Tân Giáo Trình Hán Ngữ Tập 1- Unit 26

Trong các ví dụ trên, phương pháp độc lập tham số với biến số chỉ giải được khi các số hạng chứa tham số có cùng bậc.. Nếu các số hạng có chứa tham số mà các tham số này có bậc khác nhau[r]

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU

I. Tóm tắt kiến thức

1. Bất phương trình f(x)  m với x thuộc khoảng ( ; )a b khoảng ( ; )a b , đường thẳng y = m nằm đồ thị

( )C hàm số y = f(x)

2. Bất phương trình f(x)  m có nghiệm khoảng ( ; )a b khoảng ( ; )a b , đường thẳng y = m đồ thị ( )C hàm số y = f(x) có điểm chung đường thẳng y = m nằm đồ thị ( )C hàm số y = f(x)

II Phương pháp giải tốn ví dụ minh họa

Dưới đây, thay cho khoảng đoạn nửa khoảng, ta viết chung K

1 Phương pháp độc lập tham số với biến số

Dạng tốn: Tìm tham số m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (nghịch biến) K

Cách giải:

+ Tính đạo hàm f ’(x, m)

+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) K  f ’(x, m) ≥ ( f ’(x, m)  0), xK Viết bất phương trình f ’(x,m) ≥ ( f ’(x,m)  0) dạng g(x) ≥ h(m)

(g(x)  h(m))

+ Xét biến thiên hàm số g(x) K, từ tìm m Ví dụ 1 Tìm m để hàm số y x3 3x2 mx 4m2 4

     nghịch biến (1; 1) Giải

+ Hàm số xác định (1; 1) + Ta có y' 3x2 6x m

+ Hàm số nghịch biến (1; 1) khi:

y’  0, x(1; 1)  m3x2  ,x (1) x(1; 1) + Xét hàm số g(x) = 3x2 6x (1; 1)

g’(x) =  6x  6, g’(x) =  x = 1 B ng bi n thiên ả ế c a ủ g(x):

x 1 g’(x) 

g(x)

9

Từ bảng biến thiên suy (1) với x thuộc khoảng (1; 1) đường thẳng y = m nằm đường cong y = g(x)

Vậy giá trị cần tìm mlim ( )x1 g x 9

Ví dụ 2 Tìm m để hàm số ( 1) ( 7)

y x  m x  m x đồng biến khoảng (2; +)

Giải + Hàm số xác định (2; +) + Ta có y'x2  2(m 1)x (m 7)

+ Hàm số đồng biến (2; +)  y’  x(2; +)  x2  2(m 1)x (m 7) 0, x(2; +)

 x2 2x 7 (2x1) ,m x(2; +)



2 2 7

,

x x

m x

  

 x(2; +) (vì x2 nên 2x 1 0) + Xét hàm số

2 2 7

( ) x x

2

2

(2 1)(2 1) 2( 7) 2 12 '( )

(2 1) (2 1)

x x x x x x

g x

x x

      

 

 

2

'( ) 2 12

2

x

g x x x x x

x

 

          

  Bảng biến thiên g(x):

x +

g’(x) +

g(x)

+

Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm m  Ví dụ 3 Tìm m để hàm số ( 1) 3( 2)

3 m

y x  m x  m xđồng biến [2;+)

Giải + Hàm số xác định [2;+)

+ Ta có: y'mx2 2(m 1)x3(m 2)

2

' 0, [2; ) 2( 1) 3( 2) 0, [2; )

y   x   mx  m x m   x 

2

( 3) 6, [2; )

m x x x x

       

2 ,

2 [2; )

x

m x

x x

 

    

  (vì x

2 –2x+3 > 0, x

 )

+ Xét g(x) = 22 x

x x

 

  [2;) g'(x) = (2xx22212xx3)62

  ; g'(x) =  x 3 Bảng biến thiên g(x):

x 3 

g'(x)  +

g(x)

Vậy (2)

