đề thi toán 2020 chuẩn số 18

BỘ ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ DỰ ĐỐN KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ 18 Câu Thể tích khối lăng trụ tam giác có mặt bên hình vng cạnh a A a3 12 B a3 C a3 D a3 3 Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Hàm số có điểm cực trị? A B C D Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 4) Điểm sau hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (Oyz)? A M(−1;0;0) B N(0; 2; 4) C P(−1;0; 4) D Q( −1; 2;0) Câu Kết tính đạo hàm sau sai? A ( 3x ) ′ = 3x ln B ( ln x ) ′ = x C ( log x ) ′ = x ln D ( e 2x ) ′ = e 2x Câu Cho số phức z = − 3i Khi phần ảo số phức z A −3 C B −3i D 3i Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (−∞; −1) B (−1;0) C (−1;1) D (0;1) Câu Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = sin 2x A ∫ sin 2xdx = cos 2x + C C ∫ sin 2xdx = − cos 2x +C B ∫ sin 2xdx = cos 2x +C D ∫ sin 2xdx = − cos 2x + C Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; −2;3), B(−1;0; 2) G(1; −3; 2) trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C Trang B C(2; −4; −1) A C(3; 2;1) Câu Cho hàm số y = C C(1; −1; −3) D C(3; −7;1) 2x + có đồ thị (C) Biết điểm I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Hỏi I x −3 thuộc đường thẳng đường sau? A x − y + = B x − y − = C x + y − = D x + y + = Câu 10 Trong biểu thức sau, biểu thức khơng có nghĩa? A ( 2) B ( −3) Câu 11 Cho ∫ f (x)dx = 3; A ∫ f (x)dx = −2 C 6,9− 3 1 D ( −5 ) ∫ f (x)dx = Tính ∫ f (x)dx B ∫ f (x)dx = −1 C ∫ f (x)dx = −7 D ∫ f (x)dx = 1 Câu 12 Trong lớp có 17 bạn nam 11 bạn nữ Hỏi có cách chọn hai bạn, có bạn nam bạn nữ? A 17 cách B 28 cách C 11 cách D 187 cách Câu 13 Cho hình nón có đường cao h = bán kính đáy R = Diện tích xung quanh Sxq hình nón A Sxq = 12π B Sxq = 24π C Sxq = 20π D Sxq = 15π Câu 14 Biết hình bên đồ thị bốn hàm số đưa phương án A, B, C, D Hỏi hàm số nào? A y = x − 3x + B y = − x + 3x + C y = x − 2x + D y = x + 3x + Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d: x −1 y z + = = không qua điểm sau đây? −2 A M(1;0; −2) B N(4; −2; −1) C P(−2; 2;1) D Q(7; −4;0) 2 Câu 16 Nếu log a + log b = log a + log8 b = giá trị log (ab) bao nhiêu? A B 18 C D Câu 17 Nếu z = i nghiệm phức phương trình z + az + b = với a, b ∈ ¡ a + b A −1 C −2 B D Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm O bán kính R khơng cắt mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − = Khi khẳng định sau đúng? A R > B R < C R < D R ≥ Câu 19 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ Trang Tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Câu 20 Cho a, b, c số thực thỏa mãn < a ≠ bc > Trong khẳng định sau: II log a (bc) = I log a (bc) = log a b + log a c log bc a b b III log a  ÷ = log a c c IV log a b = log a b Có khẳng định đúng? A B C D Câu 21 Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác cạnh a Hai mặt phẳng (SAC), (SAB) vng góc với đáy