Đang tải... (xem toàn văn)
ðịnh nghĩa.. Số các tổ hợp chập k của n phần tử ñược ký hiệu là C. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách. Chọn ra 3 người sao cho trong ñó có ít nhất 1 n[r]
(1)1
HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
A TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Gv: Phan Cơng Trứ - Trường THPT Thanh Bình – ðồng Tháp 1 Hoán vị
ðịnh nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n≥0) Mỗi cách xếp n phần tử X theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử ñược ký hiệu Pn
! 1.2 n
P = =n n Quy ước: 0! =
Ví dụ Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách Giải
Mỗi cách ñổi chỗ người băng ghế hốn vị Vậy có P5 = 5! = 120 cách
Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác Giải
Gọi A=a a a a a1 2 3 4 5 với a1 ≠0 a1, , , , a2 a3 a4 a phân biệt số cần lập 5 + Bước 1: chữ số a1 ≠0 nên có cách chọn a1
+ Bước 2: chữ số cịn lại vào vị trí có 4! = 24 cách Vậy có 4.24 = 96 số
2 Chỉnh hợp ðịnh nghĩa
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n≥0) Mỗi cách chọn k (0≤ ≤k n) phần tử X xếp theo thứ tự ñó ñược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử ñược ký hiệu A nk
! ( )! k
n
n A
n k =
−
Nhận xét:
! n
n n
A = =n P
Ví dụ Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách Giải
Mỗi cách chọn chỗ ngồi từ băng ghế ñể người vào có hốn vị chỉnh hợp chập
Vậy có 75 7! 2520 (7 5)!
A = =
− cách
Ví dụ Từ tập hợp X ={0; 1; 2; 3; 4; 5} lập số tự nhiên có chữ số khác Giải
Gọi A=a a a a1 2 3 4 với a1 ≠0 a a1, , , 2 a3 a phân biệt số cần lập 4 + Bước 1: chữ số a1 ≠0 nên có cách chọn a1
+ Bước 2: chọn chữ số cịn lại để vào vị trí A cách 53 Vậy có
5
5A =300 số 3 Tổ hợp
(2)2
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n≥0) Mỗi cách chọn k (0≤ ≤k n) phần tử X ñược gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử ñược ký hiệu C nk
! !( )! k
n
n C
k n k =
−
Ví dụ Có 10 sách tốn khác Chọn cuốn, hỏi có cách Giải
Mỗi cách chọn 10 sách tổ hợp chập 10 Vậy có C104 =210 cách chọn
Ví dụ Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có bao nhiêu cách
Giải + Trường hợp 1: chọn nữ nam
- Bước 1: chọn nữ có cách - Bước 2: chọn nam có C 52 Suy có 3C cách chọn 52
+ Trường hợp 2: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C cách 32 - Bước 2: chọn nam có Suy có 5C cách chọn 32
+ Trường hợp 3: chọn nữ có cách
Vậy có 3C52+5C32+ =1 46 cách chọn
Ví dụ Hỏi lập số tự nhiên có chữ số cho số đó, chữ số hàng ngàn lớn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hàng chục chữ số hàng chục lớn hàng ñơn vị
Giải Gọi A=a a a a1 2 3 4 với 9≥ >a1 a2 >a3 >a4 ≥0 số cần lập X ={0; 1; 2; .; 8; 9}
Từ 10 phần tử X ta chọn phần tử lập số A Nghĩa khơng có hốn vị tổ hợp chập 10
Vậy có C104 =210 số
Nhận xét:
i) ðiều kiện ñể xảy hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp n phần tử phải phân biệt
ii) Chỉnh hợp tổ hợp khác chỗ sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có thứ tự cịn tổ hợp khơng
4 Phương pháp giải toán
4.1 Phương pháp
Bước 1. ðọc kỹ yêu cầu số liệu đề Phân tốn trường hợp, trường hợp lại phân thành giai ñoạn
Bước 2. Tùy giai ñoạn cụ thể giả thiết tốn để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp
Bước 3. đáp án tổng kết trường hợp
(3)3
thành tổ cơng tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam có nữ Hỏi có cách lập tổ công tác
Giải + Trường hợp 1: chọn nữ nam
- Bước 1: chọn nữ có cách
- Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A cách 152 - Bước 3: chọn 13 nam cịn lại có C cách 132
Suy có 5A C cách chọn cho trường hợp 152 132 + Trường hợp 2: chọn nữ nam
- Bước 1: chọn nữ có
C cách
- Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A cách 152 - Bước 3: chọn 13 nam cịn lại có 13 cách
Suy có 13A C cách chọn cho trường hợp 152 52 + Trường hợp 3: chọn nữ nam
- Bước 1: chọn nữ có C cách 53
- Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A cách 152 Suy có A C cách chọn cho trường hợp 152 53
Vậy có 5A C152 132 +13A C152 52+ A C152 53 =111300 cách Cách khác:
+ Bước 1: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A cách 152 + Bước 2: chọn tổ viên, có nữ
- Trường hợp 1: chọn nữ nam có 5.C cách 132 - Trường hợp 2: chọn nữ nam có 13.C cách 52 - Trường hợp 3: chọn nữ có C cách 53
Vậy có A152 (5.C132 +13.C52+C53)=111300 cách 4.2 Phương pháp
ðối với nhiều toán, phương pháp dài Do ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán A∪A= X ⇒ A= X \A
Bước 1. Chia yêu cầu ñề thành phần yêu cầu chung X (tổng quát) gọi loại yêu cầu riêng A Xét A phủ định A, nghĩa khơng thỏa u cầu riêng gọi loại
Bước 2. Tính số cách chọn loại loại
Bước 3. đáp án số cách chọn loại trừ số cách chọn loại
Chú ý:
Cách phân loại loại có tính tương ñối, phụ thuộc vào chủ quan người giải Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác
Giải + Loại 1: chữ số a1 tùy ý, ta có 5! = 120 số
+ Loại 2: chữ số a1 = 0, ta có 4! = 24 số Vậy có 120 – 24 = 96 số
Ví dụ 10 Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có bao nhiêu cách
(4)4 + Loại 1: chọn người tùy ý 13 người có C cách 133 + Loại 2: chọn nam (khơng có nữ) nam có C cách 73 Vậy có 3
13 251
C −C = cách chọn
Ví dụ 11 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn 10 câu ñể làm ñề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập ñề kiểm tra
Giải + Loại 1: chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C cách 2010
+ Loại 2: chọn 10 câu có khơng q loại dễ, trung bình khó - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ trung bình 16 câu có C cách 1610 - Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ khó 13 câu có C cách 1310
- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình khó 11 câu có C cách 1110 Vậy có C1020−(C1610+C1310+C1110)=176451 đề kiểm tra
Chú ý:
Giải phương pháp phần bù có ưu điểm ngắn nhiên nhược điểm thường sai sót tính số lượng loại
Ví dụ 12 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra
Cách giải sai:
+ Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C cách 207 + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu
- Trường hợp 1: chọn câu dễ câu có C cách 97 - Trường hợp 2: chọn câu trung bình có cách
- Trường hợp 3: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C cách 167 - Trường hợp 4: chọn câu dễ khó 13 câu có C cách 137
- Trường hợp 5: chọn câu trung bình khó 11 câu có C cách 117 Vậy có ( 7 7)
20 16 13 11 63997
C − +C +C +C +C = ñề kiểm tra!
