[r]
(1)ThS ðoàn Vương Nguyên toancapba.com
CHUYÊN ðỀ
NHỊ THỨC NEWTON
A TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
ðỊNH NGHĨA
Nhị thức Newton khai triển tổng lũy thừa có dạng:
( )n 0 n 1 n 1 2 n 2 k n k k n n
n n n n n
a +b = C a +C a − b+C a − b + +C a − b + +C b
n
k n k k n
k
C a − b (n 0, 1, 2, .)
=
= ∑ =
Số hạng thứ k+1 Tk 1+ =C ank n k k− b ,
( )
k n
n ! C
k ! n k ! =
− , thường ñược gọi số hạng tổng quát Tính chất
i) Ckn = Cn kn− (0 ≤ ≤k n)
ii) Cnk +Ck 1n− = Cn 1k+ (1≤ ≤k n)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
I Dùng định nghĩa tính chất chứng minh hoặc rút gọn đẳng thức
Ví dụ Chứng minh đẳng thức Cnk +3Ck 1n− +3Cnk 2− +Ck 3n− = Cn 3k+ với ≤ ≤k n
Giải
Áp dụng tính chất ta có: k k k k
n n n n
C +3C − +3C − +C − =(Cnk +Cnk 1− ) (+2 Ck 1n− +Ck 2n− ) (+ Ck 2n− +Ck 3n− )
= Ckn 1+ +2Cn 1k 1−+ +Ck 2n 1+− =(Ckn 1+ +Ck 1n 1−+ ) (+ Ck 1n 1−+ +Ck 2n 1−+ ) = Cn 2k+ +Ck 1n 2−+ = Ckn 3+
Ví dụ Tính tổng S= C1430−C1530 +C1630 − − C2930 +C3030
Giải
Áp dụng tính chất ta có:
( 13 14) ( 14 15) ( 15 16) ( 28 29) 30
29 29 29 29 29 29 29 29 30
S = C +C − C +C + C +C − − C +C +C = C1329 −C2929 +C3030 = C1329
Cách khác:
( )30 ( 0 12 13) ( 14 29 30)
30 30 30 30 30 30
1−1 = C − +C −C + C − − C +C
( 30 18 17) ( 14 29 30)
30 30 30 30 30 30
C C C C C C
⇒ − + − + − − + =
( 16 15 14)
30 30 30
S C C C S
⇒ − + − + =
16 15 14 14 15 30 30 30 30 30
2S C C C 2C C
⇒ = − + = −
Vậy
14 15 30 30
2C C
S 67863915
2 −
(2)Ví dụ Rút gọn tổng:
0 2006 2005 2004 k 2006-k 2006 2007 2007 2007 2006 2007 2005 2007 2007-k 2007 S = C C +C C +C C + +C C + +C C
Giải
Áp dụng cơng thức ta có:
( )
k 2006-k 2007 2007-k
2007 ! (2007 k)!
C C
k ! 2007 k ! (2006 k)!1! − =
− − ( ) ( )
2007 ! 2006 !
2007
k ! 2006 k ! k ! 2006 k !
= =
− −
= 2007Ck2006 với ∀ =k 0, 1, 2, ., 2006 Suy ra:
( 0 1 k 2006) ( )2006
2006 2006 2006 2006
S =2007 C +C + +C + +C = 2007 1+1 Vậy S = 2007.22006
II Khai triển nhị thức Newton 1 Dạng khai triển
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ sốñứng trước tổ hợp lũy thừa – xen kẽ i) Khai triển (a +b)n (a−b)n
ii) Cộng trừ hai vế khai triển
Ví dụ Tính tổng S= C20070 −2C12007 +2 C2 20072 −2 C3 20073 + +22006C20072006 −22007C20072007
Giải
Ta có khai triển:
2007 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
(1−2) = C −2C +2 C − +2 C −2 C Vậy S = −1
Ví dụ Rút gọn tổng S= C20070 +3 C2 22007 +3 C4 20074 + +32004C20072004 +32006C20072006
Giải
Ta có khai triển:
2007 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
(1+3) = C +3C +3 C + +3 C +3 C (1) 2007 2 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
(1−3) = C −3C + C − +3 C −3 C (2) Cộng (1) (2) ta ñược:
( 2 4 2006 2006) 2007 2007
2007 2007 2007 2007
2 C +3 C + C + +3 C = −2 Vậy S = 22006(22007 −1)
Ví dụ Rút gọn tổng S= 32006.2C12007 +32004.2 C3 20073 +32002.2 C5 20075 + +22007C20072007
Giải
Ta có khai triển: 2007
(3+2) = 32007C20070 +32006.2C12007 +32005.2 C2 20072 + +3.22006C20072006 +22007C20072007 (1) 2007
(3)( 2006 2004 3 2002 5 2007 2007) 2007
2007 2007 2007 2007
2 2C +3 C +3 C + +2 C = −1 Vậy
2007
5
S
2 −
=
2 Dạng ñạo hàm 2.1 ðạo hàm cấp Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ sốñứng trước tổ hợp lũy thừa tăng dần từ đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (khơng kể dấu)
Hai khai triển thường dùng:
( )n 0 1 2 2 k k n n
n n n n n
1+x = C +C x+C x + +C x + +C x (1) ( )n 0 1 2 2 ( )k k k ( )n n n
n n n n n