3 m g 

Ví dụ 4 Tìm m để hàm số y = x3

 3x2 + m2x + m nghịch biến (1; 2). Giải

+ Hàm số xác định (1; 2) + Ta có y’ = 3x2 6x + m2

+ Hàm số nghịch biến khoảng (1; 2) khi: y’  0, x (1; 2)  m2 6x  3x2, x (1; 2) + Xét hàm số g(x) = 6x  3x2 (1; 2)

g’(x) =  6x, g’(x) =  x = Bảng biến thiên g(x):

x g’(x) 

g(x)

0 Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm m2 0 m 0

  

Ví dụ Tìm m để hàm số

2

2 (6 )

x m x

y

mx   

 nghịch biến khoảng (0; 1) Giải

+ Hàm số xác định (0; 1) với (0;1) m

  + Ta có:

2

2

(4 )( 2) (6 ) 12

'

( 2) ( 2)

( )

x m mx m x m x mx x m

y

mx mx

        

 

 

m =  y’ = x + (loại)

m  0, y’  0,x(0; 1) khi:

(0;1) m

 

2mx 4x 2m12 0 , x(0; 1) (x2  1)m2x 6, x(0; 1)

 22 x m

x   

 , x(0; 1) (vì

2 1 0, (0;1)

x    x )

+ Xét hàm số ( ) 22 x g x

x   

 (0; 1)

2

2 2

2( 1) (2 6) 12

'( ) 0, (0;1)

( 1) ( 1)

x x x x x

g x x

x x

     

    

 

(vì x0 nên 2x2 12x 2 0) Bảng biến thiên g(x):

x g’(x) +

g(x)

+

Từ bảng biến thiên suy giá trị m để hàm số cho nghịch biến (0; 1)

Ví dụ 6 Tìm m để hàm số

2 (2 ) 4 1

1

mx m x m

y

x

   



 nghịch biến khoảng (1; 1)

Giải Hàm số xác định (1; 1)

  2

2

(2 )( 1) (2 ) 2 1

'

( 1) ( 1)

mx m x mx m x m mx mx

y

x x

         

 

 

Hàm số nghịch biến (1; 1)  y’  0,x(1; 1) Ta có y’   mx2  2mx 0  m x( 2 ) 1x 

m =  y’ < 0, x(1; 1)

m  0, m x( 2 ) 1x  

2

2

1

2 ,

2 ,

x x m

m

x x m

m 

   

  

  

Xét hàm số g x( )x2 2x (1; 1), ta có: '( ) 2

g x  x ; g x'( )=  x = Bảng biến thiên g(x):

x 1 g’(x)  g(x)

1

Từ bảng biến thiên suy ra:

1 1

3 , , 0

3

1 1, 0 1, 0

m m m

m

m m

m m



 

 

 

 

 

 

   



Vậy 1

3

m

  

Dạng tốn: Tìm tham số m để bất phương trình f(x, m) ≥ ( f(x, m) ≤ 0) nghiệm với x thuộc K

Cách giải:

Ví dụ Tìm m để bất phương trình x3 2x2 (m 1)x m x

     nghiệm với x 

Giải Ta có:

x4 – 2x3 + x2 –  (x2 – x)m, x  

2

2

x x x m

x x

   

 ,x 

 t2 m t



 ,t  2(với t = x2 – x  2, x  2)

Xét f (t) = t2 t

 liên tục [2, +

), ta có:

2 '( )

f t

t

   , t   f (t) = t2 t

 đồng biến [2, + )

Vậy (2) mf 

Ví dụ Tìm m để bất phương trình – x3 + 3mx –

2

1 x

  nghiệm với x 

Giải Ta có:

–x3 + 3mx – 2

1 x

   x3 + 12 x

 3mx x2 13 x x

  >3m (1) (do x1)

Xét f (x) = x2 13 x x

  liên tục [1; + ), ta có:

2

2( 1)

'( ) x

f x

x x



   , x   f (x) đồng biến [1; + )

Nhận xét: Nếu cần tìm m để (1) với x1 ta tìm m để:

1

3 lim ( )

x

m f x

 

  Vậy 2. m

Ví dụ Tìm m > để bất phương trình m9x4(m1)3xm1 với x

Giải Đặt t 3x

  , tốn trở thành: Tìm m > để bất phương trình:

2 4( 1) 1 0

mt  m t m   với t >

Ta có: mt24(m1)t m   1 0 (t24 1)t m 4 0t 

2

4 t m

t

t 

 

  (do t > nên

2 4 1 0

t  t  )

Xét ( ) 24 t f t

t

t 



  liên tục (0;), ta có:

2

2 ( 1)

'( ) 0,

( 1) t t

f t t

t t

 

   

 

Bảng biến thiên f (t):

t  f ’(t) 

f (t)

Vậy m1

Ví dụ Tìm m để bất phương trình (4x)(6 x)x2 2x m với mọi

x thuộc tập xác định nó.

Giải Với x[– 4; 6], đặt:

Bất phương trình trở thành: t2 + t – 24  m

Xét hàm số f (t) = t2 + t – 24 [0; 5], ta có:

f’(t) = 2t + 1; f’(t) =  t =  Bảng biến thiên:

t  

2



f’(t) – + +

f(t) 

–24 Từ bảng biến thiên suy mf(5) 6. Nhận xét:

1) Nếu cần tìm m để bất phương trình (4x)(6 x)x2 2x m với x thuộc tập xác định ta tìm m để mf(0)24

2) Nếu dạng tốn u cầu : Tìm m để bất phương trình

2

(4x)(6 x) x  2x m có nghiệm ta tìm m để mf(5) 6.

Học sinh lớp 10 11 lập bảng biến thiên [0; 5] mà không cần dùng đạo hàm

Dạng tốn: Tìm m để phương trình f (x, m) = có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

Cách giải:

+ Viết phương trình dạng g(x) = h(m)

+ Xét biến thiên hàm số g(x) tập xác định, từ tìm m Ví dụ Tìm m để phương trình x4 + mx3 + x2 + mx + = có khơng hai

nghiệm âm khác

Phương trình viết: x43 x2 m x x

   

 (vì x0) Xét f x( ) x43 x2

x x    

 \{0}, ta có:

6

2 2

2

'( )

( 1)

x x x

f x

x x

   



 , đặt t = x

2 > thì

f ’(x) =  – t3 –2t2 + 2t + =  (t – 1)(t2 + 3t + 1) =  t – 1= (do t > nên t2 + 3t + 1> 0)

 x = 1 ta có

2

2 2

( 1)( 1) '( )

( 1)

x x x

f x

x x

   



 (dễ xét dấu x

4 + 3x2 +1 > 0, x)

Bảng biến thiên:

x   –1  f ’(x) – + + – f (x) 

32



   

Dựa vào bảng biến thiên, tìm m3.2

Ví dụ Tìm giá trị m để phương trình 4x – m.2x+1 + 2m = có hai

nghiệm < x1 < < x2

Giải

Đặt t = 2x (t > 0), phương trình trở thành: t2 – 2mt + 2m =

 m = 2( 1)tt2

 (vì t = khơng phải nghiệm phương trình) Với t > 0, phương trình 2x = t có nghiệm nên yêu cầu bài

tốn trở thành: Tìm giá trị m để phương trình t2 – 2mt + 2m = có hai

129/52 49/20

Xét ( ) 2( 1)

t f t

t 

 (0; +∞)\{1}

f ’(t) =

2

2 (2 2)

t t

t 

 ; f ’(t) =  t = t = Bảng biến thiên hàm f (t):

t +∞ f’(t) – +

f(t)

+∞ +∞

Vậy m >

Ví dụ Tìm giá trị m cho đường thẳng y = –3 cắt đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + 2m bốn điểm phân biệt thỏa mãn: có điểm có

hồnh độ lớn 1,5; điểm cịn lại có hồnh độ nhỏ 0,5 Giải

Ta có: x4 + 2mx2 + 2m + =  –2m =

2

3 x x

  Xét ( ) 42

1 x f x

x  

 , f(x) liên tục 

5 2

2 2

2 ( 1)( 3) '( )

