Chuyên đề 31 phương trình đường thẳng đáp án p1

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Chuyên đề 31 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng Câu (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  4;6;2 B  2;  2;0 mặt phẳng  P  : x  y  z  Xét đường thẳng d thay đổi thuộc  P  qua B , gọi H hình chiếu vng góc A d Biết d thay đổi H thuộc đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn A R  B R  D R  C R  Lời giải Chọn D Gọi I trung điểm AB  I  3;2;1 d  I;  P   1 2 Gọi  S  mặt cầu có tâm I  3;2;1 bán kính R  AB 3 2 Ta có H   S  Mặt khác H   P  nên H   C    S    P  Bán kính đường trịn  C  R  Câu  R  Trong không gian Oxyz mặt phẳng d:  d  I ;  P   3      P : 2x  y  z    cắt trục Oz đường thẳng x 5 y z 6   A B Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 1 2 B  x     y  1   z  5  2 D  x     y  1   z  5  36 A  x     y  1   z  5  36 C  x     y  1   z  5  2 2 2 Lời giải Chọn B  P   Oz  A  0;0;3 Tọa độ B nghiệm hệ phương trình: 2 x  y  z   x  2 x  y  z        y  2  B  4; 2;  Gọi I trung điểm  x  y z   2 x  y  10     1    y  z  12  z  AB  I  2; 1;5   IA     2 Phương trình mặt cầu đường kính AB là:  x     y  1   z  5  Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y2  z  4x  y  m  ( m tham số)  x   2t  đường thẳng  :  y   t Biết đường thẳng  cắt mặt cầu  S  hai điểm phân biệt A , B  z   2t  cho AB  Giá trị m Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A m  B m  12 M C m  12 Lời giải A H D m  10 B R I Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB  IH  AB , HA  Mặt cầu  S  có tâm I  2 ; ;  , bán kính R  13  m ,  m  13   Đường thẳng  qua M  ; ; 3 có véc tơ phương u   ; ;     IM , u       Ta có: IM   ; ; 3   IM , u    3;  ;   IH  d  I ,      u Ta có: R  IH  HA2  13  m  32  42  m  12 Câu Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d  : x y 3 z 2   1 hai mặt phẳng  P  : x  y  z  ;  Q  : x  y  3z   Mặt cầu  S  có tâm I giao điểm đường thẳng  d  mặt phẳng  P  Mặt phẳng  Q  tiếp xúc với mặt cầu  S  Viết phương trình mặt cầu  S  2 2 2 2 2 2 A  S  :  x     y     z  3  B  S  :  x     y     z  3  D  S  :  x     y     z    C  S  :  x     y     z  3  Lời giải Chọn C Ta có: I   d   I  2t ;3  t ;  t  I   P    P  : 2t    t     t    t   I  2; 4;3 Q  tiếp xúc với  S  nên R  d  I ,  Q    2 Vậy  S  :  x     y     z  3  Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   : x  y  z   Biết đường thẳng 2  S  :  x     y  3   z    nằm   , cắt trục Ox Vectơ sau vectơ phương  ?    A u   4; 2;1 B v   2;0; 1 C m   3;1;0   14 mặt phẳng tiếp xúc với  S   D n  1; 1;1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Mặt cầu  S  có tâm I  2;3;  bán kính R  14 Ta có d  I ,     14  R    tiếp xúc với  S  Gọi H hình chiếu vng góc I lên    H 1;0;   Gọi A    Ox  A  a;0;0  AH   a  1;0; 2    Đường thẳng  nằm   , cắt trục Ox tiếp xúc với  S  nên AH  n Tức   a      a   AH   4; 0; 2  phương với v   2;0; 1 Câu (Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng 2  P  : x  y  z   mặt cầu  S  :  x  3   y     z  1  100 Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo đường tròn  C  Tìm tọa độ tâm K bán kính r đường trịn  C  A K  3; 2;1 , r  10 B K  1; 2;3 , r  C K 1; 2;3 , r  D K 1; 2;3 , r  Lời giải  Mặt cầu  S  có tâm I  3; 2;1 ; R  10  Khoảng cách từ I đến  P  IK  d  I ;  P     1   x   2t   Đường thẳng qua I  3; 2;1 vng góc với  P  có phương trình tham số  y  2  2t z  1 t   x   2t  y  2  2t  Tọa độ tâm K nghiệm hệ phương trình   K  1; 2;3 z  1 t 2 x  y  z    Bán kính: r  R  IK  100  36  Câu (Chun Thái Bình 2019) Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 , B  2;2;1 mặt phẳng  P  : x  y  z  Mặt cầu  S  thay đổi qua A, B tiếp xúc với  P  H Biết H chạy đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịn A B C D Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  1 t  Có A(1;1;1), B(2;2;1)  