1−x = C −C x +C x − + −1 C x + + −1 C x (2) i) ðạo hàm vế (1) (2)
ii) Cộng trừ (1) (2) sau ñã ñạo hàm thay số thích hợp
Ví dụ Tính tổng S= C130−2.2C230 +3.2 C2 303 − +29.2 C28 3029 −30.2 C29 3030
Giải
Ta có khai triển:
( )30 0 1 2 2 29 29 30 30
30 30 30 30 30
1+x = C +C x+C x + +C x +C x (1)
ðạo hàm vế (1) ta ñược:
( )29
1 29 28 30 29
30 30 30 30
C +2C x+ +29C x +30C x = 30 1+x (2) Thay x = – vào (2) ta ñược:
( )29
1 2 28 29 29 30
30 30 30 30 30
C −2.2C +3.2 C − +29.2 C −30.2 C = 30 1−2 Vậy S = −30
Ví dụ Rút gọn tổng S= C130 +3.2 C2 303 +5.2 C4 305 + +27.2 C26 3027 +29.2 C28 2930
Giải
Ta có khai triển:
( )30 0 1 2 2 29 29 30 30
30 30 30 30 30
1+x = C +C x+C x + +C x +C x (1)
ðạo hàm vế (1) ta ñược:
( )29
1 29 28 30 29
30 30 30 30
C +2C x+ +29C x +30C x = 30 1+x (2) Thay x = x = – vào (2) ta ñược:
( )29
1 2 28 29 29 30
30 30 30 30 30
C +2.2C +3.2 C + +29.2 C +30.2 C = 30 1+2 (3) ( )29
1 2 28 29 29 30
30 30 30 30 30
C −2.2C +3.2 C − +29.2 C −30.2 C = 30 1−2 (4) Cộng hai ñẳng thức (3) (4) ta ñược:
( 26 27 28 29) ( 29 )
30 30 30 30 30
2 C +3.2 C +5.2 C + +27.2 C +29.2 C = 30 −1 Vậy S =15 3( 29 −1)
Ví dụ Rút gọn tổng S= 2008C20070 +2007C12007 +2006C20072 + +2C20072006 +C20072007
(4)Ta có khai triển: ( )2007
x+1 =C02007x2007 +C20071 x2006 +C20072 x2005 + +C20062007x+C20072007 (1) Nhân vế (1) với x ta ñược:
( )2007
x x +1 =C20070 x2008 +C20071 x2007 +C22007x2006 + +C20072006 2x +C20072007x (2)
ðạo hàm vế (2) ta ñược:
0 2007 2006 2005 2006 2007
2007 2007 2007 2007 2007
2008C x +2007C x +2006C x + +2C x+C
= (1+2008x) x( +1)2006 (3) Thay x = vào (3) ta ñược:
0 2006 2007 2006
2007 2007 2007 2007 2007
2008C +2007C +2006C + +2C +C = 2009.2
Cách khác:
Ta có khai triển: ( )2007
x+1 =C02007x2007 +C20071 x2006 +C20072 x2005 + +C20062007x+C20072007 (1)
ðạo hàm vế (1) ta ñược:
0 2006 2005 2004 2005 2006
2007 2007 2007 2007 2007
2007C x +2006C x +2005C x + +2C x+C = 2007 x( +1)2006 (2) Thay x = vào (1) (2) ta ñược:
0 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
C +C +C + +C +C = (3)
0 2006 2006
2007 2007 2007 2007
2007C +2006C +2005C + +C = 2007.2 (4) Cộng (3) (4) ta ñược:
0 2006 2007 2006
2007 2007 2007 2007 2007
2008C +2007C +2006C + +2C +C = 2009.2 Vậy S = 2009.22006
Ví dụ 10 Cho tổng S= 2Cn0 +3C1n +4C2n + +(n+1)Cn 1n− +(n+2)Cnn, với n ∈ Z+ Tính n, biết S= 320
Giải
Ta có khai triển:
( )n 0 1 2 2 n n 1 n n
n n n n n
1+x = C +C x+C x + +C − x − +C x (1) Nhân vế (1) với x2 ta ñược:
( )n n n n n 2
n n n n n
C x +C x +C x + +C − x + +C x + = x 1+ x (2)
ðạo hàm vế (2) ta ñược:
0 2 n n n n
n n n n n
2C x +3C x +4C x + +(n +1)C −x +(n+2)C x +
= 2x 1( + x)n +nx (12 + x)n 1− (3) Thay x = vào (3) ta ñược:
0 n n n
n n n n n
2C +3C +4C + +(n+1)C − +(n+2)C =(4+n).2 − n
S = 320 ⇔ (4+n).2 − = 320 ⇒ n =
Cách khác:
(5)( )n 0 1 2 2 n n 1 n n
n n n n n
1+x = C +C x+C x + +C − x − +C x (1)
ðạo hàm vế (1) ta ñược:
( )n
1 n n
n n n n
C +2C x+3C x + + nC x − = n 1+x − (2) Thay x = vào (1) (2) ta ñược:
0 n n n
n n n n n n
C +C +C +C + +C − +C = (3)
1 n n n
n n n n n
C +2C +3C + +(n−1)C − +nC = n.2 − (4) Nhân (3) với cộng với (4) ta ñược:
0 n n n
n n n n n
2C +3C +4C + +(n+1)C − +(n+2)C =(4+n).2 − n
S = 320 ⇔ (4+n).2 − = 320 Vậy n =
2.2 ðạo hàm cấp Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ sốñứng trước tổ hợp lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 ñến (n–1).n tăng (giảm) dần từ 12
