HE THONG KIEN THUC TOAN CUA QUANG HIEU

- Ba ®êng trung trùc cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm3. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau.[r]

Hệ thống kiến thức bản

Môn : Hình Học - THCS

Website: http://quanghieu030778.violet.vn

1. Điểm - Đờng thẳng

- Ngi ta dùng chữ in hoa A, B, C, để đặt tên cho điểm

- BÊt cø h×nh tập hợp điểm Một điểm là một hình.

- Ngi ta dựng chữ thờng a, b, c, m, p, để đặt tên cho các đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ cái in hoa dùng hai chữ cái thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, )

- Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C nằm đờng thẳng a đ-ờng thẳng a qua điểm C), kí hiệu là: Ca

- Điểm M khơng thuộc đờng thẳng a (điểm M nằm ngồi đờng thẳng a hoặc đờng thẳng a không qua điểm M), kí hiệu là: Ma

2 Ba ®iĨm thẳng hàng

- Ba im cựng thuc mt ng thẳng ta nói chúng thẳng hàng

- Ba điểm khơng thuộc bất kì đờng thẳng ta nói chỳng khụng thng hng.

3 Đờng thẳng trùng nhau, c¾t nhau, song song

- Hai đờng thẳng AB BC nh hình vẽ bên hai đờng thẳng trùng nhau.

- Hai đờng thẳng có điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung đợc gọi giao điểm (điểm E giao điểm)

- Hai đờng thẳng khơng có điểm chung nào, ta nói chúng song song với nhau, kí hiệu xy//zt

ờng thẳng bị chia điểm O đ-ợc gọi tia gốc O (có hai tia Ox Oy nh hình vẽ)

- Hai tia chung gốc tạo thành đờng thẳng đợc gọi hai tia đối nhau (hai tia Ox Oy hình vẽ là hai tia đối nhau)

- Hai tia chung gốc tia nằm trên tia đợc gọi hai tia trùng nhau

- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng nhau

5 Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng

- Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B

- Hai điểm A B hai mút (hoặc hai đầu) đoạn thẳng AB.

- Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thng l mt s dng

6 Khi AM + MB = AB ?

- NÕu ®iĨm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngợc lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B

7 Trung điểm đoạn thẳng

- Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A, B cách đều A, B (MA = MB)

- Trung điểm M đoạn thẳng AB gọi điểm của đoạn thẳng AB

8 Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối nhau

- Hình gồm đờng thẳng a một phần mặt phẳng bị chia a đ-ợc gọi nửa mặt phẳng bờ a - Hai nửa mặt phẳng có chung bờ đ-ợc gọi hai nửa mặt phẳng đối nhau (hai nửa mặt phẳng (I) (II) đối nhau)

9 Gãc, gãc bĐt

- Góc hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung hai tia gọi là đỉnh góc, hai tia hai cạnh của góc

- Gãc xOy kÝ hiƯu lµ xOy hc O

hc xOy

- Điểm O đỉnh góc - Hai cạnh góc : Ox, Oy

- Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối nhau

10 So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï.

- So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so s¸nh số đo chúng

- Hai góc xOy uIv đ-ợc kí hiệu là: xOy uIv

- Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:

   

xOyuIv uIv xOy

- Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, góc

vuông

- Góc nhỏ góc vuông góc nhọn

- Góc lớn góc vuông nhng nhỏ hơn góc bẹt góc tù.

11 Khi xOy yOz xOz

- Nếu tia Oy nằm hai tia Ox và Oz xOy yOz xOz

- Ngợc lại, xOy yOz xOz thì tia Oy nằm hai tia Ox vµ Oz

12 Hai gãc kỊ nhau, phơ nhau, bï nhau, kỊ bï

- Hai góc kề hai góc có một cạnh chung hai cạnh còn lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung. - Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900

- Hai gãc bï lµ hai gãc cã tỉng sè ®o b»ng 1800

- Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau đợc gọi hai góc k bự

13 Tia phân giác góc

- Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh Êy hai gãc b»ng - Khi:xOzzOy xOy vµ xOz = zOy   => tia Oz lµ tia phân giác góc xOy

- ng thng cha tia phân giác của góc đờng phân giác của góc (đờng thẳng mn đờng phân giác góc xOy)

a) Định nghĩa: Đờng thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm của đợc gọi đờng trung trực của đoạn thẳng ấy

b) Tỉng qu¸t:

a đờng trung trực AB

   

a AB t¹i I IA =IB

15 Các góc tạo đờng thẳng cắt hai đờng thẳng

a) Các cặp góc so le trong:



1

A vµ B ; A vµ B  2.

b) Các cặp góc đồng vị:

 

1

A vµ B ; A vµ B  2;

 

3

A vµ B ; A vµ B  4.

c) Khi a//b thì:

1

A B ; A vµ B  3 gäi lµ cặp

góc phía bù nhau

16 Hai đờng thẳng song song

a) DÊu hiÖu nhËn biÕt

- Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le trong bằng (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với nhau

b) Tiên đề Ơ_clít

- Qua điểm đờng thẳng có đờng thẳng song song với đờng thẳng đó

c, Tính chất hai đờng thẳng song song

- Nếu đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:

Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu a

I B

A

1

2

3

b a

B A

c

b a

 Hai gãc so le b»ng nhau;

 Hai góc đồng vị nhau;

 Hai gãc cïng phÝa bï nhau.

d) Quan hệ tính vuông góc với tính song song

- Hai đờng thẳng phân biệt vuông góc với đờng thẳng thứ ba chúng song song với nhau

a c

a / / b b c

     

- Một đờng thẳng vng góc với một trong hai đờng thẳng song song thì nó vng góc với đờng thẳng kia

c b

c a a / / b

 

  



e) Ba đờng thẳng song song

- Hai đờng thẳng phân biệt song song với đờng thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

a//c vµ b//c => a//b

17 Gãc tam giác

a) Định nghĩa: Góc một tam giác góc kề bù với góc của tam giác ấy

b) Tính chất: Mỗi góc tam giác tổng hai góc kh«ng kỊ víi nã

  

ACx AB

18 Hai tam gi¸c b»ng nhau

c

b a

c

b a

c b

a

x C

B

nhau hai tam giác có cạnh t-ơng ứng nhau, góc tt-ơng ứng nhau

     

ABC A 'B 'C '

AB A 'B '; AC A 'C '; BC B 'C ' A A '; B B '; C C '

 

  

   

  

 

b) C¸c trờng hợp hai tam giác *) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh

(c.c.c)

- Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác nhau

NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A ' B '

AC A 'C ' ABC A 'B 'C '( c.c.c ) BC B 'C '

 

 



   



 

*) Trêng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh

(c.g.c)

- Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen giữa tam giác hai tam giác nhau

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A ' B '

B B ' ABC A 'B 'C '( c.g.c) BC B 'C '

 

 

 

   



 



*) Trờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g)

Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu

C ' B'

A'

C B

C' B'

A'

C B

A

C' B'

A'

C B

- Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác đó nhau

 

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã: B B '

BC B 'C ' ABC A ' B 'C '(g.c.g ) C C '

 

 

 

   

  

c) Các trờng hợp hai tam giác vuông

 Trờng hợp 1: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng này bằng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng nhau.

 Trờng hợp 2: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh ấy tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai giác vng đó bằng nhau.

 Trờng hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vng kia hai tam giác vng nhau.

A

B C

A'

B' C'

C' B'

A' C B

A

C' B'

A' C B

 Trờng hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng nhau.

19 Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện trong tam giác)

- Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn hơn

 

ABC : NÕu AC > AB th× B > C



 Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn hơn ABC : Nếu B > C AC > AB 

20 Quan hệ đờng vng góc đờng xiên, đờng xiên và hình chiếu

Khái niệm đờng vng góc, đờng xiên, hình chiếu đờng xiên

- Lấy Ad, kẻ AHd, lấy Bd BH Khi đó:

- Đoạn thẳng AH gọi đờng vng góc kẻ từ A đến đờng thẳng d

- §iĨm H gọi hình chiếu A đ-ờng thẳng d

- Đoạn thẳng AB gọi đờng xiên kẻ từ A đến đờng thẳng d

- Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu của đờng xiên AB đ.thẳng d

Quan hệ đờng xiên đờng vng góc:

Trong đờng xiên đờng vng góc kẻ từ một điểm ngồi một đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vng góc đờng ngắn nhất.

Quan hệ đờng xiên hình chiếu:

Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu A

B

C A'

B'

C'

C' B'

A' C B

A

A

B C

d

B H

Trong hai đờng xiên kẻ từ điểm nằm đờng thẳng đến đờng thẳng ú, thỡ:

Đờng xiên có hình chiếu lớn lớn hơn

Đờng xiên lớn có hình chiếu lớn hơn

Nếu hai đờng xiên hai hình chiếu ngợc lại, hai hình chiếu hai đờng xiên nhau.

21 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác

- Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh lại.

AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB

- Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ hơn độ dài cạnh lại.

AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC

- Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hơn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại.

VD: AB - AC < BC < AB + AC

C B

- Ba đờng trung tuyến tam giác cùng qua điểm Điểm cách mỗi đỉnh khoảng

3 độ dài đờng

trung tuyến qua đỉnh ấy:

GA GB GC

DA  EB  FC 

G trọng tâm tam giác ABC

22 Tớnh chất ba đờng phân giác tam giác

- Ba đờng phân giác tam giác qua điểm Điểm này cách ba cạnh tam giác đó

- Điểm O tâm đờng trịn nội tiếp tam giác ABC

23 Tính chất ba đờng trung trực tam giác

- Ba đờng trung trực tam giác qua điểm Điểm này cách ba đỉnh tam giác đó

- Điểm O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

24 Phơng pháp chứng minh số toán (sử dụng cách sau đây)

a) Chứng minh tam giác cân

1 Chứng minh tam giác có hai cạnh nhau 2 Chứng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau

3 Chứng minh tam giác có đờng trung tuyến vừa đờng cao 4 Chứng minh tam giác có đờng cao vừa đờng phân giác ở

đỉnh

b) Chứng minh tam giác đều

1 Chứng minh tam giác có ba cạnh nhau 2 Chứng minh tam giác có ba góc nhau 3 Chứng minh tam giác cân có góc 600 c) Chứng minh tứ giác hình bình hành

1 Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành 2 Tứ giác có cạnh đối hình bình hành

3 Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành

4 Tứ giác có góc đối hình bình hành

Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu G

D

F E

C B

A

O

C B

A

O

C B

5 Tứ giác có hai đờng chéo cắt trung điểm mỗi đờng là hình bình hành

d) Chøng minh mét tø giác hình thang:

Ta chng minh t giác có hai cạnh đối song song

e) Chứng minh hình thang hình thang cân

1 Chứng minh hình thang có hai góc kề đáy nhau 2 Chứng minh hình thang có hai đờng chéo nhau

f) Chøng minh mét tø giác hình chữ nhật

1 Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật

2 Hình cân có góc vuông hình chữ nhật 3 Hình bình hành có góc vuông hình ch÷ nhËt

4 Hình bình hành có hai đờng chéo hình chữ nhật

g) Chøng minh tứ giác hình thoi

1 Tứ giác có bốn cạnh nhau

2 Hình bình hành có hai cạnh kề nhau

3 Hỡnh bình hành có hai đờng chéo vng góc với nhau

4 Hình bình hành có đờng chéo đờng phân giác mộtgóc

h) Chøng minh mét tứ giác hình vuông

1 Hỡnh ch nht có hai cạnh kề nhau 2 Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc

3 Hình chữ nhật có đờng chéo đờng phân giác góc 4 Hình thoi có góc vng

5 Hình thoi có hai đờng chéo nhau

25 Đờng trung bình tam giác, hình thang

a) Đờng trung bình tam giác

Định nghĩa: Đờng trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác

Định lí: Đờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nưa c¹nh Êy

DE đờng trung bình tam giác

1 DE / / BC, DE BC

2

 E

C B

Định nghĩa: Đờng trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang

nh lớ: Đờng trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy

EF đờng trung bình của hình thang ABCD

EF//AB, EF//CD, EF AB CD

 

26 Tam giỏc ng dng

a) Định lí Ta_lét tam gi¸c:

- Nếu đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ

AC ' AB '

B 'C '/ / BC ;

AB AC

AC ' C 'C

AB ' ; B 'B

B 'B C 'C AB AC

 

 

b) Định lí đảo định lí Ta_lét:

- Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác định trên hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ đờng thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác

VÝ dơ: AB ' AC ' B 'C '/ /BC

AB  AC  ; Các trờng hợp khác tơng tự c) Hệ định lí Ta_lét

- Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Hệ còn đúng trờng hợp đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại (

AC ' B 'C ' AB '

B 'C '/ / BC

AB AC BC

   )

d) Tính chất đờng phân giác tam giác:

Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu

F E

D C

B A

C'

B' a

C B

A

C' B'

a C

B

A

C' B'

a

C B

- Đờng phân giác (hoặc ngoài) tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn đó

DB AB

DC  AC

D 'B AB D 'C  AC e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng :

- Hai tam giác đồng dạng hai tam giác có góc tơng ứng bằng nhau cạnh tơng ứng tỉ lệ

     

A A '; B B '; C C '

ABC A ' B 'C ' AB AC BC

k( tỉ số đồng dạng ) A 'B ' A 'C ' B 'C '

   



   

  

 

f) Định lí hai tam giác đồng dạng:

- Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho

MN / / BC AMN ABC

*) Lu ý: Định lí trờng hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại

g) Các trờng hợp đồng dạng hai tam giác

*)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng.