góc tạo SC đáy 60° Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a A h = a 15 Câu 22 Biết B h = a 3 C h = a 15 D h = a dx ∫ (x + 1)(x − 2) = a ln + b ln + c , với a, b, c số hữu tỉ Tính S = a − 3b + c A S = B S = C S = −2 D S = Câu 23 Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi sau năm người thu số tiền gấp đơi số tiền ban đầu? A B C 10 D 11 · Câu 24 Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (DBC) DBC = 90° Khi quay cạnh tứ diện xung quanh trục cạnh AB, có hình nón tạo thành? A B C D Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −3; 2) , B(3;5; −2) Phương trình mặt phẳng trung trực AB có dạng x + ay + bz + c = Khi a + b + c A −4 B −3 C D −2 Câu 26 Cho số phức z thỏa mãn (1 + z) số thực Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z A Đường tròn B Parabol C Một đường thẳng D Hai đường thẳng Câu 27 Cho cấp số nhân (u n ) có số hạng đầu u1 = số hạng thứ tư u = 24 Tính tổng S10 10 số hạng đầu cấp số nhân Trang A S10 = 1533 Câu 28 Cho + x B S10 = 6141 −x C S10 = 3069 D S10 = 120 15 − 81x − 81− x bao nhiêu? = Giá trị biểu thức T = + 3x − 3− x B T = A T = C T = D T = Câu 29 Cho hàm số y = x + bx + cx + d (c < 0) có đồ thị (T) bốn hình Hỏi đồ thị (T) hình nào? A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 30 Có số có bốn chữ số có dạng abcd cho a < b < c ≤ d A 426 B 246 C 210 Câu 31 Cho (H) hình phẳng giới hạn D 330 cung trịn có bán kính R = 2, đường cong y = − x trục hồnh (miền tơ đậm hình vẽ) Tính thể tích V khối tạo thành cho hình (H) quay quanh trục Ox A V = 77π B V = 8π C V = 40π D V = 66π Câu 32 Cho tứ diện ABCD cạnh a Diện tích xung quanh Sxq hình trụ có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD có chiều cao chiều cao tứ diện ABCD A Sxq = πa 2 B Sxq = πa 2 C Sxq = πa D Sxq = 2πa 2 Câu 33 Gọi a, b giá trị lớn nhất, nhỏ số nguyên m thỏa mãn phương trình log 0,5 (m + 6x) + log (3 − 2x − x ) = có nghiệm Khi hiệu a − b A a − b = 22 B a − b = 24 C a − b = 26 D a − b = Câu 34 Cho số phức z thỏa mãn z.z = 13 Biết M điểm biểu diễn số phức z M thuộc đường thẳng y = −3 nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng Oxy Khi mơđun số phức w = z − + 15i bao nhiêu? Trang A w = B w = 17 C w = 13 D w = Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x + y − z + = mặt cầu (S) : x + y + z − 2x + 4z − 11 = Biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (α) theo giao tuyến đường trịn (T) Tính chu vi đường trịn (T) A 2π B 4π C 6π D π Câu 36 Gọi a hệ số không chứa x khai triển nhị thức Niu tơn n −1 n  2  n n −1  −2  n −1  −2  x − ÷ = C n ( x ) + Cn ( x )  ÷+ + Cn ( x )  ÷ x   x  x n  −2 +C ữ x n n ( nƠ ) * Biết khai triển tổng hệ số ba số hạng đầu 161 Tìm a A a = 11520 B a = 11250 C a = 12150 D a = 10125 Câu 37 Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có BB′ = a , góc đường thẳng BB′ mặt phẳng (ABC) 60° · , tam giác ABC vuông C BAC = 60° Hình chiếu vng góc điểm