đến n2 (khơng kể dấu) Xét khai triển:
( )n 0 1 2 2 3 3 n n 1 n n
n n n n n n
1+x = C +C x+C x +C x + +C − x − +C x (1)
ðạo hàm vế (1) ta ñược:
( )n
1 n n
n n n n n
C +2C x+3C x +4C x + +nC x − = n 1+x − (2) i) Tiếp tục ñạo hàm vế (2) ta ñược:
2 n n
n n n n
1.2C +2.3C x+3.4C x + +(n−1)nC x − = n(n−1)(1+x)n 2− (3) ii) Nhân x vào vế (2) ta ñược:
( )n
1 2 3 4 n n
n n n n n
C x +2C x + 3C x +4C x + +nC x = nx 1+x − (4)
ðạo hàm vế (4) ta ñược:
2 2 2 n n n
n n n n
1 C +2 C x+3 C x + +n C x − = n(1+nx)(1+ x) − (5)
Ví dụ 11 Tính tổng S =1.2C216−2.3C316 +3.4C164 − − 14.15C1615 +15.16C1616
Giải
Ta có khai triển:
( )16 0 1 2 2 3 3 15 15 16 16
16 16 16 16 16 16
1+x = C +C x+C x +C x + +C x +C x (1)
ðạo hàm vế (1) ta ñược:
( )15
1 15 14 16 15
16 16 16 16 16
C +2C x +3C x + +15C x +16C x = 16 1+x (2)
ðạo hàm vế (2) ta ñược:
2 16 14 14
16 16 16 16
1.2C +2.3C x+3.4C x + +15.16C x = 240(1+x) (3) Thay x = – vào ñẳng thức (3) ta ñược:
2 15 16
16 16 16 16 16
1.2C −2.3C +3.4C − − 14.15C +15.16C = Vậy S =
Ví dụ 12 Rút gọn tổng S =1 C2 12007 +2 C2 20072 +3 C2 20073 + +2006 C2 20072006 +2007 C2 20072007
(6)Ta có khai triển:
( )2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007
1+x = C +C x+C x + +C x +C x (1)
ðạo hàm vế (1) ta ñược:
( )2006
1 2007 2006
2007 2007 2007 2007
C +2C x+3C x + +2007C x = 2007 1+ x (2) Nhân x vào vế (2) ta ñược:
1 2 3 2006 2006 2007 2007
2007 2007 2007 2007 2007
C x+2C x +3C x + +2006C x +2007C x
= 2007x 1( +x)2006 (3)
ðạo hàm vế (3) ta ñược:
2 2 2 2006 2005 2007 2006
2007 2007 2007 2007 2007
1 C +2 C x+3 C x + +2006 C x +2007 C x
= 2007(1+2007x)(1+x)2005 (4) Thay x = vào ñẳng thức (4) ta ñược
2 2 2007 2005
2007 2007 2007 2007
1 C +2 C +3 C + +2007 C = 2007.2008.2 Vậy S = 2007.2008.22005
3 Dạng tích phân Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ sốñứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ ñến
n+1 tăng dần từ
n+1 ñến Xét khai triển:
( )n 0 1 2 2 n n 1 n n
n n n n n
1+x = C +C x+C x + +C − x − +C x (1) Lấy tích phân vế (1) từ a ñến b ta ñược:
( )
b b b b b
n 0 1 n 1 n 1 n n
n n n n
a a a a a
1+ x dx = C dx+C xdx+ +C − x − dx+C x dx
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )n b b 2 b n b n 1 b
0 n n
n n n n
a a a a
a
1 x x x x x
C C C C
n 1 n n
+ +
−
+
⇒ = + + + +
+ +
2 n n n n
0 n n
n n n n
b a b a b a b a
C C C C
1 n n
+ +
−
− − − −
⇒ + + + +
+
n n
(1 b) (1 a)
n
+ +
+ − +
=
+
Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị n
ðể nhận biết cận a b ta nhìn vào số hạng
n n n n
b a
C n
+ − +
+
Ví dụ 13 Rút gọn tổng
2 3 9 10 10
0
9 9 9
3 3
S C C C C C
2 10
− − − −
= + + + + +
Giải
Ta có khai triển:
( )9 0 1 2 2 8 8 9 9
9 9 9
(7)( )
3 3 3
9 0 1 8 8 9 9
9 9
2 2 2
1 x dx C dx C xdx C x dx C x dx
⇒ ∫ + = ∫ + ∫ + + ∫ + ∫
( )10 3 2 3 9 10
0
9 9 9
2 2 2
2
1 x x x x x x
C C C C C
10 10
+
⇒ = + + + + +
10 10 2 9 10 10
0
9 9
4 3 3
C C C C
10 10
− − − −
⇒ = + + + +
Vậy
10 10 S 10 − =
Ví dụ 14 Rút gọn tổng
2 n n
0 n n
n n n n n n
2 2 2
S 2C C C C C C
2 n n
+ −
= + + + + + +
+
Giải
Ta có khai triển:
( )n 0 1 2 2 3 3 n n 1 n n
n n n n n n
1+x = C +C x+C x +C x + +C − x − +C x
( )
2 2 2
n 0 1 2 2 n n
n n n n
0 0 0
1 x dx C dx C xdx C x dx C x dx
⇒ ∫ + = ∫ + ∫ + ∫ + + ∫
( )n 2 2 n n 1
0 n n
n n n n
0 0
0
1 x x x x x
C C C C
n 1 n n
+ +
−
+
⇒ = + + + +
+ +
2 n n n
0 n n
n n n n n
2 2
2C C C C C
2 n n n
+ +
− −
⇒ + + + + + =
+ +
Vậy
n S n + − = +
Ví dụ 15 Rút gọn tổng sau:
2 100 101