NÕu ABC vµ A'B'C' cã:

AC BC

AB ABC A 'B 'C '(c.c.c )

A 'B ' A 'C' B 'C '

 

    

*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh của tam giác hai góc tạo cạnh hai tam giác đồng dạng

D' B C

A

D C

B

A

a N

M

C B

A

C ' B'

A'

C B

A

S

S

 

NÕu ABC vµ A'B'C' cã: BC

AB

A 'B ' B 'C ' ABC A ' B 'C'( c.g.c ) B B '

 



 

  

 

 

*)Trờng hợp 3: Nếu hai góc tam giác lần lợt hai góc của tam giác hai tam giác đồng dạng;

   

NÕu ABC vµ A'B'C' cã: A A '

ABC A ' B 'C '(g.g ) B B '

 

  

  

  

h) Các trờng hợp đồng dạng hai tam giác vuông

*)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vng có góc nhọn thì chúng đồng dạng.

   

0

NÕu ABC vµ A'B'C' cã: A A ' 90

ABC A ' B 'C ' C C'

 



  

  

  

*)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng.

Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu

C' B'

C B

A

C ' B'

A'

C B

A

C' B'

A’ C

B

A

S

S

Hai tam giác vuông ABC A'B'C' có: AC

AB ABC A 'B 'C '

A 'B '  A 'C'   

*)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng này tỉ lệ với cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng kia thì hai giác ú ng dng.

Hai tam giác vuông ABC A'B'C' cã: BC

AB ABC A 'B 'C '

A 'B '  B 'C'   

27 Tỉ số hai đờng cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng

- Tỉ số hai đờng cao tơng ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng

- Tỉ sơ diện tích hai tam giác đồng dạng bình phơng tỉ số đồng dạng

- Cơ thÓ : A 'B 'C ' ABC theo tØ sè k

=> A 'B 'C'

ABC

S

A 'H ' k vµ k

AH  S 

28 DiƯn tÝch c¸c h×nh

Sa b

Sa S ah

2

 S ah

2



1

S ah

2

 S (a b)h EF.h

2

  

C' B'

A' C

B

A

a h

a

h

a

F E

b

h

a

S

a

b h

a

S



S a h

1

S d d

2

 

29 Học sinh cần nắm vững toán dựng hình

(dựng thc thng, thc o độ, thớc có chia khoảng, compa, êke) a) Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc;

b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc;

c) Dựng đờng trung trực đoạn thẳng cho trớc, dựng trung điểm của đoạn thẳng cho trớc;

d) Dựng tia phân giác góc cho trớc;

e) Qua điểm cho trớc, dựng đờng thẳng vng góc với đờng thẳng cho trớc;

f) Qua điểm nằm đờng thẳng cho trớc, dựng đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trc;

g) Dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh kề góc xen giữa, hoặc biết cạnh hai góc kề.

Ngi vit : Giáo viên Phạm Văn Hiệu h

a d1

d

30 HƯ thøc lỵng tam giác vuông (lớp 9)

a) Mt s h thức cạnh đờng cao tam giác vuông



b ab'



c ac '

 2

a b c (Pi_ta_go)  bc = ah



h b ' c '

 12 12 12

b c h

 

b) Tỉ số lợng giác góc nhọn

nh nghĩa tỉ số lợng giác góc nhọn cạnh đối

sin

c¹nh hun

  cos c¹nh kỊ

c¹nh hun  

cạnh đối tg

c¹nh kỊ

  cot g c¹nh kÒ

cạnh đối  

 Mét sè tính chất tỉ số lợng giác

+) Định lí tỉ số lợng giác hai góc phụ nhau Cho hai góc α β phụ Khi đó:

sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ.

+) Cho 0

0   90 Ta cã:

0sin 1; 0cos 1; sin2 cos2 1 tg sin ; cot g cos ; tg cot g

cos sin

 

      

 

 So s¸nh tỉ số lợng giác

0

1 2 2

0     90 sin sin ;cos cos ;tg tg ;cot g cot g c) Mét sè hÖ thức cạnh góc tam giác vuông

a H

h

b' b c'

c

C B

A

b = a.sinB; c = a.sinC b = a.cosC; c = a.cosB b = c.tgB; c = b.tgC b = c.cotgC; c = b.cotgB

=> a = b c b c

sinB  sinC  cosC  cosB

31 Đờng tròn, hình tròn, góc tâm, số đo cung

- Đờng tròn tâm O, bán kính R hình gồm điểm cách O khoảng b»ng R, kÝ hiƯu (O ; R).

- Hình trịn hình gồm điểm nằm trên đờng trịn điểm nằm bên trong đờng trịn đó.

- Trên hình vẽ:

+) Cỏc im A, B, C, D nằm (thuộc) đờng tròn; OA = OB = OC = OD = R +) M nằm bên đờng tròn; OM < R +) N nằm bên ngồi đờng trịn; ON > R +) Đoạn thẳng AB dây cung (dây) +) CD = 2R, đờng kính (dây cung lớn nhất, dây qua tâm)

+) AmB lµ cung nhá ( 0

0   180 )

+) AnB lµ cung lín

+) Hai điểm A, B hai mút cung - Góc có đỉnh trùng với tâm đờng trịn đ-ợc gọi góc tâm (AOB góc tâm

ch¾n cung nhá AmB)

- Góc bẹt COD chắn nửa đờng tròn - Số đo cung:

+) Số đo cung nhỏ số đo của góc tâm chắn cung



s® AmB (00   1800)

+) Sè ®o cđa cung lín b»ng hiệu giữa 3600 số đo cung nhỏ (có chung

hai mót víi cung lín)



s® AnB 360  

+) Số đo nửa đờng tròn 1800,

số đo đờng trịn 3600

32 Quan hệ vng góc đờng kính dây

Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu 

0

180

 

0

- Trong đờng trịn, đờng kính vng góc với dây qua trung điểm của dây ấy

AB CD t¹i H => HC = HD

- Trong đờng trịn, đờng kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây ấy

33 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây

Định lí 1: Trong đờng tròn

a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm nhau

AB = CD => OH = OK OH = OK => AB = CD

Định lí 2: Trong hai dây đờng trịn a) Dây lớn dây gần tâm hơn b) Dây gần tâm dây lớn hơn

AB < CD => OH > OK OH > OK => AB < CD

34 Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng trịn

a) Đờng thẳng đờng trịn cắt (có hai im chung)

- Đờng thẳng a gọi cát tuyến (O) d = OH < R HA = HB = 2

R  OH

b) Đờng thẳng đờng tròn tiếp xúc nhau (cú mt im chung)

- Đờng thẳng a tiếp tuyến (O) - Điểm chung H tiÕp ®iĨm

d = OH = R

*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu đờng thẳng là tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm.

a tiếp tuyến (O) H => a OH c) Đờng thẳng đờng trịn khơng giao nhau (khơng có điểm chung)

d = OH > R

dÊu hiÖu sau:

 Dấu hiệu 1: Đờng thẳng đờng trịn có điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến)

 Dấu hiệu 2: Đờng thẳng qua điểm đờng trịn vng góc với bán kính qua điểm

 

H O

a lµ tiÕp tun cđa (O) a OH t¹i H



 

 

 

36 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; đờng tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác

a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt điểm thì:

 Điểm cách hai tiếp điểm

 Tia kẻ từ điểm qua tâm là tia phân giác góc tạo bởi hai tiếp tuyến

 Tia kẻ từ tâm qua điểm là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp điểm.



ABAC;OABOAC;AOB AOC b) Đờng tròn nột tiếp tam gi¸c

- Đờng trịn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đợc gọi đờng tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi tam giác ngoại tiếp đờng tròn

- Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác giao điểm đờng phân giác góc tam giác

c) Đờng tròn bàng tiếp tam giác

- ng trũn tiếp xúc với cạnh của một tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi đờng tròn bàng tiếp tam giác

- Tâm đờng tròn bàng tiếp là giao điểm hai đờng phân giác các góc ngồi hai đỉnh đó hoặc giao điểm đờng phân giác góc đờng phân giác góc đỉnh

- Với tam giác có ba đờng trịn bàng tiếp (hình vẽ đ-ờng trịn bàng tiếp góc A)

37 Vị trí tơng đối hai đờng trịn, tiếp tuyến chung hai đờng tròn.

a) Hai đờng trịn cắt nhau

(cã hai ®iĨm chung) - Hai điểm A, B hai giao điểm - Đoạn thẳng AB dây chung

R - r < OO' < R + r

- Đờng thẳng OO’ đờng nối tâm, đoạn thẳng OO’ đoạn nối tâm

*) Tính chất đ ờng nối tâm : Đờng nối tâm đờng trung trực dây chung

b) Hai đờng tròn tiếp xúc nhau

(cã điểm chung) - Điểm chung A gọi tiếp điểm

+) Tiếp xúc A:

OO'Rr

+) TiÕp xóc t¹i A:

OO'R r

c) Hai đờng trịn khơng giao nhau

(kh«ng có điểm chung) +) nhau:

OO'Rr

+) §ùng nhau:

OO'R r

+) Đặc biệt (O) (O’) đồng tâm:

OO'0

d) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn

đoạn nối tâm

- Tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm

38 So sỏnh hai cung đờng tròn hay hai đờng tròn nhau.

- Hai cung đợc gọi chúng có số đo nhau - Trong hai cung, cung có số đo lớn đợc gọi cung lớn hơn - Kí hiệu: AB CD; EF  GH GH EF

39 Liên hệ cung dây.

*) Định lí 1:

Vi hai cung nhỏ đờng tròn hay trong hai đờng trũn bng nhau:

a) Hai cung căng hai dây nhau b) Hai dây căng hai cung b»ng nhau

   

ABCDABCD ; AB CDAB CD

*) Định lí 2:

Với hai cung nhỏ đờng tròn hay trong hai đờng tròn nhau:

a) Cung lớn căng dây lớn hơn b) Dây lớn căng cung lớn hơn

ABCDABCD ; AB CDAB CD

40 Gãc néi tiÕp

a) Định nghĩa:

- Gúc ni tip l góc có đỉnh nằm đờng trịn hai cạnh chứa hai dây cung đ-ờng trịn

- Cung nằm bên góc đợc gọi cung b chn

b) Định lí:

Trong mt đờng trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn



BAC là góc nội tiếp chắn

cung nhỏ BC(hình a) và chắn cung lớn BC(hình b)

BAC

 s® BC

c) Hệ quả: Trong đơng trịn

+) C¸c gãc néi tiếp chắn cung nhau

+) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung bằng nhau nhau

+) Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo của

góc tâm ch¾n mét cung

+) Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng.