( 1) ( 1)

x x x x x x

f x

x x

 

 

 

 

f’(x) =  x = x1 Bảng biến thiên f(x):

x –∞ –1 1/2 3/2 +∞ f’(x) – + – +

f(x) +∞ +∞

Vậy 129

52   m hay

3 129

2 m 104    

Ví dụ Biện luận số nghiệm hệ sau theo m

2 5 6

1

x x m

x

    

  

Giải Xét f x( )x2  5x6 (1;5]

'( )

f x  x ; '( ) f x   x 

Bảng biến thiên:

x 1

2

f'(x)  +

f(x)

2



Biện luận:

m  : hệ vơ nghiệm;

m : hệ có nghiệm;

2 m

   : hệ có hai nghiệm; 2 m 6: hệ có nghiệm;

m : hệ vơ nghiệm Ví dụ 5 Tìm m để phương trình:

2

1

2

(m 3)log (x 4) (2 m1)log (x 4)m 2 0.

có hai nghiệm x1; x2 thỏa điều kiện 4x1 x2 6 Giải

1

2

log ( 4) log t  x    t

Bài tốn trở thành: Tìm m để phương trình

2

(m 3)t  (2m1)t m  2 có hai nghiệm t1; t2 thỏa điều kiện  1 t1 t2

Phương trình viết

2

3

2 t t m

t t

  

  (vì t = khơng nghiệm) Xét hàm số

2

3

( )

2 t t f t

t t

  

  ( 1; ) \ {1}, ta có:

3

7 '( )

( 1) t f t

t   

 ,

3 '( )

7 f t   t

Bảng biến thiên:

t –1

7  '( )

f t – + – f (t)  

25



1

lim ( ) 0;

x   f t  lim ( )x1 f t ; xlim ( )1 f t ; xlim ( ) 3  f t 

Dựa vào bảng biến thiên, ta được: 25 m

   m3

Ví dụ 6 Tìm m để phương trình m(sin x + cos x) + sin2x + m – 1= có nghiệm Giải

Đặt sinx + cosx = t, với | t | 2, suy

2 1

sin cos

2 t

x x 

Khi phương trình trở thành:

mt + (t2 – 1) + m – =  t2 + mt + m – = 0  – t2 = m(t + 1) 

2

2

t m t 

8

Xét hàm số

2

2 ( )

1 t f t

t  

 liên tục khoảng ( 2;1);(1; 2)

2

( 2)

'( ) 0, ( 2;1) (1; 2) ( 1)

t t

f t t

t   

     



 hàm số nghịch biến khoảng ( 2;1);(1; 2)  đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f (t)

Vậy phương trình ln có nghiệm với m

Ví dụ 7 Cho phương trình 2tan x + tan2 x + tan3 x + 2cot x + cot2 x + cot3 x = m

Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải Điều kiện: x ≠

2

k , k 

Đặt tan x + cot x = t, với | t |2,  tan2 x + cot2 x = t2 – Ta có:

tan3 x + cot3 x = (tan x +cot x)3 –3tan x.cot x(tan x + cot x) = t3 – 3t

Khi phương trình trở thành:

2t + t2 – + t3 – 3t = m  t3 + t2 – t – = m

Xét hàm số f (t) = t3 + t2 – t – 2, f (t) liên tục (–;–2]; [2; +)

f’(t) = 3t2 + 2t – > 0,    t ( ; 2] [2; )

Bảng biến thiên:

x – –2 +

f’(t) + +

f(t)

–

–4

+

Trong ví dụ trên, phương pháp độc lập tham số với biến số giải số hạng chứa tham số có bậc Nếu số hạng có chứa tham số mà tham số có bậc khác khơng thể lập tham số Khi đó, ta gián tiếp lập tham số cách khảo sát trực tiếp chiều biến thiên hàm g’(x, m)

Ví dụ Tìm m để hàm số 2 2

x mx m

y

x m

 