B′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Thể tích khối tứ diện A′.ABC tính theo a A 9a 416 9a C 208 B 13a 108 13a D 416  x + x ≥ Câu 38 Cho hàm số f (x) =  2x Tích phân I = ∫ f (x)dx có giá trị bao nhiêu? x ≤ e −1 A I = 7e + 2e B I = 11e − 11 2e C I = 3e − e2 D I = 9e − 2e Câu 39 Cho hàm số y = f (x) xác định ℝ Đồ thị hàm số y = f ′(x) cắt trục hoành ba điểm có hồnh độ a, b, c (a < b < c) hình bên Biết f (b) < , hỏi phương trình f (x) = có nhiều nghiệm? A B C D Câu 40 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi E, F điểm đối xứng B qua C, D M trung điểm đoạn thẳng AB Gọi (T) thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng (MEF) Tính diện tích S thiết diện (T) Trang A S = a2 B S = a2 C S = a2 D S = a2 π  π  Câu 41 Số nghiệm phương trình cos  − x ÷.sin x = − sin  + x ÷ với x ∈ [ 0;3π] 2  2  A B C D Câu 42 Cho mặt phẳng (P) : x − y − z − = hai điểm A(−5;1; 2), B(1; −2; 2) Trong tất điểm M uuuu r uuur thuộc mặt phẳng (P), điểm để MA + 2MB đạt giá trị nhỏ có tung độ y M A y M = B y M = −2 C y M = D y M = −1 Câu 43 Cho hàm số y = f (x) liên tục ℝ có đồ thị hình vẽ  x +3 bên Xét hàm số g(x) = f  ÷+ 2m Tìm m để giá trị lớn  x −1  g(x) đoạn [ −1;0] A m = −1 C m = − Câu 44 Cho hàm số y = B m = −2 D m = m x − − Có tất giá trị nguyên m để hàm số đồng biến x −1 − m khoảng (2;17) ? A B C D Câu 45 Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i + z − + i ≤ Khi số phức w = z + − 11i có mơđun bao nhiêu? A 12 B C D 13 Câu 46 Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −100;100] để phương trình log x 2m +1 = (m + 3)(x − 1) có hai nghiệm thực dương phân biệt? A 196 B 198 C 200 D 199 Câu 47 Cho hàm số y = f (x) liên tục có đạo hàm ℝ, có đồ thị hình vẽ bên Với m tham số thực thuộc đoạn [ 1; 2] , phương trình f (x − 3x ) = m3 − 3m + có nghiệm thực? A B C D Câu 48 Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ Gọi M, N trung điểm cạnh AD, CD P điểm cạnh BB′ cho BP = 3PB′ Mặt phẳng (MNP) chia Trang khối lập phương thành hai khối tích V1 , V2 Biết khối tích V1 chứa điểm A Tính tỉ số A V1 = V2 D V1 25 = V2 96 B V1 25 = V2 71 V1 V2 C V1 = V2 Câu 49 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; −1; −1), B( −1; −3;1) Giả sử C, D hai điểm di động thuộc mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z − = cho CD = A, C, D thẳng hàng Gọi S1 , S2 diện tích lớn nhỏ tam giác BCD Khi tổng S1 + S2 có giá trị bao nhiêu? A 34 B 17 C 11 D 37 Câu 50 Trên cánh đồng cỏ, có bị cột vào hai cọc khác Biết khoảng cách hai cọc 5m, hai sợi dây buộc hai bò có chiều dài 4m 3m (khơng tính phần chiều dài dây buộc bị) Tính diện tích mặt cỏ lớn mà bị ăn chung (làm trịn đến hàng phần nghìn) A 6, 642m B 6, 246m C 4, 624m D 4, 262m Trang Đáp án 1-C 11-D 21-A 31-C 41-D 2-C 12-D 22-B 32-D 42-B 3-B 13-C 23-B 33-A 43-A 4-D 14-A 24-C 34-C 44-C 5-C 15-C 25-A 35-B 45-D 6-B 16-A 26-D 36-A 46-B 7-C 17-D 27-C 37-C 47-B 8-D 18-B 28-A 38-D 48-B 9-B 19-C 29-A 39-D 49-A 10-D 20-B 30-C 40-D 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C Ta có: V = h.Sday = a a2 a3 = 4 Câu 2: Đáp án C Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số có hai điểm cực trị x = x = −1 Câu 3: Đáp án B Hình chiếu vng góc A(−1; 2; 4) mặt phẳng (Oyz) điểm N(0; 2; 4) Chú ý: Điểm A(x ; y0 ; z ) có hình chiếu vng góc lên:  Mặt phẳng:  (Oxy) điểm A1 (x ; y ;0)  (Oyz) điểm A (0; y ; z )  (Oxz) điểm A (x ;0; z )  Trục:  Ox điểm A (x ;0;0)  Oy điểm A (0; y ;0)  Oz điểm A (0;0; z ) Câu 4: Đáp án D Ta có: ( e u ) ′ = u ′eu ⇒ ( e 2x ) ′ = 2e 2x , suy D sai Câu 5: Đáp án C Ta có: z = − 3i ⇒ z = + 3i có phần ảo Câu 6: Đáp án B Dựa vào đồ thị suy hàm số nghịch biến khoảng (−1;0) (1; +∞) Câu 7: Đáp án C Ta có: ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) cos 2x + C ⇒ ∫ sin 2xdx = − +C a Câu 8: Đáp án D Trang  x C = 3x G − x A − x B =  Ta có:  y C = 3y G − y A − y B = −7 ⇒ C(3; −7;1)  z = 3z − z − z = G A B  C Câu 9: Đáp án B Đồ thị (C) có tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = ⇒ I(3; 2) thuộc đường thẳng x − y − = Câu 10: Đáp án D Nếu α số ngun a α có nghĩa a > nên ( −5 ) khơng có nghĩa Câu 11: Đáp án D 3 3 0 1 0 ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ⇔ ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx = − = Câu 12: Đáp án D Bước 1: Chọn bạn nam có 17 cách Bước 2: Chọn bạn nữ có 11 cách Theo quy tắc nhân ta có 17.11 = 187 cách Câu 13: Đáp án C Ta có: Sxq = πRl = πR R + h = π.4 + 32 = 20π Câu 14: Đáp án A +) Đồ thị có điểm cực trị nên loại C (hàm trùng phương có điểm cực trị) +) Đồ thị có “điểm cuối” có hướng lên nên a > , suy loại B x = +) Xét hàm phương án A có y′ = 3x − 6x = ⇔  thỏa mãn x = (trong kiểm tra hàm phương án D cho ta điểm cực trị x = 0; x = −2 (loại)) Câu 15: Đáp án C Điểm thuộc đường thẳng điểm thay đổi tọa độ x, y, z vào phương trình đường thẳng ta chuỗi đẳng thức đúng, cịn khơng điểm khơng thuộc Nhận thấy: −2 − + = ≠ , suy P(−2; 2;1) ∉ d −2 Câu 16: Đáp án A   13  1 log  a b ÷ = log 2  13 log + log b = 5 2  log8 a + log b =    a b = 2 ⇔ ⇔ ⇔      13  log a + log b =  log a + log b =  ab = 27 2  log  ab ÷ = log 2     Suy ( ab ) = 212 ⇔ ab = ( 212 ) = 29 ⇒ log (ab) = log 29 = Câu 17: Đáp án D Cách 1: Do z = i nghiệm phức phương trình z + az + b = nên suy ra: Trang b − = a = i + + b = ⇔ b − + = ⇔  ⇔ ⇒ a + b =1 a = b = Cách 2: Sử dụng tính chất “Nếu phương trình az + bz + c = với a, b, c ∈ ¡ có hai nghiệm phức có nghiệm phức z1 có nghiệm phức z = z1 ”  z1 + z = = −a a = ⇔ ⇒ a + b = Do phương trình có nghiệm z1 = i ⇒ z = −i ⇒  b =  z1.z = = b Câu 18: Đáp án B Do (S) không cắt (P) ⇒ d ( O;(P) ) > R ⇔ 0−2 + (−1) + 2 2 >R ⇔R< Câu 19: Đáp án C  lim y = −∞  x →( −1)+  Từ bảng biến thiên:  lim− y = +∞ ⇒ x = −1; x = tiệm cận đứng y = tiệm cận ngang  x →2 y=2  xlim →−∞ Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Câu 20: Đáp án B log