2 Tìm số hạng không chứa biến, số hạng tổng quát thứ k+1, số hạng chính giữa,… trong khai triển nhị thức.. 3 Dùng công thức nhị thức Newton để tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức chứ
Trang 1VẤN ĐỀ 2
NHỊ THỨC NEWTON
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
I)Công thức nhị thức Newton:
1)Với mọi số tự nhiên n ≥ 1 và với mọi cặp số(a;b), ta có:
n 1 n 1 n n 1
k thứ quát tổng hạng Số
k k n k n 2
2 n 2 n 1 n 1 n n 0
n
b
+
−
−
−
2)Dùng dấu Σ, ta có thể viết công thức nhị thức Newton dưới dạng sau:
=
−
=
=
0 k
k n k k n n
0
k
k k n k n
b
a
3)Vài khai triển nhị thức Newton thường gặp:
n 1 n n k
n k n 2
n 2 n 1 n 1 n n 0
n
n C x C x C x C x C x C
1
n n k
n k n k 2
n 2 n 1 n 1 n n 0
n
n C x C x C x 1 C x 1 C
1
-II)Tính chất:
1)Số các số hạng của công thức bằng n+1
2)Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức (n -k) +
k = n
3)Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng k n k k
n 1
+ = (k = 0,1,….,n) 4) + n chẵn: Số hạng chính giữa là 1
2 n
T +
+ n lẻ: Hai số hạng chính giữa là T n2+1& 1
2 1 n
T + +
5)Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau
n
k n
1 n
0 n n
n 1 1 C C C C
(Tổng các hệ số của các số hạng trong sự khai triển của nhị thức bằng 2n)
n n k
n k 1
n
0 n
n C C 1 C 1 C
1
1
C C
C
n
1 n
2
n
0
⇔
(Tổng tất cả các hệ số đứng ở các vị trí lẻ bằng tổng tất cả các hệ số đứng ở các
vị trí chẵn)
II)Tam giác Pascal: (Hệ số của đa thức trong công thức Newton)
1)Dạng 1:
6 15 20 15 6
1
:
6
n
1 5 10 10 5
1
:
5
n
1 4 6 4 1
:
4
n
1 3 3 1
:
3
n
1 2 1
:
2
n
1 1
:
1
n
1
:
0
n
=
=
=
=
=
=
=
Trang 2
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
1) Dùng công thức nhị thức Newton để khai triển nhị thức
2) Tìm số hạng không chứa biến, số hạng tổng quát thứ k+1, số hạng chính giữa,… trong khai triển nhị thức
3) Dùng công thức nhị thức Newton để tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức chứa các số tổ hợp
BÀI TẬP Bài 1: Khai triển (x + y)6; 2 5
x
1
− ; ( x − 2) (4 + x + 1) (5 − x − 1)6; ( )6
1
x + Bài 2: Tìm hệ số của x3 trong khai triển biểu thức :
(x + 1)2 + (x + 1)3 + (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6
Bài 3: Trong khai triển nhị thức n
x
1
+ , hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là 35 Tìm số hạng không chứa x của khai triển nói trên
(Đề thi TN THPT Kì I 1996-1997)
Bài 4 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, số hạng chính giữa trong khai triển nhị thức
Niu-Tơn: 1 12
+ x
x (Đề thi TN THPT Kì I 2000-2001)
5 5 4 5 4 3 5 3 2 5 2 1 5
0
Bài 6: Chứng minh rằng :
n C 1 n 4
3 n C 3 2 n C 2 4
1 n C 4
1 + + + + + − − + =
2) C1n − 2 C2n+ 3 C3n − 4 C4n + + ( − 1 )n−1nCnn = 0
3)
n 1 1 1 n n 1
n n
C
3 1
3 n C 2 1
2 n C 1 1
1 n C 0
n
C
+
−
+
= + + + +
+ +
+ + +
Bài 7: Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức 2 nx 2nx1 2 n
+ bằng 64 Hãy xác định số hạng không chứa x
Bài 8: Với giá trị nào của x, số hạng thứ ba trong khai triển ( lgx )5
x
x + bằng 100? Bài 9 : Tìm số hạng không chứa ẩn x, trong khai triển của luỹ thừa: 1 x x610
+ + Bài 10 : Tìm số hạng thứ năm trong sự khai triển của ( 1)n
3 2 − 2 − , nếu số hạng cuối cùng của sự khai triển bằng
8 log 3
3
9 3
1
Bài 11: Tìm số tự nhiên n, biết rằng trong dạng khai triển x 21n
+ thành đa thức đối với biến x, hệ số của x6 bằng bốn lần hệ số của x4
Trang 3Bài 12: 1) Tìm 3 hệ số đầu trong sự khai triển của nhị thức Newton của
n 4
1 2
1
x 2
1 x
+ − (x > 0)
2) Xác định số mũ n, biết rằng 3 hệ số nói trên lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó
+
=
−
−
−
−
−
3 x 1 n 2 1 x 1 n
n 2 1 x 0 n
n 3
x 2 1 x
2 2
C 2
C 2
2 2 3
x n n
1 n 3
x 2 1 x 1 n
C
+
+
−
−
−
− (n là số nguyên dương ) Biết rằng trong khai triển đó 1
n
3
C = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.(ĐH KHỐI A 2002)
Bài 14: Tìm số nguyên dương n sao cho 0 2 1 4 2 2n n 243
C + C + C + + C = (ĐH KHỐI
D 2002)
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của
n 5 3
1
x x
, biết rằng n 1 n
C ++ − C + = 7(n 3) + (n là số nguyên dương, x >0, k
n C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).(ĐH KHỐI A 2003)
Bài 16: Cho n là số nguyên dương Tính tổng :
+
+ ( k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử )(ĐH KHỐI B 2003) Bài 17: Với n là số nguyên dương, gọi a3n-n là hệ số của x3n – 3 trong khai triển
thành đa thức của ( x2 + 1 )n ( x + 2 )n Tìm n để a3n-n = 26.(ĐH KHỐI D 2003)
Bài 18: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển thành đa thức của
2
1 x 1 x
+ −
(ĐH KHỐI A 2004)
Bài 19: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-Tơn của:
7 3
4
1 x
x
+
với x > 0 (ĐH KHỐI D 2004)
Bài 20: Tính giá trị biểu thức: 0 2001 1 2000 k 2001 k 2001 0
S C = C + C C + C + C −− + C + C
Dạng 2 Xác suất biến cố:
* 1/ Các tính chất xác suất:
n
Ω b) P( )∅ = 0; P( )Ω = 1
c) Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì :
3 / Cơng thức cộng xác suất :
Nếu A, B là hai biến cố bất kì của khơng gian mẫu thì :
Trang 4Bài 1: Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ, các viên bi này chỉ khác nhau
về màu Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để được:
a) 3 viên bi xanh
b) 3 viên bi đỏ
c) 3 viên bi cùng màu
d) Ít nhất một viên bi xanh
e) Ít nhất hai viên bi xanh
Bài 2 : Gieo hai con xúc xắc màu xanh và màu đỏ Gọi x là số chấm trên con xúc xắc màu xanh, y là số chấm trên con xúc xắc đỏ Gọi A là biến ‘’x>y’’ và B là biến
cố ‘’x+y=7’’ Tính P A B( ∪ )
Bài 3 : Một lô hàng có100 sản phẩm trong đó có 30 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm
a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt
b) Lấy ngẫu nhiên một lần 10 sản phẩm Tính xác suất để 10 sản phẩm lấy ra có đúng
8 sản phẩm tốt
Bài 4 : Một hộp chứa đựng 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10
bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh Lấy ngẫu từ mỗi hộp Tính xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu
Bài 5 : Gieo đồng thời 2 con xúc xắc đồng chất cân đối Tính xác suất sao cho :
a) Tổng số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng 8
b) Hiệu số chấm trên haai mặt con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2
c) Số chấm trên hai mặt con xúc xắc bằng nhau
Bài 6 : Lấy ngẫu nhiên 3 số từ 5 chữ số {0,1,2,3,4,5} xếp thành hàng ngang từ trái sang phải Tìm xác suất để nhận được một số tự nhiên có ba chữ số
Bài 7 : Một học sinh vào phòng thi chỉ thuộc được 18 trong 25 câu hỏi Tìm xác suất
để học sinh đó trả lời được 3 câu hỏi mà học sih đó rút được
Bài 8 : Trong đề cương môn học có 10 câu lý thuyết và 30 câu bài tập Mỗi đề thi có
1 câu lý thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương Một học sinh A chỉ thuộc 4 câu lý thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương Khi thi học sinh A chọn một đề thi cách ngẫu nhiên Với giả thuyết học sinh A chỉ trả lời được câu lý thuyết và câu bài tập đã học Tính xác suất để học sinh A
a) không trả lời được câu lý thuyết
b) Chỉ trả lời được hai câu bài tập
c) Đạt yêu cầu Biết rằng muốn đặt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và
ít nhất hai bài tập
Bài 9 : Một khách sạn có 6 phòng, nhưng có tất cả 10 người khách đến xin nghỉ trọ trong đó có 6 nam, 4 nữ Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc ‘’ai đến trước phục vụ trước và mỗi phòng nhận một người ‘’
a) Tìm xác suất để cho 6 người nam được nghỉ trọ
b) Tìm xác suất để 4 nam và 2 nữ được nghị trọ
c) Tìm xác suất sao cho ít nhất 2 trong 4 người nữ được nghỉ trọ
Bài 10 : Một cơ quan có 25 nhân viên trong đó có 16 người biết nói tiếng Anh, 14 người biết nói tiếng Pháp, 10 người biết nói tiếng Nga, 10 người biết nói tiếng Anh
và Pháp, 5 người biết nói tiếng Anh và Nga, 3 người biết nói tiếng Pháp và Nga, không có ai biết nói cả 3 thứ tiếng trên Có một người đi công tác Tính xác suất để người ấy :
a) Biết nói tiếng Anh hay Pháp
b) Biết nói ít nhất một trong 3 tiếng trên
Trang 5c) Chỉ biết nói 1 ngoại ngữ trong 3 tiếng trên.
Bài 11 : Cho ngẫu nhiên 5 quân bài trong bộ bài tú-lơ-khơ :
a) Tính xác suất sao cho 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc một bộ
b) Tính xác suất sao cho 5 quân bài đó có 4 quân bài thuộc một bộ
Bài 12 : Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 20 em sinh vào ngày chẵn Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh Tính xác suất để tổng các ngày sinh là số chẵn
Bài 13 : Gieo một con xúc xắc 2 lần Tính xác suất để :
a) Mặt 4 chấm xuất hiện lần đầu tiên
a) Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần
Bài 14 : Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau Lấy
ra hai quả câu Tính xác suất để :
a) Hai quả cầu lấy ra màu đen
b) Hai quả cầu lấy ra cùng màu
Bài 15 : Một hộp đựng 5 viên bi đen và 7 viên bi trắng
a) Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 viên bi Tính xác suất trong 3 viên bi lấy ra có 2 viên bi trắng
a) Lấy ngẫu nhiên 2 lần, mỗi lần 1 viên bi Tính xác suất để viên bi thứ nhất trắng và viên bi thứ hai đen
Bài 16 :Trong một hợp có 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả trắng và 8 quả màu đen
a) Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả có đúng 1 quả màu đen
b) Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả có ít nhất 1 quả màu đen
Bài 17 : Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi vàng, 4 viên bi trắng chỉ khác nhau
vế màu Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tinh xác suất các biến cố sau :
a) Lấy được 3 bi xanh
b) Lấy ít nhất một bi vàng
c) Lấy được 3 bi cùng màu
Bài 18 : Một bình đựng 10 viên bi chỉ khác nhau về màu, trong đó có 7 viên bi xanh
và 3 viên bi đỏ
a) Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi Tính xác suất để được 2 bi xanh
b) Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên một viên bi nữa Tính xác suất để được 1 viên bi xanh ở lần thức nhất và một viên bi đỏ ở lần thức hai
Bài 19 : Một đơn vị có 10 xe ô tô Trong đó có 6 xe tốt Điều một cách ngẫu nhiên 3
xe đi công tác Tìm xác suất để trong 3 xe có ít nhất một xe tốt
Bài 20 :Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10.000đ, 5 vé trúng 5000đ và 10 vé trúng 1000đ Một người mua ngẫu nhiên 3 vé Tính xác suất các biến cố
a) Người đó trúng đúng 3000đ
b) Người đó trúng ít nhất 3000đ
Bài 21 : Một hộp bóng đèn, trong đó có 4 bóng đèn hỏng Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn( không theo thứ tự)ra khỏi hộp Tính xác suất để :
a) Trong 3 bóng có 1 bóng hỏng
b) Có ít nhất một bóng hỏng trong 3 bóng