Ứng dụng phương pháp tam thức bậc hai vào các bài toán trung học phổ thông

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕ LÊ THỊ TRÀ LINH Ù◆● ❉Ư◆● P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❆▼ ❚❍Ù❈ ❇❾❈ ❍❆■ ❱⑨❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚❘❯◆● ❍➴❈ P❍✃ ❚❍➷◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ✲ ◆❿▼ ✷✵✷✵ ✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕ ▲➊ ❚❍➚ ❚❘⑨ ▲■◆❍ Ù◆● ❉Ư◆● P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❆▼ ❚❍Ù❈ ❇❾❈ ❍❆■ ❱⑨❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚❘❯◆● ❍➴❈ P❍✃ ❚❍➷◆● ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ ❝➜♣ ▼➣ sè✿ ữớ ữợ ữợ ữợ ữỡ ố ✣⑨ ◆➂◆● ✲ ◆❿▼ ✷✵✷✵ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❝→ ♥❤➙♥ tæ✐✱ ữủ tỹ ữợ sỹ ữợ ◗✉❛♥❣ ❚✉②➳♥ ✈➔ ❚❙✳ ▲÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❚✉②➸♥✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉✱ ♥❤ú♥❣ ❦➳t ❧✉➟♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr✉♥❣ t❤ü❝✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ♥➔②✳ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ♥❣➔② ✸✵ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✷✵ ❍å❝ ✈✐➯♥ ▲➯ ❚❤à r rữợ tr ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ t❤➛② ❣✐→♦✱❚❙✳ ❍♦➔♥❣ ◗✉❛♥❣ ❚✉②➳♥ ữỡ ố ữớ t t ữợ ❞➝♥ ✤➸ tæ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✱ ✣↕✐ ❤å❝ ✣➔ ◆➤♥❣ ✤➣ ❞↕② ❜↔♦ tæ✐ t➟♥ t➻♥❤ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❦❤♦❛✳ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ tt ỗ t t tr ợ s Pữỡ sỡ ❝➜♣ ❑✸✻ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ t➟♥ t➻♥❤ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ♥❣➔② ✸✵ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✷✵ ❍å❝ ✈✐➯♥ ▲➯ ❚❤à ❚r➔ ▲✐♥❤ ▼Ö❈ ▲Ö❈ ▼Ð ✣❺❯ ✶ ✶ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✹ ✶✳✶ ❚❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷ ◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✸ ✣à♥❤ ❧➼ ❱✐➧t❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✹ ✣à♥❤ ❧➼ ✈➲ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ t❤à ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✷ ❙û ❞ö♥❣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✷✷ ✷✳✶ ❉➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤ù❛ ❞➜✉ ❣✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✸ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈ỉ t✛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✷✳✹ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❝❛♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ✷✳✺ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ơ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧♦❣❛r✐t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✷✳✻ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻ ✸ Ù♥❣ ❞ö♥❣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❦❤↔♦ s→t ❤➔♠ sè ✹✾ ✸✳✶ ❚➻♠ ♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❤➔♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ số ỗ ❜✐➳♥ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỹ tr ỗ t ❝õ❛ ❤➔♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺ ✸✳✹ ●✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t✱ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè ự t số ỹ tữỡ ỗ t số ợ ởt ữớ t ✺✾ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✻✼ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✻✽ ▼Ð ỵ t tự ❤❛✐ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ s→♥❣ t❤ó ✈à tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✣↕✐ sè ð ❜➟❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤ỉ♥❣✳ ◆â ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❤➺ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❝❤ù❛ t❤❛♠ sè✳ ❈→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ♥➔② t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ✤➲ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ ❝➜♣✱ ✤➲ t❤✐ ✈➔♦ ❝→❝ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ✈➔ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ❈❤✉②➯♥ ♥❣❤✐➺♣✳ ❚❛ t❤➜② r➡♥❣✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ❝❤ó♥❣ t❛ t✐➳♣ ❝➟♥ ♥❤❛♥❤ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ♣❤ù❝ t↕♣✳ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤↔♦ s→t ❤➔♠ số t ỹ tr ỗ ❜✐➳♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❦❤æ♥❣ ❝á♥ ①❛ ❧↕ tr♦♥❣ ❝→❝ ✣➲ t❤✐ ❚✉②➸♥ s✐♥❤ ✣↕✐ ❤å❝ tø ①÷❛ ✤➳♥ ♥❛②✳ ❈→❝ ❞↕♥❣ ♥➔②✱ ♥❤í ❝ỉ♥❣ ❝ư ✤↕♦ ❤➔♠✱ t❛ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ❝❤ó♥❣ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ s♦ s→♥❤ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ sè ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ❘✐➯♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ①→❝ ✤à♥❤ t❤❛♠ sè ✤➸ ❤➔♠ ✤❛ tự ỡ tr ởt trữợ ữỡ ✤↕♦ ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ❝á♥ tè✐ ÷✉ ♥ú❛ ♥➳✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❝æ ❧➟♣ t❤❛♠ sè ♠ët ❝→❝❤ ❞➵ ❞➔♥❣✳ ❉♦ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤÷í♥❣ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❇ë ●✐→♦ ❞ö❝ ✈➔ ✣➔♦ t↕♦ ✤➣ ♥❤➟♣ ❑ý t❤✐ ❚èt ♥❣❤✐➺♣ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ❑ý t❤✐ ✣↕✐ ❤å❝ trữợ t ởt ý t õ ý t ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤ỉ♥❣ ◗✉è❝ ❣✐❛✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ tr♦♥❣ ❦ý t ổ t ữủ t ữợ tự tr ♥❣❤✐➺♠✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤❛♥❤ ✈➔ ❤✐➺✉ q✉↔ ❧➔ r➜t t❤✐➳t t❤ü❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ ❜➟❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤ỉ♥❣✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ s➩ ✤→♣ ù♥❣ ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ ✤è✐ ợ ữủ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤ỉ♥❣✱ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ♥➢♠ ❝❤➢❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✱ ♣❤↔✐ ❜✐➳t ❝→❝❤ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❧✐♥❤ ❤♦↕t✱ s➢❝ ❜➨♥✱ s→♥❣ t↕♦ ✈➔ ❝â ♥❤➣♥ q✉❛♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ t♦→♥✳ ✶ ❚❤➜✉ ❤✐➸✉ ♥❤ú♥❣ ❦❤â ❦❤➠♥ ♥❤÷ tr➯♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ q✉②➳t ✤à♥❤ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ✤✐ s➙✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔② ♥❤➡♠ ♣❤ö❝ ✈ö ❝ỉ♥❣ ✈✐➺❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥✳ ◆❤í ✤â✱ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝â ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ❤ì♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tr✉②➲♥ t❤ö ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤➳♥ ❝→❝ ❡♠ ❤å❝ s✐♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❤ì♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ❞↕② ❤å❝✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ ♥❤ú♥❣ ỵ ú tổ qt ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤ỉ♥❣ ✑✳ t➔✐✿ ✏ ✷✳ ▼ư❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✣➲ t➔✐ ♥❤➡♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❦❤↔♦ s→t ❤➔♠ sè ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤ỉ♥❣✳ ✸✳ ố tữủ ự tự ỵ ✈➲ ❞➜✉ ❝õ❛ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✱ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ✹✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✣➲ t➔✐ t➟♣ tr✉♥❣ ❝❤õ ②➳✉ ✈➔♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤↔♦ s→t ❤➔♠ sè ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤ỉ♥❣✳ Pữỡ ự ã t tr ❝ù✉ s→❝❤✱ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❜→♦ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ • ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❝→❝❤ ❧♦❣✐❝ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤✉ t❤➟♣ ✤÷đ❝✳ ❙❛✉ ✤â tê♥❣ ❤đ♣✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ tr ợ t ữợ t q ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿ ✷