a (bc) = log a b + log a c → I, IV sai Vì bc > , nên b, c âm  log a b = log a b Còn log a (bc) = < a ≠ < bc ≠ , song tốn khơng có điều kiện bc ≠ log bc a Do đó, II sai Vậy có III Câu 21: Đáp án A (SAC) ⊥ (ABC)   · Do (SAB) ⊥ (ABC)  ⇒ SA ⊥ (ABC) ⇒ ( SC, (ABC) ) = SCA = 60° (SAC) I (SAB) = SA  · ⇒ SA = AC tan SCA =a Gọi I, H hình chiếu vng góc A BC, SI, đó: d ( A, (SBC) ) = AH Tam giác ABC cạnh a nên AI = Khi xét tam giác SAI: ⇒ AH = a 1 1 = + = 2+ = 2 AH SA AI 3a 3a 3a a 15 Trang 10 Vậy h = d ( A, (SBC) ) = a 15 Câu 22: Đáp án B β β dx ax + b = ln Áp dụng công thức giải nhanh: I = ∫ (ax + b)(cx + d) ad − bc cx + d α α dx x +1 = ln Ta có: ∫ (x + 1)(x − 2) −3 x − 1 = − ln = − (ln − 3ln 2) = ln − ln = a ln + b ln + c 3 Suy a = 1; b = − ;c = ⇒ a − 3b + c = + = β dx ax + b = ln Chú ý: Ta có cơng thức giải nhanh: I = ∫ (ax + b)(cx + d) ad − bc cx + d α β α Câu 23: Đáp án B Gọi số tiền ban đầu T Sau n năm, số tiền thu là: Tn = T(1 + 0, 084) n = T.(1, 084) n n n Khi đó, Tn ≥ 2T ⇔ T.(1, 084) ≥ 2T ⇔ (1, 084) ≥ ⇔ n ≥ log1,084 ≈ 8,59 Vì n ∈ ¥ nên suy n = Câu 24: Đáp án C Trong cạnh lại (khơng kể cạnh AB) có cạnh AD, DB, AC quay quanh trục AB tạo hình nón Do có hình nón tạo thành (như hình bên) Chú ý: Do CB ⊥ (ADB) ⇒ CB ⊥ AB , CB quay quanh AB tạo hình trịn mà khơng phải hình nón Câu 25: Đáp án A uuur r uuur Gọi (P) mặt phẳng trung trực AB Ta có AB = (2;8; −4) = 2(1; 4; −2) ⇒ n (P) = AB = (1; 4; −2) Trung điểm AB I(2;1;0) Vậy phương trình mặt phẳng trung trực AB a =  (P) : x + 4y − 2z − = ⇔ b = −2 ⇒ a + b + c = −4  c = −6  Câu 26: Đáp án D Gọi M(x; y) điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Khi đó: (1 + z) = (1 + x + yi) = (1 + x) − y + 2(1 + x)yi số thực  x = −1 ⇔ 2(1 + x)y = ⇔  y = Trang 11 Suy tập hợp biểu diễn số phức z hai đường thẳng x = −1 y = Câu 27: Đáp án C 3 Ta có: u = u1.q ⇒ q = u 24 − q10 − 210 = = ⇔ q = ⇒ S10 = u1 = = 3069 u1 1− q 1− Câu 28: Đáp án A Ta có: + x Khi đó: T = −x x −x x −x 81 + 81 + = 81 + 81 = = ⇒  x −x ⇔  x −x (3 − ) + =  − = 15 − (81x + 81− x ) 15 − = = +1 + 3x − 3− x Câu 29: Đáp án A Do hàm bậc ba có số cực trị là nên loại B (B hàm trùng phương) Ta xét b − 3ac = b − 3c > 0, ∀c < , suy hàm số có điểm cực trị → loại D Gọi x1 , x hai điểm cực trị hàm số nên x1x dấu với ac < , suy x1x < Suy A Câu 30: Đáp án C Cách 1: Trường hợp 1: a < b < c < d Khi đó, ta cần chọn chữ số a, b, c, d phân biệt từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Ứng với số (a, b, c, d) ta tạo số abcd thỏa mãn a < b < c < d Do số cách chọn là: C9 = 126 Trường hợp 2: a < b < c = d Khi đó, ta cần chọn chữ số a, b, c phân biệt từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Ứng với số (a, b, c) ta tạo số abcd thỏa mãn a < b < c = d Do số cách chọn là: C9 = 84 Vậy có 126 + 84 = 210 số thỏa mãn điều kiện tốn Cách 2: Ta có: ≤ a < b < c ≤ d ≤ ⇔ ≤ a < b < c < d + ≤ 10 (*) Ứng với số (a, b, c, d) lấy từ 10 chữ số (từ tới 