41 Gãc t¹o bëi tia tiếp tuyến dây cung

a) Kh¸i niƯm:

- Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh nằm đờng tròn, cạnh một tia tiếp tuyến cạnh chứa dây cung của đờng tròn

- Cung nằm bên góc cung bị chắn - Hình vẽ:

BAx chắn cung nhỏ AmB

 BAy ch¾n cung lín AnB

b) Định lí:

- Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn

c) Hệ quả:

Trong đờng trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn một cung nhau.



BAx ACB 12s®AmB

 

 

1

BAx s® AmB

1

BAy s® AnB

 

42 Góc có đỉnh bên đờng trịn Góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn.

a) Góc có đỉnh bên đờng trịn.

- Góc có đỉnh nằm bên đờng trịn đợc gọi là góc có đỉnh bên đờng trịn

- Hình vẽ: BEC góc có đỉnh bên đ-ờng tròn chắn hai cung BnC , AmD 

- Số đo góc có đỉnh bên đờng trịn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

 s®BnC s® AmD  BEC

2



 n

m

o e

c

b

- Góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn góc có đỉnh nằm ngồi đờng trịn cạnh có điểm chung với đờng tròn

- Hai cung bị chắn hai cung nằm bên trong góc, hình vẽ bên: BEC góc có đỉnh bên

ngồi đờng trịn, có hai cung bị chắn là

 

AmD vµ BnC

- Số đo góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

 s®BnC s® AmD  BEC

2

 

43 KÕt qu¶ toán quỹ tích cung chứa góc

a) Bài toán: Với đoạn thẳng AB góc (

0

0   180 ) cho tríc quỹ tích điểm M

thỏa mÃn AMB hai cung chứa góc

dựng đoạn thẳng AB

- Hai cung cha gúc dựng đoạn thẳng AB đối xứng với qua AB

- Khi α = 900 th× hai cung chøa gãc lµ hai nưa

đờng trịn đờng kính AB, suy ra: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới góc vng đờng trịn đờng kính AB (áp dụng kiến thức để chứng minh tứ giác nội tiếp)

Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu

E

O D

B

C

A m

n

1

2

b) C¸ch vÏ cung chøa gãc α

- Vẽ đờng trung trực d đoạn thẳng AB. - Vẽ tia Ax tạo với AB góc  ( BAx = ) - Vẽ tia Ay vng góc với tia Ax Gọi O giao điểm Ay với d

- Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.

c) Cách giải toán quỹ tÝch

Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất T hình H đó, ta chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T

KÕt ln: Q tích (hay tập hợp) điểm M có tính chất T hình H

44 Tứ giác nội tiếp

a) Kh¸i niƯm tø gi¸c néi tiÕp

- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng tròn (gi tt l t giỏc ni tip)

b) Định lÝ:

- Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tỉng sè ®o hai gãc

đối diện 1800 Tứ giác ABCD nội

tiÕp (O), suy ra:

   

ACBD180 c) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp

 Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

 Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối

diƯn

 Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định

đ-ợc) Điểm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác

 Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại

díi mét gãc α L

- Đờng tròn qua tất đỉnh đa giác đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác đợc gọi đa giác nội tiếp đờng tròn - Đờng tròn tiếp xúc với tất cạnh của một đa giác đợc gọi đờng tròn nội tiếp đa giác đa giác đợc gọi đa giác ngoại tiếp đ-ờng trịn

- Bất kì đa giác có chỉ một đờng trịn ngoại tiếp, có đ-ờng trịn nội tiếp.

- Trong đa giác đều, tâm đờng tròn ngoại tiếp trùng với tâm đờng tròn nội tiếp đ-ợc gọi tâm đa giác đều.

46 Một số định lí đợc áp dụng : (khụng cn chng minh)

a) Định lí 1:

+) Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm của cạnh huyền

+) Nếu tam giác có cạnh đờng kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác tam giỏc vuụng

b) Định lí 2:

Trong mt đờng tròn, hai cung bị chắn hai dây song song thỡ bng nhau

c) Định lí 3:

Trong đờng trịn, đờng kính qua điểm một cung qua trung điểm dõy cng cung y.

d) Định lí 4:

Trong đờng trịn, đờng kính qua trung điểm dây cung (khơng phải đờng kính) chia cung căng dây thành hai cung bằng nhau

e) Định lí 5:

Trong mt ng trịn, đờng kính qua điểm một cung vng góc với dây căng cung ngợc lại, đờng kính vng góc với dây qua điểm cung căng dây ấy.

47 Độ dài đờng tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn

a) Độ dài đờng trịn

Cơng thức tính độ dài đờng trịn (chu vi hình trịn) bán kính R là:

C =2 R  Hc C =d

Trong đó: C : độ dài đờng tròn R: bán kính đờng trịn d: đờng kính đờng tròn

Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu

3,1415

  số vô tỉ.

b) Độ dài cung tròn

Độ dài cung tròn n0 là:

180 R n l Trong đó: l : độ dài cung tròn n0

R: bán kính đờng trịn n: số đo độ góc tâm

c) DiƯn tÝch hình tròn

S R

Trong ú:

S : diện tích hình tròn R : bán kính hình tròn  , 14

d) DiÖn tích hình quạt tròn

quat R S =

360

n



Hc

2



quat

R S

Trong đó:

S lµ diƯn tÝch hình quạt tròn cung n0

R bán kÝnh

l độ dài cung n0 hình quạt trịn  , 14

48 Ph¬ng pháp chứng minh số toán hình học thờng gặp khi ôn thi vào THPT

a) Chứng minh tam giác cân

1 Chứng minh tam giác có hai cạnh nhau 2 Chứng minh tam giác cã hai gãc b»ng nhau

3 Chứng minh tam giác có đờng trung tuyến vừa đờng cao 4 Chứng minh tam giác có đờng cao vừa đờng phân giác ở

đỉnh

b) Chứng minh tam giác đều

1 Chứng minh tam giác có ba cạnh nhau 2 Chứng minh tam giác có ba góc nhau 3 Chứng minh tam giác cân có góc 600 c) Chứng minh tứ giác hình bình hành

1 Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành 2 Tứ giác có cạnh đối hình bình hành

3 Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành

4 Tứ giác có góc đối hình bình hành

Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song

e) Chøng minh mét h×nh thang hình thang cân

1 Chng minh hỡnh thang có hai góc kề đáy nhau 2 Chứng minh hình thang có hai đờng chéo nhau

f) Chứng minh tứ giác hình chữ nhật

1 Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật

2 Hình cân có góc vuông hình chữ nhật 3 Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật

4 Hỡnh bình hành có hai đờng chéo hình ch nht

g) Chứng minh tứ giác hình thoi

1 Tứ giác có bốn cạnh nhau

2 Hình bình hành có hai cạnh kề b»ng nhau

3 Hình bình hành có hai đờng chéo vng góc với nhau

4 Hình bình hành có đờng chéo đờng phân giác gúc

h) Chứng minh tứ giác hình vu«ng

1 Hình chữ nhật có hai cạnh kề nhau 2 Hình chữ nhật có hai đờng chéo vng góc

3 Hình chữ nhật có đờng chéo đờng phân giác góc 4 Hình thoi có góc vng

Hình thoi có hai đờng chéo nhau

i) Chứng minh hai ng thng vuụng gúc

Ph ơng pháp : NÕu hai gãc cđa mét tam gi¸c cã tỉng b»ng 900 th×

tam giác tam giác vng => góc cịn lại 900 => hai

đ-ờng thẳng chứa hai cạnh góc vuông vu«ng gãc víi nhau.

 Ph ơng pháp : Nếu đờng thẳng vng góc với hai đ-ờng thẳng song song vng góc với đđ-ờng thẳng kia

 Ph ơng pháp : Vận dụng tính chất, tam giác có đờng trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác là tam giác vng => hai đờng thẳng chứa hai cạnh góc vng là vng góc với nhau.

 Ph ơng pháp 4: Vận dụng tính chất ba đờng cao tam giỏc

Ph ơng pháp : Vận dụng hai gãc kỊ phơ (hai gãc kỊ cã tỉng bằng 900)

Ph ơng pháp : Vận dụng tính chất hai cạnh kề hình chữ nhật, hình vuông vuông góc với nhau

Ph ¬ng ph¸p : VËn dơng tÝnh chÊt cđa tam giác cân

Trong tam giỏc cõn, ng phõn giỏc, đờng trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời đờng cao

 Ph ơng pháp : Vận dụng tính chất hai đờng chéo hình thoi vng góc với nhau

 Ph ơng pháp : Vận dụng hai tam giác đồng dạng với (hoặc hai tam giác nhau), có tam giỏc vuụng.

Ph ơng pháp 10 : Vận dụng tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù vuông góc với nhau

Ph ơng pháp 11 : Dựa vào định lí đảo định lí Py - ta - go

 Ph ¬ng ph¸p 12 : Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp cã mét gãc b»ng 900,

suy góc đối diện 900 => hai đờng thẳng chứa hai

cạnh góc vuông góc với nhau.

 Ph ơng pháp 13 : Vận dụng tính chất đờng nối tâm

 Ph ơng pháp 14 : Vận dụng định nghĩa đờng trung trực.

k) Chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau

 Ph ơng pháp : Chứng minh hai đờng thẳng chứa hai cạnh đối của hình bình hành (hoặc hình chữ nhật, hình vng, hình thoi)

 Ph ơng pháp : Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song: Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với nhau

 Ph ơng pháp : Hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba song song với nhau.

 Ph ơng pháp : Hai đờng thẳng vng góc với đờng thẳng thứ ba song song với nhau.

 Ph ơng pháp : áp dụng định lí đảo định lí Ta - lét

m) Chøng minh hai gãc b»ng nhau

 Ph ơng pháp : Chứng minh hai góc hai góc tơng ứng hai tam giác

 Ph ơng pháp : Chứng minh hai góc hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng

 Ph ơng pháp : Chứng minh hai góc vị trí đối đỉnh

 Ph ơng pháp : Nếu hai đờng thẳng song song => hai góc so le trong nhau, hai góc đồng vị nhau.

 Ph ơng pháp : Chứng minh hai góc tam giác cân  Ph ơng pháp : Chứng minh hai góc mt tam giỏc u

Ph ơng pháp : Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba

Ph ơng pháp : Chứng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c

 Ph ơng pháp : Chứng minh hai góc phơ hc cïng bï víi mét gãc thø ba

Ph ơng pháp 10 : Chứng minh hai góc nội tiếp chắn cung hoặc chắn hai cung nhau

Ph ơng pháp 11 : Chứng minh hai gãc cã sè ®o b»ng nhau.

n) Chứng minh hai đoạn thẳng nhau

Ph ơng pháp : Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh tơng ứng của hai tam giác nhau

 Ph ơng pháp : Sử dụng tính chất hai đờng chéo hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng cắt trung điểm mỗi ng

Ph ơng pháp : Vận dụng tính chất hai cạnh bên tam giác cân bằng nhau

 Ph ơng pháp : Vận dụng tính chất ba cạnh tam giác bằng nhau

 Ph ơng pháp : Vận dụng cạnh đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi , hình vng.

 Ph ơng pháp : Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba

Ph ơng pháp : Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh bên của hình thang cân

Ph ơng pháp : Trong đờng tròn hai đờng tròn bằng nhau, hai dây căng hai cung nhau

 Ph ơng pháp : Trong đờng tròn hai đờng trịn bằng nhau, hai dây cách tâm nhau

 Ph ơng pháp 10 : Vận dụng định lí, đờng thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai thì qua trung điểm cạnh thứ ba

 Ph ơng pháp 11 : Vận dụng định nghĩa đờng trung trực.

 Ph ơng pháp : Vận dụng tiên đề ơ-clít

Qua điểm ngồi đờng thẳng, có đờng thẳng song song với đờng thng ó cho

Ph ơng pháp : VËn dơng tÝnh chÊt:

Qua điểm ngồi đờng thẳng, có đờng thẳng vng góc với đờng thẳng cho

 Ph ơng pháp : Chứng minh đờng thẳng vẽ qua hai điểm đi qua điểm lại.

 Ph ơng pháp : Vận dụng tính chất hình bình hành là hai đờng chéo chúng cắt trung điểm đờng.

p) Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy

 Ph ơng pháp : Dựa vào tính chất đờng đồng quy tam giác: Ba đờng cao, ba đờng trung tuyến, ba đờng phân giác, ba đ-ờng trung trực.