0 99 100
100 100 100 100 100
2 2
S 3C C C C C
2 100 101
− + − +
= + + + + +
Giải
Ta có khai triển:
( )100 0 1 2 2 99 99 100 100
100 100 100 100 100
1+x = C +C x+C x + +C x +C x
( )
2
100
1
1 x dx
−
⇒ ∫ + =
2 2
0 99 99 100 100
100 100 100 100
1 1
C dx C xdx C x dx C x dx
− − − −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
( )101 2 2 100 101
0 99 100
100 100 100 100
1 1 1 1
1
1 x x x x x
C C C C
101 − − 100 − 101 −
−
+
⇒ = + + + +
101 100 101
0 99 100
100 100 100 100
3 2
3C C C C
101 100 101
− − +
⇒ = + + + +
Vậy
(8)III Tìm số hạng khai triển nhị thức Newton 1 Dạng tìm số hạng thứ k
Số hạng thứ k khai triển (a+b)n Ck n (k 1) k 1n−a − − b −
Ví dụ 16 Tìm số hạng thứ 21 khai triển (2−3x)25
Giải
Số hạng thứ 21 C ( 3x)20 525 − 20 = C x5 20 2520 20
2 Dạng tìm số hạng chứa xm
i) Số hạng tổng quát khai triển (a +b)n C ak n k kn − b = M(k).xf(k) (a, b chứa x) ii) Giải phương trình f(k)= m ⇒ k0, số hạng cần tìm k0 n k0 k0
n
C a − b hệ số số hạng chứa xm M(k0)
Ví dụ 17 Tìm số hạng không chứa x khai triển
18
x
2 x
+
Giải
Số hạng tổng quát khai triển ( ) 18
18
1
x
2 x 4x
2 x
− −
+ = +
là:
( ) (18 k )k
k 1 k 3k 18 18 2k
18 18
C x− − 4x− = C − x − Số hạng không chứa x ứng với 18−2k = ⇔ k =
Vậy số hạng cần tìm C 2918
Ví dụ 18 Tìm số hạng chứa x37 khai triển (x2 −xy)20
Giải
Số hạng tổng quát khai triển (x2 −xy)20 là:
k 20 k k k k 40 k k
20 20
C (x ) − ( xy)− = −( 1) C x − y Số hạng chứa x37ứng với 40− =k 37 ⇔ k =
Vậy số hạng cần tìm −C x y320 37 = −1140x y37
Ví dụ 19 Tìm số hạng chứa x3 khai triển (1+ +x x2)10
Giải
Số hạng tổng quát khai triển (1+ +x x2)10 = 1+x 1( +x)10 C x (110k k +x)k Suy số hạng chứa x3ứng với ≤ ≤k
+ Với k = 2: C x (1102 +x)2 = C (x102 +2x3 +x )4 nên số hạng chứa x3 2C x102 + Với k = 3: C x (1103 + x)3 có số hạng chứa x3 C x103
(9)Cách khác:
Ta có khai triển (1+ +x x2)10 = 1+x 1( +x)10 là:
0 2 3 10 10 10
10 10 10 10 10
C +C x(1+ x)+C x (1+x) +C x (1+x) + +C x (1+x) Số hạng chứa x3 có C x (1210 +x)2 C x (1103 +x)3
+ C x (1210 +x)2 = C (x102 +2x3 + x )4 ⇒ 2C x102 + C x (1103 +x)3 = C (x103 +3x4 +3x5 +x )6 ⇒ C x103 Vậy số hạng cần tìm 2C x102 +C x103 = 210x3
3 Dạng tìm số hạng hữu tỉ
i) Số hạng tổng quát khai triển (a +b)n
m r k n k k k p q
n n
C a − b = C α β (α β, hữu tỉ)
ii) Giải hệ phương trình 0
m
p (k , 0 k n) k
r q ∈
∈ ≤ ≤ ⇒
∈
ℕ
ℕ ℕ
Số hạng cần tìm k0 n k0 k0 n
C a − b
Ví dụ 20 Tìm số hạng hữu tỉ khai triển
10
5
+
Giải
Số hạng tổng quát khai triển
10 1 10
2 3
1
5
2
+
+ =
k k k 2 3 10
C
32
Số hạng hữu tỉ khai triển thỏa ñiều kiện:
( )
k
k
2 k , 0 k 10
k k
3
∈
=
∈ ≤ ≤ ⇒
=
∈
ℕ
ℕ ℕ
+ Với k = 0: số hạng hữu tỉ C100 32 = 32 + Với k = 6: số hạng hữu tỉ C 5106 2625
32 =
Vậy số hạng cần tìm 32
2625
4 Dạng tìm hệ số lớn nhất khai triển Newton
Xét khai triển (a+bx)n có số hạng tổng quát C ak n k k kn − b x
ðặt uk = C ank n k k− b , ≤ ≤k n ta có dãy hệ số { }uk
(10)Bước 1: giải bất phương trình k k u
1
u + ≥ ta tìm k0 suy uk0 ≥ uk0+1 ≥ ≥ un Bước 2: giải bất phương trình k
k u
1
u + ≤ ta tìm k1 suy uk1 ≥ uk1−1 ≥ ≥ u0 Bước 3: số hạng lớn dãy { }
0 k k max u , u Chú ý:
ðểđơn giản tính tốn ta làm gọn sau: Giải hệ bất phương trình k k 0
k k
u u k u u + − ≥ ⇒ ≥
Suy hệ số lớn
0 0 k n k k n
C a − b
Ví dụ 21 Tìm hệ số lớn khai triển (1+0, 2x)17
Giải
Khai triển (1+0, 2x)17 có số hạng tổng quát C (0, 2) x17k k k Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
k k k k
17 17
k k k k
17 17
17 ! 17 !
5
C (0, 2) C (0, 2) k ! 17 k ! (k 1)! 16 k !
17 ! 17 !
C (0, 2) C (0, 2) 5
k ! 17 k ! (k 1)! 18 k !
+ + − − ≥ ≥ − + − ⇔ ≥ ≥ − − −
5(k 1) 17 k k
18 k 5k
+ ≥ −
⇔ − ≥ ⇔ ≤ ≤
+ Với k = 2: hệ số C (0, 2)172 = 5, 44 + Với k = 3: hệ số C (0, 2)173 = 5, 44 Vậy hệ số lớn 5,44
Ví dụ 22 Tìm hệ số lớn khai triển
10 2x +
Giải
Khai triển ( )
10
10 10
2x
1 2x
3 3
+ = +
có số hạng tổng quát
k 10 k k k 10
10
C x
−
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
k 10 k k k k k
10 10
k 10 k k k 11 k k
10 10
10 ! 10 !
3
C C k ! 10 k ! (k 1)! k !
10 ! 10 !
C C
2
k ! 10 k ! (k 1)! 11 k !
− + − + − − − − ≥ ≥ − + − ⇔ ≥ ≥ − − −
3(k 1) 2(10 k) 17 k 22 k
2(11 k) 3k 5
+ ≥ −
⇔ ⇔ ≤ ≤ ⇒ =
− ≥
(11)Vậy hệ số lớn 410 10
1 1120
C
27
3 =
5 Dạng tìm hệ số chứa xk tổng n số hạng ñầu tiên của cấp số nhân (tham khảo)
Tổng n số hạng cấp số nhân với cơng bội q khác là: n
n n
1 q
S u u u u
1 q −
= + + + =
−
Xét tổng S(x)= (1+bx)m 1+ +(1+bx)m 2+ + +(1+bx)m n+ tổng n số hạng ñầu tiên cấp số nhân với u1 =(1+bx)m 1+ công bội q = (1+bx)
Áp dụng cơng thức ta được:
n m n m
m 11 (1 bx) (1 bx) (1 bx) S(x) (1 bx)
1 (1 bx) bx
+ + +
+ − + + − +
= + =
− +
Suy hệ số số hạng chứa xk S(x)
b nhân với hệ số số hạng chứa k
x + khai triển (1+bx)m n 1+ + − +(1 bx)m 1+
Ví dụ 23 Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển rút gọn tổng sau: ( )4 ( )5 ( )6 ( )15 S(x)= 1+ x + 1+x + 1+x + + 1+x
Giải
Tổng S(x) có 15 – + = 12 số hạng nên ta có:
12 16
41 (1 x) (1 x) (1 x) S(x) (1 x)
1 (1 x) x
− + + − +
= + =
− +
Suy hệ số số hạng chứa x4 hệ số số hạng chứa x5 (1+x)16 Vậy hệ số cần tìm C165 = 4368
Nhận xét:
Bằng cách tính trực tiếp hệ số số hạng tổng ta suy ñẳng thức:
4 4
4 15 16
C +C +C + +C = C
Ví dụ 24* Tìm hệ số số hạng chứa x2 khai triển rút gọn tổng sau:
( ) ( )2 ( )99 ( )100
S(x)= 1+x +2 1+ x + +99 1+ x +100 1+x
Giải
Ta có:
( ) ( ) ( )98 ( )99
S(x)= 1+x 1 +2 1+x + +99 1+ x +100 1+ x
ðặt:
( ) ( )2 ( )98 ( )99
f(x) = +1 1+x +3 1+x + +99 1+x +100 1+x ( )2 ( )3 ( )99 ( )100 F(x) =(1+x)+ 1+ x + 1+ x + + 1+x + 1+x
S(x) f(x) xf(x)
(12)Suy hệ số số hạng chứa x2 S(x) tổng hệ số số hạng chứa x x2 f(x), tổng lần hệ số số hạng chứa x2 lần hệ số số hạng chứa x3 F(x)
Tổng F(x) có 100 số hạng nên ta có:
100 101
1 (1 x) (1 x) (1 x)
F(x) (1 x)
1 (1 x) x
− + + − +
= + =
− +
Suy hệ số số hạng chứa x2 x3 F(x) C1013 C1014 Vậy hệ số cần tìm 2C1013 +3C1014 =12582075
Nhận xét:
Bằng cách tính trực tiếp hệ số số hạng tổng ta suy ñẳng thức:
2 2 2
2 99 100 101 101
2C +3C +4C + +99C +100C = 2C +3C
Ví dụ 25* Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển rút gọn tổng sau:
( ) ( )2 ( )n ( )n
S(x)= 1+ x +2 1+x + +(n−1) 1+x − +n 1+ x
Giải
Ta có:
( ) ( ) ( )n ( )n
S(x)= 1+x 1 +2 1+x + +(n−1) 1+x − +n 1+x −
ðặt:
( ) ( )2 ( )n ( )n
f(x) = +1 1+ x +3 1+x + +(n−1) 1+x − +n 1+x − ( )2 ( )3 ( )n ( )n F(x) =(1+x)+ 1+ x + 1+ x + + 1+x − + 1+ x
S(x) f(x) xf(x)
⇒ = + F (x)/ = f(x)