Sai sót cách tính số đề loại Chẳng hạn, tính số đề trường hợp ta tính lặp lại trường hợp trường hợp
Cách giải sai khác:
+ Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C cách 207 + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu
- Trường hợp 1: chọn câu dễ trung bình 16 câu có 16
C cách - Trường hợp 2: chọn câu dễ khó 13 câu có
13
C cách - Trường hợp 3: chọn câu trung bình khó 11 câu có
11
C cách Vậy có C207 −(C167 +C137 +C117)=64034 đề kiểm tra
Sai sót ta tính lặp lại số cách chọn ñề có câu dễ ñề có câu trung bình trường hợp trường hợp
Cách giải ñúng:
+ Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có 20
(5)5 + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu
- Trường hợp 1: chọn câu dễ trung bình 16 câu có 16
C cách - Trường hợp 2: chọn câu dễ khó 13 câu có C137 −C97 cách - Trường hợp 3: chọn câu trung bình khó 11 câu có C117 −1 cách Vậy có C207 −(C167 +C137 −C97+C117 − =1) 64071 đề kiểm tra
Ví dụ 13 Hội đồng quản trị cơng ty gồm 12 người, có nữ Từ hội đồng quản trị người ta bầu chủ tịch hội đồng quản trị, phó chủ tịch hội đồng quản trị ủy viên Hỏi có cách bầu cho người bầu phải có nữ
Giải + Loại 1: bầu người tùy ý (không phân biệt nam, nữ) - Bước 1: bầu chủ tịch phó chủ tịch có
12
A cách - Bước 2: bầu ủy viên có C cách 102
Suy có A C cách bầu loại 122 102 + Loại 2: bầu người toàn nam
- Bước 1: bầu chủ tịch phó chủ tịch có A cách 72 - Bước 2: bầu ủy viên có C cách 52
Suy có A C cách bầu loại 72 52 Vậy có A C122 102 −A C72 52 =5520 cách 5 Hoán vị lặp (tham khảo)
Cho tập hợp X có n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khác lại giống nhau, …, nk phần tử khác lại giống (n1+ + +n2 nk =n) Mỗi cách n phần tử vào n vị trí hoán vị lặp, số hoán vị lặp
1
! ! ! !k
n n n n
Ví dụ 14 Từ chữ số 1, 2, lập ñược số tự nhiên có chữ số 1, chữ số chữ số
Giải
Xem số cần lập có 10 chữ số gồm chữ số giống nhau, chữ số giống chữ số giống
Vậy có 10! 2520 5!2!3!= số
Cách giải thường dùng:
+ Bước 1: chọn 10 vị trí để chữ số có 10
C cách + Bước 2: chọn vị trí cịn lại để chữ số có C cách 52 + Bước 3: chữ số vào vị trí cịn lại có cách
Vậy có C C105 52.1=2520 số
B BÀI TẬP
Bài Cần xếp nam nữ vào hàng ghế có chỗ ngồi cho nam ngồi kề nữ ngồi kề Hỏi có cách
(6)6
Bài Tính số số tự nhiên đơi khác có chữ số tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, cho chữ số ñứng cạnh
Bài Tính số số tự nhiên có chữ số đơi khác thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, cho số có mặt chữ số
Bài Hai nhóm người cần mua nhà, nhóm thứ có người họ muốn mua kề nhau, nhóm thứ hai có người họ muốn mua kề Họ tìm lơ đất chia thành ñang rao bán (các chưa có người mua) Tính số cách chọn người thỏa yêu cầu
Bài Từ chữ số 0, 1, 2, lập thành số tự nhiên có chữ số phân biệt Tính tổng số ñược thành lập
Bài Tính số hình chữ nhật tạo thành từ 20 đỉnh đa giác có 20 cạnh nội tiếp đường trịn tâm O
Bài Cho đa giác có 2n cạnh nội tiếp đường trịn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n ñỉnh ña giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh đa giác Tính số hình chữ nhật
Bài ðội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có em khối 12, em khối 11 em khối 10 Tính số cách chọn em ñội ñi dự trại hè cho khối có em chọn Bài 10 Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác Tính số tập hợp khác rỗng chứa số chẵn phần tử X
Bài 11 Một hộp ñựng 15 viên bi khác gồm bi ñỏ, bi trắng bi vàng Tính số cách chọn viên bi từ hộp cho khơng có đủ màu
Bài 12 Giải vơ địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vịng trịn lượt, biết trận đấu: đội thắng điểm, hịa điểm, thua điểm có 23 trận hịa Tính số điểm trung bình trận tồn giải
Bài 13 Tính số số tự nhiên gồm chữ số ñược chọn từ 1, 2, 3, 4, cho chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng lần
Bài 14 Tính số số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chữ số ñầu tiên ñược thành lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
Bài 15 Từ nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B học sinh khối C chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A có học sinh khối C Tính số cách chọn
Bài 16 Từ nhóm 12 học sinh gồm học sinh khối A, học sinh khối B học sinh khối C chọn học sinh cho khối có học sinh Tính số cách chọn
Bài 17 Tính số tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa mà không chứa
(7)7 thuộc không lớp
Bài 19 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập thành số tự nhiên chẵn có chữ số phân biệt nhỏ 25000 Tính số số lập
Bài 20 Tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập hợp chứa phần tử A 20 lần số tập hợp chứa phần tử A, tìm số k∈{1; 2; .; n} cho số tập hợp chứa k phần tử A lớn
C HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài Xét loại ghế gồm ghế có chỗ, ghế có chỗ ghế có chỗ ngồi
+ Bước 1: ghế có chỗ khơng phân biệt nên chọn vị trí để ghế chỗ ngồi có
2
4 12
A = cách
+ Bước 2: nam vào ghế chỗ có 3! = cách + Bước 3: nữ vào ghế chỗ có 2! = cách Vậy có 12.6.2 = 144 cách
Bài Chọn n ñỉnh ña giác ta lập ñược cạnh ñường chéo Số cạnh ñường chéo
n
C Suy số ñường chéo
n C −n
Ta có: 2 !
2!( 2)! n
n
C n n n n
n
− = ⇔ − =
−
⇔n n( − =1) 6n⇔ =n Vậy có cạnh
Bài Xét số có chữ số gồm 0, 1, 2, chữ số “kép” (3, 4) + Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn
- Bước 1: chữ số vào vị trí có 5! = 120 cách
- Bước 2: với cách chữ số kép có hốn vị chữ số Suy có 120.2 = 240 số
+ Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn
- Bước 1: chữ số vào vị trí cịn lại có 4! = 24 cách
- Bước 2: với cách chữ số kép có hốn vị chữ số Suy có 24.2 = 48 số
Vậy có 240 – 48 = 192 số Bài
+ Loại 1: chữ số a1
Sắp chữ số vào vị trí có A64 =360 cách Sắp chữ số 0, 3, 4, vào vị trí có 4! = 24 cách Suy có 360 – 24 = 336 số
+ Loại 2: chữ số a1 (vị trí a1 có chữ số 0)
Sắp chữ số vào vị trí có A53 =60 cách Sắp chữ số 3, 4, vào vị trí có 3! = cách Suy có 60 – = 54 số
Vậy có 336 – 54 = 282 số Cách khác:
+ Loại 1: Số tự nhiên có chữ số tùy ý
- Bước 1: Chọn chữ số khác vào a1 có cách
- Bước 2: Chọn chữ số khác a1 vào vị trí cịn lại có A53 =60 cách Suy có 5.60 = 300 số
(8)8
- Bước 1: Chọn chữ số khác vào a1 có cách - Bước 2: Sắp chữ số cịn lại vào vị trí 3! = cách Suy có 3.6 = 18 số
Vậy có 300 – 18 = 282 số
Bài Xem lơ đất có vị trí gồm vị trí nền, vị trí vị trí
+ Bước 1: nhóm thứ chọn vị trí cho có cách cách có 2! = cách chọn cho người Suy có 4.2 = cách chọn
+ Bước 2: nhóm thứ hai chọn vị trí cịn lại cho có cách cách có 3! = cách chọn cho người Suy có 3.6 = 18 cách chọn
Vậy có 8.18 = 144 cách chọn cho người Bài
+ Xét số A có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm Từ
4 24
A = số A ta lập 12 cặp số có tổng 333 Ví dụ 012 + 321 = 333 Suy tổng số A 12.333 = 3996
+ Xét số B có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm
Từ A32 =6 số B ta lập ñược cặp số có tổng 44 Ví dụ 032 + 012 = 44 Suy tổng số B 3.44 = 132
Vậy tổng số thỏa yêu cầu 3996 – 132 = 3864 Cách khác:
+ Xét số A có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm - Số số A
4 24
A = số Số lần chữ số có mặt hàng trăm, hàng chục ñơn vị 24 : = lần
- Tổng chữ số hàng trăm (hàng chục, ñơn vị) 24 số là: 6.(0 + + + 3) = 36 Suy tổng số A 36.(100 + 10 + 1) = 3996
+ Xét số B có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm - Số số B
3
A = số Số lần chữ số 1, 2, có mặt hàng chục ñơn vị : = lần
- Tổng chữ số hàng chục (ñơn vị) số 2.(1 + + 3) = 12 Suy tổng số B 12.(10 + 1) = 132
Vậy tổng số thỏa yêu cầu 3996 – 132 = 3864
Bài Nhận thấy hình chữ nhật tạo thành có đường chéo đường kính đường trịn Vẽ đường thẳng d qua tâm O khơng qua đỉnh đa giác ñều d chia ña giác thành phần, phần có 10 đỉnh Suy số đường chéo ña giác ñi qua tâm O 10 Chọn 10 đường chéo lập hình chữ nhật
Vậy có C102 =45 hình chữ nhật
Bài + Lý luận tương tự câu 65 ta có C hình chữ nhật n2 + Số tam giác tạo thành từ 2n ñỉnh ña giác C 2 n3 + Từ giả thiết ta có:
( ) ( )
3
2
(2 )! !
