Chuyên đề hoán vị chỉnh hợp tổ hợp nguyễn hữu biển

KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN BÀI HỌC 1: HAI QUY TẮC ĐẾM I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc cộng Giả sử công việc thực theo phương án A HOẶC phương án B Trong đó: Phương án A có m cách thực Phương án B có n cách thực Vậy số cách để thực công việc m + n (cách) VD1: Trong thi, Ban tổ chức công bố danh sách đề tài : đề tài thiên nhiên; đề tài lịch sử; 10 đề tài người; đề tài văn hóa Hỏi có cách chọn đề tài ? (ĐS: có + + 10 + = 31 cách chọn) VD2: An cần mua áo sơ mi cỡ 39 40 Trong cỡ 39 có màu khác nhau, cỡ 40 có màu khác Hỏi An muốn mua áo sơ mi có cách chọn ? (ĐS: An có cách chọn) VD3: Tại trường học, có 41 học sinh giỏi văn; 22 học sinh giỏi toán Nhà trường muốn cử học sinh giỏi dự trại hè toàn quốc Vậy nhà trường có cách chọn ? (ĐS: Có 41 + 22 = 63 cách chọn) Quy tắc nhân Giả sử môt công việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A có n cách thực công đoạn B có m cách thực công việc thực (n m) cách VD1: Bạn An qua nhà Bình, rủ Bình qua nhà Cường chơi Biết từ nhà An đến nhà Bình có đường khác Từ nhà Bình qua nhà Cường có đường khác Hỏi bạn An muốn tới nhà Cường có cách chọn đường (ĐS: Có 3.4 = 12 cách) VD2: Để làm nhãn cho ghế, người ta quy ước nhãn gồm phần: Phần thứ chữ có 24 chữ cái, phần thứ số nguyên dương nhỏ 26 Hỏi có ghế dán nhãn khác ? (ĐS: Có 24.25 = 600 ghế dán nhãn khác nhau) I BÀI TẬP ÁP DỤNG Phương pháp giải toán : + Xác định xem công việc thực theo phương án hay công đoạn (phân biệt phương án công đoạn) + Tìm số cách thực A B + Áp dụng qui tắc cộng hay nhân Bài 1: An đến văn phòng phẩm mua quà tặng bạn Trong cửa hàng có mặt hàng: Bút, vở, thước Bút có loại, có loại, thước có loại Hỏi An có cách chọn quà gồm bút, thước ? Hướng dẫn: + Có cách chọn bút, ứng với cách chọn bút có cách chọn Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Ứng với cách chọn bút, có cách chọn thước Vậy có: 5.4.3 = 60 cách chọn Bài 2: Từ số tự nhiên, lập tờ vé số mà vé số có chữ số khác ? Hướng dẫn: + số tờ vé số có dạng: a1a2a 3a4a5a6 ; a i ∈ {0;1;2; ;10} ;i = 1;6 a1 có 10 cách chọn (được chọn chữ số đứng đầu) a có cách chọn (do không chọn lại chữ số chọn trước đó) a có cách chọn (do không chọn lại chữ số chọn trước đó) … … a có cách chọn Vậy tất có: 10.9.8.7.6.5 = 151.200 tờ vé số Bài 3: Trong trường THPT, khối 11 có : 160 học sinh tham gia câu lạc toán, 140 học sinh tham gia câu lạc tin, 50 học sinh tham gia câu lạc Hỏi khối 11 có học sinh ? Hướng dẫn: Học sinh khối 12 160 + 140 − 50 = 250 học sinh (Quy tắc cộng mở rộng) Bài 4: Một lớp có 40 học sinh, đăng ký chơi hai môn thể thao bóng đá cầu lông Có 30 học sinh đăng ký bóng đá, 25 học sinh đăng ký cầu lông Hỏi có học sinh đăng ký môn thể thao ? Hướng dẫn: + Goi x số học sinh đăng ký môn thể thao, ta có: 40 = 30 + 25 − x ⇒ x = 15 Vậy có 15 học sinh đăng ký môn thể thao Bài 5: Có kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây ? Hướng dẫn: Có 3.4 = 12 (cách) Bài 6: Một người vào cửa hàng ăn, người muốn chọn thực đơn gồm ăn 10 món, loại hoa tráng miệng loại hoa loại nước uống loại nước uống Hỏi có cách chọn thực đơn cho bữa ăn ? Hướng dẫn: + Món ăn có: 10 cách chọn + Ứng với cách chọn ăn, loại hoa chọn từ loại nên có cách chọn Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Ứng với cách chọn ăn loại hoa loại nước uống chọn nên có cách chọn Vậy theo quy tắc nhân ta có: 10.5.4 = 200 cách chọn Bài 7: Trong đội văn nghệ có bạn nam bạn nữ Hỏi có cách chọn đôi song ca nam nữ ? Hướng dẫn: + Chọn nam: có cách chọn + Ứng với cách chọn nam, có cách chọn Vậy tất có 6.8 = 48 cách chọn đôi song ca Bài 8: Từ chữ số 1; 5; 6; lập số tự nhiên : a) Có chữ số ? b) Có chữ số khác ? Hướng dẫn: a) Số cần tìm có dạng: a1a2a3a4 ; ∈ {1;5;6;7} b) Số cần tìm có dạng: a1a2a3a4 ; ∈ {1;5;6;7} + a1 có cách chọn + a1 có cách chọn + a có cách chọn (Do chữ số giống + a có cách chọn (Do chữ số chọn không lặp lại) chọn lại) + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 4.4.4.4 = 256 số có chữ số Vậy có 4.3.2.1 = 24 số có chữ số khác Bài 9: Có số tự nhiên có chữ số đo chữ số cách chữ số đứng giống ? Hướng dẫn: + Gọi số cần tìm có dạng a1a 2a 3a4a5 ; = 0;9 ; a1 = a ;a = a + a1 có cách chọn (do không chọn chữ số 0) + a có 10 cách chọn + a có 10 cách chọn + a = a nên có cách chọn + a = a1 nên có cách chọn Vậy tất có: 9.10.10.1.1 = 900 số thỏa mãn yêu cầu Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 10: Có số tự nhiên có tính chất: a) Là số chẵn có chữ số b) Là số chẵn có chữ số khác c) Là số lẻ có chữ số d) Là số lẻ có chữ số khác Hướng dẫn: a) Số cần tìm có dạng a1a ;ai = 0;9 c) Số cần tìm có dạng a1a ;ai = 0;9 + a1 có cách chọn (Do không chọn chữ số 0) + a1 có cách chọn (Do không chọn chữ số 0) + a ∈ {0;2;4;6;8} số chẵn nên có cách chọn + a ∈ {1;3;5;7;9} số chẵn nên có cách chọn Vậy tất có 9.5 = 45 số chẵn có chữ số Vậy tất có 9.5 = 45 số lẻ có chữ số b) Ta tìm số chẵn có chữ số giống d) Ta tìm số lẻ có chữ số giống a1a ;a i ∈ { 2;4;6;8} a1a ;a i ∈ {1;3;5;7;9} + a1 có cách chọn + a1 có cách chọn + a = a1 có cách chọn + a = a1 có cách chọn Vậy có 4.1 = chữ số chẵn có chữ số giống Vậy có 5.1 = chữ số lẻ có chữ số giống + Kết hợp phần a ⇒ có 45 - = 41 số chẵn có chữ + Kết hợp phần c ⇒ có 45 - = 40 số lẻ có chữ số số khác khác Bài 11: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên bé 100 ? Hướng dẫn: Số tự nhiên cần tìm tối đa có chữ số * Bước 1: Tìm số tự nhiên có chữ số: Có số * Bước 2: Tìm số tự nhiên có chữ số Số cần tìm có dạng a1a ;ai = 1;6 + a1 có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 6.6 = 36 số tự nhiên có chữ số Kết luận: Có + 36 = 42 số tự nhiên lập từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; nhỏ 100 Bài 12: Có số nguyên dương gồm không chữ số khác ? Hướng dẫn: * Bước 1: Tìm số nguyên dương có chữ số: Có số * Bước 2: Tìm số nguyên dương có chữ số khác Số cần tìm có dạng a1a ;ai = 0;9 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + a1 có cách chọn (do không chọn chữ số 0) + a có 10 - = cách chọn Vậy có 9.9 = 81 số nguyên dương có chữ số khác * Bước 3: Tìm số nguyên dương có chữ số khác Số cần tìm có dạng a1a 2a ;ai = 0;9 + a1 có cách chọn (do không chọn chữ số 0) + a có 10 - = cách chọn + a có cách chọn Vậy có 9.9.8 = 648 số nguyên dương có chữ số khác Kết luận: Vậy có + 81 + 648 = 738 số nguyên dương gồm không chữ số khác Bài 13: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm chọn học sinh để trực thư viên Có cách chọn : a) Chọn học sinh, có học sinh nữ chọn b) Trong học sinh chọn có học sinh nữ chọn Hướng dẫn: a) + Để chọn học sinh nữ học sinh nữ có: cách + Để chọn học sinh có: cách (chỉ chọn số học sinh nam) + Để chọn học sinh cuối có: cách Vậy có 4.6.5 = 120 cách chọn học sinh có học sinh nữ b) * Trường hợp 1: Trong học sinh chọn, có học sinh nữ : Có 120 cách (theo a) * Trường hợp 2: Trong học sinh chọn có học sinh nữ: + Chọn nữ thứ nhất: có cách + Chọn nữ thứ hai: có cách + Chọn nam: có cách Vậy có: 4.3.6 = 72 cách * Trường hợp 3: Cả học sinh chọn nữ: có 4.3.2 = 24 cách chọn Kết luận: Tất có 120 + 72 + 24 = 216 cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 14: Một đoàn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách bước lên tàu Hỏi : a) Có trường hợp cách chọn toa hành khách ? b) Có trường hợp mà toa có người lên ? c) Có trường hợp mà toa có người lên, toa có người lên hai toa lại lên ? Hướng dẫn: a) b) + Người thứ nhất: có cách chọn + Người thứ nhất: có cách chọn + Người thứ hai: có cách chọn + Người thứ hai: có cách chọn + Người thứ ba: có cách chọn + Người thứ ba: có cách chọn + Người thứ tư: có cách chọn + Người thứ tư: có cách chọn Vậy tất có 4.4.4.4 = 256 cách chọn Vậy tất có 4.3.2.1 = 14 cách chọn c) + Chia người thành nhóm: Nhóm I: có người, c) nhóm II: có người (Ta chia cách chọn Cách khác: người người lại cho vào nhóm) Vậy có + Hành khách lên toa có cách chọn cách chia nhóm + Sau hành khách lại lên chung toa có + Với cách chia nhóm xếp nhóm vào cách chọn khoang: Vậy ta có 4.3 = 12 cách - Nhóm I: Có cách xếp + Vì vai trò hành khách nên - Nhóm II: Có cách xếp trường hợp có tất 12.4 = 48 cách + Như có 4.3 = 12 cách xếp cho cách chia nhóm, mà có cách chia nhóm Kết luận: Vậy tất có 12.4 = 48 cách Bài 15: Biển đăng ký xe ô tô có chữ số chữ 26 chữ (Không dùng chữ I O) Hỏi số ô tô đăng ký nhiều ? Hướng dẫn: + chữ 24 chữ nên có : 24.24 = 576 cách chọn + Chữ số khác nên có cách chọn + chữ số lại không thiết phải khác lặp lại nên có : 10.10.10.10.10 = 100.000 cách chọn Vậy tất có: 576.9.100000 = 518.400.000 số ô tô đăng ký Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 16: Cho chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Có số gồm chữ số khác viêt từ chữ số cho ? Hướng dẫn: Gọi số cần tìm a1a2a3a4 + a1 có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 7.6.5.4 = 840 số thỏa mãn + a có cách chọn + a có cách chọn Bài 17: Cho số 1; 2; 5; 7; Có cách lập số gồm chữ số khác từ chữ số cho số tạo thành số chẵn ? Hướng dẫn: Gọi số cần tìm n = a1a 2a Để n chẵn a ∈ { 2;8} + a có cách chọn Vậy có 2.4.3 = 24 số thỏa mãn + a1 có cách chọn + a có cách chọn Bài 18: Với chữ số từ đến 5, ta lập số chẵn mà số gồm chữ số khác ? Hướng dẫn: Gọi số cần tìm : n = a1a 2a 3a4a5 TH1: a = có cách TH2: a ≠ có cách (Do a5 ∈ { 2;4} ) + a1 có cách chọn + a1 có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 1.5.4.3.2 = 120 số thỏa mãn Vậy có 2.4.4.3.2 = 192 số thỏa mãn Kết luận: Có tất 120 + 192 = 312 số thỏa mãn yêu cầu toán Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Cách khác: + Gọi số tự nhiên CÓ CHỮ SỐ KHÁC NHAU là: n = a1a 2a 3a4a5 + a1 có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số tự nhiên có chữ số khác + a có cách chọn + a có cách chọn + Gọi số tự nhiên LẺ CÓ CHỮ SỐ KHÁC NHAU là: m = b1b 2b 3b 4b + b có cách chọn (Do b ∈ {1;3;5} ) + b1 có cách chọn (Do b1 ≠ ) Vậy có 3.4.4.3.2 = 288 số tự nhiên lẻ có chữ số khác + b có cách chọn + b có cách chọn + b có cách chọn Kết luận: Vậy số chẵn thỏa mãn yêu cầu toán : 600 - 288 = 312 số Bài 19: Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác ? Hướng dẫn: Gọi số cần tìm : n = a1a 2a 3a4a5 TH1: a = có cách TH2: a ≠ có cách (Do a5 ∈ { 2;4;6} ) + a1 có cách chọn + a1 có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 1.6.5.4.3 = 360 số thỏa mãn Vậy có 3.5.5.4.3 = 900 số thỏa mãn Kết luận: Có tất 300 + 900 = 1260 số thỏa mãn yêu cầu toán Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Cách khác: + Gọi số tự nhiên CHẴN CÓ CHỮ SỐ KHÁC NHAU là: n = a1a 2a 3a4a5 TH1: a = có cách TH2: a = có cách + a1 có cách chọn + a1 có cách chọn + a có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 1.6.5.4.3 = 360 số thỏa mãn + a có cách chọn Vậy có 1.5.5.4.3 = 300 số thỏa mãn Tương tự TH3: a = ; TH4: a = trường hợp có 300 số Kết luận: Vậy tất có 360 + 300.3 = 1260 số thỏa mãn yêu cầu toán Bài 20: Có 100.000 vé số đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi có vé số gồm chữ số khác ? Hướng dẫn: Gọi n = a1a 2a 3a4a5 số in vé số thỏa mãn yêu cầu toán + a1 có 10 cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 10.9.8.7.6 = 30.240 vé số thỏa mãn + a có cách chọn + a có cách chọn Bài 21: Có số tự nhiên có chữ số thỏa mãn chữ số thứ chẵn, chữ số cuối chia hết cho 3, chữ số thứ khác ? Hướng dẫn: Gọi n = a1a 2a 3a4a5a6a7 số cần tìm + a có cách chọn (Do a ∈ {0;2;4;6;8} ) + a có cách chọn (Do a7 ∈ { 3;6;9} ) + a1 có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có 10 cách chọn + a có 10 cách chọn Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + a có 10 cách chọn + a có cách (Do a ≠ a ) Vậy có 5.3.9.10.10.10.9 = 1.215.000 số thỏa mãn Bài 22: Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5} Có số gồm chữ số đôi khác tạo thành từ chữ số tập hợp A ? Hướng dẫn: Gọi n = a1a 2a 3a4a5 số cần tìm + a1 có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số thỏa mãn + a có cách chọn + a có cách chọn Bài 23: Từ chữ số 0; 1; 3; 5; lập số gồm chữ số khác không chia hết cho ? Hướng dẫn: Gọi n = a1a 2a 3a4 số cần tìm + a có cách chọn (Do a4 ∈ {1;3;7} ) + a1 có cách chọn Vậy có 3.3.3.2 = 54 số thỏa mãn + a có cách chọn + a có cách chọn Bài 24: Có số tự nhiên chữ số khác nhau, nhỏ 10.000 tạo thành từ chữ số 0; 1; 2; 3; ? Hướng dẫn: Số cần tìm < 10.000 lớn số có chữ số TH1: Số có chữ số khác : Gọi n = a1a 2a 3a4 số cần tìm + a1 có cách chọn ( Do a1 ≠ ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 10 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 7: Có tem bì thư Chọn tem để dán vào bì thư, bì thư dán tem Hỏi có cách dán ? HƯỚNG DẪN + Chọn tem có C cách + Chọn bì thư có C53 cách + Số cách dán 3! cách Vậy có C83 C53 3! = 3360 cách Bài 8: Có bưu thiếp khác nhau, bì thư khác Chọn bưu thiếp bỏ vào bì thư, bì thư bưu thiếp gửi cho người bạn, người bạn bưu thiếp Hỏi có cách ? HƯỚNG DẪN + Chọn bưu thiếp từ bưu thiếp có C cách + Chọn bì thư từ bì thư có C63 cách + Ghép bưu thiếp với bì thư có 3! cách + Trao bì thư (đã có bưu thiếp bên trong) cho người có 3! cách Vậy có C53 C63 3!.3! = 7.200 cách Bài 9: Tại thi “Theo dòng lịch sử”, BTC sử dụng thẻ vàng thẻ đỏ, đánh dấu loại theo số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi có cách xếp tất thẻ thành hàng cho thẻ màu không nằm cạnh ? HƯỚNG DẪN Hai thẻ màu không nằm liền tức nằm xen kẽ nhau, ta có TH sau : + TH1: Xếp thẻ vàng vị trí lẻ : - Xếp thẻ vàng thứ có cách - Xếp thẻ vàng lại có 6! cách - Xếp thẻ đỏ xen kẽ vào chỗ trống có 7! cách + TH2: Xếp thẻ đỏ vị trí lẻ : - Xếp thẻ đỏ thứ có cách - Xếp thẻ đỏ lại có 6! cách - Xếp thẻ vàng xen kẽ vào chỗ trống có 7! cách Đáp số: Vậy có 7.6!.7! + 7.6!.7! = 50.803.200 cách Bài 10: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu TB, câu khó Người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, TB, khó Hỏi lập đề kiểm tra ? HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C10 20 cách * Bước 2: Chọn 10 câu không thỏa mãn yêu cầu, ta có TH sau: + TH1: Chọn 10 câu dễ TB 16 câu có C10 16 cách + TH2: Chọn 10 câu dễ khó 13 câu có C10 13 cách + TH3: Chọn 10 câu TB khó 11 câu có C10 11 cách ( ) 10 10 10 Kết luận: có C10 20 − C16 + C13 + C11 = 176451 đề kiểm tra thỏa mãn yêu cầu Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 43 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP (Chú ý: 9; 7; < 10 nên TH đề kiểm tra có loại câu hỏi) Bài 11: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu TB câu khó Người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ - TB - khó Hỏi có cách lập đề kiểm tra ? HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn câu 20 câu ta có C720 cách chọn * Bước 2: Chọn câu không thỏa mãn yêu cầu, có trường hợp sau + TH1: câu toàn dễ có C79 cách + TH2: câu toàn TB có C77 cách ( ) + TH3: câu dễ TB có C16 − C97 + C77 cách (Giải thích: Sử dụng phương pháp phần bù cách B1: Chọn câu 16 câu có C16 B2: Chọn câu không thỏa mãn yêu cầu có TH + TH1: câu toàn dễ có C79 cách + TH2: câu toàn TB có C77 cách ( ) Vậy để chọn câu dễ TB có C16 − C97 + C77 cách ) + TH4: câu dễ khó có C13 − C79 cách (Giải thích: Sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn câu 13 câu có C13 cách B2: Chọn câu không thỏa mãn yêu cầu chọn câu toàn dễ có C79 cách Vậy để chọn câu dễ khó có C13 − C79 cách ) + TH5: Chọn câu TB khó có C11 − C77 cách (Giải thích: Sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn câu 11 câu có C11 cách B2: Chọn câu không thỏa mãn yêu cầu chọn câu toàn khó có C77 cách Vậy để chọn câu TB khó có C13 − C79 cách ) 7 Kết luận: có C720 − C79 + C77 + C16 − C79 + C77 + C13 − C79 + C11 − C77  = 64071 đề kiểm tra Chú ý: Bài tập đề kiểm tra có câu (7 = 7; < 9) nên lập đề toàn câu dễ, toàn câu TB Bài 12 (KB - 2004): Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm khó, 10 TB, 15 dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, TB, dễ) số câu hỏi dễ không ? ( ) HƯỚNG DẪN + Vì đề có câu gồm đủ loại (khó, TB, dễ), số câu dễ không ⇒ số câu dễ 2; (không thể 4), ta có TH sau : 2 - TH1: Chọn câu dễ, TB, khó có C15 C10 C15 cách - TH2: Chọn câu dễ, TB, khó có C15 C10 C52 cách - TH3: Chọn câu dễ, TB, khó có C15 C10 C15 cách Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 44 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 2 Vậy có C15 C10 C15 + C15 C10 C52 + C15 C10 C15 = 56.875 đề kiểm tra Bài 13: Đội tuyển HSG trường gồm 18 em, em khối 12, em khối 11, em khối 10 Tính số cách chọn em đội tuyển dự trại hè cho khối em