Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ≥ 0). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn. P = n = 1.2...n. Quy ước: 0 = 1. Ví dụ 1. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị. Vậy có P5 = 5 = 120 cách sắp. Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Giải Gọi với và phân biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số nên có 4 cách chọn a1. + Bước 2: sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4 = 24 cách. Vậy có 4.24 = 96 số.
1 Hốn vị Định nghĩa: Cho tập hợp X gờm n phần tử phân biệt (n ≥ 0) Mỗi cách sắp xếp n phần tử X theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Sớ hốn vị n phần tử ký hiệu Pn Pn = n! = 1.2…n Quy ước: 0! = Ví dụ Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách Giải Mỗi cách đổi chỗ người băng ghế hoán vị Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp Ví dụ Từ chữ sớ 0, 1, 2, 3, lập mấy sớ tự nhiên có chữ sớ khác Giải ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ Gọi A = a a a a a với a ≠ a , a , a , a , a phân biệt số cần lập + Bước 1: chữ số a ≠ nên có cách chọn a1 + Bước 2: sắp chữ sớ lại vào vị trí có 4! = 24 cách Vậy có 4.24 = 96 số Chỉnh hợp Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ≥ 0) Mỗi cách chọn k (n ≥ k ≥ 0) phần tử X sắp xếp theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu Akn n! Akn = (n−k)! Nhận xét: Ann = n! = P n Ví dụ Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách Giải Mỗi cách chọn chỗ ngồi từ băng ghế để sắp người vào có hốn vị chỉnh hợp chập 7! Vậy có A57 = (7−5)! = 2520 cách sắp Ví dụ Từ tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5} lập mấy sớ tự nhiên có chữ sớ khác Giải ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯¯ ¯ Gọi A = a a a a với a ≠ a , a , a , a phân biệt số cần lập + Bước 1: chữ số a ≠ nên có cách chọn a1 + Bước 2: chọn chữ sớ lại để sắp vào vị trí A35 cách Vậy có 5A35 = 300 số Tổ hợp Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ≥ 0) Mỗi cách chọn k (n ≥ k ≥ 0) phần tử X gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu C nk n! C nk = k!(n−k)! Ví dụ Có 10 ćn sách tốn khác Chọn ćn, hỏi có cách Giải Mỗi cách chọn 10 cuốn sách tổ hợp chập 10 Vậy có C 10 = 210 cách chọn Ví dụ Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nhất nữ Hỏi có cách Giải + Trường hợp 1: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có cách - Bước 2: chọn nam có C 52 Suy có 3C 52 cách chọn + Trường hợp 2: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C 32 cách - Bước 2: chọn nam có Suy có 5C 32 cách chọn + Trường hợp 3: chọn nữ có cách Vậy có 3C 52 + 5C 32 + = 46 cách chọn Ví dụ Hỏi lập sớ tự nhiên có chữ sớ cho sớ đó, chữ sớ hàng ngàn lớn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hàng chục chữ số hàng chục lớn hàng đơn vị Giải ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯¯ ¯ Gọi A = a a a a với ≥ a > a > a > a ≥ số cần lập: X = {0; 1; 2; …; 8; 9} Từ 10 phần tử X ta chọn phần tử bất kỳ lập sớ A Nghĩa khơng có hốn vị tổ hợp chập 10 Vậy có C 10 = 210 sớ Nhận xét: i) Điều kiện để xảy hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp n phần tử phải phân biệt ii) Chỉnh hợp tổ hợp khác chỗ sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có sắp thứ tự tổ hợp khơng Phương pháp giải tốn 4.1 Phương