Phương trình AB:  y   t z   Gọi K giao điểm AB  P   K  1; 1;1 Có Mặt cầu  S  tiếp xúc với  P  H  HK tiếp tuyến  S     KH  KA.KB  12  KH  không đổi  Biết H chạy đường trịn bán kính khơng đổi Câu (Chuyên S  : x Lam Sơn 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  y  z  x  y  z   mặt phẳng   : x  y  12 z  10  Lập phương trình mặt phẳng    thỏa mãn đồng thời điều kiện: Tiếp xúc với  S  ; song song với   cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x  y  12 z  78  B x  y  12 z  26  C x  y 12 z  78  D x  y  12 z  26  Lời giải Chọn C Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 3 , bán kính R  Mặt phẳng    song song với   nên có phương trình dạng x  y  12 z  c   c  10     tiếp xúc với  S   d  I ;      R  4.1  3.2  12.3  c 42  32  122 4 26  c 13 4  26  c  52 c  78    26  c  52 c  26 13   Nếu c  78    : x  y  12 z  78  Mặt phẳng    cắt trục Oz điểm M  0; 0;  có 2  cao độ dương 13   Nếu c  26    : x  y  12 z  26  Mặt phẳng    cắt trục Oz điểm M  0; 0;   6  có cao độ âm Vậy    : x  y  12 z  78  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  x  1 t  điểm M  x0 ; y0 ; z0   d :  y   2t Ba điểm A , B , C phân biệt thuộc mặt cầu cho  z   3t  MA , MB , MC tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng  ABC  qua điểm D 1;1;  Tổng T  x02  y02  z02 A 30 B 26 D 21 C 20 Lời giải Chọn B x  1 t  * Ta có: M  x0 ; y0 ; z0   d :  y   2t  x0  y0  z0   z   3t  * Mặt cầu có phương trình x  y  z   tâm O  0;0;0  , bán kính R  * MA , MB , MC tiếp tuyến mặt cầu  MO   ABC     ABC  qua D 1;1;  có véc tơ pháp tuyến OM  x0 ; y0 ; z0  có phương trình dạng: x0  x  1  y0  y  1  z0  z  2  * MA tiếp tuyến mặt cầu A  MOA vuông A  OH OM  OA2  R2  Gọi H hình chiếu O lên  ABC  d  O;  ABC    OH   x0  y0  z0 x02  y02  z02   OH  OM  HM  , ta có: x0  y0  z0  z0 x02  y02  z02  z0   OH OM  z0  OM  z0    z0   z0  13 * Với z0   M  0;  1;5   T  26 nhận do: OM  26; OH  pt  ABC  :  y  z    MH  d  M ;  ABC    z0   ; OM 26 17 26 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  OH  HM  OM * Với z0  13  M  6;11; 13  loại do: OM  326;OH   ABC  :6 x  11y  13z    MH  d  M ;  ABC    ; 326 335 326  OH  HM  OM Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  z   x y2 z   Hai mặt phẳng  P  ,  P ' chứa d tiếp xúc với ( S ) T , T ' 1 1 Tìm tọa độ trung điểm H TT '  7 5 7 5 5  5 A H   ; ;  B H  ; ;   C H  ; ;   D H   ; ;   6 6 6 6 6  6 Lời giải Chọn C Mặt cầu  S  có tâm I 1; 0; 1 , bán kính R   Đường thẳng d có vectơ phương ud  1;1; 1  Gọi K hình chiếu I d , ta có K  t ;  t ; t   IK   t  1;  t ; t  1    Vì IK  d nên ud IK   t    t   t  1   t   IK  1; 2;1 đường thẳng d : x  1 t '  Phương trình tham số đường thẳng IK  y  2t '  z  1  t '   Khi đó, trung điểm H TT ' nằm IK nên H 1  t '; 2t '; 1  t '   IH   t '; 2t '; t '  Mặt     5 5 khác, ta có: IH IK  IT  IH IK   t ' 4t ' t '   t '   H  ; ;   6 6 Câu 11 Trong không gian Oxyz , cho điểm E  2;1;3 , mặt phẳng  P : 2x  y  z   mặt cầu 2  S  :  x  3   y     z  5  36 Gọi  đường thẳng qua E , nằm  P   S  hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình   x   9t  A  y   9t  z   8t   x   5t  B  y   3t z   x   t  C  y   t z   Lời giải  x   4t  D  y   3t  z   3t  Chọn C Mặt cầu  S  có tâm I  3; 2;5  bán kính R  IE  12  12  22   R  điểm E nằm mặt cầu  S  Gọi H hình chiếu I mặt phẳng  P  , A B hai giao điểm  với  S  Khi đó, AB nhỏ  AB  OE , mà AB  IH nên AB   HIE   AB  IE    Suy ra: u   nP ; EI    5; 5;0   1; 1;0  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ cắt TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x   t  Vậy phương trình   y   t z   Câu 12 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  x   2t   x  3   y  1  z  đường thẳng d :  y  1  t , t   Mặt phẳng chứa d cắt ( S )  z  t  2 theo đường trịn có bán kính nhỏ có phương trình A y  z   B x  y  z   C x  y   D x  y  z   Lời giải Chon A