lại) 3) y = f(x) đạt cực đại x0 

  

 

0 )

x ( " f

0 )

x ( ' f

0 IV) Đường thẳng qua điểm cực trị:

1)Hàm số bậc ba: y = ax3+bx2+cx + d (a0) có hai cực trị:

+Thực phép chia đa thức y cho y’ta được: y(x) = (Ax + B)y’(x) + mx + n +Gọi (x0;y0) điểm cực trị :

0

0 0

y '(x )

y(x ) (Ax B)y '(x ) mx n



 

 

 

 y(x0) = mx0+n

B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP: 1) Tìm cực trị hàm số

2) Tìm điều kiện để hàm số có cực trị, đạt cực trị điểm

BÀI TẬP

Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau

1) a) y 1x3 2x2 3x

3

    b) y x 3 3x23x c) y x 3 2x2x

2) a) y 1x4 2x2 1

2

   b) y x 5x3 8x 1 c) y 1 x23

3) a) y x

3x

 

 b)

2

x 4x y

x

  



 c)

2

x 4x y

x

 



 d)

2

x 3x y

x

  



4) a) y x2 2x

 

 b) yxe4x2 c) y x lnx d) yx2 lnx e) y = cos2x 5) y cos3x15cosx8 đoạn 

      ;

Baøi 2: Cho haøm soá 3 3

   

x x mx m

y , đồ thị ( Cm ), m tham số

1) Xác định giá trị m để hàm số có cực trị

2) Xác định giá trị m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hồnh

Bài 3: Cho hàm số y = (m2 – 1)

3

3

x + (m + 1)x2 +3x +5, m: tham soá.

1) Tìm m để hàm số có cực đại & cực tiểu 2) Tìm m để hàm số có cực trị

Bài 4: Cho hàm số y = x3 –3mx2 + (m2 +2m –3) x +4

Chủ đeà II: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HAØM

12 2)Hàm hữu tỉ

2

ax bx c y

dx e   

  

ad0 có hai cực trị:

C1: +Ta có:

 

2 /

2

y adx 2aex be cd dx e      e x d       

+Gọi (x0;y0) điểm cực trị :

  0 0

/ 0

0

0

ax bx c y(x )

dx e

adx 2aex be cd y (x )

dx e                   0 0 0

ax bx c y(x )

dx e adx 2aex be cd

            



0 2ax b y(x ) d       / 0 /

ax bx c dx e            

Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y 2ax b d

 

C2:

+ Đặt y(x) ax2 bx c dx e

  

 =

u(x)

v(x) (v(x) 0) 

u '(x)v(x) u(x)v '(x) y '(x)

v (x)





+ Gọi (x0;y0) điểm cực trị thì:

0

0

0

0

y '(x )

u(x ) u '(x )

y(x ) (v '(x ) 0) v(x ) v '(x )

        

 0

0

u '(x ) 2ax b y(x )

v '(x ) d 

 

Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y 2ax b d

1) Khảo sát hàm số m = Gọi đồ thị (C)

2) Trong trường hợp tổng quát, xác định tất tham số m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu hai phía trục tung

Bài 5: Cho hàm số y = x3 +mx2 +1, m tham số Chứng minh hàm số ln ln

có cực trị m0

Bài 6: Tìm giá trị m để hàm số sau khơng có cực trị: 1) y = x3 +mx +1, m tham số

2)

m x

m x mx y

   

2

m tham số

Bài 7: Cho hàm soá y x2 xmx1

  

 ,m tham số

1) Với giá trị m hàm số đồng biến khoảng xác định 2) Xác định m để hàm số có hai cực trị

Bài 8: Cho hàm số y x2 mxmx 21m

   

 có đồ thị (Cm ) Xác định m cho hàm số có cực

trị

Bài 9: Cho hàm số

k x

k kx x y

   



2

, với tham số k Chứng minh với k đồ thị hàm số ln ln có điểm cực đại, điểm cực tiểu tổng tung độ chúng (Đề thi TN THPT 1993-1994)

Bài 10 : Cho hàm số y = f(x) = x3 – (m + 2)x + m, m tham số Tìm m để hàm số tương ứng

có cực trị x = -1 (Đề thi TN THPT Kì I 1998-1999)

Bài 11: Tìm m để hàm số:

1) y = f(x) = (m m 2)x (3m 1)x

3

x3 2

  

 

 , đạt cực đại x = -2

2) y f(x) x2x mxm

   

 , đạt cực đại x =

Baøi 12: Cho hàm số

4 x bx a

y  2 (a, b tham số) Tìm a b để hàm số cho đạt cực trị x =

Baøi 13: Cho hàm số: y =

4

2

   

x

m x

x , m tham số

1) Tìm m để hàm số đạt giá trị cực đại yCĐ, giá trị cực tiểu yCT & yCD  yCT 4 2) Tìm m để hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm hai phía trục Ox

Bài 14: Cho hàm số

1

2

   

mx mx x

y , m: tham soá

Chứng minh m0 hàm số ln ln có cực đại & cực tiểu Xác định m để hai giá trị cực trị hàm số dấu

Bài 15: Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu: 1)

4

2

   

x x x

y

2) y = x3 – x2 – 94x + 95.

Bài 16: Tìm m để hàm số có cực trị Khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị:

1)

m x

m mx x

y

  



2

2) y = 2x3 – 3(m + 1)x2 + 6mx – 2m.

Chủ đeà II: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HAØM

Bài 17: Tìm m > để

x

m m x m x

y 2 2  3, có cực tiểu khoảng < x < 2m

Bài 18: Tìm m để hàm số mx (m 1)x 3(m 2)x 31

1

y

   



 có cực đại cực tiểu

điểm x1, x2 thoả mãn x1 + 2x2 =

Bài 19: Với giá trị m hàm số y x4 4mx3 3(m 1)x2    

 có cực tiểu mà

khơng có cực đại

Chủ đeà II: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HAØM