chọn HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn em ta có: C18 cách * Bước 2: Chọn em không thỏa mãn yêu cầu, có TH sau: + TH1: em toàn khối 12 có C67 cách + TH2: em toàn khối 11 có C66 cách ( ) + TH3: em toàn khối 12 khối 11 có C13 − C76 + C66 cách (Giải thích: sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn em có C13 cách B2: Chọn em không thỏa mãn yêu cầu có TH sau: + TH1: em toàn khối 12 có C67 cách + TH2: em toàn khối 11 có C66 cách ( ) Vậy chọn em toàn khối 12 khối 11 có C13 − C76 + C66 cách ) + TH4: em toàn khối 12 khối 10 có C12 − C67 cách + TH5: em toàn khối 11 khối 10 có C11 − C66 cách 6 6 Kết luận: có C18 −  C67 + C66 + C13 − C67 + C66 + C12 − C67 + C11 − C66  = 15470 cách chọn Bài 14: Từ nhóm gồm 30 học sinh (15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C), chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A có học sinh khối C Tính số cách chọn ? ( ) HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh lại tùy ý từ 25 học sinh (thuộc khối A B) có C52 C13 25 cách * Bước 2: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh lại chọn từ 25 học sinh (thuộc khối A B) không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn học sinh khối C, học sinh khối A, học sinh khối B có C52 C15 C10 cách + TH2: Chọn học sinh khối C, học sinh khối A, 10 học sinh khối B có C52 C13 C10 10 cách (các TH chọn học sinh khối A, 11 học sinh khối B không tồn 11 > 10 …) 10 Đáp số: có C52 C13 25 - ( C5 C15 C10 + C5 C13 C10 ) = 51.861.950 cách Bài 15: Từ nhóm gồm 12 học sinh (4 học sinh khối A, học sinh khối B, học sinh khối C) chọn học sinh cho khối học sinh Tính số cách chọn HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh tùy ý 12 học sinh có C12 cách * Bước 2: Chọn học sinh không thỏa mãn yêu cầu toán: + TH1: học sinh gồm khối A B có C58 cách + TH2: học sinh gồm khối A C có C58 cách Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 45 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + TH3: học sinh gồm khối B C có C58 cách Đáp số: Vậy có C12 - C58 = 624 cách Bài 16: (ĐHKD - 2006) Đội niên xung kích trưởng phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh tham gia trực tuần, cho học sinh không lớp nói Hỏi có cách chọn ? HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 12 học sinh có C12 = 495 cách * Bước 2: Chọn học sinh không thỏa mãn yêu cầu đề (đủ lớp) có C15 C14 C32 + C15 C42 C13 + C52 C14 C13 = 270 cách Đáp số: Vậy có 495 - 270 = 225 cách Bài 17: Một đội văn nghệ có 20 người 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho có nam có nữ ? HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn người 20 người có C520 cách * Bước 2: Chọn người không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn người toàn nữ có C10 cách + TH2: Chọn người toàn nam có C10 cách + TH3: Chọn nam nữ có C110 C10 cách 5 Đáp số: Vậy có C520 - ( C10 + C10 + C110 C10 ) = 12.900 cách Bài 18: Lớp 11A Tuấn có 11 học sinh nam 18 học sinh nữ a) Có cách chọn đội văn nghệ gồm 10 người đủ nam nữ b) Chọn đội trực nhật gồm 13 người, có tổ trưởng Hỏi có cách chọn Tuấn có mặt tổ thành viên ? HƯỚNG DẪN a) Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn 10 người 29 người có C10 29 cách * Bước 2: Chọn 10 người không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn 10 người toàn nam có C10 11 cách + TH2: Chọn 10 người toàn nữ có C10 18 cách 10 10 Đáp số: Vậy có C10 29 - ( C11 + C18 ) = 19986241 cách b) + Chọn Tuấn có mặt đội có cách + Chọn tổ trưởng có C128 cách + Chọn 11 thành viên lại có C11 27 Vậy có C128 C11 27 = 216332480 cách Bài 19: Một trường trung học có thầy dạy Toán, thầy dạy Lý thầy dạy Hóa Chọn từ thầy dự đại hội Hỏi có cách chọn để có đủ môn ? HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 46 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP * Bước 1: Chọn thầy 17 thầy có C17 cách * Bước 2: Chọn thầy không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn thầy dạy Toán + Lý có C13 cách + TH2: Chọn thầy dạy Toán + Hóa có C11 cách + TH3: Chọn thầy dạy Lý + Hóa có C10 cách + TH4: Chọn thầy dạy Toán có C57 cách + TH5: Chọn thầy dạy Lý có C56 cách 5 5 Đáp số: Vậy có C17 - ( C13 + C11 + C10 + C57 + C56 ) = 4214 cách Bài 20 (KB - 2005): Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ ? HƯỚNG DẪN + Có tỉnh miền núi, ta gọi A, B, C + Tất có 15 người, chia cho tỉnh, tỉnh người + Chọn đội niên tình nguyện cho tỉnh A có C12 C13 cách + Chọn đội niên tình nguyện cho tỉnh B có C12 C12 cách + Chọn đội niên tình nguyện cho tỉnh C có C12 C11 cách 4 Vậy có ( C12 C13 ).( C12 C12 ).( C12 C11 ) = 207.900 cách Bài 21: Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ, nhà Vật lý nam Muốn lập đoàn công tác có người gồm nam lẫn nữ, cần có nhà Toán học lẫn Vật lý Hỏi có cách thành lập đoàn công tác ? HƯỚNG DẪN + TH1: Chọn nhà Toán học nam + nhà Toán học nữ + nhà Vật lý nam có C15 C13 C14 cách + TH2: Chọn nhà Toán học nữ + nhà Vật lý nam có C23 C14 cách + TH3: Chọn nhà Toán học nữ + nhà Vật lý nam có C13 C42 cách Vậy có C15 C13 C14 + C23 C14 + C13 C42 = 90 cách Bài 22: Một đội văn nghệ có 15 người gồm : 10 nam nữ Hỏi có cách lập đội văn nghệ gồm người cho có nữ ? HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn người 15 người có C15 cách * Bước 2: Chọn người không thỏa mãn yêu cầu (tức nữ) + TH1: Chọn nữ (toàn nam) có C10 cách + TH2: Chọn nữ có C15 C10 cách + TH3: Chọn nữ có C52 C10 cách 8 Vậy có C15 - ( C10 + C15 C10 + C52 C10 ) = 3.690 cách Bài 23: Lớp 11A Tiến có 30 học sinh a) Hãy chọn lớp Tiến tổ trực nhật có 11 người có tổ trưởng, lại thành viên Hỏi có cách chọn Tiến có mặt tổ ? Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 47 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP b) Hãy chọn lớp Tiến đội văn nghệ có người, có đội trưởng, thư ký thành viên Hỏi có cách chọn Tiến có mặt đội ? HƯỚNG DẪN a) Khi Tiến có mặt tổ Tiến tổ trưởng thành viên + TH1: Nếu Tiến tổ trưởng : - Chọn Tiến làm tổ trưởng có cách - Chọn 10 thành viên lại có C10 29 cách + TH2: Nếu Tiến thành viên : - Chọn Tiến thành viên có cách - Chọn tổ trưởng có C129 cách - Chọn thành viên lại có C928 cách Vậy tất có C10 29 + C 29 C 28 = 220.330.110 cách b) Khi Tiến có mặt tổ Tiến tổ trưởng, thư ký thành viên + TH1: Nếu Tiến tổ trưởng : - Chọn Tiến làm tổ trưởng có cách - Chọn thư ký có C129 cách - Chọn thành viên lại có C628 cách + TH2: Nếu Tiến thư ký : - Chọn Tiến thư ký có cách - Chọn tổ trưởng có C129 cách - Chọn thành viên lại có C628 cách + TH3: Nếu Tiến thành viên : - Chọn Tiến thành viên có cách - Chọn tổ trưởng có C129 cách - Chọn thư ký có C128 cách - Chọn thành viên lại có C527 cách Vậy tất có C129 C628 + C129 C628 + C129 C128 C527 = 87.403.680 cách Bài 24: Một tổ có học sinh gồm nữ nam Hỏi có cách xếp học sinh tổ đứng thành hàng dọc để vào lớp cho : a) Các bạn nữ đứng chung với b) Nam nữ không đứng chung HƯỚNG DẪN a) + Ta coi bạn nữ đứng chung với nhóm X + Ta xếp nhóm X với bạn nam coi bạn nên có 4! cách + Tuy nhiên bạn nữ nhóm X có 5! cách xếp Vậy có 4!.5! = 2880 cách b) Nam nữ không đứng chung nghĩa xếp nam trước đến nữ ngược lại + Coi bạn nam đứng riêng với nhóm Y, bạn nữ đứng riêng với nhóm X + Vậy ta coi xếp học sinh X Y nên có 2! cách + Tuy nhiên bạn nam nhóm Y có 3! cách xếp, bạn nữ nhóm X có 5! cách xếp Vậy có 2!.3!.5! = 1440 cách Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 48 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 25: Đội văn nghệ trường gồm 10 học sinh có bạn Lan, Hằng, Nga học lớp Hỏi có cách xếp đội văn nghệ thành hàng dọc cho bạn Lan, Hằng, Nga đứng cạnh ? HƯỚNG DẪN + Ta coi bạn Lan, Hằng, Nga đứng cạnh nhóm X + Vậy xếp nhóm X với học sinh lại coi học sinh nên có 8! cách + Tuy nhiên học sinh nhóm X lại có 3! cách xếp Vậy có 8!.3! = 241.920 cách Bài 26: Một đoàn tàu có toa chở khách Trên sân ga có hành khách chuẩn bị lên tàu Biết toa có chỗ trống a) Hỏi có cách xếp hành khách lên tàu ? b) Hỏi có cách xếp hành khách lên tàu để có toa có vị khách ? HƯỚNG DẪN a) Để vị khách lên tàu, ta cần chọn chỗ trống 12 chỗ trồng (do toa, toa chỗ) tàu, không liên quan đến thứ tự nên có C12 = 495 cách b) + Chọn nhóm vị khách từ vị khách ta có C43 cách chọn + Nhóm vị khách lên tàu chọn toa tàu nên có cách chọn + Vị khách lại lên tàu chọn toa tàu (không chọn toa chứa hành khách kia) nên có cách chọn Vậy có C43 3.2 = 24 cách Bài 27: Một đoàn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách bước lên tàu a) Có trường hợp cách chọn toa hành khách ? b) Có trường hợp mà toa có người lên ? c) Có trường hợp mà toa có người lên, toa có người lên toa lại lên ? HƯỚNG DẪN a) - Người thứ có cách chọn toa - Người thứ hai có cách chọn toa - Người thứ ba có cách chọn toa - Người thứ tư có cách chọn toa Vậy có 4.4.4.4 = 256 cách chọn b) - Chọn vị trí để xếp người thứ lên toa có C14 cách - Chọn vị trí để xếp người thứ hai lên toa lại có C13 cách - Chọn vị trí để xếp người thứ ba lên toa lại có C12 cách - Chọn vị trí để xếp người cuối lên toa cuối có C11 cách Vậy có C14 C13 C12 C11 = 24 cách c) + Chọn nhóm vị khách từ vị khách ta có C43 cách chọn + Nhóm vị khách lên tàu chọn toa tàu nên có cách chọn Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 49 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Vị khách lại lên tàu chọn toa tàu (không chọn toa chứa hành khách kia) nên có cách chọn Vậy có C43 4.3 = 48 cách Bài 28: Cần chia 18 học sinh lớp thành nhóm sinh hoạt (không cần đặt tên cho nhóm, không quy định thứ tự), nhóm có học sinh Hỏi có cách chia ? HƯỚNG DẪN * Nhóm I: Chọn học sinh từ 18 học sinh có C18 cách * Nhóm II: Chọn học sinh từ 12 học sinh lại có C12 * Nhóm III: Chọn học sinh từ học sinh cuối có C66 * Tuy nhiên, đề cho nhóm không đặt tên, không quy định thứ tự nên hoán đổi nhóm có 3! trường hợp lặp lại C6 C6 C6 Vậy có 18 12 = 2.858.856 cách 3! Bài 29: Trong tổ học sinh lớp 11A có nam nữ Thầy giáo muốn chọn học sinh để làm trực nhật lớp học, phải có học sinh nam Hỏi thầy giáo có cách chọn ? HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 12 học sinh có C12 cách * Bước 2: Chọn học sinh toàn nữ có C43 cách Vậy có C12 - C43 = 216 cách Bài 30 (KA - 2004) : Một lớp có 30 học sinh, có cán lớp Có cách chọn em lớp để trực nhật tuần cho em có cán lớp ? HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 30 học sinh có C330 cách * Bước 2: Chọn học sinh không cán lớp 30 - = 27 học sinh có C327 cách Vậy có C330 - C327 = 1.135 cách Bài 31 : Ở trường tiểu học có 50 em học sinh giỏi, có cặp em sinh đôi Cần chọn học sinh số 50 em để dự trại hè Hỏi có cách chọn mà cặp sinh đôi ? HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 50 học sinh có C50 cách * Bước 2: Chọn học sinh không thỏa mãn yêu cầu : (Tức chọn học sinh có cặp sinh đôi - cặp tối đa, cặp < 4) + Chọn cặp sinh đôi có cách + Chọn học sinh lại 48 em có C148 cách Vậy có C50 - C148 = 19.408 cách Bài 32: Trên giá sách có 10 sách giáo khoa sách tham khảo a) Có cách lấy sách có sách giáo khoa ? b) Có cách lấy sách sách giáo khoa ? Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 50 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP HƯỚNG DẪN a) Lấy sách có sách giáo khoa có sách tham khảo nên có C10 C47 = 1575 cách b) Lấy sách sách giáo khoa lấy ; ; ; sách SGK nên ta có C10 C73 + C10 C72 + C10 C17 + C10 C07 = 14232 cách Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN LẬP SỐ - CHỌN SỐ Bài 1: Có thể lập thành số có chữ số, chữ số chữ số có mặt lần, chữ số 2, 3, 4, có mặt lần ? HƯỚNG DẪN Bài tập số cần lập có chữ số lấy từ chữ số {1; 6; 2; 3; 4; 5} (không có chữ số 0) + Chọn vị trí để xếp chữ số có mặt lần có C82 cách + Chọn vị trí để xếp chữ số có mặt lần có C62 cách + vị trí lại cho chữ số lại có 4! cách Vậy có C82 C62 4! = 10.080 cách Bài 2: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} a) Từ tập hợp A lập số có 12 chữ số cho chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, lại chữ số khác có mặt lần ? b) Từ tập hợp A lập số có chữ số cho có chữ số lặp lại lần, chữ số khác lặp lại lần chữ số khác với hai số ? HƯỚNG DẪN a) + Chữ số có mặt lần số có 12 chữ số nên có C12 cách chọn vị trí cho chữ số + Chữ số có mặt lần số 12 - = vị trí lại nên có C49 cách chọn vị trí cho chữ số + Còn chữ số cuối xếp vào vị trí nên có 5! cách Vậy có C12 C49 5! = 3.326.400 cách b) + Có C47 cách chọn vị trí cho chữ số lặp lại lần Tuy nhiên chữ số lặp lại lần ta chưa biết số nên có TH xảy ra, có 7.C47 cách + Có C23 cách chọn vị trí cho chữ số lặp lại lần Tuy nhiên chữ số lặp lại lần ta chưa biết số nên có TH xảy ra, có 6.C23 cách + Còn chữ số cuối xuất lần nên có cách chọn Vậy có ( 7.C47 ).( 6.C23 ).5 = 22050 số Bài 3: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số ? HƯỚNG DẪN + Ta coi chữ số đứng cạnh “chữ số kép” X Bài toán trở thành có số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số X, 0, 1, 4, Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 51 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Gọi số có chữ số cần tìm a1a 2a 3a4a5 - Chữ số a1 ≠ nên có cách chọn - Các chữ số lại có 4! cách + Tuy nhiên chữ số X lại có 2! cách xếp Vậy có 4.4!.2! = 192 số thỏa mãn Bài 4: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn ? HƯỚNG DẪN + Gọi số cần tìm có dạng a1a2a 3a4a5a6 + Vì a + a + a = ⇒ {a ,a4 ,a5 } ∈ {1, 2, 5} ;{1, 3, 4} nên có 2.3! cách chọn + chữ số lại có A 63 cách Vậy có 2.3! A 63 = 1440 số thỏa mãn yêu cầu Bài 5: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác mà số lập nhỏ 25000 ? HƯỚNG DẪN Gọi a1a 2a 3a4a5 số cần tìm + TH1: a1 = có cách chọn, a5 ∈ {0, 2, 4,6} có cách chọn, chọn chữ số điền vào vị trí lại có A 53 cách + TH2: a1 = có khả xảy : - Nếu a ≠ ⇒ a5 ∈ {0;4} có cách chọn, a < ⇒ a ∈ {0;1;3} (không chọn lại 2) có cách chọn, chọn chữ số xếp vào vị trí lại có A 42 cách - Nếu a = có cách chọn , a < ⇒ a ∈ {0;1;3;4} (không chọn lại 2) có cách chọn, chọn chữ số xếp vào vị trí lại có A 42 cách Đáp số: Vậy có 1.4 A 53 + 1.2.3 A 42 + 1.1.4 A 42 = 360 số thỏa mãn yêu cầu (Chú khi làm TH2 gộp a5 ∈ {0;4;6} để xét chung số > nên rơi vào vị trí a không thỏa mãn) Bài 6: Từ chữ số 2, 3, lập số tự nhiên gồm chữ số, có mặt đủ chữ số ? HƯỚNG DẪN Gọi số có chữ số cần tìm a1a 2a 3a4a5 Do = + + = 1+ + nên có TH sau xảy thỏa mãn yêu cầu : ( ) + TH1: số có vị trí, số lại có vị trí có: C52 C23 = 90 số (vì không xác định rõ vị trí cho số nào, mà đề ta có số, kết phải nhân 3) ( ) + TH2: số có vị trí, số lại có vị trí có C15 C14 3 = 60 Vậy có 90 + 60 = 150 số thỏa mãn yêu cầu toán Bài 7: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ? Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 52 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP HƯỚNG DẪN + TH1: Nếu chữ số thứ có cách xếp, xếp chữ số lại vào vị trí có C72 cách, vị trí lại có 5! cách xếp + TH2: Nếu chữ số thứ khác có cách chọn (do chọn từ {2, 3, 4, 5}) Xếp chữ số vào vị trí có C73 cách, xếp chữ số lại có 4! cách Đáp số: Vậy có C72 5! + C73 4! = 5880 cách Bài 8: Có số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số lại có mặt không lần ? HƯỚNG DẪN + Gọi số cần tìm a1a 2a 3a4a5a6a7 + Chọn vị trí cho chữ số xuất lần vị trí có C72 cách + Chọn vị trí cho chữ số xuất lần vị trí lại có C53 cách + Còn vị trí cuối xếp chữ số cuối có 8.7 cách (2 chữ số khác chữ số chọn khác nhau) Vậy có C72 C53 8.7 = 11760 số + Ta thấy 11760 số vừa tìm “gần thỏa mãn” yêu cầu toán có chứa số tự nhiên có chữ số mà chữ số đứng đầu (tức số có chữ số), ta cần loại chúng cách xét : a1 = ⇒ Chọn vị trí cho chữ số xuất lần vị trí có C62 cách, chọn vị trí cho chữ số xuất lần vị trí có C43 cách vị trí cuối xếp chữ số lại có cách (1; 4; 5; 6; 7; 8; 9) Vậy có C62 C43 = 420 số Đáp số: có 11760 - 420 = 11.340 số thỏa mãn yêu cầu CÁCH KHÁC * TH1 : Số có chữ số + Đặt chữ số 0, có cách đặt + Đặt chữ số vào ô, có C62 cách đặt + Đặt chữ số vào ô, có C43 cách đặt + Đặt chữ số số chữ số vào ô lại có C17 cách đặt Do TH1 số số thỏa mãn C62 C43 C17 = 2520 số * TH2: Số chữ số + Đặt chữ số vào ô, có C72 cách đặt + Đặt chữ số vào ô, có C53 cách đặt + Đặt chữ số số chữ số vào ô lại có A 72 cách đặt Do TH2 số số thỏa mãn C72 C53 A 72 = 8820 số Vậy số số thỏa mãn yêu cầu toán 2520 + 8820=11340 số Bài 9: Từ chữ số 0, 1, 2, …, lập số gồm chữ số khác cho chữ số có mặt chữ số ? Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 53 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP HƯỚNG DẪN + Chọn vị trí để xếp số có cách + Chọn tiếp vị trí để xếp số vào có cách + Còn vị trí, số Lấy số từ số để xếp vào vị trí lại có A 48 cách Vậy có 5.5 A 48 = 42.000 cách Bài 10: Biển số xe dãy gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau : Các chữ lấy từ 26 chữ A, B, C, …, Z Các chữ số chọn từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Có biển số xe có chữ khác nhau, đồng thời có chữ số lẻ chữ số lẻ giống ? HƯỚNG DẪN + Biển số xe có dạng A1 A 2a1a 2a 3a ; A i ∈ { A, B,C, , Z} ,a i ∈ {0,1, 2, 3, , 9} + Chọn chữ khác có A 226 cách + Chọn số lẻ giống co cách (do chọn từ 1, 3, 5, 7, 9) + Chọn vị trí để đặt chữ số lẻ giống có C42 cách + Sắp xếp số chẵn từ số (0, 2, 4, 6, 8) vào vị trí lại có 5.5 cách Vậy có A 226 C42 5.5 = 487.500 biển số xe thỏa mãn yêu cầu Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẾM TRONG HÌNH HỌC Bài 1: Xét đa giác có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh Tính số cạnh đa giác HƯỚNG DẪN + Chon n đỉnh n - giác ta có cạnh đường chéo ⇒ tổng số cạnh số đường chéo n - giác Cn2 ⇒ số đường chéo n - giác Cn2 − n + Theo đề ta có phương trình: Cn2 − n = 2n ⇔ n = Vậy đa giác có cạnh (Bài dùng công thức tính số đường chéo n - giác n (n − 3) (lớp 8), ta có phương trình n ( n − 3) = 2n ⇔ n = ) Bài 2: Tính số hình chữ nhật tạo thành từ 20 đỉnh đa giác có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O HƯỚNG DẪN + Ta thấy hình chữ nhật nội tiếp đường tròn tâm O tạo thành từ đường chéo qua tâm O đa giác 20 cạnh nói + Mà đa giác 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O có 10 đường chéo qua tâm ⇒ số hình chữ nhật cần tìm C10 = 45 Bài 3: (ĐHKB - 2002) Cho đa giác A1 A A 2n ( n ≥ 2;n ∈ Z ) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 ; A ; ;A 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 ; A ; ;A 2n , tìm n Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 54 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP HƯỚNG DẪN + Theo ta có số hình chữ nhật tạo thành từ đa giác 2n cạnh nội tiếp đường tròn (O) Cn2 + Số tam giác tạo thành từ 2n đỉnh đa giác nói C32n + Theo đề ta có phương trình C32n = 20.Cn2 ⇔ n = Bài 4: Xét tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh đa giác H có 10 cạnh a) Có tất tam giác ? Có tam giác có cạnh H ? b) Có tam giác có cạnh H ? Có tam giác cạnh H ? HƯỚNG DẪN a) + Có C10 tam giác có đỉnh đỉnh H + Tam giác có cạnh cạnh H tạo đỉnh liên tiếp đa giác H ( A1 A A A10 ) Đó tam giác : ∆A1 A A ; ∆A A A ; ∆A A A ; ; ∆A A10 A1 ; ∆A10 A1 A nên có 10 tam giác b) + Tam giác có cạnh H tạo cách: chọn cạnh H (bỏ đỉnh) nối với đỉnh H Vậy ứng với cạnh H nối với đỉnh có tam giác thỏa mãn Mà H có 10 cạnh nên có 6.10 = 60 tam giác thỏa mãn + Kết hợp phần a) ta có số tam giác cạnh H : C10 − ( 10 + 60 ) = 50 tam giác Bài 5: Cho 15 điểm mặt phẳng, điểm thẳng hàng Xét tập hợp đường thẳng qua 15 điểm cho Số giao điểm khác 15 điểm cho đường thẳng tạo thành ? HƯỚNG DẪN + Số đường thẳng tạo thành từ 15 điểm C15 = 105 + Để tìm số giao điểm khác 15 điểm cho đường thẳng tạo thành ta sử dụng phương pháp phần bù : * Bước 1: Nếu coi đường thẳng có giao điểm ta có C105 giao điểm * Bước 2: Vì số giao điểm khác 15 điểm ta thấy rằng: - Chọn 15 điểm có 14 đường thẳng qua (vì điểm thẳng hàng) ⇒ Chọn điểm 15 điểm điểm phải giao C14 cặp đường thẳng 2 ⇒ 15 điểm cho có 15.C14 cặp đường thẳng ⇒ có 15.C14 giao điểm qua 15 điểm cho 2 Đáp số: Vậy có C105 − 15.C14 = 4095 số giao điểm cần tìm Bài 6: Cho họ đường thẳng cắt nhau: Họ ( L1 ) gồm 10 đường thẳng song song với nhau, họ ( L ) gồm 15 đường thẳng song song với Hỏi có hình bình hành tạo thành ( L1 ) ( L ) ? HƯỚNG DẪN + Do đường thẳng thuộc họ ( L1 ) song song, đường thẳng thuộc họ ( L ) song song, mà hình bình hành tạo cặp đường thẳng song song cắt Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 55 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Vậy chọn đường thẳng họ ( L1 ) đường thẳng họ ( L ) có hình bình 2 hành ⇒ có C10 C15 = 4725 hình bình hành (coi đường thẳng họ ( L1 ) không song song đường thẳng họ ( L ) ) Bài 7: Cho hình thập giác lồi Hỏi lập tam giác có đỉnh đỉnh thập giác lồi, cạnh tam giác cạnh thập giác lồi ? HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Số tam giác tạo thành từ đỉnh thập giác lồi C10 * Bước 2: Ta tìm số tam giác có đỉnh thập giác lồi có cạnh cạnh thập giác lồi : + TH1: Tam giác có cạnh thập giác : - Có 10 cách chọn cạnh cạnh thập giác (chọn xong đỉnh tam giác) - Chọn đỉnh lại có cách (trừ đỉnh chọn đỉnh khác thập giác kề với đỉnh ấy) ⇒ có 10.6 = 60 tam giác có cạnh thập giác + TH2: Tam giác có cạnh thập giác : Có 10 tam giác (Xem Bài 4) Đáp số: Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu C10 - (60 + 10) = 50 (Bài chất giống Bài phần b) Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN CHIA TẬP HỢP Bài 1: Cho tập hợp A gồm 15 phần tử khác a) Có cập hợp A ? b) Có tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn ? HƯỚNG DẪN a) Số tập hợp A có 0, 1, 2, 3, …, 15 phẩn tử ⇒ số tập hợp A C15 + C115 + C15 + C15 + + C15 15 Theo công thức đếm số tập hợp kết 215 b) Số tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn C15 + C15 + C15 + C15 + + C14 15 + Ta tính tổng cách sau : (Biến đổi tập có phần tử chẵn) * Ta có : 15 C15 + C15 + C15 + C15 + + C14 15 + C15 12 14 = C15 + C14 15 + C15 + C15 + + C15 + C15 ( = C15 + C15 + C15 + C15 + + C14 15 ) ( 14 = 2.C15 + C15 + C15 + C15 + + C15 ) Từ : 14 15 ⇒ C15 + C15 + C15 + + C14 15 = C15 + C15 + C15 + C15 + + C15 + C15 − 2.C15 ( ⇒ ( C ⇒ ( C 15 + C15 + C15 + + C14 15 15 + C15 + C15 + + C14 15 ) )=2 )=2 15 − 2.C15 