Gọi H hình chiếu vng góc tâm cầu I  3;1;0 lên d , từ ta tìm H  3;0; 1 Thấy  IH  R nên d cắt ( S ) Vậy mặt phẳng cần tìm nhận IH   0; 1; 1 làm VTPT nên pt mặt phẳng y  z   Câu 13 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho  P  : x  y  5z   mặt cầu  S  : x2  y  z  Gọi  E , nằm mặt phẳng  P  cắt  S  điểm phân biệt A, B cho điểm E 1;1;1 , mặt phẳng đường thẳng qua AB  Phương trình đường thẳng   x   2t  x   2t   A  y   t B  y   t z  1 t z  1 t    x   2t  C  y  3  t z   t   x   2t  D  y   t z  1 t  Lời giải Chọn D I Δ A H R B  S  : x  y  z   Tâm I  0;0;0 ; bán kính R    P  : x  y  5z    véctơ pháp tuyến  P  : n P  1;  3;  Gọi H hình chiếu I lên   AH  BH  AB  Xét IAH vuông H  IH  IA2  AH     Mặt khác ta có IE  1;1;1  IE   IH  H  E  IE   Đường thẳng  qua E 1;1;1 ; vng góc với IE chứa  P  nên:    Véctơ phương  : n    n P ; IE    8;4;    véctơ u   2;  1;  1 véctơ phương  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x   2t  Phương trình đường thẳng  là:  y   t z  1 t  Câu 14 (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0;1; 2  , mặt phẳng  P  : x  y  z   mặt cầu  S  : x2  y  z  x  y   Gọi  đường thẳng qua A  nằm mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  hai điểm B , C cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I tâm mặt cầu  S  Phương trình đường thẳng  x  t  A  y   z  2  t  x  t  B  y   t  z  2  t  x  t  C  y   t  z  2  x  t  D  y   t  z  2  Lời giải Chọn C  S  có tâm I 1;2;0 bán kính R  12  22    AI  1;1;   AI   R  A nằm mặt cầu  S  SIBC  A nằm dây cung BC 1 2   R sin BIC   R nên diện tích IBC đạt giá trị lớn IB.IC.sin BIC 2 R2    BIC   90  IBC vuông cân I  BC  IC  R   sin BIC BC   2 Gọi J trung điểm BC Ta có IJ  BC IJ  AIJ vuông J  AI  IJ , kết hợp thêm với 1   ta có IJ  AI  A  J  A trung điểm BC IA  BC   P  có vectơ pháp tuyến n  P  1;1;1 có giá vng góc với     Vậy  nhận u   n  P , AI   1; 1;0  làm vectơ phương qua A  0;1; 2  x  t    :  y  1 t  z  2  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : z   , K  0;0; 2 , đường thẳng d: x y z   Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d cắt mặt phẳng  P  theo thiết 1 diện đường tròn tâm K , bán kính r  B x  y  z  16 D x  y  z  A x  y   z    16 C x  y   z    Lời giải Chọn D  P  có vectơ pháp tuyến n   0;0;1 x  t  Viết lại phương trình đường thẳng d dạng tham số:  y  t z  t   Gọi I tâm mặt cầu cần lập Vì I  d nên giả sử I  t ; t ; t  Có IK   t ; t ; 2  t   Thiết diện mặt cầu mặt phẳng  P  đường tròn tâm K nên ta có IK   P  Suy IK t  k    t   n   0;0;1 phương Do tồn số thực k để IK  kn  t  k   2  t  k k  2  Suy I  0;0;0  Tính d  I ,  P    Gọi R bán kính mặt cầu Ta có: R  r   d  I ,  P     Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình: x  y  z   P  : x  y  z   hai điểm  S  qua M, N tiếp xúc với mặt phẳng  P  điểm Q Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng M 1;1;1 , N  3; 3; 3 Mặt cầu Biết Q ln thuộc đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịn A R  11 B R  C R  33 D R  Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  1 t  * Đường thẳng MN có phương trình là: MN :  y   t z  1 t  * Gọi I  MN   P  tọa độ điểm I ứng với t thỏa mãn:  t   t   t    t    t   I  3;3;3  IM  3, IN  * Do mặt cầu  S  qua M, N tiếp xúc với đường thẳng IQ điểm Q nên ta có: IQ  IM IN  KI  R  IQ  IM IN  36  IQ  Vậy Q thuộc đường trịn tâm I bán kính R  Câu 17 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  z   mặt cầu  S  :  x  1 2   y  3  z  x y  z 1 Cho phát biểu sau đây:   2 I Đường thẳng d cắt mặt cầu  S  điểm phân biệt d: II Mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  III Mặt phẳng  P  mặt cầu  S  khơng có điểm chung IV Đường thẳng d cắt mặt phẳng  P  điểm Số phát biểu là: A B C Lời giải D Chọn D Mặt cầu  S  có tâm I 1;  3;0  , bán kính R   x  2t  Phương trình tham số đường thẳng d :  y  2  t  z  1  2t   x  