Suy hệ số số hạng chứa x S(x) tổng hệ số số hạng không chứa x chứa x f(x), tổng hệ số số hạng chứa x lần hệ số số hạng chứa x2 F(x)
Tổng F(x) có n số hạng nên ta có:
n n
1 (1 x) (1 x) (1 x)
F(x) (1 x)
1 (1 x) x
+
− + + − +
= + =
− +
Suy hệ số số hạng chứa x x2 F(x) C2n 1+ C3n 1+ Vậy hệ số cần tìm C2n 1 2Cn 13 n(n 1)(2n 1)
6
+ +
+ +
+ =
Nhận xét:
Bằng cách tính trực tiếp hệ số số hạng tổng ta suy ñẳng thức:
2 2 2 n(n 1)(2n 1)
1 (n 1) n
6
+ +
(13)B BÀI TẬP
Tính giá trị của biểu thức
1)
3
5 5
2
A A P
M
P P
−
= + 2)
2
5
4
3
5 5
P P P P A
M
P 2P
A A A A
= + + +
−
Rút gọn biểu thức
3) M = Pn −Pn 1− 4) M = +1 P1 +2P2 +3P3 + +2007P2007 5) M = An 1k− +kAk 1n 1−− , với ≤ <k n 6) M = An 2n k++ +An kn 1++ , với ≤ <k n
7)
2 2
2 n
1 1
M
A A A A
= + + + + , với n ≥
8) M = Cnk +4Ck 1n− +6Cnk 2− +4Cnk 3− +Cnk 4− , với ≤ ≤k n
Rút gọn tổng khai triển sau
9) S= C2n0 +C2n2 +C2n4 + +C2n2n 10) S = C12n +C32n +C2n5 + +C2n2n 1−
11) S = C20030 +3 C2 20032 +3 C4 20034 + +32002C20032002 12) S = C42007 +C20076 +C20078 + +C20062007
13) S = 22006C12007 +22004C32007 +22002C20075 + +2 C2 20052007 14) S = C1630 +C1730 +C1830 + +C3030
15) S = C1530 −C1630 +C1730 −C1830 + −C3030
Rút gọn tổng ñạo hàm sau
16) S = C130 −2.2C302 +3.2 C2 303 −4.2 C3 430 + −30.2 C29 3030 17) S = 30C030−29C130 +28C302 − +2C2830 −C2930 +C3030
18) S = 2n.32n 1− C2n0 −(2n−1).32n 2− C12n +(2n−2).32n 3− C22n − − C2n 12n− 19) S = C 31n n 1− +2C 32n n 2− +3C 3n3 n 3− + +(n−1)Cnn 1− 3+nCnn
20) S = C 21 n 1n −.3+2C 2n2 n 2− +3C 23 n 3n − + +(n−1)Cnn 1− 2.3n 1− +nC 3nn n 21) S = 2C2n +2.3Cn3 +3.4Cn4 + +(n−1)nCnn
22) S = 2C22n −2.3C 22n3 +3.4C 22n4 − +(2n−1)2nC 22n2n 2n 2− 23) S =(n−1)nC 2n0 n 2− + +3.4Cn 2n− +2.3Cnn 3− 2+2Cnn 2− 24) S = C1n +2 C 32 n2 + C 32 n3 + +n C 32 nn n 1−
25) S = n C 22 n0 n +(n−1) C 22 n 1n − + +2 C2 n 2n− +2Cnn 1−
Rút gọn tổng tích phân sau
26)
2 n
0 n
n n n n
2 2
S C C C C
2 n
+
− − −
= + + + +
(14)27) S a0 1a1 1a2 a99 a100
2 100 101
= + + + + + , đó:
100 99 100
0 99 100
(x−2) = a +a x+a x + +a x +a x 28) S C20070 1C22007 1C20074 C20072004 C20062007
3 2005 2007
= + + + + +
Tìm số hạng khai triển sau
29) Số hạng thứ 13 khai triển (3−x)25 30) Số hạng thứ 18 khai triển (2−x )2 25 31) Số hạng không chứa x khai triển
12 x
x
+
32) Số hạng không chứa x khai triển
12 28
3 15
x x x−
+
33) Số hạng chứa a, b có số mũ khai triển
21
3
a b
b a
+
Tìm hệ số của số hạng khai triển sau
34) Hệ số số hạng chứa x4 khai triển
12
x
3 x
−
35) Hệ số số hạng chứa x8 khai triển
12
1
x x
+
36) Hệ số số hạng chứa x8 khai triển 1+ x (12 −x)8 37) Hệ số số hạng chứa x5 khai triển (1+ +x x2 +x3)10 38) Hệ số số hạng chứa x3 khai triển (x2 − +x 2)10
39) Hệ số số hạng chứa x4 khai triển (1+ +x 3x )2 10 40) Hệ số số hạng chứa x3 khai triển:
3 50
S(x)=(1+x) +(1+x) +(1+x) + +(1+x) 41) Hệ số số hạng chứa x3 khai triển:
3 22
S(x)=(1+2x) +(1+2x) +(1+2x) + +(1+2x) 42) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (1+x) (x10 +1)10