 Ph ơng pháp : Chứng minh giao điểm hai đờng thẳng nằm trên đờng thẳng thứ ba.

 Ph ơng pháp : Chứng minh đờng qua điểm cố định.

L

u ý : Các phơng pháp đợc vận dụng kĩ khác nhau.

q) Chứng minh điểm thuộc đờng tròn

 Ph ơng pháp : Chứng minh điểm cách điểm cố định, khoảng cách bán kính đờng trịn.

 Ph ơng pháp : Nếu điểm nhìn đoạn th¼ng díi gãc

90 ,

thì theo quỹ tích cung chứa góc, điểm thuộc đờng trịn nhận đoạn thẳng đờng kính

 Ph ơng pháp : Nếu chứng minh bốn điểm thuộc đờng trịn, ta chứng minh tứ giác nội tiếp

 Ph ơng pháp : Nếu chứng minh bốn điểm thuộc đờng trịn, ta chứng minh bốn điểm bốn đỉnh hình vng, hình chữ nhật, hình thang cân.

r) Chứng minh quỹ tích điểm đờng trịn  B ớc : Tìm điểm cố định

 B ớc : Chứng minh khoảng cách điểm chuyển động với điểm cố định khơng đổi.

 B íc : KÕt luËn

Điểm chuyển động đờng tròn, nhận điểm cố định làm tâm, khoảng cách không đổi bỏn kớnh.

s) Chứng minh tứ giác tø gi¸c néi tiÕp

 Ph ơng pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

 Ph ơng pháp 2: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc trong

của đỉnh đối diện

 Ph ơng pháp 3: Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta có

thể xác định đợc) Điểm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác

 Ph ơng pháp 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa

hai đỉnh cịn lại dới góc

Ph ơng pháp 5: Để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp ta có

thể chứng minh tứ giác hình : Hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân.

t) Chứng minh đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn; chứng minh đờng thẳng tiếp tuyến chung hai đờng tròn

 Ph ơng pháp : Chứng minh đờng thẳng qua điểm của đờng trịn vng góc với bán kính qua điểm đó.

 

H O

a lµ tiÕp tuyÕn cđa (O) a OH t¹i H



 

 

 

 Ph ¬ng ph¸p :

ĐĐể chứng minh đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) điểm A ta chứng minh góc tạo đờng thẳng d với dây AB góc nội tiếp chắn cung AB.

Cho h×nh vÏ:

NÕu BAx ACB d tiếp tuyến của

ng trũn

 Ph ơng pháp 3 : Sử dụng định lí đảo định lí về góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

Cho h×nh vÏ:

NÕu BAx s® AmB

 Ax tia tiếp tuyến đờng tròn

u) Phơng pháp chứng minh hệ thức liên hệ đoạn thẳng, cạnh hai tam giác, đoạn thẳng với bán kính đờng trịn ,

Ph ơng pháp : áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông

Ph ng pháp : Chứng hai tam giác đồng dạng

 Ph ơng pháp : Vận dụng hai cặp tam giác đồng dạng để có tỉ số trung gian (nguyên tắc bắc cầu)

a c

b d a a' hay ab' = a'b b b'

a' c b' d

 



 

  



 Ph ơng pháp : Vận dụng công thức tính diện tÝch tam gi¸c

 Ph ơng pháp : Vận dụng định lí Py - ta - go

 Ph ơng pháp : Phơng pháp định lợng (tính tốn hai vế)

*) Hãy giữ phím ctrl nhấn vào đờng link - http://quanghieu030778.violet.vn

phân dạng phơng pháp giải

Môn : Đại Số - THCS

Website: http://quanghieu030778.violet.vn

I - Các loại phơng trình

1 Phơng trình bậc nhất

- Phơng trình bậc phơng trình có dạng ax + b = (a0)

- Phơng trình có nghiệm x = b

a



- Chó ý: NÕu phơng trình chứa tham số ta chuyển dạng Ax = B và xét trờng hợp sau:

Nếu A 0 phơng trình có nghiệm x = B A



 NÕu A = , B 0 phơng trình trở thành 0.x = B

=> phơng trình vô nghiệm

Nếu A = 0, B = => phơng trình vô số nghiệm

2 Phơng trình tích

- Phơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0

- Cách giải: A(x).B(x) = <=> A(x) = B(x) = 0 - Trình bày gọn : A(x).B(x) = <=> A( x )

B( x )

 

 



- Më réng: A(x).B(x).C(x) = <=>

A( x ) B( x ) C( x )

    

3 Phơng trình chứa ẩn mẫu

- Giải phơng trình chứa ẩn mẫu ta thùc hiƯn theo bíc:

 Bíc 1: Tìm ĐKXĐ phơng trình

Bc 2: Quy đồng mẫu hai vế phơng trình khử mẫu

 Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc

 Bíc 4: (kÕt luËn)

Trong giá trị ẩn tìm đợc bớc 3, giá trị thỏa mãn ĐKXĐ nghiệm phơng trình cho, giá trị x khơng thuộc ĐKXĐ nghiệm ngoại lai (loại đi)

4 Phơng trình cha du giỏ tr tuyt i

- Định nghĩa: A A nÕu A A nÕu A <

 

  

- Các dạng phơng trình

f ( x )  0 f ( x )0

 f ( x ) k( k0 )f ( x )k  f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )

f ( x ) g( x )

 

  

 

Hay f ( x ) g( x ) f ( x )2 g( x )2, ®a vỊ phơng trình tích

f ( x ) g( x ) <=>

f ( x ) f ( x ) g( x )

f ( x ) f ( x ) g( x )

                hc <=>

g( x ) f ( x ) g( x )

g( x ) f ( x ) g( x )

               

Hc <=> g( x )

f ( x ) g( x ) hc f ( x ) g( x )

      Hc <=>

 2  2

g( x )

f ( x ) g( x )

      

- Chó ý: A2 A2; A A vµ A  B AB A  B

5 Phơng trình vô tỉ

f ( x ) A( A0 )f ( x )A2 (víi f(x) lµ mét ®a thøc)



 2

f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )

f ( x ) g( x )



f ( x ) f ( x ) g( x ) g( x )

f ( x ) g( x )

 



  

 



*)Lu ý: Hầu hết giải phơng trình chứa ẩn căn, ta cần xác định điều kiện có nghĩa phơng trình điều kiện tơng đơng. Nếu khơng có th th li trc tip.

6 Phơng trình trùng phơng

Phơng trình trùng phơng phơng trình có d¹ng:

4

ax bx  c (a0 )

Đặt x2 = t (t0), phơng trình trùng phơng trở thành phơng trình

bậc hai Èn t :

at bt c 0 (*)

 Giải phơng trình (*), lấy giá trị thích hợp thỏa mãn t0  Thay vào đặt x2 = t tìm x = ?

7 Phơng trình bậc cao

a) Phơng trình bậc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = 0

Hớng dẫn: Nhẩm nghiệm (nếu có nghiệm ngun nghiệm đó là ớc hạng tử tự d) dùng sơ đồ Hooc- ne hoặc dùng máy tính để tìm nhanh nghiệm nguyên phơng trình, khi biết nghiệm dễ dàng phân tích VT dới dạng tích giải phơng trình tích (hoặc chia đa thc)

b) Phơng trình bậc bốn dạng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

Hớng dẫn: Phơng pháp tơng tự nh phơng trình bậc ba trên

c) Phơng trình bậc bốn dạng:

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (víi d = c a

      ).

Ph

ng ph p:

Với x = 0, thay vào phơng trình kiểm tra xem x = có là nghiệm hay không ?

Với x 0 Chia hai vế cho x2, sau ta đặt t = x + c ax d) Phơng trình bậc dạng:

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m) Ph

ng ph p: Đặt t = x2 + mx + abcd e) Ph¬ng trình bậc bốn dạng:

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k)

Ph

¬ ng ph ¸ p:

Chia c¶ hai vÕ cho x2 Đặt t = x + k x

II- Bất phơng trình bậc ẩn

1) Định nghÜa:

Một bất phơng trình dạng ax + b > (hoặc ax + b < 0) với a 0 c

gọi bất phơng trình bậc ẩn

2) Cách giải: ax + b > <=> ax > - b NÕu a > th× x b

a

 

NÕu a < th× x b a

 

3) KiÕn thøc cã liªn quan:

 Hai bất phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm dùng kí hiệu <=> để tơng đơng đó

 Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử (là số đa thức) từ vế sang vế bất phơng trình ta phải đổi dấu hạng tử đó => ta xóa hai hạng tử giống hai vế

 Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phơng trình với cùng một số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT số dơng; đổi chiều BPT số âm

4) Tính chất bất đẳng thức

- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c

- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu) a > b, c > d => a + c > b + d a > b > 0, c > d > => ac > b - Víi mäi sè thùc a, b, c,

+ NÕu c > th× a > b <=> ac > bc + NÕu c < th× a > b <=> ac < bc

- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> 3

a  b vµ a > b <=> a3 b3

- NÕu a0, b0 th× a > b <=> a  b vµ a > b <=> 2

a  b

- Giá trị tuyệt đối biểu thức A

A, nÕu A A

A, nÕu A <

 

  

Ta cã: A2≥ 0, |A| ≥ 0,

A A

- Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b hai số thực khơng âm, ta có:

a b ab

2

  DÊu “=” x¶y <=> a = b

III – Các dạng tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, bậc hai, bậc ba Dạng : Rút gọn tính giá trị biểu thức hữu tỉ

- Khi thùc hiƯn rót gän mét biĨu thøc h÷u tỉ ta phải tuân theo thứ tự thực phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau Còn biểu thức có dấu ngoặc thực theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn.

- Với tốn tìm giá trị phân thức phải tìm điều kiện biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0)

2 Dạng : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

- BiĨu thøc cã d¹ng A

B xác định (có nghĩa) B 0

- Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) A 0

- BiĨu thøc cã d¹ng A

B xác định (có nghĩa) B > 0

- BiÓu thøc cã d¹ng A B

C

 xác định (có nghĩa) A

C

  

- BiÓu thøc cã d¹ng A B C

 xác định (có nghĩa) A

C

  

 

3 Dạng : Rút gọn biểu thức chứa bậc hai, bậc ba

Lớ thuyt chung: a) Các công thức biến đổi thức

1)

A A

2) AB  A B ( víi A 0 vµ B 0)

3) A A (víi A vµ B > 0)

B  B 

4)

A B A B (víi B0)

5)

A B  A B (víi A0 vµ B0)

2

A B  A B (víi A < vµ B 0)

6) A AB (víi AB vµ B 0)

B  B  

7) A A B (víi B > 0) B

B



8)  

2

C A B

C (víi A 0 vµ A B )

A B A B

  

 



9) C C A B  (víi A 0 , B 0 vµ A B) A B

A B

   

 



*) L u ý :

Để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai ta làm nh sau : - Quy đồng mẫu số chung (nếu có)

- Đa bớt thừa số dấu (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có)

- Thực phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , … theo thứ tự biết để làm xuất thức đồng dạng - Cộng, trừ biểu thức đồng dạng (các thức đồng dạng) b) Các đẳng thức quan trọng, đáng nhớ:

1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    

( a b) a a.b b (a,b 0) 2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

    

( a b) a a.b b (a,b 0) 3) a2 - b2 = (a + b).(a - b)

    

a b ( a b).( a b) (a,b 0)

4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

6) a3 b3 (a b)(a  abb )2

   

         

a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

7) a3  b3 (a b)(a ab b )

   

         

a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

9) ( a b c)2   a b c2 ab2 ac2 bc (a,b,c 0)

10) a2 a

Phân dạng tập chi tiết

D¹ng 3.1 : TÝnh – Rót gän biĨu thøc điều kiện Dạng 3.2 : Rút gọn biểu thøc cã ®iỊu kiƯn

Dạng 3.3 : Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Dạng 3.4 : Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức Dạng 3.5 : Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

Dạng 3.6 : Tìm giá trị biến biết dấu biểu thức Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau rút gọn Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Dạng 3.9 : Bài tập tổng hợp

IV Các dạng toán hàm số

Lí thuyết chung

1) Khái niệm hàm số (kh¸i niƯm chung).

Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với mỗi giá trị x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y thì y đợc gọi hàm số x x đợc gọi biến số.

*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ;

*) Chó ý:

Khi đại lợng x thay đổi mà y nhận giá trị khơng đổi y đợc gọi l hm hng.

*) Ví dụ: Các hàm y = 2; y = - 4; y = 7; .

2) Các cách thờng dùng cho hàm số a) Hàm số cho bảng.

b) Hàm số cho công thức.

- Hm hng: hàm có cơng thức y = m (trong x biến, m )

-Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng cơng thức y = ax + b Trong đó: x biến,a,b, a0

a số góc, b tung độ gốc.

Chú ý: Nếu b = hàm bậc cã d¹ng y = ax (a0)

(trong x biến, a,b,c, a 0).

Chú ý: Nếu c = hàm bậc hai cã d¹ng y = ax2 + bx (



a 0) NÕu b = c = hàm bậc hai có dạng y = ax2 (



a 0)

3) Khái niệm hàm đồng biến hàm nghịch biến.

Cho hàm số y = f(x) xác định với x   Với x1, x2 thuộc

R

a) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) tăng lên hàm số y = f(x) đợc gọi hàm đồng biến.

Nếu x1 x mà f(x ) < f(x )2 1 2 hàm số y = f(x) đồng biến R

b) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tơng ứng f(x) giảm thì hàm số y = f(x) đợc gọi hàm nghịch biến.

NÕu x1 x mà f(x ) > f(x )2 1 2 hàm số y = f(x) nghịch biến /R

4) Dấu hiệu nhận biết hàm đồng biến hàm nghịch biến. a) Hàm số bậc y = ax + b (a0).

- Nếu a > hàm số y = ax + b đồng biến .

- Nếu a < hàm số y = ax + b nghịch biến .

b) Hàm bậc hai ẩn số y = ax2 (a0) nhận biết đồng biến và

nghÞch biÕn theo dÊu hiƯu sau:

- Nếu a > hàm đồng biến x > 0, nghịch biến x < 0. - Nếu a < hàm đồng biến x < 0, nghịch biến x > 0.

5) Khái niệm đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ.

Chú ý: Dạng đồ thị:

a) Hµm h»ng.

Đồ thị hàm y = m (trong đó x biến, m ) đ-ờng thẳng song song với trục Ox.

Đồ thị hàm x = m (trong đó y biến, m ) đ-ờng thẳng ln song song

víi trôc Oy.

b) Đồ thị hàm số y = ax (a0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) qua gốc toạ độ.

*) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau vẽ đờng thẳng qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax (a0)

c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b 0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm (b

a

, 0).

*) Cách vẽ: Có hai cách vẽ bản

+) Cách 1: Xác định hai điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau:

Cho x = => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)

Vẽ đờng thẳng qua hai điểm A B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0)

+) Cách 2: Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ, cụ thể: Cho x = => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy

Cho y = => x = b

a

 , ta đợc N( b

a

 ; 0) Ox

Vẽ đờng thẳng qua hai điểm M N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0)

d) Đồ thị hàm số y = ax2 (

a 0) đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0) Nhận trục Oy làm trục đối xứng

- Đồ thị phía trục hoành a > 0. - Đồ thị phía dới trục hoµnh nÕu a < 0.

O x

y

a <

O

x y

*) Hai đờng thẳng y = ax + b (a0) y = a’x + b’ (a'0)

+ Trïng nÕu a = a’, b = b’.

+ Song song víi nÕu a = a’, bb’.

+ C¾t nÕu a a’.

+ Vu«ng gãc nÕu a.a’ = -1 .

*) Hai đờng thẳng ax + by = c a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0) +

Trïng nÕu a b c

a '  b '  c '

+

Song song víi nÕu a b c

a '  b '  c '

+

C¾t nÕu a b

a '  b '

7) Góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a0) trục Ox

Giả sử đờng thẳng y = ax + b (a0) cắt trục Ox điểm A.

Góc tạo đờng thẳng y = ax + b (a0) góc tạo tia Ax tia

AT (với T điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ d-ơng).

-Nếu a > góc  tạo đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo cơng thức nh sau: tg a (cần chứng minh đợc dùng).

Nếu a < góc  tạo đờng thẳng y = ax + b với trục Ox đợc tính theo cơng thức nh sau:

 1800   với tg a (cần chứng minh c dựng).

Phân dạng tập chi tiết

Dạng 1: Nhận biết hàm số

Dạng 2: Tính giá trị hàm số, biến số.

Dng 3: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a0).

- Nếu a > hàm số y = ax + b đồng biến .

- Nếu a < hàm số y = ax + b nghịch biến .

b) Hàm bậc hai ẩn số y = ax2 (a0) nhận biết đồng biến và Ngửụứi vieỏt : Giaựo viẽn Phám Vaờn Hieọu

A

T



x y

O (a > 0)

A T



x y

O (a < 0)

nghÞch biÕn theo dÊu hiƯu sau:

- Nếu a > hàm đồng biến x > 0, nghịch biến x < 0. - Nếu a < hàm đồng biến x < 0, nghịch biến x > 0.

Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x; f(x)) mặt phẳng toạ độ.

Chú ý: Dạng đồ thị:

a) Hµm h»ng.

Đồ thị hàm y = m (trong đó x biến, m ) đ-ờng thẳng song song với trục Ox.

Đồ thị hàm x = m (trong đó y biến, m ) đ-ờng thẳng song song

víi trơc Oy.

b) Đồ thị hàm số y = ax (a0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp các điểm) ln qua gốc toạ độ.

*) Cách vẽ: Lấy điểm thuộc đồ thị khác O(0 ; 0), chẳng hạn điểm A(1 ; a) Sau vẽ đờng thẳng qua hai điểm O(0 ; 0) và A(1 ; a) ta đợc đồ thị hàm số y = ax (a0)

c) Đồ thị hàm số y = ax + b (a,b 0) đờng thẳng (hình ảnh tập hợp

các điểm) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm (b

a

*) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ bản

+) Cỏch 1: Xỏc nh hai im thuộc đồ thị, chẳng hạn nh sau:

Cho x = => y = a + b, ta đợc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta đợc A(-1 ; - a + b)

Vẽ đờng thẳng qua hai điểm A B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0)

+) Cách 2: Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ, cụ thể: Cho x = => y = b, ta đợc M(0 ; b) Oy

Cho y = => x = b

a

 , ta đợc N( b

a

 ; 0) Ox

Vẽ đờng thẳng qua hai điểm M N ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a,b0)

d) Đồ thị hàm số y = ax2 ( 

a 0) đờng cong Parabol có đỉnh O(0;0) Nhận trục Oy làm trục đối xng

- Đồ thị phía trục hoành a > 0. - Đồ thị phÝa díi trơc hoµnh nÕu a < 0.

Dạng 5: Điểm thuộc không thuộc đồ thị hàm số.

*) Điểm thuộc đờng thẳng

- §iĨm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a0) vµ chØ yA = axA + b - §iĨm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a0) vµ chØ yB= axB + b *) §iĨm thc Parabol : Cho (P) y = ax2 (



a 0)

- §iĨm A(x0; y0) (P)  y0 = ax02. - §iĨm B(x1; y1) (P)  y1  ax12.

Dạng 6: Xác định hàm số

Dạng 7: Xác định điểm cố định hàm số

*) Ph ng ph p:

tìm điểm cố định mà đờng thẳng y = ax + b (a0; a,b có chứa tham số) ln qua với giá trị tham số m, ta làm nh sau:

 Bớc 1: Gọi điểm cố định A(x0; y0) mà đờng thẳng y = ax + b qua với giá trị tham số m

Người viết : Giáo viên Phạm Văn Hiệu

O x

y

a <

O

x y

 Bớc 2: Thay x = x0; y = y0 vào hàm số đợc y0 = ax0 + b, ta biến đổi dạng <=> A( x ,y ).m0 0 B( x ,y )0 0 0, đẳng thức với giá trị tham số m hay phơng trình có vơ số nghiệm m

 Bớc 3: Đặt điều kiện để phơng trình có vơ số nghiệm (A( x ,y ).m0 B( x ,y )0 0, có vơ số nghiệm

 

 

 

0

0

A(x ,y ) B(x ,y ) 0)

Dạng 8: Tìm giao điểm hai đồ thị 8.1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng.

Giao điểm hai đờng thẳng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 Là nghiệm hệ phơng trình 1

2

y a x b y a x b

 

 

 



8.2: Tìm toạ độ giao điểm Parabol với đờng thẳng.

Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.

 Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n.

Giải phơng trình tìm x

 Thay giá trị x vừa tìm đợc vào hàm số y = ax2 y = mx + n ta tìm đợc y

+ Giá trị x tìm đợc hồnh độ giao điểm + Giá trị y tìm đợc tung độ giao điểm

8.3: Tìm số giao điểm đờng thẳng Parabol.

Cho (P) : y = ax2 (a 0) vµ (d) : y = mx + n.

Xét phơng trình hồnh độ giao điểm ax2 = mx + n (*)

+ Phơng trình (*) vô nghiệm ( < 0) (d) (P) điểm chung

+ Phơng trình (*) có nghiệm kép (= 0) (d) tiếp xúc với (P) + Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( > ac < 0)

(d) cắt (P) hai ®iĨm ph©n biƯt

8.4: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đờng thẳng. 8.5: Tìm giá trị tham số biết giao điểm hai đờng thẳng.

8.6: Tìm giá trị tham số biết số giao điểm Parabol đờng thẳng.

Cho (d) : y = ax + b (P): y = a’x2 (a’0)(a’, a, b có chứa tham số) Xét phơng trình hồnh độ giao điểm a’x2 = ax + b (*)

+ (d) (P) điểm chung

Phơng trình (*) v« nghiƯm ( < 0)

+ (d) tiÕp xúc với (P) Phơng trình (*) có nghiệm kép (= 0).

Nghiệm kép hoành độ điểm tip xỳc

+ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Phơng trình (*) có hai

nghim phân biệt ( > ac < 0) Hai nghiệm hồnh độ

cđa hai giao ®iĨm

8.7: Tìm giá trị tham số biết toạ độ giao điểm Parabol đờng thẳng.

Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’0) (a’, a, b cã chøa tham sè)

Tìm giá trị tham số để (d) (P) cắt A(xA; yA)

Cách làm: Thay tọa độ A vào hàm số (d); (P) để tìm giá trị tham số

A(xA; yA) B(xB; yB) xA  xB yA  yB.

Ph

ơng pháp:

Gi phng trỡnh ng thng (d) cần lập qua A B có dạng y = ax + b (a 0)

Do A(d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1) Do B(d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình:



A A

B B

y ax b

y ax b

Giải hệ phơng trình tìm đợc a, b suy phơng trình đờng thẳng (d) cần lập

9.2: Lập phơng trình đờng thẳng qua M(x0 ; y0) có hệ số góc là k.

 Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k có dạng y = kx + b

 Bíc 2: §êng thẳng qua M(x0 ; y0) => y0 kx0 b => by0  kx0

 Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng cần tìm y = kxy0  kx0

9.3: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(m; yA) B(m; yB) yA yB.

Ph

ơng pháp:

Do A(m; yA) (d): x = m; Do B(m; yB) (d) : x = m;

Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): x = m

9.4: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(xA; n) B(xB; n) xA  xB.

Ph

ơng pháp:

Do A(xA; n) (d): y = n; Do B(xB; n) (d) : y = n;

Vậy phơng trình đờng thẳng cần lập là: (d): y = n

9.5: Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm A(xA ; yA) tiếp xúc với đờng cong y ax (a2 0)

 Bớc 1: Giả sử phơng trình cần lập y = a’x + b’

 Bớc 2: Đờng thẳng tiếp xúc với đờng cong

yax (a0 ) phơng trình hồnh độ giao điểm

ax a ' xb' cã nghiÖm kÐp Ta cho 0, tìm hệ thức a b (1)

Bớc 3: Đờng thẳng ®i qua A(xA ; yA) => yA a ' xA b' (2)

 Bớc 4: Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình hai ẩn a’ b’ Giải hệ tìm đợc a’ b’ => phơng trình cần lập

9.6: Lập phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k tiếp xúc với đờng cong y ax (a2 0)

 Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng cần tìm giả sử y = ax + b Vì đờng thẳng có hệ số góc k nên a = k => y = kx + b

 Bớc 2: Đờng thẳng y = kx + b tiếp xúc với đờng cong y ax (a2 0) <=> phơng trình hồnh độ giao điểm

2

kxbax ax  kx b0 cã nghiÖm kÐp

Cho  0( ' 0 ) => b = ?