 đồng biến (1;) Giải

Hàm số xác định (1;) với 2m(1;)

Ta có: y'x2(x4mx m2 )m2 

Hàm số đồng biến (1;) khi:

2

' 0, (1; ) 0,

2

y x x mx m x

m m

          

 

 

 



Xét hàm số g x( ) x2 4mx m2

   (1;) '( ) ;

g x  x m g x'( ) 0  x2m Bảng biến thiên:

x 2m 

g'(x)  0 + +

g(x) 

m2 4m 1

 

2 2

1 (

lim ( ) lim )

x g x x  x  mx m m  m Dựa vào bảng biến thiên, ta cần có:

2 4 1 0

2 m

m m

m        

  

Vì

Ví dụ Tìm m để hàm sốy x2 (3m 1)x 5m x m

   



 đồng biến (0; 1) Giải

Hàm số xác định (0; 1) với m(0;1)

Ta có:

2

2

2

'

( )

x mx m m

y

x m

   





Hàm số đồng biến khoảng (0; 1)  y’ ≥ 0, x(0; 1) hay

2

( )

g x x  mx m  m ≥ 0, x(0; 1) '( ) 2 ; '( )

g x  x m g x   x m

Xét m0 (1), ta có bảng biến thiên:

x m 

g'(x)  0 + + +

g(x)

2

3m  4m1

2 2

0 (

lim ( ) lim 1) x g x x  x  mx m  m  m  m Dựa vào bảng biến thiên, ta cần có:

2

1

3

1 m

m m

m 

     

  

Kết hợp với điều kiện (1), ta được: m0 Xét m1 (2), ta có bảng biến thiên:

x m  g'(x)    0 +

3m2 6m 2

 

2 2

1 (

lim ( ) lim 1) x  g x x  x  mx m  m  m  m Dựa vào bảng biến thiên, ta cần có:

2 3

3

3 m  m   m 

Kết hợp với điều kiện (2), ta được: 3 m 

Vậy m  3 m 

2 Ứng dụng tổng tích nghiệm Định lý Viét

Dạng tốn: Tìm m để phương trình f (2)(x, m) = có nghiệm thỏa điều

kiện cho trước (Dạng tốn bất phương trình) Cách giải:

+ Đổi biến t = x – , ta phương trình f (2)(t, m) = 0

(Giả sử xi  (i1,2),thế ti xi   0)

+ So sánh nghiệm phương trình f (2)(t, m) = với số Ví dụ Tìm m để phương trình (m+2)x2 – 2(m+1)x + m2 + 4m + = 0

a)Có hai nghiệm lớn

b) Có hai nghiệm x1, x2 cho x1 < < x2 Giải

Phương trình có hai nghiệm khi:

m + ≠ ∆’ = (m+1)2 – (m+2)(m+1)(m+3) ≥

hay m ≠ –2 m ≤ –1 (*)

a) Đặt x = t + Khi phương trình trở thành : (m+2)(t+1)2 – 2(m+1)(t+1) + m2 + 4m + = 0

Yêu cầu toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm dương:

2

2 0

2

3 0 3

2

m m

m m m m

m 

 

 



 



 

 



  



    

 

Hệ vơ nghiệm m23m 3 0,m.

Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn toán b) Đặt x = t + 2, phương trình trở thành:

(m + 2)t2 + (2m + 6)t + m2 + 4m + = (2)

Khi x1 < t1 < 0, x2 > t2 >

u cầu tốn tương đương với (2) có hai nghiệm trái dấu: (m + 2)(m2 + 4m + 7) <

 m < –2 (vì m2 + 4m + > 0,m) Vậy m < –2 giá trị cần tìm

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình x2 – 2(m–1)x + m2 + 4m – =

a) có hai nghiệm lớn –1; b) có hai nghiệm nhỏ 1;

c) có hai nghiệm x1, x2 cho x1 < < x2 Giải

Phương trình có nghiệm khi:   ' 6m 0 m1 (*) Khi đó: x1 + x2 = 2(m–1); x1x2 = m2 + 4m –

a) Theo giả thuyết:

1

2

1

1

x x

x x

 

 

 

 

 

    

1 2

1

1

( 1)( 1)

2 ( 1) ( 1)

x x x x x x

x x x x                         

2 6 6 0 15

3 15 15

2

0 m

m m m

m m m                               

So với điều kiện (*), giá trị cần tìm m là:  3 15m1 b) Từ giả thuyết:

1

2

1

1

x x x x                 

Ta có hệ:

2

1 2

1

1

( )

( 1)( 1) 2

2

( 1) ( 1) 2( 2)

1

1

1

1

x x x x x x m m

x x

x x m

m m m m m                                                               

So với điều kiện (*), giá trị cần tìm m là:

m    1 3m1

c) Theo giả thuyết: x1 1 x2  x1  1 x21

Do đó, ta có: (x11)(x21) 0  x x1 2 (x1x2) 0 

2 2 2 0

m m

      1 3m  1 Vậy giá trị cần tìm m là:  1 m 1

Ví dụ Tìm giá trị m cho phương trình x2 +(2m +1)x +m2 –10 = 0

có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn – < x1 < < x2 Giải

∆ = (2m+1)2 – 4(m2 – 10) > hay m > 39

4  (1) Khi x1 + x2 = – 2m – x1x2 = m2 – 10

Theo giả thuyết: – < x1; – < x2 nên < x1 + 6; < x2 +

Ta có hệ:

2

1

1

2

( 6)( 6) 12 20 0 10

2 (2) ( 6) ( 6) 12 (2 1) 11

2 m

x x m m m

m

x x m

m  

 

  

  



  



 



      

   

      

 Mặt khác: x1 < < x2 nên x1 – < < x2 – Do đó:

(x1 – 1)(x2 – 1) <  m2 + 2m – <  – < m < (3)

Từ (1), (2) (3) ta – < m < giá trị cần tìm

Ví dụ Tìm giá trị m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số

3 x y

x  

 hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị Giải

Xét phương trình: x + m =

x x

 

Với x ≠ 3, phương trình tương đương với: x2 + (m+2)x+3m+1 = (1)

Yêu cầu toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2

thỏa mãn x1 < < x2

Từ đó, ta có: x1  3 x2 3

Suy ra:

1 2

(x 3)(x 3) 0  x x 3(x x ) 0  3m 3(m 2) 0m

         (vơ nghiệm)

Ví dụ Cho hàm số 2

x y

x  

 (H) Tìm giá trị m cho đường thẳng

y mx m   cắt đường cong (H) hai điểm thuộc nhánh (H). Giải

Xét phương trình: mx m  1 2

x x

  Với x ≠

2 

, phương trình tương đương với:

(mx m  1)(2x1)  x 2mx23(m1)x m  0 (1)

Yêu cầu tốn tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2

thỏa mãn 1 2 x x 

  1 2

x x  Đặt

2

x t  phương trình (1) trở thành :

2

1

2 ( ) 3( 1)( )

2

m t  m t m  2 ( 3)

2

mt m t

     (2) Ta cần tìm m để phương trình (2) có nghiệm t1; t2thỏa mãn 0 t1 t2

hoặc t1t20 (hai nghiệm dấu)

2

0 ( 3) 12 ( 3)

0 0

m

m m m

P m m m

         

 

  

   

    

   

Vậy m0 m3 giá trị cần tìm Trước kết thúc, ta lấy lại ví dụ trang 11

Ví dụ Tìm m > để bất phương trình m9x4(m1)3xm1 với x

Giải Đặt t 3x

  , tốn trở thành: Tìm m > để bất phương trình:

2

( ) 4( 1)

f t mt  m t m   (1) với t > 0.

f (t) có ' 4(m 1)2 m m( 1)

Nếu 0m1  ' nghiệm bất phương trình (1) là:

1

t t t t 2 (2) với t1; t2 nghiệm tam thức f (t)

Vì

1 m

t t

m 

  nên t1 0 t2 Do đó, từ (2) suy f (t) > không