(15)44) Rút gọn tổng S = (C20070 ) (2 + C12007)2 + +(C20062007) (2 + C20072007)2
Tìm số hạng hữu tỉ khai triển của tổng sau
45) (316 + 3)7 46) ( + 2)9 47)
10 5 +
48)
10 2 −
Tìm hệ số lớn nhất khai triển của tổng sau
49) (1+2x)21 50)
11 2x +
51) ( )
100 1+0, 5x
C HƯỚNG DẪN GIẢI
1)
3
5 5
2
A A P 60 20 120
M 80
P P 2
− −
= + = + =
2)
2
5
4
3
5 5
P P P P A
M
P 2P
A A A A
= + + + −
120 24 20 21 120 60 20
= + + + =
3) Pn −Pn 1− = n ! (n− −1)!=(n−1)! n−(n−1)! =(n−1)!(n−1)= (n−1)Pn 1− 4) Từ câu ta có:
n n n
nP = P + −P ⇒ M = +1 P1 +2P2 + 3P3 + +2007P2007
= +1 (P2 −P1) (+ P3 −P2) (+ P4 −P3)+ +(P2008 −P2007)= P2008 5)
( ) ( )
k k
n n
(n 1)! (n 1)!
M A kA k
n k ! n k !
−
− − − −
= + = +
− − −
( ) ( k ) (n k) ( k )
(n 1)! (n 1)!
n k ! n k ! n k ! n k !
− = − + = − + − − − − −
( ) ( ) kn
n(n 1)! n !
A
n k ! n k !
−
= = =
− −
6)
( ) ( )
n n n k n k
(n k)! (n k)!
M A A
k ! k !
+ + + + + + = + = + − − ( ) n n k (n k)! k (n k)! k
kA k ! (n k) (n 1) !
+ + + + = = = − + − + 7) ( ) ( ) k
k !
1 1 1
k ! k ! k(k 1) k k
A
k !
−
= = = = −
− −
−
2 2
2 n
1 1
M
A A A A
⇒ = + + + + 1 1 1 1 1
2 3 n n n
= − + − + − + + − − = −
8) M = Ckn +4Cnk 1− +6Ck 2n− +4Cnk 3− +Ck 4n−
=(Cnk +Ck 1n− ) (+3 Cnk 1− +Cnk 2− ) (+3 Ck 2n− +Cnk 3− ) (+ Cnk 3− +Cnk 4− )
(16)= Cn 2k+ +2Ck 1n 2−+ +Ck 2n 2−+ =(Ckn 2+ +Cn 2k 1−+ ) (+ Ck 1n 2−+ +Ck 2n 2−+ )= Cn 3k+ +Cn 3k 1−+ = Ckn 4+ 9) (1+1)2n = C02n +C12n +C2n2 +C2n3 + +C2n2n 1− +C2n2n (1)
(1−1)2n = C02n −C12n +C2n2 −C2n3 + −C2n2n 1− +C2n2n (2) Cộng (1) (2) ta ñược 22n = C( 02n +C2n2 +C2n4 + +C2n2n) 10) Trừ khai triển (1+1)2n, (1−1)2n ta ñược S= 22n 1− 11) (1+3)2003+ −(1 3)2003 ⇒S = 22002(22003−1)
12) (1 + 1)2007 + (1 – 1)2007⇒ S( −C02007 −C20072 )= 22007 ⇒ =S 22006 +C20070 +C20072 13) (2+1)2007– (2−1)2007 ( )
2007 2007 2007
2007
3
2 S C S
2 +
⇒ − = − ⇒ =
14) (1+1)30 = C300 +C130 + +C1530 +C1630 + +C3030
30 30 16 15 16 30 15 30
30 30 30 30 30 30
2 C C C C C 2S C
⇒ = + + + + + + ⇒ + =
15) − −(1 1)30 = −C030 +C130 − − C1430 +C1530 −C1630 + −C3030
( 30 29 16 15) 15 15 16 30
30 30 30 30 30 30 30 30
0 C C C C C C C C
⇒ = − + − − + − + − + −
15
15 30
30
C
2S C S
2
⇒ − = ⇒ =
16) (1+x)30 = C300 +C x130 +C x302 +C x330 + +C x3030 30 (1)
ðạo hàm vế (1) ta ñược:
( )29 1 2 3 2 30 29
30 30 30 30
30 1+x = C +2C x +3C x + +30C x (2) Thay x = – vào vế (2) ta ñược:
1 2 3 29 30
30 30 30 30 30
C −2.2C +3.2 C −4.2 C + −30.2 C = −30
17) S =1 18) S = n.22n
19) Khai triển, ñạo hàm thay x = (3 + x)n suy S = n.4n 1− 20) Khai triển, ñạo hàm thay x = (2 + 3x)n suy S = 3n.5n 1−
21) Khai triển, ñạo hàm lần thay x = (1 + x)n suy S= (n−1)n.2n 2− 22) Tương tự 21) S= 2n(2n−1)
23) Khai triển, ñạo hàm lần thay x = (x + 1)n suy S= (n−1)n.2n 2−
24) Khai triển (1 + x)n, ñạo hàm, nhân với x ñạo hàm lần nữa, thay x = 3, S = n(1+3n).4n 2− 25) Tương tự 24) S= 2n(1+2n).3n 2−
26) Khai triển (1 + x)n, tích phân từ đến 2,
n n
3
S
n
+ − +
=
+
27)
100
0
(x−2) dx =
∫
1 1 1
2 99 100
0 99 100
0 0 0
(17)( )101 x
101 −
⇒ =
1 1
1 2 3 100 101
0 99 100
0 0 0
x x x x x
a a a a a
1 + + + + 100 + 101
101
0 99 100
2 1 1
a a a a a
101 100 101
−
⇒ = + + + + + Vậy
101
2
S
101 −
=
28) Khai triển (1 + x)2007, tích phân từ – đến ,
2005 S
251
=
29) C x12 13 1225 30) −C x17 3425 31) C612 = 924
32) Số hạng tổng quát
12 12
28 28
3 15 3 15
x x x− x x−
+ = +
( ) k
4 12 k 28k 16 1
k 3 15 k
12 12
C x x C x
−
− −
=
Suy số hạng không chứa x ứng với k thỏa k k 5
− = ⇔ =
Vậy số hạng không chứa x C512 = 792
33) Số hạng tổng quát
21 21 1 1 1 1
3 6
3
a b
a b a b
b a
− −
+ = +
k 2k
k 2 2 3 21
C a − b− +
Suy k 2k k
2
− = − + ⇔ = Vậy số hạng cần tìm
5 2 2 21 C a b 34) 55
9 35) 495
36) 1+ x (12 −x)8 = x (12 −x)+18
= C x (10 168 −x)8 + +C x (14 88 −x)4 +C x (183 −x)3 + +C88 Suy hệ số số hạng chứa x8 có số hạng C x (14 88 −x)4 C x (13 68 −x)3 + C x (184 −x)4 = C x4 88 (C40 −C x14 + +C x44 4) nên có hệ số chứa x8 C C48 04
+ C x (183 −x)3 = C x83 6(C30 −C x31 +C x32 −C x33 3) nên có hệ số chứa x8 C C3 28 3 Vậy hệ số cần tìm C C48 04 +C C3 28 3 = 238
37) (1+ +x x2 +x3)10 =(1+x)10(1+x2)10
= (C100 +C x101 + +C x1010 10)(C100 +C x101 + +C x1010 20) Thực phép nhân phân phối ta suy hệ số số hạng chứa x5 có số hạng:
1 10 10
C C x , C C x103 110 C C x105 100 Vậy hệ số cần tìm C C101 210 +C C103 110 +C C105 100 =1902
38) (x2 − +x 2)10 = 2−x(1−x)10
(18)+ −C x (1103 −x)3 có hệ số số hạng chứa x3 −C 2103 Vậy hệ số cần tìm −2C 2210 −C 2103 = −38400
39) (Tương tự) 1695
40) Áp dụng công thức cấp số nhân cho tổng 48 số hạng ta có:
48 51
31 (1 x) (1 x) (1 x) S(x) (1 x)
1 (1 x) x
− + + − +
= + =
− +
Suy hệ số số hạng chứa x3 hệ số số hạng chứa x4 (1+x)51 Vậy hệ số cần tìm C451 = 249900
41) Áp dụng công thức cấp số nhân cho 20 số hạng ta có:
20 23
31 (1 2x) (1 2x) (1 2x) S(x) (1 2x)
1 (1 2x) 2x
− + + − +
= + =
− +
Suy hệ số số hạng chứa x3 hệ số số hạng chứa x4 1(1 2x)23
2 +
Vậy hệ số cần tìm 1C 2423 70840
2 =
42) (1+x) (x10 +1)10=(C100 +C x101 + + + C x1010 10)(C x100 10 +C x110 + +C1010) Thực phép nhân phân phối ta suy hệ số số hạng chứa x10 là:
( ) ( )0 1 ( )10
10 10 10
C + C + + C
Mặt khác (1+x) (x10 +1)10 = (1+ x)20 có hệ số số hạng chứa x10 C1020 Vậy S = C1020 = 184756
43) (1+x) (110 +x)20=(C100 +C x110 + +C x1010 10)(C200 +C x120 + +C x2020 20) Thực phép nhân phân phối ta suy hệ số số hạng chứa x10 là:
0 10 9 10
10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 C C +C C +C C + +C C +C C Mặt khác (1+x) (110 +x)20 =(1+x)30 có hệ số số hạng chứa x10 C1030 Vậy S = C1030
44) S = C20074014 45) Số hạng cần tìm C 16.347 = 5040 46) Số hạng cần tìm C 299 = C 23 39 = 4536
47) Số hạng cần tìm 010
1
C
243
3 =
10 10
C 25
3 =
48) Số hạng cần tìm 100 10
1 1024
C
9
3 = ,
5 10
1
C 5376
− = −
10 210 2
1
C
3 =
49) Hệ số lớn C 22114 14 50) Hệ số lớn 611
C 51) Hệ số lớn 66100 66 66100
100 34
1
C C
2 =