 Bíc 3: Trả lời

Dạng 10: Ba điểm thẳng hàng

10.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm

 Bớc 2: Chứng minh điểm lại thuộc đờng thẳng vừa lập

10.2: Tìm giá trị tham số để ba điểm thẳng hàng.

 Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng qua hai điểm có toạ độ đơn giản

 Bớc 2: Thay toạ độ điểm lại vào phơng trình đờng thẳng vừa lập Giải phơng trình tìm tham số

Dạng 11: Ba đờng thẳng đồng qui

11.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.

 Bớc 1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng

 Bớc 2: Chứng minh giao điểm thuộc đờng thẳng cịn lại

11.2: Tìm giá trị tham số để ba đờng thẳng đồng qui.

 Bớc 1: Tìm giao điểm hai đờng thẳng đơn giản

 Bớc 2: Thay toạ độ giao điểm vào phơng trình đờng thẳng cịn lại Giải phơng trình tìm tham số

Dạng 12: Vị trí tơng đối hai đồ thị hai hàm số

12.1: Vị trí tơng đối hai đồ thị hai hàm số bậc nhất

Cho hai đờng thẳng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 +) (d1) cắt (d2)  a1  a2

+) (d1) // (d2)  a1 = a2

+) (d1)  (d2)  a1 = a2 vµ b1 = b2

+) (d1)  (d2)  a1.a2 = -1 (phải chứng minh đợc dùng)

12.2: Tìm điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trên trục tung.

Cho (d1): y = a1x + b1vµ (d2): y = a2x + b2

Để (d1) cắt (d2) điểm trục tung 

1

1

a a (1) b b (2) Giải (1)

Giải (2) chọn giá trị thoả mÃn (1)

12.3: Tỡm điều kiện để hai đờng thẳng cắt điểm trên trục hoành.

Cho (d1): y = a1x + b1và (d2): y = a2x + b2

Để (d1) cắt (d2) điểm trục hoành

  

 

   

1

1

1

a a (1)

b b

(2)

a a

Lu ý: Chỉ nên áp dụng hai phơng trình chứa tham số.

Dạng 13: Xác định giá trị tham số m để đờng thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích c

 Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác ta có điều kiện cần là: a0, b0 => điều kiện m

 Bớc 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A B lần lợt giao điểm đồ thị với trục tung trục hoành

 A(0 ; b) vµ B( b ;0 a

 )

SOAB = OA.OB b b c

2 a



  

=> m = ? (kiĨm tra víi ®iỊu kiƯn ë bíc 1)

Dạng 14: Xác định giá trị tham số m để đờng thẳng

y = ax + b cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tạo thành tam giác cân Cách 1:

 Bớc 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác ta có điều kiện cần là: a0, b0

=> ®iỊu kiƯn cđa m

 Bớc 2: Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A B lần lợt giao điểm đồ thị với trục tung trục hồnh

 A(0 ; b) vµ B( b ;0 a

 )

 Bíc 3: Tam giác OAB cân <=> OA = OB <=> b b a 

 (*)

Giải phơng trình (*) ta tìm đợc giá trị m (kiểm tra điều kiện bớc1)

Cách 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân đờng thẳng y = ax + b song song với đờng thẳng y = x song song với đờng thẳng y = - x

Dạng 15: Xác định giá trị tham số để giao điểm hai đ-ờng thẳng ax + by = c a’x + b’y = c’ nằm góc phần t hệ trục tọa độ.

 Bớc 1: Tìm tọa độ giao điểm A(x ; y) hai đờng thẳng, nghiệm hệ phơng trình: ax by c

a ' x b' y c'

 

 

 



 Bíc 2:

+) NÕu A n»m gãc phÇn t thø I điều kiện là: x y

  

  +) NÕu A n»m góc phần t thứ II điều kiện là: x

y   

  +) NÕu A n»m gãc phÇn t thø III điều kiện là: x

y   

  +) NÕu A n»m góc phần t thứ IV điều kiện là: x

y   

 

 Bíc 3: T×m m = ?

D¹ng 16:

Xác định giá trị tham số để đa thức f(x) = Ax + B đa thức 0

 Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc <=> A B   

 

 Bớc 2: Giải hệ tìm đợc giá trị tham s

V - Các dạng toán hệ phơng trình

Lí thuyết chung

1. Định nghĩa:

Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát là:





 



ax by c

(I)

a' x b' y c ' (trong a, b, c, a’ , b’, c’ chứa tham số) 2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm

- NghiƯm (x0 ; y0) cđa hƯ (I) nghiệm chung hai phơng trình

trong hệ

- Nếu hai phơng trình hệ nghiệm chung hệ ph-ơng trình vô nghiệm

- Giải hệ phơng trình tìm tất nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.

*) iu kiện để hệ hai ph ơng trình bậc hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.

ax by c a' x b' y c '

 

 

 



(a, b, c, a’, b’, c’ khác 0) + Hệ có vô số nghiệm a b c

a' b ' c '

+ HƯ v« nghiƯm nÕu a b c

a' b ' c '

+ HÖ cã mét nghiÖm nhÊt nÕu a b

a' b'

+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm vô số nghiệm ab’ – a’b = 0

3. Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bËc nhÊt hai Èn

ax by c a' x b' y c '

 

 

 



a) Phơng pháp cộng đại số.

*) Cách giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số

 Bớc1: Nhân hai vế phơng trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai ph-ơng trình hệ đối nhau.

 Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, có phơng trình mà hệ số hai ẩn (tức phơng trình ẩn)

 Bớc 3: Giải phơng trình ẩn vừa thu đợc, suy ra nghiệm hệ cho

*) Tỉng qu¸t:

+ NÕu cã ax by c

ax b ' y c '

                

(b b ')y c c ' ax b ' y c '

+ NÕu cã ax by c

ax b' y c '

 

 

 



 (b b ')y c c '

ax b ' y c '

  

 

 



+ NÕu cã ax by c

k.ax b ' y c '

             

k.ax kby kc k.ax b ' y c ' 

(kb b ')y k.c c ' ax by c

  

 

 

b) Phơng pháp thế.

*) Cách giải hệ phơng trình phơng pháp thế

hệ cho *) Tổng quát:

ax by c a' x b ' y c '

        a c y x b b a' x b ' y c '

                            a c y x b b a c

a ' x b ' x c ' b b

c) Phơng pháp đồ thị

- Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm hai phơng trình trong hệ

- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối hai dờng thẳng

+) Nếu hai đờng thẳng cắt hệ có nghiệm nhất, dựa vào đồ thị đốn nhận nghiệm đó, sau thử lại và kết luận nghiệm hệ

+) Nếu hai đờng thẳng song song hệ vơ nghiệm

+) Nếu hai đờng thẳng trùng hệ có vơ số nghiệm

Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc áp dụng phơng pháp giải hệ: (áp dụng cho hệ phơng trình chứa ẩn mẫu, dới dấu căn bậc hai.)

Ph©n dạng tập chi tiết

Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số

Dạng 2: Giải hệ phơng trình biết giá trị tham số

Ph

ơng pháp:

Bớc 1: Thay giá trị tham số vào hệ phơng trình

 Bớc 2: Giải hệ phơng trình khơng chứa tham s va thu c

Dạng 3: Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số

- Dùng phơng pháp cộng để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham số m), làm xuất phơng trình có dạng :

Ax = B (1) (hc Ay = B)

 NÕu A = phơng trình (1) có dạng 0x = B +) Khi B = phơng trình (1) có dạng 0x =

phơng trình có vô số nghiệm => hệ phơng trình có vô số nghiệm +) Khi B phơng trình (1) vô nghiệm

=> hệ phơng trình vô nghiệm

Nếu A phơng trình (1) có nghiệm nhÊt B

A

=> hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt

B x

A y y(m )

      

Dạng 4: Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm, vô số nghiệm.

*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc hai ẩn có nghiệm nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm.

ax by c

a' x b ' y c '

 

 

 



(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)

+ HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu a b c

a' b ' c '

+ HƯ v« nghiƯm nÕu a b c a' b ' c '

+ HÖ cã mét nghiÖm nhÊt nÕu a b

a' b'

Dạng 5: Tìm giá trị tham số biết dấu nghiệm hệ ph-ơng trình

Dạng 6: Tìm giá tham số biết nghiệm hệ phơng trình 6.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình.

Cho hệ phơng trình :

  

ax by c (1)

a x b y c (2)

Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm 0 x x y y

  

 

C¸ch 1:

Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) giải Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải C¸ch 2:

Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số

6.2: Tìm hai giá trị tham số biết nghiệm hệ phơng trình.

Cho hệ phơng trình: ax by c

a x b y c

 

 

     

cã nghiÖm

0

x x

y y

  

 

 Bớc 1: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình hệ phơng trình ta đợc 0

0

ax by c

a x b y c

 

 

     

 Bíc 2: Giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số

Dạng 7: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x y.

Cho hệ phơng trình : ax by c (1)

a x b y c (2)

 

 

    

 (I)

Cã nghiƯm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3)

 Bớc 1: Trớc hết cần tìm điều kiện tham số để hệ (I) có nghiệm

 Bớc 2: Do (x; y) nghiệm hệ (I) thoả mãn (3)  (x; y) nghiệm (1), (2), (3) Kết hợp phơng trình đơn giản để đ-ợc hệ phơng trình => Giải hệ tìm nghiệm thay vào phơng trỡnh cũn li

Bớc 3: Giải phơng trình chøa Èn lµ tham sè

Dạng 8: Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x0 ; y0) số nguyên

 Bớc 1: Tìm điều kiện tham số m để hệ có nghiệm

 Bíc 2: Phân tích x0 ; y0 dới dạng

0 b

x a víi a, b Z

A(m )

0

y c víi c, d Z

B(m )

  

0

b

x Z Z A(m ) ¦ ( b)

A(m ) m ?

d

y Z Z B(m ) ¦ (d )

B(m )

     



 



  

*) Đặc biệt :

0 b

x a víi a, b Z

A(m )

  

0 d

y c víi c, d Z

A(m )

  

=> x ,y0 0 ZA(m ) ¦ C( b,d ) m?

Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x, y P(x,y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

C¸ch 1:

 Bớc 1: Trớc hết tìm điều kiện tham số để hệ phơng trình có nghiệm

 Bớc 2: Biến đổi biểu thức liên hệ x y là: P(x,y) = kA2(x) + d (d số).

 k <  kA2(x)   kA2(x) + d  d  P(x,y)  d

Giá trị lớn P(x,y) d đạt đợc A(x) =

 k >  kA2(x)   kA2(x) + d  d  P(x,y)  d

Giá trị nhỏ P(x,y) d đạt đợc A(x) =

C¸ch 2:

P(x,y) = ax2 + bx + c  ax2 + bx + c – P(x,y) = 0

 Bíc 1: TÝnh  '

Bớc 2: Đặt điều kiện ( ' 0)

Giải bất phơng tr×nh chøa Èn P(x,y)

 P(x,y)  e  Giá trị nhỏ P(x,y) e đạt đợc

='=  x b 2a 

 = b '

a



 P(x,y)  e  Giá trị lớn P(x,y) e đạt đợc

='=  x b 2a 

 = b '

a

Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số

1 Ph ơng pháp :

Cho hệ phơng trình: ax by c a ' x b ' y c '

 

 

 

 a, b, c, a’, b’, c’ chứa tham

sè m T×m hƯ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m ?

