Ứng dụng phương pháp tam thức bậc hai vào các bài toán trung học phổ thông

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕ LÊ THỊ TRÀ LINH Ù◆● ❉Ư◆● P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❆▼ ❚❍Ù❈ ❇❾❈ ❍❆■ ❱⑨❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚❘❯◆● ❍➴❈ P❍✃ ❚❍➷◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ✲ ◆❿▼ ✷✵✷✵ ✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕ ▲➊ ❚❍➚ ❚❘⑨ ▲■◆❍ Ù◆● ❉Ư◆● P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❆▼ ❚❍Ù❈ ❇❾❈ ❍❆■ ❱⑨❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚❘❯◆● ❍➴❈ P❍✃ ❚❍➷◆● ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ ❝➜♣ ▼➣ sè✿ ữớ ữợ ữợ ữợ ữỡ ố ✣⑨ ◆➂◆● ✲ ◆❿▼ ✷✵✷✵ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❝→ ♥❤➙♥ tæ✐✱ ữủ tỹ ữợ sỹ ữợ ◗✉❛♥❣ ❚✉②➳♥ ✈➔ ❚❙✳ ▲÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❚✉②➸♥✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉✱ ♥❤ú♥❣ ❦➳t ❧✉➟♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr✉♥❣ t❤ü❝✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ♥➔②✳ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ♥❣➔② ✸✵ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✷✵ ❍å❝ ✈✐➯♥ ▲➯ ❚❤à r rữợ tr ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ t❤➛② ❣✐→♦✱❚❙✳ ❍♦➔♥❣ ◗✉❛♥❣ ❚✉②➳♥ ữỡ ố ữớ t t ữợ ❞➝♥ ✤➸ tæ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ 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b   10y1 = −2(2m + 1)   y + y = 10 y = −     a  9y12 = −3m  c   y y = 9y = √a  −7 − 33    m <  ⇔ ⇔ m = − m = −3     m=−1 12 ✷ ●✐❛♦ ữớ t ợ t sè ❝â ❞↕♥❣ mx2 + nx + p ✳ y = f ( x) = dx + e ♠ët t✐➺♠ ự x = de ỗ ❤②♣❡❜♦❧ ❝â t❤à ❤➔♠ sè ❝❤✐❛ ❧➔♠ ❤❛✐ ♥❤→♥❤ ♥➡♠ ✈➲ ❤❛✐ ♣❤➼❛ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ t✐➺♠ ❝➟♥✳ ❳➨t ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = kx + q✳ ❱➜♥ ✤➲ ✤➦t r❛ ❧➔ t ữớ t t ỗ t t↕✐ ✷ ✤✐➸♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤✉ë❝ ❤❛✐ ♥❤→♥❤ ❤♦➦❝ ❝➢t ỗ t t t tở ởt ✣➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✱ t❛ ①➨t ✈à tr➼ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳ mx2 + nx + q −e kx + q = , d = 0, x = ✭✸✳✶✹✮ dx + e d ✣➸ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝ò♥❣ t❤✉ë❝ ♠ët ♥❤→♥❤ t❤➻ ✭✸✳✶✹✮ ♣❤↔✐ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤ä❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x < x2 < − e d ❤♦➦❝ − de < x1 < x2 ❍♦➦❝ ✤➸ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ ✈➲ ❤❛✐ ♥❤→♥❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ t❤➻ ✭✸✳✶✹✮ ♣❤↔✐ ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✻✹ e x < − < x2 ✳ d x2 x õ ỗ t❤à (P )✳ ❈❤♦ ❤➔♠ sè y = x−1 ✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d)y = −x + k ổ t ỗ t (P ) t ❜✐➺t A ✈➔ B ❀ ✷✳ ❚➻♠ k ✤➸ OA⊥OB ✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ✶✳ ❍♦➔♥❤ ✤ë ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ (d) ✈➔ (P ) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 − x = −x + k ⇔ 2x2 − (k + 3)x + k = ✭✸✳✶✺✮ x−1 ❉➵ t❤➜② r➡♥❣ x = ❦❤ỉ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✺✮✳ ❚❛ ❝â ∆ = (k − 1)2 + > ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ R ❉♦ ✤â✱ ữỡ tr ổ õ t ợ ♠å✐ k ∈ R✳ ❇ð✐ ✈➟②✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d) ❧✉ỉ♥ t ỗ t (P ) t t ✷✳ ❚❛ ❝â ❤➺ sè ❣â❝ ❝õ❛ OA ✈➔ OB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ a= −xA + k y −xA + k yA = ✈➔ b = B = ✳ xA xA xB xA ❉♦ ✤â✱ OA⊥OB ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ −xA + k −xB + k = −1 xA xB xA xB − k ( xA + xB + k ) = − ⇔ xA xB a.b = −1 ⇔ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ❱✐❡t✱ t❛ ❝â xA + xB = ✭✸✳✶✻✮ k k+3 ✈➔ xA xB = ✳ 2 ❚❤❛② ✈➔♦ ✭✸✳✶✻✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ k = 1✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ OA⊥OB ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ k = 1✳ ✷ ❱➼ ❞ư ✸✳✺✳✺✳ ❈❤♦ ❤➔♠ sè s❛✉ ✈ỵ✐ ỗ t (C ) y= 2x + x+1 ✻✺ ✈➔ (d) ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ E (−4, 2) ✈➔ ❝â ❤➺ sè ❣â❝ m✳ ❳→❝ ✤à♥❤ m ✤➸ (d) ❝➢t (C ) t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ A, B ❧➛♥ ❧÷đt t❤✉ë❝ ❤❛✐ ♥❤→♥❤ ❝õ❛ (C )✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d) ❝â ❞↕♥❣ y = m(x + 4) + = mx + 4m + ❍♦➔♥❤ ✤ë ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ (d) ✈➔ (C ) ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳ 2x + f (x) = mx2 + 5mx + 4m − = ⇔ ✭✸✳✶✼✮ mx + 4m + = x = −1 x+1 ✣➸ (d) ❝➢t (C ) t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ A, B t❤✉ë❝ ❤❛✐ ♥❤→♥❤ t❤➻ ✭✸✳✶✼✮ ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ x1 , x2 t❤ä❛ ♠➣♥ x1 < −1 < x2 ⇔ mf (−1) < ⇔ m > ✷ ✻✻ ❑➌❚ ▲❯❾◆ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❚r✉♥❣ ❤å❝ P❤ê t❤æ♥❣ ✑ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ư ✤➲ r❛✱ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✏ ❝ư t❤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ✶✳ ❍➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈➟♥ ❞ư♥❣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥✳ ◆❤í ✤â✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝â ❝→✐ ♥❤➻♥ tê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ✷✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ✤➳♥ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❦❤↔♦ s→t ❤➔♠ sè✳ ❍② ✈å♥❣ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝á♥ t✐➳♣ tư❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ❤ì♥✱ ♥❤➡♠ ❝â t❤➸ ❧➔ ♠ët t➔✐ t s s ữợ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ✻✼ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❬✶❪ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❍↕♦✱ ❱ô ❚✉➜♥ ✭✷✵✶✼✮✱ ❙→❝❤ ●✐→♦ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✶✵✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝✳ ❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ▼➟✉ ✭✷✵✵✷✮✱ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ư❝✳ ❬✸❪ ▲➯ ❍♦➔♥❤ Pỏ ỗ ữù s ọ t số ✶✵✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✹❪ ◆❣✉②➵♥ ❚✐➳♥ ◗✉❛♥❣ ✭✷✵✵✶✮✱ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐ ð tr÷í♥❣ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ tr✉♥❣ ❤å❝✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✺❪ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❙ì♥ ✭✷✵✶✼✮✱ ✣↕✐ sè ✶✵ ✲ ❈→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ✈➔ ♣❤→t tr✐➸♥✱ ◆❳❇ ủ ỗ ự ✭✷✵✵✺✮✱ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➟❝ ❤❛✐ ✈➔ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝✳ ✻✽