Tuyển chọn 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng OXY: Phần 1

NGUYỄN THANH TÙNG bo ok c om /N TS T O EI C (Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia) ht s: //w w w fa ce BIÊN SOẠN THEO CẤU TRÚC MỚI NHẤT CỦA BỘ GD&ĐT * Dành cho học sinh lớp 10, 11, 12 luyện thi Quốc Gia * Sách tham khảo bổ ích cho giỏo viờn NHà XUấT BảN TổNG HợP THàNH PHố Hå CHÝ MINH Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 MỤC LỤC Phần 1: Tổng hợp kiến thức Phần 2: Những toán 12 Bài toán 12 C Bài toán 14 O EI Bài toán 15 T Bài toán 16 TS Bài toán 17 /N Bài toán 18 om Bài toán 19 Phần 3: 10 tốn hình học OXY 21 ok c Bài toán 21 bo Bài toán 108 ce Bài toán 117 w fa Bài toán 139 Bài toán 152 ht s: //w w Bài toán 184 Bài toán 253 Bài toán 269 Bài toán 297 Bài toán 10 317 Phần 4: Sáng tạo phát triển từ toán hình học phẳng túy 331 Phần 5: Bài tập tổng hợp 362 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ T O EI C O(0;0)   A Hệ trục tọa độ Oxy hay (O; i; j ) có i = (1;0)   j = (0;1) Ox : Trục hoành ; Oy : Trục tung Chú ý: /N TS Nếu nói tới tia Ox hay tia Oy hiểu phần hoành độ tung độ không âm trục Ox, Oy tương ứng B Vectơ :   c om     u = xi + y j ⇔ u = ( x; y )   Cho hai vectơ a = ( x1 ; y1 ) b = ( x2 ; y2 ) Khi đó: ok  x1 = x2  y1 = y2     Hai vectơ phương : a b phương ⇔ a =kb ⇔ x1 y2 =x2 y1   Tổng, hiệu hai vectơ: a ± b = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 )  Tích số với vectơ: k a = (kx1 ; ky1 )      Tích vơ hướng hai vectơ : a.b = a b cos a,= b x1 x2 + y1 y2  Môđun vectơ:= a x12 + y12    x1 x2 + y1 y2 a.b Góc hai vectơ: cos = a, b =  a.b x1 + y12 x22 + y22    Hai vectơ vng góc: a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ x1 x2 + y1 y2 =    Điểm: OM =xi + y j ⇔ M ( x; y ) ht s: //w w ce w fa bo Hai vectơ nhau: a= b ⇔  C ( ) ( ) * Cho ba điểm A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ) Khi :  ( x2 − x1 ; y2 − y1 ) AB = Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )  x1 + x2 y1 + y2  ;     x + x2 + x3 y1 + y2 + y3  Trọng tâm G tam giác ABC : G  ;  3   Trung điểm I AB có tọa độ: I  w fa ce bo ok c om /N TS T O EI C Sau sơ đồ cho phần tổng hợp kiến thức trên: ht s: //w w II CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A TRONG TAM GIÁC VUÔNG : Hệ thức Pitago: a= b2 + c2 Mối quan hệ cạnh, đường cao: b = ab '  c = ac ' 1 + = + h b2 c2 + h2 = b ' c ' + bc = ah + Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Mối quan hệ cạnh góc: = b a= sin B a= cos C c= tan B c cot C B TRONG TAM GIÁC BẤT KÌ : Các định lý * Định lý côsin: a = b + c − 2bc cos A ⇒ Hệ quả: C b2 + c2 − a 2bc b2 + c2 a + Tính độ dài đường trung tuyến: = m − a b c * Định lý sin: = = = R sin A sin B sin C EI + Tính góc: cos A = TS T O a /N Các cơng thức tính diện tích tam giác ok c om a.ha + Hai cạnh sin góc xen giữa: S = ab sin C + Đường cao cạnh đối diện: S = abc 4R + Nửa chu vi bán kính đường trịn nội tiếp: S = pr p ( p − a )( p − b)( p − c) w fa + Hê – rông: S = ce bo + Ba cạnh bán kính đường trịn ngoại tiếp: S = Trong đó: R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ; ht s: //w w r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ; p= a+b+c nửa chu vi tam giác ABC Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Sau sơ đồ cho phần tổng hợp kiến thức trên: ok c om /N TS T O EI C CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ht s: //w w w fa ce bo III ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN VÀ ELIP A ĐIỂM Các điểm đặc biệt tam giác: + Trực tâm : Là giao đường cao tam giác + Trọng tâm: Là giao đường trung tuyến tam giác + Tâm đường tròn ngoại tiếp: Là giao đường trung trực tam giác + Tâm đường tròn nội tiếp: Là giao đường phân giác Chú ý: + Do giao đường (cùng tên) đồng quy, nên vẽ hình ta cần xác định giao hai đường, chí đường trung tuyến (dựa vào tỉ lệ trọng tâm) + Tâm đường tròn bàng tiếp : Là giao đường phân giác hai góc phân giác ngồi góc phân giác góc Như tam giác có đường trịn bàng tiếp Nếu cho điểm phân biệt A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ), ta có :  AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1 ) AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 x1 + x2   xI = I trung điểm AB ⇔   y = y1 + y2  I w fa ce bo ok c om /N TS T O EI C x1 + x2 + x3   xG = G trọng tâm ∆ABC ⇔  y + y  y = + y3  G   A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ : AB =k AC ht s: //w w B ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng * Đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) có : + hệ số góc k có phương trình: y = k ( x − x0 ) + y0  + vectơ pháp tuyến (vtpt) n = (a; b) có phương trình: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) =  + vectơ phương (vtcp) n = (a, b) có phương trình dạng tham số là: x x0 + at = x − x0 y − y0 phương trình dạng tắc là: (với =  y y0 + bt a b = ab ≠ ) Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 Cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A(a;0), B (0; b) có phương trình dạng đoạn chắn: x y + = (với ab ≠ ) a b Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ∆ : a2 x + b2 y + c2 = C Tọa độ giao điểm ∆1 ∆ nghiệm hệ phương trình : T O EI a1 x + b1 y + c1 = (I)  a2 x + b2 y + c2 = * Hệ (I) có nghiệm ( x0 ; y0 ) , ∆1 cắt ∆ điểm M ( x0 ; y0 ) TS * Hệ (I) có vơ số nghiệm, ∆1 ≡ ∆ om Một vài ý /N * Hệ (I) vơ nghiệm, ∆1 // ∆ * Trục hoành ( Ox ) có phương trình: y = ; Trục tung (Oy ) có phương trình: c x =0 ok * Đường thẳng qua hai điểm phân biệt: bo + A(a; y1 ), B (a; y2 ) có phương trình: x = a (song song với trục Oy w fa Phương trình đường thẳng có dạng tổng qt  n = (a; b) ax + by + c = ⇒   (b; −a) hoaë c u = (−b; a) u = ht s: //w w * ce a ≠ 0) + A( x1 ; b), B ( x2 ; b) có phương trình: y = b (song song với trục Ox b ≠ ) Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 C ĐƯỜNG TRỊN * Đường trịn có tọa độ tâm I ( x0 ; y0 ) bán kính R có phương trình: ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = R2 * Nếu đường tròn (C ) có phương trình dạng: x + y + ax + by + c = 2 với a + b > 4c (C ) có: a + b2 −c bo ok c om /N TS T O EI C  a b kính R ; −  bán=  2 tâm I  − = R a2 + b2 = c ce x2 y 2 Phương trình tắc elip ( E ) : + = a b  a , b, c >  2 a= b + c w fa * ( E ) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng có tâm đối xứng gốc tọa độ O ht s: //w w  x02 y02 =  + * Nếu M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒  a b  MF + MF = 2a  * Elip ( E ) có: + Tiêu điểm trái F1 (−c;0) , tiêu điểm phải F2 (c;0) + Các đỉnh: A1 (− a;0), A2 ( a;0), B1 (0; −b), B2 (0; b) + Trục lớn: A1 A2 = 2a , nằm trục Ox Trục nhỏ: B1 B2 = 2b , nằm trục Oy + Tâm sai: e= c < a Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 + Đường chuẩn: x = − a a ứng với tiêu điểm F1 (−c;0) x = ứng với tiêu e e điểm F2 (c;0)  x = ±a có chiều dài 2a , chiều  y = ±b + Hình chữ nhật sở tạo đường  rộng 2b C + Bán kính qua tiêu điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) là: TS T O EI c  a + ex0 = a + x0  MF1 = a   MF =a − ex =a − c x 0  a /N IV CÁC CÔNG THỨC ĐỊNH LƯỢNG KHOẢNG CÁCH ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) c AB = om * Khoảng cách hai điểm A( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) ok * Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = là: w fa ce bo ax + by0 + c d ( M , ∆) = a + b2 * Nếu ∆ ' // ∆ M ∈ ∆ ' khoảng cách hai đường thẳng ∆ ' ∆ là: d (∆ ',= ∆) d ( M , ∆) GÓC   ht s: //w w * Góc hai vectơ a = ( x1 ; y1 ) b = ( x2 ; y2 ) xác định bởi:   cos = a, b ( )  a.b =  a.b x1 x2 + y1 y2 x + y12 x22 + y22 ϕ góc tạo hai đường thẳng ∆1 : * a1 x + b1 y + c1 = ∆ : a2 x + b2 y + c2 = xác định   cos ϕ cos n1 , n2 = = ( )   a1a2 + b1b2 = cos u1 , u2 a12 + b12 a22 + b22 ( ) 10 Luyen Thi Online Gia Re - https://www.facebook.com/NTS.TOEIC2 ... 17 /N Bài toán 18 om Bài toán 19 Phần 3: 10 tốn hình học OXY 21 ok c Bài toán 21 bo Bài toán 10 8 ce Bài toán 11 7 w...MỤC LỤC Phần 1: Tổng hợp kiến thức Phần 2: Những toán 12 Bài toán 12 C Bài toán 14 O EI Bài toán 15 T Bài toán 16 TS Bài toán ... 11 7 w fa Bài toán 13 9 Bài toán 15 2 ht s: //w w Bài toán 18 4 Bài toán 253 Bài toán 269 Bài toán 297 Bài toán 10