*) Cách 1:

Bớc 1: Từ phơng trình hệ ta rót m theo x vµ y lµ m = A(x,y)

 Bớc 2: Thay m = A(x,y) vào phơng trình thứ hai hệ ta đợc hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham

sè m

*) Cách 2: Sử dụng hệ phơng trình có tham số m dới dạng bậc

 Bíc 1: Tõ hệ phơng trình ax by c m A( x, y ) a ' x b ' y c ' m B( x, y )

  

 



 

  

 

 Bíc 2: Cho A(x,y) = B(x,y) Đây hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m

L

u ý : Ta cần rút gọn hệ thức cho ngắn gọn, đơn giản

Dạng 11: Tìm giá trị tham số để hai hệ phơng trình tơng đơng

- Hai hệ phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm (tức nghiệm hệ nghiệm hệ ngợc lại)

Dạng 12: Giải hệ phơng trình theo phơng pháp đặt ẩn phụ và giải số hệ phơng trình khơng dạng hệ hai phơng trình bậc

nhất hai n (h c bit)

VI Phơng trình bậc hai ẩn

Phần I: Phơng trình không chứa tham số

I. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai ẩn (nói gọn phơng trình bậc hai) phơng trình có dạng ax2 bx c 0 (a 0 )

Trong đó: x ẩn; a, b, c số cho trớc gọi hệ số

II. Phân loại.

1. Phơng trình khuyết c: ax2 + bx = (a 0)

Ph¬ng pháp giải: ax2 + bx = (a, b 0)

 x(ax + b) = 0

x

b x

a   

Phơng trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = b a

2. Ph¬ng tr×nh khuyÕt b: ax2 + c = (a, c 0)

Phơng pháp giải: ax2 + c = (a 0)

 x2 c a

 

+) +)

NÕu c

a



<  Ph¬ng trình vô nghiệm. Nếu c

a

> Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:

 

1

c x

a ;

 

2

c x

a

3. Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax2 + bx + c = (a , b, c 0)

+) < Phơng trình vô nghiệm

+) > phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = b 

2a ; x2 =

b  2a

+) = Phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b 2a



* ) C « ng th ø c nghi Ư m thu g ä n NÕu b = 2b’ (b’ =

2

b

) ta cã : ’ = b’2 - ac

+ NÕu > phơng trình có hai nghiệm phân biƯt lµ :

1

' ' ' '

; x

b b

x

a a

     

 

+ NÕu ’ =  phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 =

'

b a



+ Nếu < phơng trình vô nghiệm

Phần II Các dạng phơng trình chứa tham số

Dạng 1: Giải phơng trình biết giá trị tham số

Thay giá trị tham số vào phơng trình giải phơng trình

Dạng 2: Giải biện phơng trình theo tham số

T

ỉ ng qu ¸ t:

 Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bËc nhÊt bx + c = + Nếu b phơng trình có nghiệm x = c

b + NÕu b = c phơng trình vô nghiệm + NÕu b = vµ c = phơng trình có vô số nghiệm

Với a phơng trình trở thành phơng trình bậc hai cã biÖt sè:

 = b2 – 4ac ( hay ’ = b’2 – ac)

+ NÕu  < ( < 0) phơng trình vô nghiệm + Nếu = ( = 0) phơng tr×nh cã nghiƯm kÐp :

x1 = x2 = - b 2a =

'

b a



+ NÕu  > (’ > 0) phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = b  b ' '

2a a ; x2 =

     



b b ' '

2a a

Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm

- XÐt hai trêng hỵp cđa hÖ sè a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình có nghiệm

 Trêng hỵp 2: a ≠ 0, phơng trình bậc hai ẩn có nghiệm <=>

 

0 '

   

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Phơng trình bậc hai ẩn có hai nghiƯm ph©n biƯt <=>

0( ' )

a   

    

Dạng 5: Tìm điều kiện tham s phng trỡnh cú nghim kộp

Phơng trình bËc hai mét Èn cã nghiÖm kÐp <=>

0( ' )

a  

    

Dạng 6: Tìm điều kiện tham số để phơng trình vơ nghiệm

- XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a:

 Trờng hợp 1: a = 0, ta tìm đợc vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phơng trình kết luận với giá trị m phơng trình vơ nghiệm

 Trờng hợp 2: a 0, phơng trình bậc hai mét Èn v« nghiƯm <=>  0 ' 0

Dạng 7: Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Để chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt:

Cách 1: Chứng minh:

0 a ac     

 C¸ch 2: Chøng minh:  

  

a 0 Ch

ó ý : Cho tam thøc bËc hai  = am2 bmc

§Ĩ chøng minh  0, m ta cÇn chøng minh 2

m

a

b 4ac

         

Dạng 8: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu, có hai nghiệm dơng, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dơng phân biệt, có hai nghiệm âm phân biệt, có hai nghiệm hai số đối nhau, có hai nghiệm hai số nghịch o ca nhau

Cho phơng trình

0

ax bxc ; a, b, c chứa tham số Theo định lí Vi - ét, ta có :

1

1

b

S x x

a c P x x

a         

a) Phơng trình có hai nghiệm dấu <=>

0 0 a P          hc 0 a ac       

b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu <=>

c) Phơng trình cã hai nghiƯm d¬ng <=> 0 0 a P S        

d) Phơng trình có hai nghiệm ©m <=>

0 0 a P S          

e) Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biÖt <=>

0 0 a P S          

f) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biÖt <=>

0 0 a P S           

g) Phơng trình có hai nghiệm hai số đối

<=> 0 a b

S x x

a              

h) Phơng trình có nghiệm hai số nghịch đảo

<=> 0 a c P x x

a          

Dạng 9: Tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm

Bc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

 Bíc 2: TÝnh x1 + x1 = b

a vµ x1.x1 = c a

 Bớc 3: Biểu thị đợc biểu thức theo x1 + x1 x1.x1 ; sau thay giá trị x1 + x1 x1.x1 vào để tính giá trị biểu thức

Chó ý:

    2

a b (a b) 2ab

    

3 3

a b (a b) 3ab(a b)

   

(a b) (a b) 4ab

    

( a b) (a b) a.b (a,b 0)

   

4 2 2

a b (a b ) 2a b

  

    

3

a b a a b b

( a b)(a ab b) (a,b 0)

Dạng 10: Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện sau:

a) x1 x2  b)

1

1 n

x  x  c)

2

1

x  x k d) x13 x23 t,

 Bớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 Giải hệ ĐK:

0

a  

  

=> m = ?

 Bíc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã:

1

1

b

S x x

a c P x x

a

   

 

  



 Bớc 3: Biến đổi điều kiện đề (là đẳng thức bất đẳng thức) để có tổng tích hai nghiệm, sau thay tổng tích hai nghiệm có đợc bớc vào điều kiện vừa biến đổi; từ giải phơng trình bất phơng trình với biến tham số để tìm giá trị tham số Tiếp theo kiểm tra xem giá trị tham số tìm đ-ợc có thỏa mãn hệ điều kiện bớc hay khơng ?

Hoặc có tốn ta kết hợp điều kiện đề với hệ thức Vi - ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phơng trình với hai ẩn x1, x2); sau ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi – ét cịn lại để tìm tham số

Dạng 11: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x = x1. Tìm nghiệm cịn lại

 Bíc 1: Thay x = x1 vào phơng trình, ta có:

2

1 ?

ax bx c m

Bớc 2: Để tìm nghiệm lại x2 ta thực theo hai cách: C

ch 1: Thay giá trị m vào phơng trình ban đầu Từ có phơng trình bậc hai giải phơng trình ta tìm đợc x2

C

ch 2: Tính x2 nhờ định lí Vi - ét: x2 S x1 x = P : x2 1

Dạng 12: Tìm phơng trình bậc hai biết trớc hai nghiệm số

 Trêng hỵp 1: Cho tõng nghiƯm x1, x2 Ta có phơng trình với ẩn x :

 

1 2

(x x ) x x  0 x  (x x )xx x 0  Trêng hỵp 2: Không có x1, x2 riêng

Bớc 1: Tìm S = x1  x2 vµ P = x x1 2

Bớc 2: Phơng trình với ẩn x

0

Phơng trình có nghiệm <=> S 4P

Dạng 13: Lập phơng trình bậc hai biết mối liên hệ hai nghiệm phơng trình cần lập với hai nghiệm phơng trình cho trớc.

Bớc 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm phơng trình

Bớc 2: Tính tổng tích hai nghiệm phơng trình đà cho

1 2

b c

x x , x x

a a



  

 Bíc 3: TÝnh tỉng tích hai nghiệm phơng trình cần lập x3 x4 thông qua mối liên hệ với x1 , x2

Bớc 4: Lập phơng trình

Dng 14: Tìm đẳng thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số

 C¸ch 1:

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 Giải hệ điều kiện

0

a   

  

 Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi - Ðt:

 

  

  

  

 

1

1

b

S x x

a c P x x

a

 Bớc 3: Khử tham số hệ thức Vi – ét, tìm hệ thức liên hệ S P Đó hệ thức độc lập với tham số nghiệm phơng trình

 C¸ch 2:

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 Giải hệ điều kiện

0

a   



Bớc 2: Giải phơng trình tìm x1, x2

 Bíc 3: T×m hƯ thøc (khư tham số)

Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhá nhÊt cña tam thøc bËc hai

2

y ax bxc (a 0 )

C¸ch 1:

Biến đổi y = kA2(x) + m (m số).

 k <  kA2(x)   kA2(x) + m  m  y  m

Giá trị lớn y m đạt đợc A(x) =

 k >  kA2(x)

  kA2(x) + m

 m  y  m

Giá trị nhỏ y m đạt đợc A(x) =

C¸ch 2:

y = ax2 + bx + c  ax2 + bx + c – y = 0 + Bíc 1: TÝnh  hc '

+ Bớc 2: Đặt điều kiện ( ' 0)

Giải bất phơng trình chứa ẩn y

 y  m  Giá trị nhỏ y m đạt đợc

='=  x b 2a 

 = b '

a



 y  m  Giá trị lớn y m đạt đợc ='=  x b

2a 

 = b ' a

Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm

 Bíc 1: KiĨm tra sù cã nghiƯm cđa phơng trình

Bớc 2: Tính x1 x2 b, x x1 2 c

a a



  

 Bớc 3: Biến đổi biểu thức liên hệ hai nghiệm A(x1; x2) dạng có chứa x1+ x2 x1.x2

 Bớc 4: Thay x1 + x2 x1.x2 vào biểu thức A Khi A trở thành tam thức bậc hai n l tham s

Bớc 5: Tìm giá trị lớn nhỏ A Chọn giá trị tham số thích hợp

Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vµo tham sè

 Bớc 1: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm

1

x , x

 Bíc 2: TÝnh hÖ thøc Vi- Ðt:

           2 b x x a c x x a

Bớc 3: Tính giá trị biểu thức theo x1+ x2 x1.x2 ; thấy kết số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Dng 18: Tìm giá trị tham số để hai nghiệm phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức cho.

Dạng 19: Tìm hai số biết tổng tÝch cđa chóng

NÕu hai sè u vµ v tho¶ m·n     

u v S u.v P (S

2  4P) Th× u v nghiệm phơng trình x2 - Sx + P = 0 (*)

- Nếu phơng trình (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x , x1 2 Do x, y có vai trò

nh nên có hai cặp số thỏa mÃn

2 u x v x       

hc

1 u x v x       

- Nếu phơng trình (*) có nghiệp kép x1 x2 a => u = v = a

- Nếu phơng trình (*) vơ nghiệm => Khơng tìm đợc cặp giá trị (u, v) thỏa mãn yêu cầu đề

Cho hai phơng trình ax bx c (a 0 ) a ' x b ' xc '0 (a '0 ) Trong a, b, c,a ', b ', c ' chứa tham số m

*) C ¸ ch :

 Hai phơng trình có nghiệm chung hệ phơng trình:

2

ax bx c (a 0) a ' x b' x c ' (a ' 0)

    

 

    



cã nghiƯm

 Trõ vÕ víi vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình dạng:

A(m).x = B(m)

+) Nu A(m) = 0, từ đẳng thức ta rút vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào hai phơng trình  giải hai phơng trình khơng chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay khơng ?

+) NÕu A(m )0 => x = B(m )

A(m ) (chứa tham số) Thay vào hai phơng trình ta rút vài giá trị m, sau thay giá trị m vào hai phơng trình  giải hai phơng trình không chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung hay không ?