15 − 2.1 14 ⇒ C15 + C15 + C15 + + C14 15 = − Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 56 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 2: Cho tập hợp A gồm 20 phần tử khác Có tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn ? HƯỚNG DẪN Số tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn C220 + C420 + C620 + C820 + + C20 20 + Ta tính tổng cách sau : (Bài không tính theo cách Bài 20 - 1; 20 - 3; 20 - 5; 20 - 7; … kết không số chẵn) * Ta có : 20 20 C020 + C120 + C 220 + C20 + + C19 20 + C 20 = = ( + ) * Mặt khác ta có : 20 20 C020 − C120 + C20 − C20 + − C19 20 + C 20 = = ( − ) ( )=2 20 20 (1) (2) ) 20 + C420 + C620 + C820 + + C20 * Lấy (1) cộng với (2) vế theo vế ta : C020 + C20 20 = ( ⇒ 2.C020 + C220 + C420 + C620 + C820 + + C 20 20 20 220 − 2.C020 = 219 − Bài (KB - 2006): Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ ) Biết số tập hợp chứa phần tử A 20 lần ⇒ C220 + C420 + C620 + C820 + + C 20 20 = số tập hợp chứa phần tử A Tìm số k ∈ {1, 2, 3, ,n} cho số tập hợp chứa k phần tử A lớn HƯỚNG DẪN + Theo giả thiết ta có phương trình C = 20.C ⇔ ⇔ n = 18 Vậy A có 18 phần tử n n k + Số tập hợp chứa k phần tử A C18 k k −1 17 19 C18 ≥ C18 + Để số tập hợp chứa k phần tử A lớn  k ⇔ ⇔ ≤k≤ ⇒k=9 k +1 2 C18 ≥ C18 NGUYỄN HỮU BIỂN Fb: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Nhóm ôn thi ĐH môn toán: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 57 [...]... 1152 số thỏa mãn Áp dụng vào bài toán trên có + Vị trí 1 có 8 cách chọn Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 11 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Vị trí 2 có 4 cách chọn + Vị trí 3 có 3 cách chọn + Vị trí 4 có 3 cách chọn + Vị trí 5 có 2 cách + Vị trí 6 có 2 cách + Vị trí 7 có 1 cách + Vị trí 8 có 1 cách Vậy có 8.4.3.3.2.2.1.1 = 1152... Vì 4 chữ số 1; 2; 3; 4 vào các vị trí a 2 ;a 3 ;a 4 ;a 5 nên là hoán vị Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 16 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP P4 = 4! = 24 số tự nhiên khác nhau và bắt đầu bằng chữ số 5 b) Gọi số cần tìm là a1a 2a 3a 4a 5 Vì a1 ∈ { 2;3;4;5} nên có 4 cách chọn Các số còn lại là hoán vị P4 Vậy có tất cả 4.P4 = 96 số... nhóm X hoán vị cho nhau nên có 2! cách chọn nữa Kết luận: Có 4.4!.2! = 192 số thỏa mãn yêu cầu Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 19 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 16: Một tổ có 10 học sinh Có bao nhiêu cách: a) Xếp thành một hàng dọc b) Ngồi quanh một bàn tròn 10 ghế ? Hướng dẫn: 10! a) Có 10 ! cách b) Có = 9! cách (do có 10 vị trí... nam làm tổ trưởng và tổ phó có A15 cách 2 - Chọn 2 nam còn lại có C13 cách 2 2 Vậy có C15 A15 C13 cách TH2: chọn 2 nữ & 3 nam - Chọn 2 nữ có C52 cách 2 - Chọn 2 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A15 cách - Chọn 1 nam còn lại có C113 cách 2 1 Vậy có C52 A15 C13 cách Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 33 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 2 TH3:... vậy số trận đấu của giải là 2 C14 = 91 + Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2, vậy tổng số điểm của 23 trận hòa là 46 2 + Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận KHÔNG HÒA là 3, vậy tổng số điểm của C14 − 23 = 68 trận không Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 34 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP hòa là 3.68 = 204 46 + 204 250 = 91 91... có: 56 = 15.625 số điện thoại Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 15 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP BÀI HỌC 2: HOÁN VỊ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Giai thừa: + n giai thừa được ký hiệu n! + Cách tính: n! = n(n - 1)(n - 2).(n - 3) … 1 + Quy ước 0! = 1! = 1 2 Định nghĩa: * Bài toán: Cho tập hợp A gồm n phần tử Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự... soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 20 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Khi xếp 14 nhóm khác nhau (xếp 14 “học sinh kép”) thành 1 hàng, ta có : P4 cách xếp + Tuy nhiên, trong mỗi nhóm 2 người sẽ có 2! cách xếp, mỗi nhóm 4 người sẽ có 4! cách xếp 13 Vậy tất cả có P14 ( 2!) 4! cách Bài học 3: CHỈNH HỢP I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Bài toán: Cho tập hợp A... https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 29 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + 120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 3 + 120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 4 + 120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 5 Vậy tổng tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập được mà chữ số hàng đơn vị lần lượt là 0; 1; 2; 3; 4; 5 là: S1 = ( 0 + 1 + 2 + 3 +... nhau) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 12 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP phương án B có 4 cách chọn .( có 4 màu áo khác nhau) vậy : công việc “mua áo” có thể thực hiện bởi : 5 + 4 = 9 cách chọn Bài 29: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn ? Hướng dẫn: Gọi số tự nhiên có hai chữ số : Tập hợp chữ số tự nhiên chẵn... 4 cách Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 14 KIẾN THỨC CƠ BẢN HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Từ 3 quả cầu xanh chọn 1, có 3 cách Theo quy tắc nhân, số cách chọn được 3 quả cầu khác màu là: 5.4.3 = 60 Bài 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn? HD: Số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn có dạng ab Với a, b