20 20
3! ! 2! !
n n
n n
C C
n n
= ⇔ =
− −
(2 1)(2 2) 20 ( 1)
6
n n n n n
n
− − −
⇔ = ⇔ =
Vậy có C82 =28 hình chữ nhật Bài
Cách giải sai:
+ Chọn tùy ý em đội có
18 18564
C = cách
(9)9
+ Chọn em đội thuộc khối 12 khối 10 có C126 =924 cách + Chọn em ñội thuộc khối 11 khối 10 có C116 =462 cách Vậy có 18564 – 1716 – 924 – 462 = 15462 cách chọn!
Sai chỗ lớp 12 lớp 11 ta tính lặp lại Cách giải đúng:
+ Chọn tùy ý em đội có C186 =18564 cách
+ Chọn em ñội thuộc khối 12 khối 11 có C136 =1716 cách + Chọn em ñội thuộc khối 12 khối 10 có C126 −C76 =917 cách + Chọn em đội thuộc khối 11 khối 10 có C116 −C66 =461 cách Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách chọn
Bài 10
+ Số tập hợp chứa phần tử X C102 =45 + Số tập hợp chứa phần tử X C104 =210 + Số tập hợp chứa phần tử X C106 =210 + Số tập hợp chứa phần tử X C108 =45 + Số tập hợp chứa 10 phần tử X Vậy có 45 + 210 + 210 + 45 + = 511 tập hợp Bài 11
+ Trường hợp 1: chọn bi ñỏ trắng có
9 126
C = cách
+ Trường hợp 2: chọn bi ñỏ vàng bi vàng có C104 −C44 =209 cách + Trường hợp 3: chọn bi trắng vàng có ( 4)
11 310
C − C +C = cách Vậy có 126 + 209 + 310 = 645 cách
Cách khác:
+ Loại 1: chọn tùy ý 15 viên bi có C154 =1365 cách + Loại 2: chọn ñủ màu có 720 cách gồm trường hợp sau: - Chọn bi ñỏ, bi trắng bi vàng có 180 cách
- Chọn bi ñỏ, bi trắng bi vàng có 240 cách - Chọn bi đỏ, bi trắng bi vàng có 300 cách Vậy có 1365 – 720 = 645 cách
Bài 12 + Do thi đấu vịng trịn lượt nên đội ñấu với ñúng trận Số trận ñấu giải C142 =91
+ Tổng số điểm đội trận hịa nên tổng số điểm 23 trận hịa 2.23 = 46
+ Tổng số ñiểm đội trận khơng hịa nên tổng số điểm 68 trận khơng hịa 3.68 = 204
Vậy số điểm trung bình trận 46 204 250
91 91
+ =
điểm Bài 13 Xem số có chữ số vị trí thẳng hàng
+ Bước 1: chọn vị trí để chữ số (khơng hốn vị) có C72 =21 cách
+ Bước 2: chọn vị trí cịn lại để chữ số (khơng hốn vị) có C53 =10 cách + Bước 3: chọn chữ số 1, 4, ñể vào vị trí cịn lại (có hốn vị) có A32 =6 cách Vậy có 21.10.6 = 1260 số
Bài 14
+ Loại 1: chữ số a1
(10)10
- Bước 2: chọn chữ số (trừ chữ số 1) để vào vị trí cịn lại có A74 =840 cách Suy có 3.840 = 2520 số
+ Loại 2: chữ số a1
- Bước 1: chọn vị trí thứ để chữ số có cách
- Bước 2: chọn chữ số (trừ 1) ñể vào vị trí cịn lại có
6 120
A = cách Suy có 2.120 = 240 số
Vậy có 2520 – 240 = 2280 số Bài 15
+ Loại 1: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh khối B khối A có C C cách 52 1325 + Loại 2: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh khối B khối A không thỏa yêu cầu
- Trường hợp 1: Chọn học sinh khối C, 10 học sinh khối B học sinh khối A có C C C cách 52 1010 153 - Trường hợp 2: Chọn học sinh khối C, học sinh khối B học sinh khối A có C C C cách 52 109 154 Vậy có 2( 13 10 )
5 25 10 15 10 15 51861950
C C −C C −C C = cách Bài 16
+ Trường hợp 1: khối có học sinh khối cịn lại khối có học sinh - Bước 1: chọn khối có học sinh có cách
- Bước 2: khối ñã chọn ta chọn học sinh có C43 =4 cách - Bước 3: khối cịn lại khối có cách chọn
Suy có 3.4.4.4 = 192 cách
+ Trường hợp 2: khối có học sinh khối cịn lại có học sinh - Bước 1: chọn khối có học sinh có C32 =3 cách
- Bước 2: khối ñã chọn ta chọn học sinh có C42 =6 cách - Bước 3: khối cịn lại có cách chọn
Suy có 3.6.6.4 = 432 cách Vậy có 192 + 432 = 624 cách Cách khác:
+ Chọn học sinh tùy ý có C125 =792 cách
+ Chọn học sinh khối A B (tương tự khối A C, B C) có C85 =56 cách Vậy có 792 – 3.56 = 624 cách
Bài 17
+ Số tập hợp không chứa phần tử X \ 0; 1{ } C 50 + Số tập hợp chứa phần tử X \ 0; 1{ } C 51
+ Số tập hợp chứa phần tử X \ 0; 1{ } C 52 + Số tập hợp chứa phần tử X \ 0; 1{ } C 53 + Số tập hợp chứa phần tử X \ 0; 1{ } C 54 + Số tập hợp chứa phần tử X \ 0; 1{ } C 55
Suy số tập hợp X \ 0; 1{ } C50+C15+C52+C53+C54 +C55 =32 Ta hợp tập hợp với {1} 32 tập hợp thỏa tốn
Bài 18 Cách giải sai:
(11)11 Vậy có C94 +C84+C74 =231 cách!
Sai ta tính lặp lại trường hợp chọn học sinh lớp A trường hợp chọn học sinh lớp B Cách giải sai khác:
+ Loại 1: chọn tùy ý 12 học sinh có
12 495
C = cách + Loại 2: chọn học sinh có mặt lớp
- Bước 1: chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có: 5.4.3 = 60 cách
- Bước 2: chọn học sinh học sinh cịn lại lớp có cách Suy có 9.60 = 540 cách chọn loại (lớn số cách chọn loại 1!)
Sai thực bước bước 2, vơ tình ta ñã tạo thứ tự cách chọn Có nghĩa từ tổ hợp chuyển sang chỉnh hợp!
Cách giải ñúng:
+ Loại 1: chọn tùy ý 12 học sinh có C124 =495 cách + Loại 2: chọn học sinh có mặt lớp, ta có trường hợp sau:
- Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có C52.4.3 120= cách - Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có 5.C42.3=90 cách - Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có 5.4.C32 =60 cách Vậy có 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cách
Bài 19 Gọi số cần lập A=a a a a a1 2 3 4 5 với 1≤ ≤a1 + Trường hợp 1: a1 =
Có cách chọn a5 A cách chọn chữ số cịn lại nên có 53 4.A53 =240 số + Trường hợp 2: a1 = 2, a2 lẻ
Có cách chọn a2, cách chọn a5 A cách chọn chữ số cịn lại nên có 42 2.3.A42 =72 số + Trường hợp 3: a1 = 2, a2 chẵn
Có cách chọn a2, cách chọn a5
A cách chọn chữ số lại nên có
2.2.A =48 số Vậy có 240 + 72 + 48 = 360 số
Bài 20 Số tập hợp chứa k phần tử A C Ta có: nk
( ) ( )
4 ! !
20 20
4! ! 2! !
n n n n C C n n = ⇔ = − −
⇔ −(n 2)(n− =3) 240⇔ =n 18
( ) ( ) ( ) ( ) 18 18 18 18 18! 18!
! 18 ! ( 1)! 19 !
18! 18!
! 18 ! ( 1)! 17 !
k k
k k
k k k k
C C
C C
k k k k
− + ≥ − − − ≥ ⇒ ⇔ ≥ ≥ − + −
19 17 19
1 18 2
k k k k k − ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤ + ≥ −