10) thỏa mãn (*), ta số thỏa mãn tốn Do số số thỏa mãn toán là: C10 = 210 Câu 31: Đáp án C Phương trình cung trịn có bán kính R = (như  x + y = ⇒ y = − x2 hình vẽ)   y ≥ 0; x ∈ [ −2;0] Khi hình phẳng (H) tách thành hình phẳng Trang 12 y = − x y = − x   y = y = (H1 ) :  (H ) :   x = −2 x = x = x =   −2 Casio → Nên ta có: V = V1 + V2 = π ∫ (4 − x )dx + π∫ (4 − x)dx  Chú ý: Ở toán V1 phần thể tích 40π 1 khối cầu (sau quay đường trịn bán kính R = 2 4 16π quanh trục Ox) nên ta tính V1 cơng thức thể tích khối cầu sau: V1 = π.2 = 3 Câu 32: Đáp án D Do BCD tam giác cạnh a ⇒ R = OB = a a 3 a Ta có: h = OA = AB − OB = a −  = ÷  ÷   Suy ra: Sxq = 2πRh = 2π 2 a a 2πa 2 = 3 Câu 33: Đáp án A Phương trình tương đương:  −3 < x < 3 − 2x − x > log (3 − 2x − x ) = log (m + 6x) ⇔  ⇔ 2  m = − x − 8x + = f (x)  m + 6x = − 2x − x Ta giải tốn sau: “Tìm m để đồ thị hàm số f (x) = − x − 8x + (với x ∈ (−3;1) ) cắt đường thẳng y = m điểm nhất” Ta có: f ′(x) = −2x − < 0, ∀x ∈ ( −3;1) Suy hàm số nghịch biến (−3;1)  m = 17 = a m∈¢ →  max ⇒ a − b = 22 Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện: −6 < m < 18   m = −5 = b Câu 34: Đáp án C Gọi z = x + yi (x, y ∈ ¡ ) biểu diễn điểm M(x; y) Khi ta có: Trang 13  x + y = 13  x = −2 ⇔ ⇒ z = −2 − 3i ⇒ w = −5 + 12i ⇒ w = 13   y = −3  y = −3; x < Câu 35: Đáp án B Mặt cầu (S) có tâm I(1;0; −2) bán kính R = 12 + 02 + 22 + 11 = Khi h = d ( I;(α) ) = 1+ + + 3 =2 Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (α) theo giao tuyến đường trịn (T) có bán kính: ( r = R − h = 42 − ) = Suy chu vi đường tròn (T) là: 2πr = 4π Câu 36: Đáp án A k −1 k −1 Ta có hệ số số hạng thứ k khai triển là: C n (−2) 2 Suy hệ số số hạng đầu là: C n ; −2Cn (−2) C n 2 Do tổng hệ số ba số hạng đầu 161 nên ta có: C n − 2C n + (−2) C n = 161 ⇔ − 2n + n(n − 1) = 161 ⇔ n − 2n − 80 = ⇔ n = 10 n = −8 (loại) Với n = 10 , ta có: n 10 k 40 −5k 10 10   2   2  k 10 − k  k k x − ÷ = x − ÷ = ∑ C10 ( x ) − ÷ = ∑ C10 ( −2) x x x x       k =0 k=0 Khi hệ số khơng chứa x khai triển thỏa mãn: 40 − 5k = ⇔ k =8 8 Vậy hệ số không chứa x khai triển là: a = C10 (−2) = 11520 Câu 37: Đáp án C Ta có: VA′.ABC = VB′.ABC = B′G.SABC (*)  a (1)  B′G = BB′ sin 60° = Ta có:   BG = BB′ cos 60° = a ⇒ BM = BG = 3a  2 Đặt BC = x ⇒ AC = BC.cot 60° = Ta có: BM = BC + MC2 ⇔ Hay BC = x x ⇒ MC = 3 9a x2 3a 39 = x2 + ⇔x= 16 12 26 3a 39 3a 13 1 3a 39 3a 13 9a (2) ; AC = ⇒ SABC = AC.BC = = 26 26 2 26 26 104 a 9a 9a Thay (1), (2) vào (*) ta được: VA′.ABC = = 104 208 Trang 14 Câu 38: Đáp án D 2 I = ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = ∫ e dx + ∫ (x + 1)dx = e 2x −1 −1 −1 2x (x + 1) 9e − + = 2e −1 Câu 39: Đáp án D Từ đồ thị hàm số y = f ′(x) ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên suy đồ thị y = f (x) cắt trục hoành (y = 0) nhiều điểm phân biệt Vậy phương trình f (x) = có nhiều nghiệm Câu 40: Đáp án D Ta có thiết diện (T) tam giác MHK hình vẽ Dễ thấy H, K trọng tâm tam giác ABE, ABF (đều giao đường trung tuyến) Khi đó: AH AK 2 2a = = ⇒ HK // CD ⇒ HK= CD = AC AD 3 Ta có: MH = AM + AH − 2AM.AH.cos 60° 2 a 2a 13a  a   2a  =  ÷ +  ÷ − = 36 2   Suy MK = MH = a 13 Xét tam giác cân MHK hình vẽ Ta có: MI = MH − IH = ⇒ SMHK = 13a  a  a − ÷ = 36   1 a 2a a MI.HK = = 2 Câu 41: Đáp án D Phương trình tương đương: sin x = − cos ⇔ − cos x = − cos x ⇔ cos x.(cos x − 1) = π  x = + kπ x∈[ 0;3π] cos x =  π 3π 5π  ⇔ ⇔  → x ∈  ; ; ;0; 2π  : có nghiệm  2 2  cos x =  x = k2π Câu 42: Đáp án B Trang 15 x A + 2x B   x I = + = −1  uur uur r y + 2y B  = −1 ⇒ I(−1; −1; 2) Xét điểm IA + 2IB = (*) ⇒  y I = A +  z A + 2z B  z I = + =  uuuu r uuur uuu r uur uuu r uur (*) uuu r Khi MA + 2MB = MI + IA + MI + IB = 3MI = 3MI ( ) ( ) uuuu r uuur MA + 2MB = 3MI ⇔ M hình chiếu vng góc I (P) Suy ra:  x = −1 + t  Đường thẳng d qua I vng góc với (P) có phương trình:  y = −1 − t (2*) z = − t  Thay (2*) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: −1 + t − (−1 − t) − (2 − t) − = ⇔ t = ⇒ M(0; −2;1) ⇒ y M = −2 Chú ý: Công thức xác định nhanh tọa độ điểm I:  ∑ k i x i x I = k ∑ i   uuur r uur u u u u r 1  ∑ k i IAi = ⇔ OI = k ∑ k i OAi ⇒  y I = k ∑ k i yi ∑ i ∑ i   z I = ∑ k z  ∑ ki i i Câu 43: Đáp án A Đặt t = x +3 −4 ⇒ t′ = < 0, ∀x ∈ [ −1;0] ⇒ t(0) ≤ t ≤ t(−1) ⇔ t ∈ [ −3; −1] x −1 (x − 1) Khi đó, giá trị lớn g(x) đoạn [ −1;0] giá trị lớn hàm f (t) + 2m đoạn [ −3; −1] f (t) = Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) hay y = f (t) ⇒ max [ −3; −1] ⇒ max g(x) = + 2m ⇔ = + 2m ⇔ m = −1 [ −1;0] Câu 44: Đáp án C Đặt t = x − ⇒ t ′ = > 0, ∀x ∈ (2;17) ⇒ t hàm đồng biến t ∈ (1; 4) x −1 Khi tốn phát biểu lại là: “Có giá trị nguyên m để hàm số y = mt − đồng t−m biến khoảng (1; 4) ” Yêu cầu toán tương đương: Trang 16 m ≤  m ∉ (1; 4) −m2 +  y′ = > 0, ∀t ∈ (1; 4) ⇔  ⇔   m ≥ (t − m) −m + >  −3 < m <  m∈¢ ⇔ −3 < m ≤  → m ∈ { −2; −1;0;1} : có giá trị m thỏa mãn Câu 45: Đáp án D Gọi M(x; y) biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )  A(1;3) Khi đó: z − − 3i + z − + i ≤ ⇔ MA + 2MB ≤ (*)   B(4; −1) Do AB = nên (*) ⇔ MA + 2MB ≤ AB (1) Mặt khác, ta có: MA + 2MB = MA + MB + MB ≥ AB + MB ≥ AB (2) Từ (1) (2), suy ra: MB = ⇔ M ≡ B(4; −1) ⇒ z = − i ⇒ w = − 12i ⇒ w = 13 Câu 46: Đáp án B Điều kiện xác định x > Với m = − , phương trình khơng có nghiệm thực dương phân biệt m+3 m+3 2m +1 = (m + 3)(x − 1) ⇔ f (x) = log x = x− Với m ≠ − , ta có: log x 2m + 2m +  m+3  2m + > Để thỏa mãn yêu cầu tốn thì:  (phương pháp tiếp tuyến tương giao)  m + ≠ f ′(1)  2m +  m > −   m > −   m∈[ −100;100] ⇔   m < −3 ⇔ → m ∈ [ −100; −3) ∪  − ;100       m+3 m < −3   ≠  2m + ln Do m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { ±100; ±99; ; ±4;0;1; 2;3} : có 198 giá trị m thỏa mãn đề Trang 17 Câu 47: Đáp án B 2 Đặt t = x − 3x ⇒ t ′ = 3x − 6x = ⇔ x ∈ { 0; 2} Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, suy ra: +) Hàm số y = x − 3x nghịch biến [ 1; 2] ⇒ t ∈ [ −4; −2] Ta có (m − 3m ) ∈ [ −4; −2] m ∈ [ 1; 2] ⇒ (m3 − 3m + 5) ∈ [ 1;3] với m ∈ [ 1; 2] +) Khi dựa vào đồ thị suy phương trình  t = t < −4 f (t) = m − 3m + ⇔  t = t ∈ (−4;0)  t = t ∈ (−4;0) +) Bảng biến thiên hàm số y = x − 3x cho ta biết: Với t = t1 ⇒ x − 3x = t1 < −4 : có nghiệm Với t = t ⇒ x − 3x = t ∈ (−4;0) : có nghiệm Với t = t ⇒ x − 3x = t ∈ (−4;0) : có nghiệm Vậy phương trình ban đầu có tất cả: + + = nghiệm Chú ý: Ở câu hỏi ta chọn m = 1∈ [ 1; 2] để đưa phương trình dạng: f (x − 3x ) = (Do số nghiệm phương trình khơng đổi với ∀m ∈ [ 1; 2] ) Câu 48: Đáp án B Thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) hình lập phương ngũ giác MNHPK (như hình vẽ) Khi ta có: V1 = VP.BIJ − ( VK.AMJ + VH.CIN ) (*) Ta có: DMN tam giác vng cân D Suy ra: ∆AMJ, ∆CIN tam giác vng cân Đặt AB = 2a , đó: AJ = AM = CN = CI = a PB = 3a KA JA a 1 a = = = ⇒ KA = PB = PB JB 3a 3 Khi HC = KA = a Trang 18 Suy ra:  1 a a3  VK.AMJ + VH.CIN = 2VK.AMJ = AK.AJ.AM = a.a = ( 2*)  1 3a 9a V = BP.BI.BJ = 3a.3a =  P.BIJ 6 Thay (2*) vào (*) ta được: V1 = 9a a 25a − = 12 ⇒ V2 = VABCD.A′B′C′D′ − V1 = 8a − 25a 71a V 25 = ⇒ = 12 12 V2 71 Câu 49: Đáp án A Gọi K H hình chiếu vng góc B mặt phẳng (P) đường thẳng CD Khi đó: BK ≤ BH ≤ AB (*) Ta có: S∆BCD = BH.CD (*) = 2BH  → 2BK ≤ S∆BCD ≤ 2AB (1) Ta có BK = d ( B, (P) ) = −2 − − − 22 + 12 + 22 Từ (1) (2), suy ra: S2 = = AB = (2) 16 34 ≤ S∆BCD ≤ = S1 ⇒ S1 + S2 = 3 Câu 50: Đáp án A Miền hình phẳng mà hai bị ăn hai hình trịn có bán kính 4m 3m (hình vẽ) Đoạn nối tâm AB = 5m hai hình trịn 5m Diện tích mặt cỏ lớn mà bị ăn chung phần diện tích dây buộc hai bò căng tối đa thuộc phần chung hai hình trịn (phần tơ đậm), nên ta gắn hệ trục tọa độ Oxy (như hình vẽ bên) Đường trịn tâm A ≡ O(0;0) có bán kính R = có 2 2 phương trình: x + y = 16 ⇔ y = 16 − x (C1 ) 2 Đường tròn tâm B(5;0) có bán kính R = có phương trình: (x − 5) + y = (C ) 2 Phương trình hồnh độ giao điểm (C1 ) (C2 ) là: (x − 5) + 16 − x = ⇔ x = 16 Do tính đối xứng nên ta xét phần hình phẳng (H) nằm phía trục Ox giới hạn dường Trang 19  y = 16 − x   y = − (x − 5) có diện tích S1  y =   x = 2; x = Dựa vào hình vẽ, diện tích mặt cỏ cần tính là:  165   ÷Casio 2 S = 2S1 =  ∫ − (x − 5) dx + ∫ 16 − x dx ÷ ≈ 6, 642m 16 2 ÷   Trang 20 ... 26 Cho số phức z thỏa mãn (1 + z) số thực Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z A Đường tròn B Parabol C Một đường thẳng D Hai đường thẳng Câu 27 Cho cấp số nhân (u n ) có số hạng đầu u1 = số hạng... cần chọn chữ số a, b, c phân biệt từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Ứng với số (a, b, c) ta tạo số abcd thỏa mãn a < b < c = d Do số cách chọn là: C9 = 84 Vậy có 126 + 84 = 210 số thỏa mãn điều... < c ≤ d ≤ ⇔ ≤ a < b < c < d + ≤ 10 (*) Ứng với số (a, b, c, d) lấy từ 10 chữ số (từ tới 10) thỏa mãn (*), ta số thỏa mãn tốn Do số số thỏa mãn toán là: C10 = 210 Câu 31: Đáp án C Phương trình