+) NÕu A(m )0 => x = B(m )

A(m ) (không chứa tham số), kết luận nghiệm chung hai phơng trình Thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta rút giá trị m

 KÕt luận: ứng với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung, nghiệm chung ?

*) C ch : Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phơng trình

2

ax bx c => m = A(x)

2

a ' x b ' xc '0 => m = B(x)

Ta có: A(x) = B(x) Giải phơng trình ta đợc nghiệm chung hai phơng trình, sau thay nghiệm chung vào hai phơng trình ta tìm đợc giá trị tham số m, cần thiết thử lại để kiểm tra C

ch : Chỉ thực cách giải số toán đơn giản

Từ hai phơng trình ta rút m theo x vào phơng trình kia, đợc phơng trình ẩn x; từ phơng trình ta tìm đợc nghiệm chung, sau tìm m = ?

D¹ng 21: Chøng minh hai phơng trình bậc hai ẩn có ít phơng trình có nghiệm

Cho hai phơng trình 2

ax bx c (a 0 ) a ' x b ' xc '0 (a '0 ) Trong a, b, c,a ', b', c ' chứa tham số

Chøng minh Ýt nhÊt mét hai phơng trình có nghiệm

Ph

ng ph p : C

ch : Gọi 1,2 lần lợt biệt thức hai phơng trình Ta cần chøng minh

+)    1 2 => 1 0 hc 2 0 hc 1,2 0

+)   1 2 => 1 0 hc 2 0

VËy Ýt nhÊt mét hai ph¬ng trình có nghiệm C

ch : Chøng minh b»ng ph¶n chøng

Giả sử hai phơng trình vơ nghiệm Khi  1 0, 2 Ta lập luận dẫn đến điều vô lí => phải có hai biệt thức khơng âm Vậy có hai phơng trình có nghiệm

Dạng 22: Tìm giá trị tham số để hai phơng trình tơng đơng

- Lí thuyết chung: Hai phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập nghiệm

*) Dạng 22.1: Hai phơng trình bậc

Tìm nghiệm hai phơng trình theo tham số cho hai nghiệm nhau, từ tìm đợc giá trị tham số để hai phơng trình tơng đ-ơng

*) Dạng 22.2: Hai phơng trình bậc hai Èn XÐt hai trêng hỵp

 Trêng hỵp1: Hai phơng trình có nghiệm chung

Trc ht tỡm giỏ trị tham số để hai phơng trình có nghiệm chung sau thay giá trị tham số vào hai phơng trình tìm tập nghiệm chúng Nếu tập nghiệm hai phơng trình tơng đơng => giá trị tham số

 Trêng hỵp 2: Hai phơng trình vô nghiệm <=>

2

0

    

=> Giá trị tham số

Đặc biệt: Nếu nhận thấy hai phơng trình có hai nghiệm ( 1  2 0)

=> Hai phơng trình tơng đơng hai nghiệm phơng trình hai nghiệm phơng trình kia, ta áp dụng vi - ét cho hai phơng trình tìm tham số Cụ thể ta có: x1 x2 b b' ;x x1 2 c c' m ?

a a ' a a '

  

      

D¹ng 23: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình

23.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phơng trình.

Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a0) cã mét nghiƯm x = x1. C

¸ ch gi ¶ i:

 Bíc1: Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = 0.

Bớc 2: Giải phơng trình có ẩn tham số

23.2: Tìm giá trị tham số biết hai nghiệm phơng trình.

Cho phơng trình ax2 + bx + c = (1) (a0) cã hai nghiÖm x = x1; x = x2. C

           1 2

ax bx c

ax bx c

Bớc 2: Giải hệ phơng trình có ẩn tham số C

ch 2:

 Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

 Bíc 2: Theo Vi - Ðt

           2 b x x a c x x a

 Bớc 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ giải ta đợc giá trị tham số

Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn luôn dơng luôn âm với x

Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 bxc (a0 )

f(x) =    

2

2

2

2

b c b b 4ac b

a( x x ) a x a x

a a 2a 4a 2a 4a

     

           

   

   

+) NÕu  0 =>  

2 b x 2a 4a 

  > Khi f(x) dấu với hệ số a, ta có trờng hợp sau

 f(x) > 0, x <=> a 0      

 f(x) < 0, x <=> a 0      

 f(x) ≥ 0, x <=> a 0      

 f(x) ≤ 0, x <=> a 0      

+) NÕu f ( x ) a( x b )2 2a

    

=> f(x) cïng dÊu víi hƯ sè a, trõ trêng hỵp x = b 2a  Khi x = b

2a

 th× f(x) = 0

VII Giải toán cách lập phơng trình, lập hệ phơng trình

Lí thuyết chung

1 Các bớc giải toán cách lập phơng trình

B

c 1: Lập phơng trình

- Chn n s v xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đã biết; - Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng

B

í c 2: Gi¶i phơng trình B

c 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phơng trình, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận

2 Các bớc giải toán cách lập hệ phơng trình

B

c 1: Lập hệ phơng trình

- Chọn hai ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho chúng;

- Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đã biết; - Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng

B

í c 2: Giải hệ hai phơng trình nói B

í c 3: Tr¶ lêi: KiĨm tra xem nghiệm hệ phơng trình, nghiệm thoả mÃn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận

Phân dạng tập chi tiết

Dạng 1: Toán chuyển động

- Ba đại lợng: S, v, t - Quan hệ: S = vt; t = S

v ; v = S

t (dùng cơng thức S = v.t từ tìm mối quan hệ S , v t)

- Chú ý toán canô :

Vxuôi dòng = Vthực + Vnớc ; Vngợc dòng = Vthực Vnớc

*) Toán gặp cần ý đến tổng quãng đờng thời gian bắt đầu khởi hành

*) Toán đuổi kịp ý đến vận tốc quãng đờng đợc ui kp

Dạng 2: Toán quan hệ số

ab 10a b

  

abc 100a 10b c

§iỊu kiƯn: < a  9;  b, c  (a, b, c  Z )

Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng, suÊt

*) Bài toán làm chung, làm riêng: + Qui ớc: Cả công việc đơn vị

+ Tìm đv thời gian đối tợng tham gia tốn thực đợc phần cơng vic

+ Công thức: Phần công việc = Thời gian + Số lợng công việc = Thời gian Năng suất *) Bài toán suất:

+ Gồm ba đại lợng: Tổng sản phẩm ; suất; thời gian + Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất Thời gian;

=> Thêi gian = Tổng sản phẩm

Năng suất ; Năng suất =

Dạng 4: Toán diện tích

Dạng 5: Toán có quan hệ hình học Dạng 6: Toán có nội dung lí, hóa

Dạng 7: Toán dân số, toán phần trăm

VIII Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung

a) Phng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng hạng tử đa thức có nhân tử chung Cụ thể: AB + AC + AD = A(B + C + D)

b) Các bớc tiến hành: B

c 1: Phát nhân tử chung đặt nhân tử chung dấu ngoặc.

B

c : Viết hạng tử ngoặc cách chia hạng tử đa thức cho nh©n tư chung.

Phơng pháp 2: Dùng đẳng thức

a) Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức đợc dùng hạng tử đa thức có dạng đẳng thức. b) Các đẳng thức quan trọng

1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

    

a a.b b ( a b) (a,b 0) 2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

    

a a.b b ( a b) (a,b 0) 3) a2 – b2 = (a + b).(a – b)

4) a b ( a b).( a b) (a,b0) 5) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

     

3 3

a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0) 6) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

     

3 3

a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0)

7) a3 b3 (a b)(a  ab b )

       

a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + - abn-2 + bn-1).

8) a3  b3 (a b)(a abb )2

       

a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)

an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1). 9) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2

        

a b c ab ac bc ( a b c) (a,b 0)

Phơng pháp 3: Nhóm h¹ng tư

Phơng pháp thờng đợc dùng cho đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung cha áp dụng đợc hằng đẳng thức mà sau nhóm hạng tử biến đổi sơ rồi nhóm lại xuất đẳng thức có nhân tử chung, cụ thể:

B

c 1: Phát nhân tử chung đẳng thức từng nhóm.

B

c 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp đẳng thức đặt nhân tử chung.

B

í c 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.

Phơng pháp 4: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt hạng tử

*) Lí thuyết chung: Phơng pháp nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp để nhóm sử dụng đẳng thức:

*) Các tr ờng hợp :

a, Trờng hợp đa thøc d¹ng ax2 + bx + c ( a, b, c  Z; a, b, c  0)

TÝnh :  = b2 - 4ac:

- Nếu  = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc.

- NÕu  = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển dạng bình phơng mét nhÞ

thøc bËc nhÊt

- NÕu  = b2 - 4ac >

+)  = b2 - 4ac = k2 ( k  Q) đa thức phân tích đợc trờng Q.

+)  = b2 - 4ac  k2 đa thức phân tích đợc trờng số thực R.

b, Trờng hợp đa thức từ bậc trở lên: - Nhẩm nghiệm đa thức:

+) Nếu tổng hệ số hạng tử đa thøc cã nghiƯm b»ng 1.

+) NÕu tỉng c¸c hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ  ®a thøc cã nghiƯm b»ng - 1.

- Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm ngun nghiệm ngun phải ớc hạng tử tự Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p

q th×

p ớc hạng tử tự do, q ớc dơng hệ số hạng tử có bậc cao nhÊt".

- Khi biết nghiệm đa thức ta dùng phép chia đa thức, hoặc dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc a thc.

Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thøc (nhÈm nghiƯm)

- §a thøc f(x) chia hÕt cho đa thức g(x) khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) thơng phép chia)

*) Đặc biÖt : f(x) chia hÕt cho x - a <=> f(a) = 0

Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)

- Dựa vào đặc điểm đa thức cho ta đa vào nhiều biến để đa thức trở thành đơn giản Phơng pháp thờng đợc sử dụng để đa đa thức bậc cao đa thức bậc mà ta phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm đa thức bậc

- Cần phát giống biểu thức đa thức để chọn đặt ẩn phụ cho thích hợp

Phơng pháp 7: Phơng pháp hệ số bất định

Trên sở bậc đa thức phải phân tích, ta xác định dạng kết quả, phá ngoặc đồng hệ số giải.

Phơng pháp 8: Phơng pháp vận dụng định lí nghiệm tam thức bậc hai

- áp dụng định lý: Nếu đa thức P = ax2 + bx + c cú nghim x

các toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

1 Giải phơng trình bậc cao: 2 Giải bất phơng tr×nh bËc cao:

3 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức:

4 Chøng minh mét biĨu thøc lµ sè chÝnh ph¬ng 4 Chøng minh tÝnh chia hÕt

6 Rút gọn, Tính giá trị biểu thức

7 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 8 Giải phơng trình nghiệm nguyên

9 Tỡm giá trị biến số để biểu thức đạt giá trị ngun



Thầy giáo : Phạm Văn Hiệu

*) Hãy giữ phím ctrl nhấn vào đờng link - http://quanghieu030778.violet.vn

Ghi chó

NÕu muốn tham khảo tập phần, dạng Xin mời quý thầy cô em häc sinh h y truy cËp vµo website cđa·

Quang Hiệu theo địa chỉ: http://quanghieu030778.violet.vn

Tài liệu đợc viết với nhiều tâm huyết, chắn có những sai sót khơng mong muốn Vậy Quang Hiệu mong đợc góp ý của các đồng chí l nh đạo, bạn đồng nghiệp em học sinh trênã

mọi miền tổ quốc tài liệu đợc hồn thiện hơn, góp phần nhỏ bé nâng cao chất lợng giảng dạy học tập Bộ giáo dục Đào tạo phát động.

Quang Hiệu đ viết tài liệu office 2010, kết hợp với cácÃ

phn mm v hỡnh chuyờn dng nh corel 12; flash 8.0 ; GSP 4.05 ; chụp hình snagit 8.0 sử dụng nhiều dạng phơng chữ khác nhau; nếu q thầy khơng có đủ fonts chữ máy số phần khơng

trình duyệt đầy đủ (nếu muốn có đầy đủ fonts chữ đẹp Quang Hiệu h y truy cập vào website để tải máy, sau coppyã

và paste tất fonts vào hệ điều hành windows theo đờng dẫn sau: C:\WINDOWS\Fonts Chúc bạn thành công)

e: