Tuyển chọn 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY: Phần 2

a ( x − 1) + b( y − 4) = ⇔ ax + by − a − 4b = , đó: 2a + b − a − 4b a +b = ⇔ a − 3b = a + b2 EI C b = ⇔ (a − 3b) =a + b ⇔ 8b − 6ab =0 ⇔  3a = 4b Với b = , chọn a = ta phương trình ∆ : x − = a = Với 3a = 4b , chọn  , ta phương trình ∆ : x + y − 16 = b = d ( N , ∆) = ⇔ O Cách 2: T + Phương trình ∆ qua M (1; 4) có hệ số góc k , có dạng: y= k ( x − 1) + TS hay kx − y − k + = Khi k +1 2 =1 ⇔ (k + 3) =k + ⇔ 6k =−8 ⇔ k =− /N 2k − − k + om d ( N , ∆) =1 ⇔ 4 x − y + + = ⇔ x + y − 16 = 3 + Phương trình ∆ có dạng x − a = Vì M (1; 4) ∈ ∆ ⇒ − a= ⇔ a= hay ∆ : x − =0 −1 Khi d ( N ,= ∆) = (thỏa mãn) Vậy phương trình ∆ phải tìm x + y − 16 = x − =0 w fa ce bo ok c Suy phương trình ∆ : − D CÁC VÍ DỤ MỞ RỘNG dụ Trong ht s: //w w Ví mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x + y − x − y − = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M (5; 2) cắt đường tròn (C ) hai điểm A, B cho AB = Phân tích hướng giải: * Đường thẳng ∆ cần viết qua điểm M (5; 2) Do ta cần khai thác thêm kiện tốn để có yếu tố “có lợi” liên quan tới ∆ * Dữ kiện ∆ cắt đường tròn (C ) hai điểm A, B với AB = , cho ta biết khoảng cách từ tâm I (2; 4) (C ) tới ∆ Cụ thể gọi H hình chiếu I ∆ ta có d ( I , ∆)= IH= IA2 − HA2 Khi việc viết phương trình ∆ “tháo gỡ” theo góc nhìn Bài tốn 6.1 Sau lời giải chi tiết cho ví dụ trên: 186 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Giải + Đường trịn (C ) có tâm I (2; 4) bán kính R = IA = Gọi H hình chiếu vng góc AB = 2 I AB ⇒ AH = O EI T C 5  Khi IH = IA − AH = −    =    + Gọi véctơ pháp tuyến ∆ n∆ = (a; b) (a + b ≠ 0) TS Do ∆ qua M (5; 2) nên có phương trình: a ( x − 5) + b( y − 2) = ⇔ ax + by − 5a − 2b = , : /N 2a + 4b − 5a − 2b = ⇔ 4(3a − 2b) 2= 50(a + b ) 2 a +b  a = −b ⇔ a + 24ab + 17b =0 ⇔ (a + b)(7 a + 17b) =0 ⇔  7 a = −17b a = + Với a = −b , chọn  suy phương trình ∆ : x − y − = b = −1 bo ok c om d ( I , ∆)= IH ⇔ ce a = 17 suy phương trình ∆ :17 x − y − 71 = b = −7 w fa Với a = −17b , chọn  Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần lập : x − y − = ht s: //w w 17 x − y − 71 = Ví dụ ( Khối A, A1 – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = NC Viết phương trình đường thẳng CD , biết M (1; 2) N (2; −1) Phân tích hướng giải: * Yêu cầu tốn viết phương trình CD , giúp ta hướng tới việc gắn kết kiện để tìm yếu tố liên quan tới đường thẳng CD Bài toán cho biết tọa độ hai điểm M (1; 2) N (2; −1) với kiện AN = NC , khiến ta nghĩ tới việc tìm tọa độ điểm E ( với MN ∩ CD = {E} ) Điều hồn tồn làm nhờ vào   Bài toán 5.1 (các bạn xem lại phần trước) ta suy luận MN = NE 187 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 * Với M (1; 2) , N (2; −1) điểm E vừa tìm được, cộng với điểm xác định rõ vị trí, nên ta dễ dàng có độ dài cạnh hình vng dựa vào độ dài MN (hoặc ME ) Nghĩa ta tính khoảng cách từ M tới DC Như lúc xuất nội dung Bài tốn 6.1 , giúp ta viết phương trình đường thẳng CD Cụ thể CD qua điểm E biết tọa độ cách điểm M khoảng xác định Sau lời giải chi tiết cho ví dụ trên: Giải EI C + Gọi MN ∩ CD = {E} H hình Khi theo định lý Ta-let ta có /N TS T   MN AN = = ⇒ MN = NE (*) NE NC   + Gọi E ( x; y ) suy NE =( x − 2; y + 1) với MN= (1; −3) O chiếu vng góc M CD om  = 1 3( x − 2) x = 7  ⇔ ⇒ E  ; −2  3  −3= 3( y + 1)  y = −2 1 + Do EC = AM ⇒ HE = AM = AB = MH nên ta đặt: 3 3 HE = m ⇒ MH = 3m 160 ⇒ MH = Khi MH + HE = ME ⇔ 10m = ⇔ m=  + Gọi nCD = (a; b) với a + b ≠ w fa ce bo ok c Do (*) ⇔  ht s: //w w Khi phương trình CD có dạng: 7  a  x −  + b ( y + ) =0 ⇔ 3ax + 3by − a + 6b =0 3  3a + 6b − a + 6b Ta có d ( M , CD ) = MH ⇔ = 9a + 9b a = ⇔ 3b − a = 9(a + b ) ⇔ 8a + 6ab = ⇔   4a = −3b Với a = ta chọn b = , phương trình CD là: y + = Với 4a = −3b chọn a = b = −4 , CD có phương trình: x − y − 15 = 188 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Chú ý: Ngồi cách giải bạn tham khảo thêm cách giải khác Ví dụ 10 cách đề thuộc Bài toán Bài 3.2 Phần – phát triển tốn Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn C (T ) : x + y − x + y + = , điểm A(1;3) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (T ) B C cho AB = BC EI Phân tích hướng giải: O * Giống Ví dụ 1, đường thẳng ∆ cần viết qua điểm A(1;3) Như lúc T ta thiếu kiện liên quan tới ∆ TS * Dữ kiện ∆ qua A cắt (T ) B C cho AB = BC , giúp ta tính ce bo ok c Giải om Sau lời giải chi tiết cho ví dụ trên: /N khoảng cách từ I tới ∆ Khi việc viết phương trình ∆ giải theo góc nhìn Bài tốn 6.1 w fa + Đường trịn (T ) có tâm I (3; −1) bán kính R = Ta có= IA > R , suy A nằm ngồi đường trịn ht s: //w w Gọi ∆ đường thẳng cần lập H hình chiếu vng góc I ∆ Lúc ta tính IH theo hai cách sau: Cách 1: a BH =IA − IH =4 − a Đặt IH =⇒ 2 Do AB = BC ⇒ AH =3BH =3 − a 2 Khi IH + AH = IA2 ⇔ a + 9(4 − a ) = 20 ⇔ a = ⇒ a = hay IH = Cách 2: Phương tích điểm A đường tròn (T ) : PA/(T ) = AB AC = AI − R ⇔ AB.2 AB = 20 − 189 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 ⇔ AB =⇔ AB = 2= BC ⇒ BH =2 Suy IH = IB − BH = 4−2 =  + Gọi véctơ pháp tuyến ∆ n∆ = (a; b) (a + b ≠ 0) , ∆ qua A(1;3) nên có phương trình: a ( x − 1) + b( y − 3) = ⇔ ax + by − a − 3b = , 3a − b − a − 3b = a + b2 2 ⇔ 4(a − 2b) 2= 2(a + b ) T O EI a = b ⇔ a − 8ab + 7b =0 ⇔ (a − b)(a − 7b) =0 ⇔   a = 7b + Với a = b , chọn a= b= suy phương trình ∆ : x + y − = C : d ( I , ∆ )= IH ⇔ a = suy phương trình ∆ : x + y − 10 = b = TS Với a = 7b , chọn  /N Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần lập : x + y − = dụ Trong mặt phẳng tọa độ c Ví om x + y − 10 = Oxy , cho đường tròn (T ) : ( x − 1) + ( y − 2) = ngoại tiếp tiếp tam giác ABC , Đường 7 2 ok   ce Phân tích hướng giải: bo thẳng BC qua điểm M  ;  Hãy xác định tọa độ điểm A   trình BC Mặt khác, viết phương trình BC ta viết phương trình AI suy tọa độ hình chiếu H I BC Khi nhờ Bài tốn 5.1   (các bạn tìm hiểu phần trước) với hệ thức AH = 3IH giúp ta dễ dàng tìm tọa độ điểm A * Bài toán 6.1 giúp ta viết phương trình BC , BC qua điểm 7  M  ;  d ( I , BC ) = R 2  w fa 7 2 ht s: //w w * Dữ kiện đường thẳng BC qua điểm M  ;  gợi ý ta nên viết phương Sau lời giải chi tiết cho ví dụ trên: Giải + Đường trịn (T ) có tâm I (1; 2) bán kính R =  2 + Gọi BC có vecto pháp tuyến nBC = (a; b) (a + b ≠ 0) 190 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 7 2   Do BC qua M  ;  nên có phương trình: 7  a  x −  + b ( y − ) =0 ⇔ 2ax + 2by − a − 4b =0 2  Do BC tiếp xúc với (T ) nên ta có: O EI C 2a + 4b − a − 4b d ( I , BC ) = R⇔ = 4a + 4b  a = 2b ⇔ 25a = 20(a + b ) ⇔ a = 4b ⇔   a = −2b   T Gọi H hình chiếu I BC gọi A(m; n) , AH = 3IH (*) TS a = ta phương trình BC : x + y − = b = om Suy phương trình IH : x − y + = /N + Với a = 2b , chọn  Suy tọa độ điểm H nghiệm hệ : bo ok c  y −9 = 2 x + = x  AH =(3 − m;3 − n) ⇔ ⇒ H (3;3) ⇒    y+3 =  x − 2= y  IH = (2;1) ce −3 3 − m = m = ⇔ ⇒ A(−3;0) 3− n = = n Khi (*) ⇔  w fa a = ta phương trình BC : x − y − = b = −1 + Với a = −2b , chọn  ht s: //w w Suy phương trình IH : x + y − = Suy tọa độ điểm H nghiệm hệ :   AH =(3 − m;1 − n) y −5 = 2 x − = x ⇔ ⇒ H (3;1) ⇒    y −5 = = (2; −1)  x + 2= y  IH −3 3 − m = m = ⇔ ⇒ A(−3; 4) 1 − n =−3 n =4 Khi (*) ⇔  Vậy A(−3;0) A(−3; 4) Chú ý: Ngoài cách giải bạn tham khảo thêm cách giải thứ hai qua tương tự - Bài (phần tập áp dụng) 191 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có điểm A(−2;3) Điểm M (4; −1) nằm cạnh BC , đường thẳng AM cắt đường thẳng DC điểm N (7; −3) Xác định tọa độ đỉnh lại hình vng ABCD biết C có tọa độ ngun Giải Cách 1: C O EI 32 + 22 = 92 + 62 NC NM = = ND NA /N Khi xét tam giác AND ta được: T ND − CD 3 = ⇒ ND = CD = AD ND 2 TS ⇔ Do MC // AD nên ta có: c om AD + ND =AN ⇔ AD + AD =117 ⇔ AD =36 ⇔ AD =6  Gọi n = (a; b) ( với a + b ≠ ) vecto pháp tuyến đường thẳng DC ok Vậy DC qua N (7; −3) nên có phương trình: bo a ( x − 7) + b( y + 3) =0 ⇔ ax + by − a + 3b =0 −2a + 3b − a + 3b ce DC ⇔ Ta có: d ( A, DC ) = a + b2 = ht s: //w w w fa a = ⇔ 3a − 2b =2 a + b ⇔ 5a − 12ab =0 ⇔  5a = 12b + Với a = , chọn b = ta phương trình DC : y + = Khi BC qua M (4; −1) vng góc với DC có phương trình: x−4= y+3 = = x ⇔ ⇒ C (4; −3)  x − =0  y =−3 Suy tọa độ điểm C nghiệm hệ  Tương tự ta có phương trình AD : x + = ⇒ D (−2; −3) Phương trình AB : y= ⇒ B (4;3) a = 12 ta phương trình DC :12 x + y − 69 = b = + Với 5a = 12b , chọn  192 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Khi phương trình BC qua M (4; −1) vng góc với DC có phương trình: x − 12 y − 32 = Suy tọa độ điểm C nghiệm hệ: EI C 76  x=  12 + − 69 = x y    76  13 ⇔ ⇒ C  ; −  (loại)   13 13  5 x − 12 y − 32 = y = −  13 Vậy B (4;3), C (4; −3), D ( −2; −3) O Nhận xét: T * Ngồi cách giải bạn tham khảo thêm cách giải thứ sau: Cách 2: TS  Vậy DC qua N (7; −3) nên có phương trình: /N Gọi n = (a; b) ( với a + b ≠ ) vecto pháp tuyến đường thẳng DC ok Do ABCD hình vng nên ta có: c om a ( x − 7) + b( y + 3) =0 ⇔ ax + by − a + 3b =0 Khi AD qua A(−2;3) vng góc với DC nên có phương trình: bx − ay + 3a + 2b = −2a + 3b − a + 3b bo 4b + a + 3a + 2b = ⇔ a + b2 a + b2 a = ⇔ 9a − 6b = 4a + 6b ⇔  5a = 12b w fa ce d ( A, DC ) = d ( M , AD) ⇔ ht s: //w w Đến việc trình bày giống Cách * Nếu A, M , N không thẳng hàng ( N thuộc DC ) Cách tốn bị “vô hiệu”, song Cách phát huy tác dụng Như tùy vào kiện số liệu đề “linh hoạt” việc chọn cách giải tối ưu cho tốn Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ∆ : x + y − = điểm M (3;0) Đường thẳng ∆ ' qua M cắt đường thẳng ∆ A Gọi H hình chiếu vng góc A lên trục Ox Viết phương trình đường thẳng ∆ ' , biết khoảng cách từ H đến ∆ ' 193 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 C Giải  EI + Gọi n = (a; b) (với a + b ≠ ) vecto pháp tuyến ∆ ' , ∆ ' + Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ: om /N TS 3a − 2b   x = a − b ax + by − 3a = a   3a − 2b ⇔ ⇒ A ;−   + − = x y a − −b  a b a   y = − a −b  T O qua M (3;0) nên có hương trình : ax + by − 3a =  3a − 2b  ;0   a −b  ok c Do H hình chiếu vng góc A Ox ⇒ H  + Ta có: bo ⇔ 3a − 2b − 3a a −b ce d ( H , ∆ ')= a a +b 2 = ⇔ 5a 2b 2= 4(a + b )(a − b) ht s: //w w w fa  a = 2b (vì 2a + ab + 2b > ) ⇔ (a − 2b)(2a − b)(2a + ab + 2b ) =0 ⇔   2a = b a = + Với a = 2b, chọn  ta phương trình ∆ ' : x + y − = b = a = ta phương trình ∆ ' : x + y − = b = Với 2a = b chọn  Vậy phương trình ∆ ' cần lập là: x + y − = x + y − = Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vng   đỉnh A có diện tích 50, đỉnh C (2; −5) , AD = 3BC Biết đường thẳng   AB qua điểm M  − ;0  , đường thẳng AD qua điểm N (−3;5)   Viết phương trình đường thẳng AB khơng song song với trục tọa độ 194 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Giải   C  = AD 3BC ⇒ AD // BC ⇒ D + Do = 900 (do  A = 900 ) EI Do AB không song song với hệ trục tọa độ nên ta gọi nAB = (1; b) (với T O b ≠ ) vecto pháp tuyến AB , suy vecto pháp tuyến AD  nAD = (b; −1)   =   AD qua N (−3;5) nên có phương trình : bx − y + 3b + = [ d (C , AB) + 3d (C , AB)].d (C , AD) c ( BC + AD) AB = 2 ok += Ta có: S ABCD om /N TS Khi AB qua M  − ;0  nên có phương trình : x + by + bo = 2d (C , AB).d (C , AD) ce Mặt khác S ABCD = 50 , suy : ht s: //w w w fa − 5b 5b + 10 25 ⇔ 25 d (C , AB ).d (C , AD) = = b + b2 +  b = 3b − =  ⇔ 2b + 3b − 2) = 2(1 + b ) ⇔  ⇔ b = (loại)  4b + 3b =  b = −  4 Với b = ⇒ AB : x + y + = hay AB : x + y + = 0; 3 3 Với b = − ⇒ AB : x − y + = hay AB : x − y + = 4 Vậy phương trình đường thẳng AB cần lập x + y + = 4x − 3y + = 195 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 ... (3t ; ? ?2 − 2t ) EI 3.3t − 2( ? ?2 − 2t ) ⇔ = 9t + (2t + 2) 13 O TS ⇔ 2( 13t + = 4 )2 13(13t + 8t + 4) ⇔ 169t + 104 t −= 20 T Khi đó: ( ∆, ∆= ') 45 ⇔ cos ( ∆, ∆= ') C  với u∆=' (3; ? ?2) c om /N 10 ... cos n, nAN ⇔= 10 ( ) a −b a + b2 C EI O T TS  2a = −b ⇔ (2a + b)(a + 2b) ⇔   a = −2b  a = , suy n + Với 2a = −b , chọn  = (1; ? ?2) b = ? ?2 ⇔ 9(a + b ) = 5(a − b) ⇔ 2a + 5ab + 2b =  11 ... 15ab + 2b =0 ⇔  2a = b ⇔ (2a − b)(11a − 2b) = 0⇔ 11a = 2b a =  ⇒ n3 = (1; 2) ⇒ AC // AB (loại) b = C  a = ⇒ n3 = (2; 11) b = 11 + Với 2a = b , chọn  O  EI + Với 11a = 2b , chọn