BDT Cosi hay nguyen ly chon diem roi

Email: Khacduongnghiloc2@yahoo.com.. Gmail: Chamluongtu11@gmail.com..[r]

(1)

Bất đẳng Cauchy có phương pháp hay hấp dẫn đố Phương pháp:” Điểm rơi Cauchy”.Mặc dầu khơng sách nói phương pháp nhìn chung nhiều bạn cịn chưa hiểu phương pháp

trước hết xin trinh bày sơ lược Bất đẳng thức(BĐT) phương pháp điểm rơi:

1.Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số dương, a1,a2,a3,……,an Ta có: n

n n a .a .a a

n a a a a 3     

(Bất đẳng thức CauChy cổ điển) Hoặc phát biểu dạng khác sau:

    n i n i

i n a

a

1

Từ ta suy dạng hay sử dụng là:

(1)

Dấu Bất đẳng thức xẩy a1=a2….=an

Và rõ ràng để sử dụng BĐT CauChy ta phải ý đến “Điều kiện xẩy dấu bằng”,và phương pháp “Điểm rơi

CauChy” đống vai trò quan trọng,và học thấy BĐT CauChy xoay quanh “Điểm rơi CauChy”mà thôi.Sau ta xét số ví dụ để thấy rõ điều đó:

V

í dụ 1: Cho a2 tìm Giá trị nhỏ (Min) P= a+

a

1

.

Suy nghĩ t ì m lời giải: Rõ ràng PMin=3/2 a = 2.Thế

nếu áp dụng BĐT CauChy trực tiếp ta thấy P2 1a 2

a Nhưng dễ thấy dấu “=” khơng xảy a2

Do ta phải sử dụng BĐT CauChy cách khéo léo tinh tế Như ta thấy a=2 1/a =1/2, mà ta tách ; 4

a a

a 

P= 4 * 4      a a a a

a (Theo BĐT CauChy kết hợp a>=2).

Dấu “=” xảy a=2.Vậy PMin=5/2 a=2

V

í dụ 2: Cho x,y>0, 1 1

y

x ;Tìm Min A=

x y y x

 ;

(Đề thi vào 10 chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2007-2008(vòng1))

Suy nghĩ v à t ì m lời giải: Đây dang BĐT đối xứng

vì ta dự đoán dấu”=” xảy x =1/2,y=2; Email:Khacduongnghiloc2@yahoo.com

Gmail:Chamluongtu11@gmail.com

n

n a a a

n a

a

a       

(2)

2_tempfile_52822.doc1A1

Khi x=1/2,y=2 x/y=1/4 y/x = để dùng BĐT CauChy ta phải tách:

x y x y x y 16 15 16 

 ; Trước hết theo BĐT

CauChy,ta có: 1 1  12  41

y x y x y

x ;vì mà tìm Min A

thì ta phải kết hợp điều kiện này.Ta tách P=16yx1615xy y x  17 16 15 16

2  



y x x y

(Theo CauChy theo đề 4

x y

) Vậy tốn chứng minh

Ta x é t c c b i to n phức tạp h n;

VD3: Cho số a,b,c>0,và a + b+ c = 9: tìm giá trị nhỏ P= b a c c b b c b a      2

Suy nghĩ v à t ì m lời giải Đâ y l à bất đ ẳng thức đ ỗi

xứng nh ư ng m à ta c ó thể thấy ph ươ ng ph á p giải

kh

ô ng xa lắm:

ta dự đ o á n dấu “ = ” xảy a = b = c = 3,v à khi đó th ì Pmin

có thể thấy a = b = c =

2 3 32 2       

 a b

c c a b c b a

Trước hết ta tìm cách rút gọn mẫu ta cộng thên lượng để khử mẫu;

a c b c b a c b c b a      

 4.( )

) ( 2

(Theo BĐT CauChy);

Tương tự: a b c

b a c b c a c a b       

 ,

2

Cộng BĐT lại, ta được: Pabc abc

2 Hay P

9

2 

  a b c

Dấu “=” xảy a=b=c =3

Nhận x é t: ta không cộng thêm a+c,b+c,a+b, mà lại

công thêm , 4

4 , c a c b b

a  

là ta dự đốn dấu “=” xảy a=b=c=3,

Email:Khacduongnghiloc2@yahoo.com

(3)

và rõ ràng để a b b c c a b a c c a b c b a               3 32 2 ta phải chia cho

Bây ta xét dạng tổng quát này; Dạng tổng quát cho số;

VD4: Cho a,b,c số dương thoả mãn : a + b + c = k (k>0);

Tìm giá trị nhỏ

b a c c a b c b a P n n n      

( để đơn giản ta xét n nguyên dương.n>1)

Nhận xét: bất đẳng thức đối xứng

nên suy đoán dấu “=” xẩy a=b=c=k/3: Nên theo hướng : ) 2.3

3 ( 1          n n n n n n n k k k b a c c a b c b a

ta cộng thêm lượng 11

3         n n k t b a t c a t c

b ý

dưới mẫu có a+b;b+c;c+a đố mà ta cộng thêm

lần ; ; ;

t b a t c a t c

b  

nhưng lại nảy sinh vấn đề làm để sử dụng tổng a + b+ c =k; Và khơng thể tính giá trị nhỏ nhất??? Rõ ràng ta chứng minh theo suy đoán a = b = c nên ta cơng thêm số lượng

1   n n

k sau ta trừ khơng ảnh hưởng mà lại

đem P>= q.k

Giải: Ta có: 2 2 2 2 1 1 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (                              n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a k n k k a n k k c b k c b k c b a c b a

Tương tự ta có BĐT

(4)

4_tempfile_52822.doc1A1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ) ( ) ( ; ) ( ) (                                           n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c k n k k a b k a b k b a c b a c b k n k k c a k c a k c a b c a b

Cộng vế theo vế BĐT Suy ra:

2P  2

1 2 1 2 ) ( 4 ) ( ) (                 n n n n n n n n k c b a k k n c b a k n     n n k P ;

Dấu “=” xẩy a = b = c = k/3 > 0; Bây ta xét dạng tổng quát cho n số:

VD5: Cho n số a1,a2,a3……… an >0 thoả mãn a k

n i i   1 (k>0);

Tìm GTNN P =

2 3 a a a a a a a a a m n m m      

Nhận xét :

Dây BĐT đối xứng nên Dự đoán dấu “=” xẩy ai=k/n với i=1,n;

Ta dựa vào dự đoán để tìm minP ;

Theo dự đốn ta cộng thêm vào lượng để sử dụng giả thiết n a k

i

i 



1

Nếu dấu “=” xâỷ ta xét rằng:

t a a t a a n k n k n k a a a a a a a a a m m m m n m m 1 3

1

2 ) / ( ) / (               

việc tìm t khơng khó cần giải phương trình  t n k/ 1   m m n k ; Giải :;

Ta xét: P1=

2 ) )( ( 2 ) )( ( 1 1 2 3 ) (                        m m m m m m m m m m m m m m m m m m n k a m n n k k a m n k n k n k a a a a a

Tương tự ta có:

(5)

Pn=

2 )

2 )( ( 2

) )( (

1

2 2

1

2

) (

  

   

 



 

  

 

 m

m n m

m m m m

m m m m n m

m m

n

n k a m n

n

k k a m n

k n

k a a a a

a

(6)

Cộng vế theo vế BĐT lại ta được:

P= 1 2 2

1

) (                 m m n i i m m n i i m m n

i i n

k m n a n k a n k m

P = 12

  m m n k

Dấu “=” xẩy ai=k/n với i=1,n;

vậy ta tìm GTNN biểu thức ta lại quan tâm đến toán dạng tổng quát hơ cho m số hữu tỷ lớn ta tìm khơng???? Câu trả lời có phức tạp, quan tâm thì:…

bài tổng quát hơn: Cho ( 0)

1     k k a n i i ;

Tìm Min P=

2 3 a a a a a a a a a m n m m      

Với ý rằng: m đơn giản số nguên dương > mà ta cho m số hữu tỷ > 2;

Nhận xét: Vẫn mà việc thay m số hữu tỷ tốn khó nhiều, để ý “ số hữu tỷ biểu diễn dạng t/q với (t,q)=1;

Theo hướng đó, ta có.Lời giải:

Ta chọn m = t/q, (t,q)=1; Khi đó: P=

2 3 a a a a a a a a a q t n q t q t      

việc giải rõ ràng khó nhiều, trước hết phải để mẫu số mũ mẫu:

Có: P1 = a a aq t  +…… + a a aq t  + q q t q q t q q t q q t n a a k n a a k 2 2 ) ( ) (         + q q t q q t q q t q q t n k n k      

; Theo CauChy (cho t(t-q) số), suy ra:

(7)

Tương tự: Pn tq q t tq q t n n k a q t t 2 ) (     ;

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

VD5: Cho số dương a,b,c thoả mãn a2+b2+c2=3; Tìm GTLN,GTNN của: P= ab+bc+ca + abc

27 ;

Ta tìm giá trị lớn cách sử dụng bảng biến thiên,dùng đạo hàm! Nhưng khuôn khổ viết ta dang quan tâm đến việc sử dụng BĐT CauChy nên ta quan tâm đến GTNN; Trước hết ta tìm GTNN;

Giải: * Ta tìm GTNN P;

Xét 2P + = 2ab+2ac+2bc +a b c

 

54

+ a2+b2+c2 = (a+b+c)2 +

c b a c b

a    

27 27 27 ) ( 27 ) ( 33 2       c b a c b a (Theo CauChy) 12 

 P ; Dấu xảy a=b=c=1;

……… …………

Ta xét toán tổng quát sau:(Tổng quát cho 3số):

Cho a,b,c >0:Thoả mãn a2+b2+c2=n,(n>0); Tìm GTNN P = ab+bc+ac +

c b a n   3 ;

Cách giải đơn giản không khác bao nhiêu: Thế khơng người thấy khó?

Giải:

Xét Q=2P + n = 2(ab+bc+ac) + 2*

c b a n n  

3 + a2+b2+c2 = (a+b+c)2+

c b a n n   3 + c b a n n   3

Áp dụng BDT CauChy( cho số dương a,b,c): Ta được:

(27)

Suy P4n: Dấu “=” xảy a=b=c=

3

n

; Vậy GTNN P 4n a=b=c= 3n ;

Bây ta xét số toán thú vị:

(đây tốn tơi tổng quát giải từ số

BĐT có điều kiện)!

Trước hết ta giải toán cụ thể trước đến toán tổng quát:

VD1: Cho xy + yz +zx=5; Cmr: P= 3x2 + 3y2 + z2 10;

Giải!

Đây toấn dùng CauChy nhiên mà dùng dạng trực tiếp khơng thể cho ta kết Vì ta nghĩ tới phương pháp tách:

Ta có P= ) 2 10

2 ( ) 2 ( ) (

2 2

2

2y  x z  y z  xy yz zx

x

(Theo CauChy) (Đpcm):

Nx: Nhìn tốn q dễ tách khơng đơn giản:

Ta xét toán tổng quát sau:

Bài toán: Cho số dương x,y,z thoả mãn a xy+byz+czx =A (Với m,n tham số dương A số)

Tìm GTNN P=mx2 + ny2 +z2 ( Với t,q tham số dương)

Giải:

Ta lại chọn hai số k.l thoả mãn: < k < a

< l < b; Ta tách P;

P = kx b l y a k x z ly z ] k(b l)xy 2(a k)xz 2lyz

2 [

] ) [( ] ) (

[ 2 2 2

 

  

   

 



ở phương trình mxy + nyz + zx= A

hệ số gắn với zx=1 ta cần tách cho PtA; có nghĩa ta

phải sử dụng đựơc hai kiện mà tốn cho; Và muốn sử dụng ta phải chọn sau:

) ( a k

t   ; ta cần có:

(28)

l l

n k a l

m k a l

b k

2

) ( 2

) ( ) (

  

  

từ pt ta suy ra: 2k(b-l) = (a-k)m2 (1) l = (a-k)n2 (2)

hệ (1),(2)

 2k [ b- ( a – k )n2 ]= (a-k)m2;

 2n2k2 + (2b + m2 -2an2)k – am2 =0; (pt ẩn k)

(3)

Rõ ràng tích ac= -2an2m2 < với n,m,a > pt (3) ln có hai nghiệm dương

Nhưng ta quan tâm tới nghiệm dương mà

Ta lấy 2 22 2 2

4

8 )

2 (

2

n

m an m

b an m

b an

k      

 l = (a-k)n2 ;

Như toán đựoc giải triệt để việc giải toán từ đơn giản việc tách đến khơng dễ chút nào; việc tách phức tạp hy vọng có cách mà khơng vần tách gigả có tách tách cách đơn giản đễ nhớ hơn!!!!!!

( thích: cịn băn khoăn việc giải tiếp tốn

Ta nói ngắn gọn này: ta thay k, l vừa tìm vào biểu thức

P = kx b l y a k x z ly z ] k(b l)xy 2(a k)xz 2lyz

2 [

] ) [( ] ) (

[ 2 2 2

 

  

   

 



rồi áp dụng BĐT CauChy cho cặp ngoặc ta tìm GTNN……

có thể nói tốn gần tổng quát dạng

cho A= t(xy) + q(yz) +p(xz)

tìm P= ã2 + by2 + cz2 chuyển tốn cách chia cho p c…

Bây ta xét dang khác dung BĐT CauChy: