Bài giảng toán THSC

Định lý Apolloni là định lý hình học phẳng cổ điển dược phát hiện bởi nhà toán học Apolloni (255 TCN-170 TCN) vào khoảng năm 200 TCN. Phát biểu Cho A và B là hai điểm trong mặt phẳng Euclide và r là một số dương khác 1 thì quĩ tích của các điểm P sao cho tỉ số các độ dài AP/BP = r là một đường tròn. Lưu ý • Đường tròn mô tả trong định lý còn được gọi là đường tròn Apolloni. • Dạng tổng quát của định lý trên dẫn tới định nghĩa của hình conic trong hình học không gian. Định lý Apéry là một định lý toán học mang tên nhà toán học người Pháp Roger Apéry (1916 - 1994) chứng minh ra nó vào năm 1978. Phát biểu Giá trị của hàm Riemann Zeta ζ(3) là số vô tỉ: = (sequence A002117 in OEIS) (002117 in =53,772 m) Lưu ý ζ(3) là một chuỗi vô hạn nghịch đảo của lập phương (của các số nguyên đương) Chứng minh ban đầu đã rất phức tạp và khó hiểu. Sau đó, một chứng minh tương đối ngắn đã tìm thấy bởi ứng dụng của đa thức Legendre. Kết quả hiện còn khá cô lập: người ta biết rất ít về ζ(n) trong đó n là các số lẻ khác. Do tính chất quan trọng ζ(3) đã được đặt tên là Hằng số Apéry Đa thức Legendre Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Bước tới: menu, tìm kiếm Trong toán học, các hàm Legendre là các hàm số thỏa mãn phương trình vi phân Legendre: Phương trình vi phân này được đặt tên theo nhà toán học Pháp Adrien-Marie Legendre, và thường hay gặp trong vật lý học hay các ngành kỹ thuật. Đặc biệt, nó xuất hiện trong việc giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu. Nghiệm của phương trình tồn tại khi |x| < 1. Tại x = ± 1 giá trị của nghiệm sẽ hữu hạn nếu n là số nguyên không âm, n = 0, 1, 2, . . Trong trường hợp này, các nghiệm tạo thành dãy đa thức của các đa thức trực giao gọi là đa thức Legendre. Một đa thức Legendre thường được ký hiệu là P n (x) và là một đa thức bậc n. Các đa thức này có thể được biểu diễn bằng công thức Rodrigues: Ví dụ Một vài đa thức Legendre bậc nhỏ: n 0 1 2 3 4 5 6 Đồ thị của các đa thức này (đến bậc n = 10) được vẽ bên dưới: Tính chất Tính trực giao Các đa thức Legendre là trực giao với tích trong L 2 trong khoảng −1 ≤ x ≤ 1: với δ mn là hàm delta Kronecker, bằng 1 nếu m = n và 0 nếu m ≠ n. Lý do của tính trực giao là phương trình vi phân Legendre có thể coi là một bài toán Sturm–Liouville với các trị riêng λ tương ứng với n(n+1). Tính đối xứng Các đa thức Legendre thỏa mãn Chuẩn hóa Khi chuẩn hóa, giá trị của đa thức Legendre tại 1 là: và, theo tính đối xứng ở trên, tại -1 là: Tại 0: nếu n là số nguyên lẻ. Giá trị đạo hàm tại 1 là: Đệ quy Đa thức Legendre thỏa mãn các liên hệ đệ quy: (n + 1)P n + 1 = (2n + 1)xP n − nP n − 1 và và Định lý Arzela-Ascoli Định lý này được mang tên của hai nhà toán học người Ý Cesare Arzelà (1847-1912) và Cecco d'Ascoli, (thập niên 1260– 1327). Định lý nêu ra một tiêu chuẩn để xác định khi nào một tập các hàm liên tục từ một không gian metric compact đến một không gian metric là compact trong không gian tô pô của sự hội tụ đều. Phát biểu Cho là một không gian metric compact và là một không gian metric. Khi đó, một một tập con của là compact nếu và chỉ nếu nó liên tục đồng bậc, bị chặn từng điểm và đóng. Trong đó, là không gian metric với phần tử là tất cả các hàm liên tục từ tới và metric được xác định bởi công thức d(f,g) = max X d(f(x),g(x)). Tập con được gọi là bị chặn từng điểm nếu với mọi , tập hợp là bị chặn trong . Tập được gọi là liên tục đồng bậc trên nếu Hàm liên tục Ánh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm x U là lân cận của x trong X Hàm liên tục tại một điểm x 0 thuộc X là hàm số nhận lân cận của x 0 là miền xác định và với mọi số ε bé tùy ý (ε>0) sẽ luôn có tồn tại số δ>0 (phụ thuộc vào x 0 và ε) sao cho mọi giá trị x i nằm trong khoảng |x i - x 0 | < δ đều cho |f(x i )-f(x 0 )| < ε Hàm liên tục tại mọi điểm x 0 thuộc X được gọi là hàm liên tục tại tập hợp X. Tính chất 1. Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0). 2. Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ liên tục trên tập xác định của chúng. 3. Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục trên tập xác định của chúng Minh họa Hàm gián đoạn tại x = x 0 Hàm bậc hai parabol Không gian mêtric Trong toán học, một không gian mêtric (tiếng Anh: metric space) là một tập hợp mà trong đó khái niệm về khoảng cách giữa các phần tử được định nghĩa. Không gian mêtric gần nhất với hiểu biết trực quan của con người là không gian Euclid ba chiều. Mêtric Euclid của không gian này định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn thẳng nối chúng. Hình học của không gian phụ thuộc vào mêtric được chọn, và bằng các mêtric khác nhau, ta có thể xây dựng các hình học phi Euclid thú vị, chẳng hạn như những loại hình học dùng trong thuyết tương đối rộng của Einstein. Một không gian mêtric dẫn tới các tính chất tô pô như tập mở và tập đóng, những tính chất này dẫn đến nghiên cứu về các không gian tô pô còn trừu tượng hơn nữa. Định nghĩa Cho tập hợp M và ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau: 1. d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y thuộc R; (tính chất không âm) 2. d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y; 3. d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y thuộc R; (tính đối xứng) 4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z thuộc R. (bất đẳng thức tam giác) Khi đó hàm d được gọi là hàm khoảng cách hay một mêtric trên tập X và (M,d) được gọi là một không gian mêtric. Đôi khi, nếu đã ró ràng là đang sử dụng mêtric nào người ta chỉ viết M mà không kèm theo d. Điều kiện thứ nhất trong bốn điều kiện trên có thể suy ra từ ba điều kiện sau vì: 2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0. Một số tài liệu đòi hỏi X phải là tập khác rỗng. Không gian Metric xem như là không gian tôpô The treatment of a metric space as a topological space is so consistent that it is almost a part of the definition. Với một điểm x bất kỳ trong không gian metric M ta định nghĩa một hình cầu mở bán kính r (>0) tâm x là tập B(x; r) = {y in M : d(x,y) < r}. Các hình cầu mở này sinh ra một tôpô trên M, và M trở thành không gian tôpô. Cụ thể hơn,, một tập con của M được gọi là mở nếu nó là hợp của (hữu hạn hoặc vô hạn) các hình cầu mở. Phần bù của các tập mở được gọi là các tập đóng. Một không gian tôpô có thể tạo ra từ cách này được gọi là không gian khả mêtric; xem trang Định lý mêtric hóa đẻ biết chi tiết hơn. Vì không gian mêtric cũng là không gian tôpô, ta cũng có khái niệm hàm liên tục giữa các không gian mêtric. Định nghĩa này tương đương với định nghĩa dùng epsilon-delta cho tính liên tục. Các ví dụ về không gian metric • Tập số thực với hàm khoảng cách d(x, y) = |y − x| , và tống quát hơn là Không gian Euclidean với khoảng cách Euclide, là không gian mêtric đầy đủ. • Tập số hữu tỷ với hàm khoảng cách như trên là không gian mêtric, nhưng không đầy đủ. • Không gian Hyperbolic . • Không gian định chuẩn là không gian metric nhờ định nghĩa d(x, y) = ||y − x||. (Nếu không gian như vậy là đầy, ta gọi nó là không gian Banach). Ví dụ: o Không gian chuẩn Manhattan cho ta khoảng cách Manhattan, trong đó khoảng cách giữa hai điểm hoặc hai vetor bằng tống các độ lệch giữa các tọa độ tương ứng của chúng. o Chuẩn maximum cho ta khoảng cách Chebyshev hoặc khoảng cách bàn cờ vua, là số các bước đi ít nhất của quân vua trên đường đi từ x tới y. • Mêtric rời rạc, trong đó d(x,y)=1 với mọi x khác y và d(x,x)=0, là ví dụ đơn giản nhưng quan trọng có thể áp dụn cho mọt tập khác rỗng. Điều này nói lên rằng với mọi tập khác rỗng luôn có một không gian mêtric trên nó. • Mêtric British Rail (còn được gọi là mêtric Post Office) trên một không gian vetor định chuẩn, cho bởi d(x, y) = || x|| + ||y|| với các điểm phân biệt x ,y, và d(x, x) = 0. Tổng quát hơn ||.|| có thể thay bằng một hàm f từ một tập tùy ý S vào tập số thực không âm và lấy giá trị 0 ở hầu hết điểm: khi đó một metric được định nghĩa trên S bởi d(x, y)=f(x)+f(y) cho các điểm phân biệt x và y, và d(x, x) = 0. • Nếu X là một tập nào đó và M là một không gian metric, khi đó tập tất cả các hàm bị chặn f : X → M (nghĩa là ảnh của các hàm này là các tập con bị chặn của M) có thể trở thành một không gian mêtric nhờ định nghĩa d(f, g) = sup x trong X d(f(x), g(x)) với các hàm bị chặn f và g bất kỳ. Nếu M là đầy đủ, thì không gian này cũng sẽ là đầy đủ. • Nếu M là một đa tạp Riemannian liên thông, thì có thể biến M thành một không gian mêtric bằng cách định nghĩa khoăng cách giữa hai điểm là infimum của các đường đi (các đường cong khả vi liên tục)) nối chúng. • Nếu G là môth đồ thị vô hướng, thì tập V các đỉnh của G có thể trở thành không gian mêtric nhờ định nghĩa d(x, y) là độ dài của đường đi ngắn nhất nối x và y. Không gian tôpô Không gian tôpô, hay không gian topo, là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các khái niệm như là sự hội tụ, tính liên thông và tính liên tục. Chúng xuất hiện hầu như trong tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thống nhất có tính trọng tâm. Ngành toán nghiên cứu về các không gian tôpô gọi là topology. Định nghĩa Một không gian topo là một tập X cùng với một họ T của các tập con của X thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1. Tập trống và X là thuộc T. 2. Hợp của bất kì họ nào của các tập hợp trong T cũng thuộc T. 3. Giao của bất kì cặp hai tập hợp nào trong T cũng thuộc T. Họ T được gọi là một topo trên X. Các tập hợp trong T được gọi là các tập mở, và phần bù của chúng trong X được gọi là các tập đóng. Các phần tử của X được gọi là các điểm. Yêu cầu hợp của bất kì họ nào của các tập mở cũng là một tập mở là cao hơn việc chỉ đơn giản yêu cầu hợp của bất kì hai tập mở là tập mở, bởi vì điều kiện sau bao gồm cả hợp của vô hạn các tập hợp. Bằng quy nạp, giao của bất kì họ hữu hạn nào của các tập mở cũng mở. Do đó, bởi hợp của họ rỗng là tập rỗng, và giao của họ rỗng là (bởi định nghĩa) X, một định nghĩa tương đương có thể đưa ra bằng các yêu cầu một topo là đóng dưới phép hợp và phép giao hữu hạn. Ví dụ X={1,2,3,4} và tập hợp T={{},{1,2,3,4}} gồm hai tập con của X tạo thành một không gian tôpô. X={1,2,3,4} và tập hợp T={{},{1,2,3,4},{1},{1,2},{3,4},{1,3,4}} gồm năm tập con của X tạo thành một không gian tôpô. So sánh các loại topo Nhiều loại topo khác nhau có thể được đặt trên một tập hợp để tạo nên một không gian topo. Khi mọi tập trong một topo T 1 cũng là một tập trong topo T 2 , ta nói rằng T 2 là "mịn hơn" T 1 , và T 1 là "thô hơn" T 2 . Một chứng minh chỉ dựa trên sự tồn tại của một số loại tập mở nào đó cũng đúng cho bất kì topo nào mịn hơn, và tương tự như vậy một chứng minh chỉ dựa trên một số tập nào đó không mở cũng đúng cho bất cứ topo nào thô hơn. Các từ "lớn hơn" và "nhỏ hơn" đôi lúc được sử dụng thay cho "mịn hơn" và "thô hơn". Các từ "mạnh hơn" và "yếu hơn" cũng được sử dụng trong sách vở, nhưng không được đồng ý bởi đại đa số về mặt ngữ nghĩa, do đó ta luôn luôn phải chắc chắn về cách sử dụng của tác giả khi đọc sách. Bộ sưu tập của tất các topo trên một tập cố định X tạo thành một lattice đầy đủ: nếu F = {T α : α trong A} là một bộ sưu tập các topo trên X, thì gặp của F là giao của F, và nối của F là gặp của một bộ sưu tập của các topo trên X chứa mọi phần tử của F. Ánh xạ liên tục Một ánh xạ giữa hai không gian topo được nói là liên tục nếu như nghịch ảnh của mọi tập mở là mở. Đây là một cố gắng để nắm bắt trực giác về việc không có "vết đứt" hay "sự phân cách" trong hàm đó. Một phép đồng phôi (homeomorphism) là một song ánh liên tục và ánh xạ ngược của nó cũng liên tục. Hai không gian gọi là "đồng phôi" nếu như có một phép đồng phôi giữa chúng. Dưới quan điểm topo, các không gian đồng phôi là như nhau. Phạm trù các không gian topo. - Xem các không gian topo như là các vật và các ánh xạ liên tục như là các cấu xạ thì họ các không gian topo lập thành một phạm trù, kí hiêu là Top. Đây là một phạm trù cơ bản trong toán học. Cố gắng phân loại các vật của phạm trù này (xê xích một phép đồng phôi) bởi các bất biến đã tạo ra nhiều lãnh vực nghiên cứu mới, như là lý thuyết đồng luân (homotopy theory), lý thuyết đồng điều (homology theory) và K- Lý thuyết (K - theory), v.v. Các định nghĩa tương đương Có nhiều định nghĩa tương đương khác để định nghĩa một không gian tôpô. Ví dụ, sử dụng các định luật de Morgan, các tiên đề định nghĩa tập mở trở thành các tiên đề định nghĩa các tập đóng: 1. Tập trống và X là đóng. 2. Giao của bất kì họ của các tập đóng nào cũng đóng. 3. Hợp của bất kì cặp hai tập đóng nào cũng đóng. Sử dụng các tiên đề này có thể định nghĩa không gian tôpô là một tập X cùng với một họ T các tập con của X thỏa mãn các tiên đề sau: 1. Tập rỗng và tập X thuộc T. 2. Giao của họ bất kỳ các tập thuộc họ T cũng thuộc họ T. 3. Hợp của hai tập thuộc họ T cũng thuộc họ T. Theo định nghĩa này, các tập hợp trong tôpô T được gọi là các tập đóng, còn phần bù của chúng được gọi là các tập mở. Một cách khác để định nghĩa một không gian tôpô là sử dụng các tiên đề bao đóng Kuratowski, định nghĩa các tập đóng như là những điểm bất động của một toán tử trên tập mũ của X (tập của các tập con của X). Một lân cận của một điểm x là bất kì một tập nào chứa một tập mở có chứa x. Hệ các lân cận tại x chứa tất cả các lân cận của x. Một topo có thể được xác định bởi một tập các tiên đề liên quan đến tất cả các hệ lân cận. Một lưới là một sự tổng quát hóa khái niệm của dãy. Một topo được xác định hoàn toàn nếu như với mọi lưới trong X tập hợp các điểm hội tụ (accumulation point) của nó được xác định. Ví dụ về các không gian topo Một tập hợp cho trước có thể có nhiều tôpô trên đó. Nếu như một tập được cho một tôpô khác, nó sẽ được xem như là một không gian tôpô khác. Bất kì tập nào cũng có được cho tô pô rời rạc mà trong đó bất kì tập nào cũng mở. Những dãy (hay lưới) hội tụ trong không gian này là những dãy (hay lưới) cuối cùng hằng số. Cũng vậy, bất kì tập nào cũng được cho tôpô hiển nhiên (cũng còn được gọi là tôpô không rời rạc), mà trong đó chỉ có tập trống hay là toàn bộ không gian là mở. Mọi dãy và lưới và trong tôpô này hội tụ tới mỗi điểm trong không gian. Ví dụ này cho thấy trong không gian tô pô tổng quát, giới hạn của chuỗi không nhất thiết là duy nhất. Có nhiều cách định nghĩa một tô pô trên R, tập hợp của các số thực. Tô pô quy chuẩn trên R được tạo ra bởi các đoạn mở. Những đoạn mở này tạo thành một nền hay cơ sở cho topo đó, nghĩa là mọi tập mở là hợp của các tập mở cơ sở. Tổng quát hơn, không gian Euclid R n có thể được cho một topo. Trong tô pô thông thường trên R n các tập mở cơ sở là các quả cầu mở. Tương tự như vậy, C và C n có một tôpô quy chuẩn mà trong đó các tập mở cơ sở là các quả cầu mở. Mọi không gian metric có thể được cho một tôpô metric, mà trong đó các tập mở cơ sở là những quả cầu mở định nghĩa bởi metric đó. Đây là tôpô quy chuẩn trên bất kì không gian vectơ định chuẩn nào. Nhiều tập hợp các toán tử trong giải tích hàm được trang bị với những tô pô định nghĩa bằng cách xác định khi nào thì một dãy của các hàm hội tụ đến hàm zero. Bất kì trường địa phương nào cũng có một topo bản chất của nó, và tôpô này có thể mở rộng ra không gian vectơ định nghĩa trên trường đó. Bất kì đa tạp nào cũng có to po tự nhiên bởi vì một cách địa phương chúng là Euclidean. Tương tự như vậy, mỗi đơn hình (simplex) và bất kì phức đơn hình (simplicial complex) thừa kế một tô pô tự nhiên từ R n . Tô pô Zariski được định nghĩa một cách đại số trên phổ của một vành hay là một đa tạp đại số (algebraic variety). Trên R n hay C n , tập hợp đóng của tôpô Zariski là tập hợp các nghiệm của hệ các phương trình đa thức. Một đồ thị tuyến tính có một to po tự nhiên tổng quát hóa nhiều khía cạnh hình học của đồ thị với các đỉnh và các cạnh. Không gian Sierpiński là không gian tô pô đơn giản không hiển nhiên, không rời rạc. Nó có nhiều mối liên quan quan trọng đến lý thuyết máy tính và ngữ pháp. Bất kì tập vô hạn nào cũng có thể được cho tôpô cùng hữu hạn trong đó các tập mở là tập trống và những tập mà phần bù là hữu hạn. Đây là tô pô T 1 nhỏ nhất trên bất kì tập vô hạn nào. Đường thẳng thực có thể được cho tôpô giới hạn dưới. Ở đây, các tập mở cơ sở là các đoạn nửa mở [a, b). Topo này trên R là thực sự mịn hơn topo Euclidean định nghĩa phía trên; một dãy hội tụ đến một điểm trong topo này nếu và chỉ nếu nó hội tụ từ bên trên trong tô pô Euclidean. Ví dụ này cho thấy một tập có thể có nhiều loại topo khác nhau định nghĩa trên đó. Nếu Γ là một số thứ tự, thì tập hợp [0, Γ] có thể được trang bị với topo thứ tự sản sinh từ các đoạn (a, b), với a và b là các phần tử của Γ. Phân loại các không gian topo Các không gian tô pô có thể được phân loại, chính xác đến một đồng phôi, bằng các tính chất tô pô của chúng. Tính chất tô pô là tính chất của không gian không thay đổi trong các phép biến đổi đồng phôi. Để chứng minh hai không gian không đồng phôi, có thể tìm một tính chất tô pô mà chúng khác nhau. Ví dụ như tính liên thông, tính compắc và dựa vào các tiên đề tách. Xem thêm các tính chất tôpô. Các không gian topo với cấu trúc đại số Đối với các đối tượng đại số thường có tôpô tự nhiên trên đó. Tôpô này tương thích với các phép toán theo nghĩa các phép toán này là các ánh xạ liên tục. Điều này dẫn tới các khái niệm như nhóm tôpô, không gian vectơ tôpô . Định lý Ascoli Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Bước tới: menu, tìm kiếm Định lý này mang tên nhà toán học người Ý là Julio Ascoli (1843-1896) Phát biểu Nếu một họ hàm số liên tục đồng bậc và bị chận từng điểm thì chúng hoàn toàn bị chận trong một chuẩn đồng đều. Hệ quả Giới hạn của một dãy hàm liên tục là một hàm liên tục. Lưu ý Đây chỉ là trường hợp đặc biệt của một định lý tổng quát hơn của toán học tô pô là định lý Arzela Ascoli Liên tục đồng bậc Định nghĩa Một họ F các ánh xạ từ 1 không gian topo X vào 1 không gian metric (Y,d) gọi là đồng liên tục tại p thuộc X nếu với ε > 0 cho trước, tồn tại 1 lân cận U của p sao cho d(f(p),f(x)) < ε với mọi f thuộc F và với mọi x thuộc U. Họ F gọi là liên tục đồng bậc nếu nó liên tục đồng bậc tại mọi điểm thuộc X. Ví dụ Nếu F là một họ hữu hạn các ánh xạ liên tục thì F là một họ liên tục đồng bậc . Tính chất Từ định nghĩa ta thấy nếu F là họ ánh xạ liên tục đồng bậc thì mọi ánh xạ f thuộc F là liên tục. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ : F gồm các hàm liên tục nhưng F không liên tục đồng bậc Định lý Banach-Steinhause Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Bước tới: menu, tìm kiếm Định lý Banach-Steinhause mang tên hai nhà toán học Ba Lan Stefan Banach (1892-1945) và Hugo Steinhause (1887- 1972). Định lý này được tìm ra năm 1927. Nó còn được gọi là Nguyên lý cơ bản của tính bị chặn đều dùng trong giải tích hàm. Phát biểu [...]... tính toán xác suất Khó khăn trong việc tính toán xác suất nằm ở việc xác định số sự kiện có thể xảy ra (possible events): đếm số lần xuất hiện của mỗi sự kiện, và đếm số lượng sự kiện có thể xảy ra đó Đặc biệt khó khăn trong việc rút ra một kết luận có ý nghĩa từ các xác suất tính được Một bài toán đố thú vị, bài toán Monty Hall sẽ cho thấy điều này Để học thêm về cơ bản của lí thuyết xác suất, xem bài. .. ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lãnh vực toán học chưa đuợc biết tới vào thời Fermat Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó Vẫn là một câu hỏi chưa có lời... một mệnh đề mà chỉ bao gồm hai phép toán hội và phép nghịch đảo • Định lý De Morgan là tiền đề cơ bản cho sự phát triển của ngành máy tính vì chỉ cần có hai cổng điện toán - cổng đảo dấu (NOT gate) và cổng và (AND gate) chẳng hạn - thì người ta có thể thiết lập nên bất kì một phép toán lô gíc nào bằng tổ hợp của hai cổng điện toán trên Nguyên lý ánh xạ mở Trong toán học, có 2 định lý có cùng tên "nguyên... giải rất hay, nhưng vì lề sách bé quá không đủ chỗ để viết Bài toán II.8 trong Arithmetica của Diophantus, với chú giải của Fermat và sau đó trở thành định lý Fermat cuối cùng (ấn bản 1670) Lịch sử chứng minh định lý lớn Fermat Cho tới đầu thế kỷ 20 các nhà toán học chỉ chứng minh định lý này là dúng với n=3, 4, 5, 7 và các bội số của nó Nhà toán học người Đức Ernst Kummer đã chứng minh định lý này... xem bên dưới Các toán tử tuyến tính Nếu V và W là các không gian Banach trên cùng một trường K, tập hợp của các hàm K-tuyến tính liên tục A : V → W được kí hiệu là L(V, W) Chú ý là trong các không gian vô hạn chiều, không phải tất cả các toán tử tuyến tính là liên tục (Với các không gian hữu hạn chiều thì mọi toán tử tuyến tính đều liên tục) Ta có một mệnh đề thú vị: Cho A:V − > W là 1 toán tử tuyến tính... của các phép toán liên tục tuyến tính từ một không gian Banach đến một không gian tuyến tính chuẩn thì bị chặn đều Giải tích hàm Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Bước tới: menu, tìm kiếm Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gian vector được trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử đã... lời giải trên Annals of Mathematics (Đại học Princeton) • Tháng 8 năm 1995 hội thảo ở Đại học Boston, giới toán học công nhận chứng minh là đúng Helen G Grundman, giáo sư toán trường Bryn Mawr College, đánh giá tình hình của cách chứng minh đó như sau: "Tôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh Định lý lớn Fermat đó Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng... trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị và biến phân, phương pháp tính,lý thuyết biểu diễn, Ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm, , đến nay giải tích hàm tích lũy được những thành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học Các khái niệm cơ bản của Giải... thuật ngữ hình thức - nghĩa là các thuật ngữ mà có thể xác định một cách độc lập với ý nghĩa của nó Các thuật ngữ hình thức này được thao tác bởi các qui luật toán học và logic, và kết quả thu được sẽ được chuyển dịch trở lại miền (domain) của bài toán Có hai hướng công thức hóa xác suất đã thành công là sự hình thành công thức Kolmogorov và sự hình thành công thức Cox Trong công thức của Kolmogorov,... lên) - Các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian (còn gọi là đồng cấu) 2 trường hợp đặc biệt quan trọng là các phiếm hàm tuyến tính liên tục (dạng tuyến tính liên tục) và các tự đồng cấu - Giống như với các không gian, ta có các đại số tương ứng Các đại số này dựa trên mô hình của đại số các tự đồng cấu, vì thế nên lý thuyết tổng quát về các đại số còn được gọi là lý thuyết đại số toán tử Chú . suất tính được. Một bài toán đố thú vị, bài toán Monty Hall sẽ cho thấy điều này. Để học thêm về cơ bản của lí thuyết xác suất, xem bài viết về tiên đề. được thao tác bởi các qui luật toán học và logic, và kết quả thu được sẽ được chuyển dịch trở lại miền (domain) của bài toán. Có hai hướng công thức hóa