2t  y  2  t   9t  2t   1 Xét hệ phương trình  z  1  2t   x  12   y  32  z   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt nên d cắt  S  điểm phân biệt d  I ,  P   2.1   3    11  R   P   S  khơng có điểm chung 3  x  2t  y  2  t   t  d cắt  P  điểm Xét hệ phương trình   z  1  2t 2 x  y  z   Vậy có phát biểu Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ đường thẳng NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2  c     c     c      c  1  c  3c  24c  48  4c  4c   c  20c  44  c  22 ( N )  c  2 ( L) Suy b  23  b  c  45 Câu 19 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1      : Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ 2 2 nhất, đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng 1  1 : 16  (đvdt) D  (đvdt) 17 17 Lời giải Gọi A; B hai điểm thuộc 1  cho AB đoạn thẳng vng góc chung A 16  (đvdt) 17 B  (đvdt) 17 C đường Gọi M trung điểm AB Dễ có mặt cầu tâm M bán kính R  AB tiếp xúc với hai đường thẳng 1  mặt cầu có bán kính bé Ta có tọa độ theo tham số A; B là:  A(2t1  1; t1  1;2t1  1) B(2t2  1;2t2  1; t2  1)  AB (2t2  2t1  2;2t2  t1  2; t2  2t1  2)      AB  u1 Có u1 (2;1;2) u2 (2;2;1) lần lươt vectơ phương 1  nên     AB  u2 (2t  2t1  2).2  (2t2  t1  2).1  (t2  2t1  2).2   (2t2  2t1  2).2  (2t2  t1  2).2  ( t2  2t1  2).1  10  t1   6 4  8t  9t1  10   17  A( ; 7 ; ) B( 3 ; 3 ; )  AB( ; ; )   ; 17 17 17 17 17 17 17 17 17 9t2  8t1  10  t  10  17 R AB ( 6)2   17   2 17 17 Diện tích mặt cầu cần tính S  4 R  4. 17 Câu 20  4 (đvdt) 17 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai  x  2t  đường thẳng d1 :  y  t d z   x   t '  :  y  t ' Viết phương trình mặt cầu  S  có bán kính nhỏ z   tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d 2 2 A  S  :  x     y  1   z    C  S  :  x     y  1  ( z  2)  2 B  S  :  x     y  1   z    16 D  S  :  x    ( y  1)  ( z  2)  16 Lời giải Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Đường thẳng d1 có vectơ phương u1  (2;1;0)  Đường thẳng d có vectơ phương u2  (1;1;0) Để phương trình mặt cầu  S  có bán kính nhỏ đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d khi: Tâm mặt cầu  S  nằm đoạn thẳng vng góc chung đường thẳng d1 d , đồng thời trung điểm đoạn thẳng vng góc chung Gọi điểm M  2t; t; 4 thuộc d1 ; gọi điểm N (3  t '; t '; 0) thuộc d với MN đoạn vng góc chung d1 d  Ta có MN    t ' 2t; t ' t ; 4     MN u1  2   t   2t   t   t  MN đoạn thẳng vng góc chung       1   t   2t   t   t   MN u2  t   5t  t   M (2;1; 4)    2t   t  t    N (2;1;0) Gọi điểm I tâm mặt cầu  S  , điểm I trung điểm MN  I  2;1;   R  IM  IN  2 Suy mặt cầu  S  :  x     y  1   z    Câu 21 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y  z  x  y  z  13  đường M  a; b; c  ,  a   nằm đường thẳng d MA, MB , MC đến mặt cầu S  thẳng d: cho từ M x  y  z 1   1 Điểm kẻ ba tiếp tuyến   600 , AMB  600 , BMC ( A, B, C tiếp điểm)    1200 Tính a  b  c CMA 173 112 A a  b3  c  B a  b3  c  C a  b  c  8 9 Lời giải Chọn B D a  b  c  23 A I H M C Mặt cầu  S  có tâm I 1;2; 3 bán kính R  12  22   3  13  3 Gọi  C  đường tròn giao tuyến mặt phẳng  ABC  mặt cầu  S  Đặt MA  MB  MC  x AB  x; BC  x 2; CA  x tam giác ABC vuông B nên trung điểm H AC tâm đường tròn  C  H , I , M thẳng hàng Vì  AMC  1200 nên tam giác AIC x  R  x  suy IM  AM  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 Lại có M  d nên M  1  t ; 2  t;1  t  ,  t  1 mà IM  nên  t     t     t    36 t   3t  4t    t   Mà a > nên t  Câu 22 112 1 7 suy H  ;  ;  nên a  b3  c3  3 3 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M  3;3;  3  S  :  x  2 thuộc mặt phẳng   : x  y  z  15  mặt cầu   y     z    100 Đường thẳng  qua M , nằm mặt phẳng   cắt  S  A, B cho độ dài AB lớn Viết phương trình đường thẳng  x3 y 3 z 3 x3 y 3 z 3 B     1 x3 y 3 z 3 x3 y 3 z 3 C D     16 11 10 Lời giải Ta có: Mặt cầu  S  có tâm I  2;3;5 , bán kính R  10 A d  I ,     2.2  2.3   15 2 2   2     R      S   C  H ; r  , H hình chiếu I lên    Gọi 1 đường thẳng qua I vng góc với    1 có VTCP u1   2; 2;1  x   2t   PTTS 1 :  y   2t Tọa độ H nghiệm hệ: z   t   x   2t  y   2t   z   t 2 x  y  z  15   x  2    y   H  2; ;3  z   Ta có AB có độ dài lớn  AB đường kính  C     MH  Đường thẳng MH qua M  3;3;  3 có VTCP MH  1; ;  Suy phương trình  : Câu 23 x3 y 3 z 3   (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  2;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0; 2  Gọi D điểm khác O cho DA , DB , DC đơi vng góc I  a; b; c  tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính S  a  b  c A S  4 B S  1 C S  2 Lời giải Chọn B D S  3 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A d G I B D M C Gọi d trục ABC , ta có  ABC  : x  y  z     2 2 Do ABC nên d qua trọng tâm G   ;  ;   có VTCP u  (1;1;1) , suy  3 3  x    t   d : y   t   z    t  thấy DAB  DBC  DCA , suy DA  DB  DC  D  d nên giả 2   D    t;   t;   t  3     2       2  Ta có AD    t ;   t ;   t  ; BD     t ;  t ;   t  ; CD     t ;   t ;  t  3 3 3 3       Ta sử   4 4    AD.BD  t    D   ;  ;   Có      AD CD   t   D  0;0;0  (loai ) 2   Ta có I  d  I    t ;   t ;   t  , tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I nên 3    1 1 IA  ID  t   I   ;  ;    S  1  3 3 Câu 24 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian Oxyz , cho A  0;0;4  , B  3;1;2  Một mặt cầu  S  qua A, B tiếp xúc với  P  :2 x  y  z   ,  P  C Biết rằng, C ln thuộc đường trịn cố định bán kính r Tính bán kính r đường trịn A Đáp án khác B r  244651 C r  244651 D r  2024 Lời giải Cách 1: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Ta có AB  3;1; 2  véc tơ phương đường thẳng AB  x  3t  Phương trình tham số đường thẳng AB  y  t  z   2t  Giả sử AB cắt  P  T  3t ; t ;4  2t  Do T   P  :2 x  y  z    t  7 Khi 7 26    14  14   10 20  10 14  T  7; ;  ; TA  7; ; ; TB  10; ;   TA    TB  3  3    3   Ta có TC  TA.TB  980 14  TC  Điểm C thuộc mặt phẳng  P  cách điểm T cố định khoảng Vậy C thuộc đường trịn cố định bán kính r  14 14 Cách 2: Ta có TA d  A,  P     ; AB  14 TB d  B,  P   10 Giả sử AB cắt  P  T Suy A nằm B T ( A, B phía so với  P  ) Khi ta có  14 TB  TA  14 TA   980 14    TC  TA.TB   TC    TA  TB TB  10 14  10  Câu 25 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình S 1;  1;6  A 1; 2;3 B  3;1;  C  4;2;3 D  2;3;4  , , , , Gọi I tâm mặt  S  ngoại tiếp hình chóp Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng  SAD  cầu chóp S.ABCD với A d  3 B d  C d  21 D d  Lời giải Chọn B    Ta có: AB   2;  1;  1 , AD  1;1;1 DC   2;  1;  1 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021     Ta thấy: AB AD  2.1  1.1  1.1  AB  DC nên tứ giác ABCD hình chữ nhật 5  Gọi M trung điểm AC Ta có: M  ; 2;3    Gọi d đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng  ABCD    Ta có:  AB , AD    0;  3;3  Vectơ phương đường thẳng d là: u   0;  1;1  x   Phương trình tham số đường thẳng d là:  y   t z   t      Ta có: SA   0;3;  3 Ta thấy SA phương với u nên suy SA   ABCD   9 Gọi N trung điểm SA , ta có: N  1; ;   2  5  I  d  I  ;  t ;3  t  Do I  x ; y ; z  tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD nên   2    NI  d    NI  u   3    3 5 9 Mà: NI   ;  t ;   t  Suy ra: NI u   t   t    t   I  ; ;   2 2 2 2   Ta có:  SA , AD    6;  3;      Một vectơ pháp tuyến  SAD  là: n   SA , AD    2;  1;  1 Phương trình tổng quát mặt phẳng  SAD  là:  x  1   y     z  3   x  y  z      2  Vậy d  I ,  SAD    11 Câu 26 Trong không gian Oxyz , xét số thực m   0;1 hai mặt phẳng    : x  y  z  10   : x y z    Biết rằng, m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với m 1 m hai mặt phẳng    ,    Tổng bán kính hai mặt cầu A B C Lời giải D 12 Chọn C Gọi I  a; b; c  tâm mặt cầu Theo giả thiết ta có R  d  I ,      d  I ,     a b   c 1 m 1 m Mà d  I ,      1  1 m 1  m  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có 1  1 1  1    1  2 2 m 1  m  m 1 m  m 1 m    1 1   1   1(do m   0;1  2 m 1 m m 1  m   m 1  m   Nên a 1  m   bm  cm 1  m   m 1  m  m 1  m  R 1 m 1  m  R a  am  bm  cm  cm  m  m m2  m   R  Rm  Rm  a  am  bm  cm  cm  m  m  2   R  Rm  Rm  a  am  bm  cm  cm  m  m  m  R  c  1  m  a  b  c  R  1  R  a  1   m  R  c  1  m  b  c  a  R  1  R  a    Xét (1) mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng    ,    với m   0;1 nên pt (1) nghiệm với m   0;1 R  c 1  a  R    a  b  c  R    b  R  I  R; R;1  R  R  a  c   R   Mà R  d  I ,      R  R  R  1  R   10 R   3R  12  R    R  6(l ) Xét (2) tương tự ta R  c 1  a   R    b  c  a  R    b   R  I   R;  R; R  1 R  a  c  R    Mà R  d  I ,      R  2 R  R  1  R   10 R   3R  12  R    R  3(l ) Vậy R1  R2  Câu 27 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   mặt cầu  S  tâm I  5; 3;5 , bán kính R  Từ điểm A thuộc mặt phẳng  P  kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  S  B Tính OA biết AB  A OA  11 B OA  C OA  Lời giải D OA  Chọn A Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là: d  I ;( P )    2.(3)  2.5  12  (2)  22 6 AB tiếp xúc với ( S ) B nên tam giác AIB vng B, ta có: IA  IB  AB  R  AB  2   42   d  I ; ( P )   A hình chiếu I lên (P) x   t    Đường thẳng IA qua I  5; 3;5 có VTCP u  n( P )  1; 2;  có phương trình  y  3  2t  z   2t  Có A  IA  ( P )   t  2(3  2t )  2(5  2t )    t  2  A(3;1;1)  OA  11 Câu 28 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  điểm M  x0 ; y0 ; z0  thuộc x  1 t  d :  y   2t Ba điểm A , B , C phân biệt thuộc mặt cầu cho MA , MB , MC tiếp  z   3t  tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng  ABC  qua D 1;1;  Tổng T  x02  y02  z02 A 30 B 26 D 21 C 20 Lời giải Chọn B Mặt cầu  S  có tâm O  0;0;0  bán kính R Gọi M 1  t0 ;1  2t0 ;  3t0   d Gỉa sử T  x; y; z    S  tiếp điểm tiếp tuyến MT với mặt cầu  S  Khi OT  MT  OM 2 2 2    x  1  t0     y  1  2t0     z    3t0    1  t0   1  2t0     3t0   1  t0  x  1  2t0     3t0  z   Suy phương trình mặt phẳng  ABC  có dạng 1  t0  x  1  2t0  y    3t0  z   Do D 1;1;    ABC  nên  t0   2t0    3t     t0  1  M  0; 1;5  Vậy T  02   1  52  26 Câu 29 (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A  0; 0;3  , B  2; 0;1 mặt phẳng   : x  y  z   Hỏi có điểm C mặt phẳng   cho tam giác ABC đều? A B C Lời giải D Vô số Gọi  P  mặt phẳng trung trực AB , phương trình  P  là: x  z       Ta có nP  1; 0;1 , n   2;  1;  nên  nP , n   1; 0; 1  Gọi d giao tuyến mặt phẳng  P  với mặt phẳng   Chọn u d  1; 0;  1 x  1 t  điểm M 1;10;   d nên phương trình tham số d là:  y  10  z  t  Do tam giác ABC nên CA  CB hay C thuộc mặt phẳng trung trực AB mà C    nên C   P      d suy tọa độ C có dạng C 1  t ;10; t  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do  ABC nên AC  AB , thay tọa độ điểm ta có: 1  t   2  10     t     2   2      1    t  4t  51  * Do phương trình * vơ nghiệm nên khơng tồn điểm C thỏa mãn yêu cầu toán Câu 30 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  x  1 t  điểm M  x0 ; y0 ; z0  thuộc đường thẳng d :  y   2t Ba điểm A, B , C phân biệt  z   3t  thuộc mặt cầu cho MA, MB, MC tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng  ABC  qua D 1; 1;  Tổng T  x02  y02  z02 A 30 B 26 C 20 Lời giải Mặt cầu  S1  : x  y  z  có tâm O  0; 0;  , bán kính R1  D 21 M  d  M 1  a ;  2a ;  3a  Do MA, MB, MC tiếp tuyến A, B , C với mặt cầu  S1  Suy MA2  MB  MC  OM  Khi A, B, C   S2  có tâm M , bán kính R2  OM  2 Ta có phương trình  S  :  x   a  1    y   2a  1    z    3a    OM    S  : x  y  z   a  1 x   2a  1 y    3a  z   Mặt khác theo giả thiết A, B , C thuộc mặt cầu  S1   x  y  z   Suy tọa độ A, B , C thỏa mãn hệ:  2  x  y  z   a  1 x   2a  1 y    3a  z   Do phương trình mặt phẳng  ABC  là:  a  1 x   2a  1 y    3a  z  18  D   ABC    a  1   2a  1    3a   18   a  1 Với a  1 , ta có M  ; 1;5 Khi T  x02  y02  z02  26 Câu 31 (Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu x y2 z   Hai mặt phẳng ( P ) , ( P ) 1 1 chứa d tiếp xúc với ( S ) T , T  Tìm tọa độ trung điểm H TT  2 ( S ) : x  y  z  x  z   đường thẳng d :  7 A H   ; ;   6 5 7 B H  ; ;   6 6 5 5 C H  ; ;   6 6 Lời giải  5 D H   ; ;   6 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mặt cầu ( S ) tâm I (1; 0; 1) , bán kính R  12  02  (1)2   Gọi K hình chiếu vng góc I lên d K  d nên ta giả sử K (t ;  t ;  t )   IK  (t  1;2  t; t  1) , ud  (1;1; 1) véctơ phương đường thẳng d   IK  d  IK ud   t    t  t 1   t   K (0; 2; 0) ITK vng T có TH đường cao nên IT  IH IK   IK   IH  IK Giả sử H ( x; y; z )  IH  6      x   (1) x    1    5    y     y  Vậy H  ; ;  6    5    z   z    Câu 32 Cho hai đường thẳng  x  2  d : y  t t   ,  z   2t  : x  y 1 z    1  P  : x  y  z   Gọi d  ,  hình chiếu d M  a; b; c  giao điểm hai đường thẳng d   Biểu thức A mặt phẳng  lên mặt phẳng  P  Gọi a  b.c B C D Lời giải Do d  hình chiếu d lên mặt phẳng  P  d  giao tuyến mặt phẳng  P  mặt phẳng   chứa d vng góc với mặt phẳng  P      vec tơ pháp tuyến mặt phẳng   n   ud , nP    3;2; 1  Phương trình mặt phẳng   qua A  2;0;  có vec tơ pháp tuyến n    3;2; 1 3x  y  z   Do  hình chiếu  lên mặt phẳng  P   giao tuyến mặt phẳng  P  mặt phẳng    chứa  vng góc với mặt phẳng  P      vec tơ pháp tuyến mặt phẳng    n    u , nP    0; 2; 2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Phương trình mặt phẳng    qua B  3;1;4  có vec tơ pháp tuyến n     0; 2; 2  y  z 5  x  y  z    x  1   Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 3x  y  z     y  y  z 5  z    Vậy M  1;2;3  a  b.c  1  2.3  Câu 33 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng   : x  my  z  2m      : mx  y  mz  m   Gọi  hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng  Oxy  Biết với số thực m thay đổi đường thẳng  ln tiếp xúc với đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn A B C D Lời giải Chọn A  Mặt phẳng   : x  my  z  2m   có vectơ pháp tuyến n1  1;  m;1  Mặt phẳng    : mx  y  mz  m   có vectơ pháp tuyến n2   m;1;  m  1   Ta có M  m  ;0;  m   1  d        m m      Đường thẳng d có vectơ phương u   n1 ; n2    m  1; 2m; m  1 Gọi  P  mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  Oxy  Khi  P  có     vectơ pháp tuyến n  u; k    2m;1  m ;0  (với k   0; 0;1 ) Phương trình mặt phẳng  P  2mx  1  m2  y  2m2   Trong mặt phẳng  Oxy  , gọi I  a; b;0  tâm đường tròn Theo giả thiết  tiếp tuyễn đường tròn  d  I ; d   d  I ;  P    R (cố định)  2ma  1  m2  b  2m2  4m2  1  m2  R0  2am    b  m  b  m2  R0  2a   a     2  b  R  b  2   2am    b  m  b   R  m  1  b   R   R         2am    b  m  b    R  m  1 2a  a      2  b   R  b      b    R   R  2  Vậy R  Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M  6; 0;  , N  0; 6;  , P  0; 0;  Hai mặt cầu có phương  S2  : x  y  z  x  y  z   trình  S1  : x2  y  z  2x  y   cắt theo đường trịn  C  Hỏi có mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C  tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM ? Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B A D C Vô số Lời giải Chọn C I M P H J K N Nếu điểm A  x; y; z  thuộc  C  2  x  y  z  x  y    3x  y  z   2  x  y  z  x  y  z   Suy phương trình mặt phẳng   chứa đường trịn  C  3x  y  z  Phương trình mặt phẳng  MNP  x  y  z   Gọi I tâm mặt cầu thỏa toán, H hình chiếu vng góc I mặt phẳng  MNP  , J , K , L hình chiếu vng góc H đường thẳng MN , NP , PM Ta có IJ  IK  IL  HJ  HK  HL Suy I thuộc đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp tam giác MNP vng góc với mặt phẳng  MNP  Hình chóp O MNP hình chóp nên đường thẳng qua tâm đường trịn nội tiếp tam giác MNP vng góc với mặt phẳng  MNP  đường thẳng d qua O vng góc với mặt phẳng  MNP  Phương trình đường thẳng d x  y  z Dễ thấy d    suy điểm thuộc d tâm mặt cầu thỏa tốn Vậy có vơ số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C  tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM Câu 35 Trong không gian cho mặt phẳng  P : x  z   hai mặt cầu S  : x  y  z  25 ,  S  : x  y  z  x  z   Biết tập hợp tâm I mặt cầu tiếp xúc với hai mặt cầu  S  ,  S  tâm I nằm  P  đường cong Tính diện tích hình phẳng giới hạn 2 2 đường cong A  B  9  Lời giải C D  Chọn B Mặt cầu  S1  có tâm O  0;0;0  bán kính R1  Mặt cầu  S  có tâm E  2;0;  bán kính R2  Ta có d  O,  P     R1 d  E,  P     R2 , OE  2 , OE  R2  R1 nên mặt cầu  S2  nằm mặt cầu  S1  Như mặt cầu  S  tâm I tiếp xúc với  S1   S2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  S  tiếp xúc mặt cầu  S1  tiếp xúc với  S  Gọi R bán kính  S  OI  R  R1 ta có hệ   OI  EI  R1  R2  OI  EI   EI  R  R2  Nhận xét: OE   2;0;2 nên OE vng góc với  P  : x  z   Gọi H hình chiếu vng góc O lên  P  , đặt IH  x , điều kiện x  Khi ta có OI  EI   OH  HI  EH  HI   18  x   x   x  Nên diện tích hình phẳng giới hạn Vậy điểm I thuộc đường trịn tâm H bán kính r  7 đường tròn là: S   r  Câu 36 Trong không 2 7 x gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt cầu:  Sm  : x  y  z   m   x  2my  2mz  m   Biết với số thực m  S m  ln chứa đường trịn cố định Tính bán kính r đường trịn A r  B r  C r  Lời giải D r  Chọn B 9m  8m  16  m2  ;  m ; m  bán kính R  Mặt cầu  S m  có tâm I   2   Với m1 , m2 tùy ý khác nhau, ta hai phương trình mặt cầu tương ứng: 2  x  y  z   m1   x  2m1 y  2m1 z  m1    2  x  y  z   m2   x  2m2 y  2m2 z  m2   1  2 Lấy 1 trừ   theo vế, ta được:  m1  m2  x   m1  m2  y   m1  m2  z   m1  m2     m1  m2   x  y  z  1   x  y  z    3 Dễ thấy  3 phương trình tổng quát mặt phẳng  Họ mặt cầu  S m  có giao tuyến đường trịn nằm mặt phẳng  P  trình: x  y  z   Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ cố định có phương TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Mặt khác, đặt d  d  I ,  P    m2   2m  2m  2    2  9m   9m  8m  16  9m   32  r  R d    m   Vậy r  36 2 Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt câu  S  : x  y  x  y  z  13  x 1 y  z 1   Điểm M  a; b; c  a   nằm đường thẳng d cho 1 từ M kẻ ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu  S  ( A, B, C tiếp điểm) thỏa mãn đường thẳng d :    90 , CMA   120 Tính Q  a  b  c AMB  60 , BMC A Q  B Q  10 C Q  D Q  Lời giải Chọn C A H I M C Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 3 bán kính R  12  22   3  13  3 Gọi đường tròn  C  giao tuyến mặt phẳng  ABC  với mặt câu  S  Đặt MA  MB  MC  x  x   Áp dụng định lý cosin AMB CMA , ta có: AB  MA2  MB  MA.MB.cos  AMB  x  x cos 60  x  AB  x AC  MA2  MC  2MA.MC.cos  AMC  x2  2x2 cos120  3x2  AC  x Vì BMC vuông M nên: BC  MB  MC  x  Mặt khác AB  BC  x  x    3x  x   AC nên ABC vuông B Gọi H trung điểm AC H tâm đường tròn  C  ba điểm H , I , M thẳng hàng   120 nên  Do AMC AIC  60 , suy AIC AC  IA  IC  R  3 Suy x  3  x  IA  IM cos 30  IM  2 IA 2.3  6 3 2 Điểm M  d nên M  t  1; t  2; t  1  IM   t  2   t     t    3t  4t  36 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 t   M  1; 2;1  Mà IM  36  3t  4t  36  36  3t  4t    1 7 t   M  ; ;   3 3 2 1 7 Vì xM  nên điểm cần tìm M  ;  ;  , suy Q  3 3 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... 2021  Đường thẳng d1 có vectơ phương u1  (2;1;0)  Đường thẳng d có vectơ phương u2  (1;1;0) Để phương trình mặt cầu  S  có bán kính nhỏ đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng d1... Gọi d đường thẳng qua M vuông góc với mặt phẳng  ABCD    Ta có:  AB , AD    0;  3;3  Vectơ phương đường thẳng d là: u   0;  1;1  x   Phương trình tham số đường thẳng. .. O MNP hình chóp nên đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP vng góc với mặt phẳng  MNP  đường thẳng d qua O vng góc với mặt phẳng  MNP  Phương trình đường thẳng d x  y  z