pháp Bước Đọc kỹ yêu cầu số liệu đề Phân toán trường hợp, trường hợp lại phân thành giai đoạn Bước Tùy giai đoạn cụ thể giả thiết toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp Bước Đáp án tổng kết trường hợp Ví dụ Một nhóm cơng nhân gờm 15 nam nữ Người ta ḿn chọn từ nhóm người để lập thành tổ công tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam có nhất nữ Hỏi có cách lập tổ công tác Giải + Trường hợp 1: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A215 cách - Bước 3: chọn 13 nam lại có C 13 cách Suy có 5A215 C 13 cách chọn cho trường hợp + Trường hợp 2: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C 52 cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A215 cách - Bước 3: chọn 13 nam lại có 13 cách Suy có 13A215 C 52 cách chọn cho trường hợp + Trường hợp 3: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C 53 cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A215 cách Suy có A215 C 53 cách chọn cho trường hợp Vậy có 5A215 C 13 + 13A215 C 52 + A215 C 53 = 111300 cách Cách khác: + Bước 1: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A215 cách + Bước 2: chọn tổ viên, có nữ - Trường hợp 1: chọn nữ nam có 5.C 13 cách - Trường hợp 2: chọn nữ nam có 13.C 52 cách - Trường hợp 3: chọn nữ có C 53 cách Vậy có A215 (5.C 13 + 13.C 52 + C 53 ) = 111300 cách 4.2 Phương pháp Đới với nhiều tốn, phương pháp rất dài Do ta sử dụng phương pháp loại trừ ¯¯¯¯ ¯¯¯¯ (phần bù) theo phép toán A ∪ A = X ⇒ A = X∖A Bước Chia yêu cầu đề thành phần yêu cầu chung X (tổng quát) gọi loại ¯¯¯¯ yêu cầu riêng A Xét A phủ định A, nghĩa không thỏa yêu cầu riêng gọi loại Bước Tính sớ cách chọn loại loại Bước Đáp án số cách chọn loại trừ số cách chọn loại Chú ý: Cách phân loại loại có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan người giải Ví dụ Từ chữ sớ 0, 1, 2, 3, lập mấy sớ tự nhiên có chữ sớ khác Giải + Loại 1: chữ sớ a1 tùy ý, ta có 5! = 120 số + Loại 2: chữ số a1 = 0, ta có 4! = 24 sớ Vậy có 120 – 24 = 96 sớ Ví dụ 10 Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nhất nữ Hỏi có cách Giải + Loại 1: chọn người tùy ý 13 người có C 13 cách + Loại 2: chọn nam (khơng có nữ) nam có C 73 cách Vậy có C 13 − C 73 = 251 cách chọn Ví dụ 11 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra Giải 10 + Loại 1: chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C 20 cách + Loại 2: chọn 10 câu có khơng q loại dễ, trung bình khó 10 - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ trung bình 16 câu có C 16 cách 10 - Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ khó 13 câu có C 13 cách 10 - Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình khó 11 câu có C 11 cách 10 10 10 10 Vậy có C 20 − (C 16 + C 13 + C 11 ) = 176451 đề kiểm tra Chú ý: Giải bằng phương pháp phần bù có ưu điểm ngắn nhiên nhược điểm thường sai sót tính sớ lượng loại Ví dụ 12 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gờm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra Cách giải sai: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C 20 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ câu có C 97 cách - Trường hợp 2: chọn câu trung bình có cách - Trường hợp 3: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C 16 cách - Trường hợp 4: chọn câu dễ khó 13 câu có C 13 cách - Trường hợp 5: chọn câu trung bình khó 11 câu có C 11 cách 7 7 Vậy có C 20 − (1 + C + C 16 + C 13 + C 11 ) = 63997 đề kiểm tra! Sai sót cách tính sớ đề loại Chẳng hạn, tính sớ đề trường hợp ta tính lặp lại trường hợp trường hợp Cách giải sai khác: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C 20 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C 16 cách - Trường hợp 2: chọn câu dễ khó 13 câu có C 13 cách - Trường hợp 3: chọn câu trung bình khó 11 câu có C 11 cách 7 7 Vậy có C 20 − (C 16 + C 13 + C 11 ) = 64034 đề kiểm tra Sai sót ta tính lặp lại sớ cách chọn đề có câu dễ đề có câu trung Sai sót ta tính lặp lại sớ cách chọn đề có câu dễ đề có câu trung bình trường hợp trường hợp Cách giải đúng: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C 20 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C 16 cách - Trường hợp 2: chọn câu dễ khó 13 câu có C 13 − C 97 cách - Trường hợp 3: chọn câu trung bình khó 11 câu có C 11 − cách 7 7 Vậy có C 20 − (C 16 + C 13 − C + C 11 − 1) = 64071 đề kiểm tra Ví dụ 13 Hội đờng quản trị cơng ty gờm 12 người, có nữ Từ hội đờng quản trị người ta bầu chủ tịch hội đồng quản trị, phó chủ tịch hội đờng quản trị ủy viên Hỏi có mấy cách bầu cho người bầu phải có nữ Giải + Loại 1: bầu người tùy ý (không phân biệt nam, nữ) - Bước 1: bầu chủ tịch phó chủ tịch có A212 cách - Bước 2: bầu ủy viên có C 10 cách Suy có A212 C 10 cách bầu loại + Loại 2: bầu người toàn nam - Bước 1: bầu chủ tịch phó chủ tịch có A27 cách - Bước 2: bầu ủy viên có C 52 cách Suy có A27 C 52 cách bầu loại 2 Vậy có A212 C 10 − A27 C 52 = 5520 cách Hoán vị lặp (tham khảo) Cho tập hợp X có n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khác lại giống nhau, …, nk phần tử khác lại giống (n + n + +n k = n) Mỗi cách sắp n phần tử vào n vị trí hốn vị lặp, sớ hốn vị lặp n !nn!! n ! k Ví dụ 14 Từ chữ số 1, 2, lập số tự nhiên có chữ sớ 1, chữ sớ chữ số Giải Xem số cần lập có 10 chữ sớ gờm chữ sớ giống nhau, chữ số giống chữ sớ giớng 10! Vậy có 5!2!3! = 2520 số Cách giải thường dùng: + Bước 1: chọn 10 vị trí để sắp chữ sớ có C 10 cách + Bước 2: chọn vị trí lại để sắp chữ sớ có C 52 cách + Bước 3: sắp chữ sớ vào vị trí lại có cách Vậy có C 10 C 52 = 2520 số B BÀI TẬP Cần xếp nam nữ vào hàng ghế có chỗ ngời cho nam ngời kề Bài Cần xếp nam nữ vào hàng ghế có chỗ ngời cho nam ngồi kề nữ ngồi kề Hỏi có cách Bài Xét đa giác đều có n cạnh, biết sớ đường chéo gấp đơi sớ cạnh Tính sớ cạnh đa giác đều Bài Tính sớ sớ tự nhiên đơi khác có chữ sớ tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, cho chữ số đứng cạnh Bài Tính sớ sớ tự nhiên có chữ số đôi khác thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, cho số đều có mặt nhất chữ sớ Bài Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có người họ ḿn mua nền kề nhau, nhóm thứ hai có người họ ḿn mua nền kề Họ tìm lô đất chia thành nền rao bán (các nền chưa có người mua) Tính sớ cách chọn nền người thỏa u cầu Bài Từ chữ số 0, 1, 2, lập thành sớ tự nhiên có chữ sớ phân biệt Tính tổng sớ thành lập Bài Tính sớ hình chữ nhật tạo thành từ 20 đỉnh đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O Bài Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O Biết sớ tam giác có đỉnh 2n đỉnh đa giác nhiều gấp 20 lần sớ hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh đa giác Tính sớ hình chữ nhật Bài Đội tuyển học sinh giỏi trường gờm 18 em, có em khối 12, em khối 11 em khới 10 Tính sớ cách chọn em đội dự trại hè cho khới có nhất em chọn Bài 10 Cho tập hợp X gờm 10 phần tử khác Tính sớ tập hợp khác rỗng chứa số chẵn phần tử X Bài 11 Một hộp đựng 15 viên bi khác gồm bi đỏ, bi trắng bi vàng Tính sớ cách chọn viên bi từ hộp cho khơng có đủ màu Bài 12 Giải vơ địch bóng đá Q́c gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt, biết rằng trận đấu: đội thắng điểm, hòa điểm, thua điểm có 23 trận hòa Tính sớ điểm trung bình trận tồn giải Bài 13 Tính sớ sớ tự nhiên gồm chữ số chọn từ 1, 2, 3, 4, cho chữ sớ có mặt lần, chữ sớ có mặt lần chữ sớ lại có mặt khơng q lần Bài 14 Tính sớ sớ tự nhiên gồm chữ số phân biệt chữ số đầu tiên thành lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Bài 15 Từ nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B học sinh khối C chọn 15 học sinh cho có nhất học sinh khới A có học sinh khới C Tính sớ cách chọn Bài 16 Từ nhóm 12 học sinh gồm học sinh khối A, học sinh khối B học sinh khối C chọn học sinh cho khới có nhất học sinh Tính số cách chọn Bài 17 Tính sớ tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa mà không chứa Bài 18 Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh gờm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Tính sớ cách chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Bài 19 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập thành sớ tự nhiên chẵn có chữ sớ phân biệt nhỏ 25000 Tính sớ số lập Bài 20 Tập hợp A gồm n phần tử (n≥ 4) Biết rằng số tập hợp chứa phần tử A bằng 20 lần số tập hợp chứa phần tử A, tìm sớ k ∈ {1; 2; …; n } cho số tập hợp chứa k phần tử A lớn nhất C HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Xét loại ghế gờm ghế có chỗ, ghế có chỗ ghế có chỗ ngời + Bước 1: ghế có chỗ không phân biệt nên chọn vị trí để sắp ghế chỗ ngời có A24 = 12 cách + Bước 2: sắp nam vào ghế chỗ có 3! = cách + Bước 3: sắp nữ vào ghế chỗ có 2! = cách Vậy có 12.6.2 = 144 cách sắp Bài Chọn n đỉnh đa giác ta lập cạnh đường chéo Số cạnh đường chéo C n2 Suy số đường chéo C n2 − n n! Ta có: C n2 − n = 2n ⇔ 2!(n−2)! − n = 2n ⇔ n(n − 1) = 6n ⇔ n = Vậy có cạnh Bài Xét sớ có chữ sớ gờm 0, 1, 2, chữ số “kép” (3, 4) + Loại 1: chữ sớ hàng trăm ngàn - Bước 1: sắp chữ số vào vị trí có 5! = 120 cách - Bước 2: với cách sắp chữ sớ kép có hốn vị chữ sớ Suy có 120.2 = 240 số + Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn - Bước 1: sắp chữ số vào vị trí lại có 4! = 24 cách - Bước 2: với cách sắp chữ số kép có hốn vị chữ sớ Suy có 24.2 = 48 sớ Vậy có 240 – 48 = 192 số Bài + Loại 1: chữ sớ a1 Sắp chữ sớ vào vị trí có A46 = 360 cách Sắp chữ số 0, 3, 4, vào vị trí có 4! = 24 cách Suy có 360 – 24 = 336 sớ + Loại 2: chữ sớ a1 (vị trí a1 có chữ sớ 0) Sắp chữ sớ vào vị trí có A35 = 60 cách Sắp chữ sớ 3, 4, vào vị trí có 3! = cách Suy có 60 – = 54 sớ = cách Suy có 60 – = 54 sớ Vậy có 336 – 54 = 282 số Cách khác: + Loại 1: Số tự nhiên có chữ sớ tùy ý - Bước 1: Chọn chữ số khác sắp vào a1 có cách - Bước 2: Chọn chữ số khác a1 sắp vào vị trí lại có A35 = 60 cách Suy có 5.60 = 300 sớ + Loại 2: Sớ tự nhiên có chữ sớ gờm 0, 3, 4, (khơng có 2) - Bước 1: Chọn chữ sớ khác sắp vào a1 có cách - Bước 2: Sắp chữ sớ lại vào vị trí 3! = cách Suy có 3.6 = 18 sớ Vậy có 300 – 18 = 282 sớ Bài Xem lơ đất có vị trí gờm vị trí nền, vị trí nền vị trí nền + Bước 1: nhóm thứ nhất chọn vị trí cho nền có cách cách có 2! = cách chọn nền cho người Suy có 4.2 = cách chọn nền + Bước 2: nhóm thứ hai chọn vị trí lại cho nền có cách cách có 3! = cách chọn nền cho người Suy có 3.6 = 18 cách chọn nền Vậy có 8.18 = 144 cách chọn nền cho người Bài + Xét sớ A có chữ sớ phân biệt chữ sớ hàng trăm Từ A34 = 24 số A ta lập 12 cặp sớ có tổng 333 Ví dụ 012 + 321 = 333 Suy tổng số A 12.333 = 3996 + Xét sớ B có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm Từ A23 = số B ta lập cặp sớ có tổng 44 Ví dụ 032 + 012 = 44 Suy tổng số B 3.44 = 132 Vậy tổng số thỏa yêu cầu 3996 – 132 = 3864 Cách khác: + Xét sớ A có chữ sớ phân biệt chữ sớ hàng trăm - Số số A A34 = 24 số Số lần chữ sớ có mặt hàng trăm, hàng chục đơn vị bằng 24 : = lần - Tổng chữ số hàng trăm (hàng chục, đơn vị) 24 số là: 6.(0 + + + 3) = 36 Suy tổng số A 36.(100 + 10 + 1) = 3996 + Xét sớ B có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm - Số số B A23 = số Sớ lần chữ sớ 1, 2, có mặt hàng chục đơn vị bằng : = lần - Tổng chữ số hàng chục (đơn vị) số 2.(1 + + 3) = 12 Suy tổng số B 12.(10 + 1) = 132 Vậy tổng số thỏa yêu cầu 3996 – 132 = 3864 Bài Nhận thấy hình chữ nhật tạo thành có đường chéo đường kính đường tròn Vẽ đường thẳng d qua tâm O khơng qua đỉnh đa giác đều d chia đa giác thành phần, phần có 10 đỉnh Suy số đường chéo đa giác qua tâm O 10 Chọn 10 đường chéo lập hình chữ nhật Vậy có C 10 = 45 hình chữ nhật Bài + Lý luận tương tự câu 65 ta có C n2 hình chữ nhật n + Sớ tam giác tạo thành từ 2n đỉnh đa giác C 2n + Từ giả thiết ta có: C 2n = 20C n2 ⇔ ⇔ Vậy 2n(2n−1)(2n−2) có C = 28 (2n)! 3!(2n−3)! = n! = 20 2!(n−2)! n(n−1) 20 ⇔n=8 hình chữ nhật Bài Cách giải sai: + Chọn tùy ý em đội có C 18 = 18564 cách + Chọn em đội thuộc khới 12 khới 11 có C 13 = 1716 cách + Chọn em đội thuộc khới 12 khới 10 có C 12 = 924 cách + Chọn em đội thuộc khối 11 khới 10 có C 11 = 462 cách Vậy có 18564 – 1716 – 924 – 462 = 15462 cách chọn! Sai chỗ lớp 12 lớp 11 ta tính lặp lại Cách giải đúng: + Chọn tùy ý em đội có C 18 = 18564 cách + Chọn em đội thuộc khới 12 khới 11 có C 13 = 1716 cách + Chọn em đội thuộc khới 12 khới 10 có C 12 − C 76 = 917 cách + Chọn em đội thuộc khới 11 khới 10 có C 11 − C 66 = 461 cách Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách chọn Bài 10 + Số tập hợp chứa phần tử X C 10 + Số tập hợp chứa phần tử X C 10 + Số tập hợp chứa phần tử X C 10 + Số tập hợp chứa phần tử X C 10 + Số tập hợp chứa 10 phần tử X Vậy có 45 + 210 + 210 + 45 + = 511 tập hợp = 45 = 210 = 210 = 45 Bài 11 + Trường hợp 1: chọn bi đỏ trắng có C 94 = 126 cách + Trường hợp 2: chọn bi đỏ vàng bi vàng có C 10 − C 44 = 209 cách + Trường hợp 3: chọn bi trắng vàng có C 11 − (C 54 + C 64 ) = 310 cách Vậy có 126 + 209 + 310 = 645 cách Cách khác: + Loại 1: chọn tùy ý 15 viên bi có C 15 = 1365 cách + Loại 2: chọn đủ màu có 720 cách gờm trường hợp sau: - Chọn bi đỏ, bi trắng bi vàng có 180 cách - Chọn bi đỏ, bi trắng bi vàng có 240 cách - Chọn bi đỏ, bi trắng bi vàng có 300 cách Vậy có 1365 – 720 = 645 cách Bài 12 + Do thi đấu vòng tròn lượt nên đội bất kỳ đấu với trận Số trận đấu giải C 14 = 91 + Tổng số điểm đội trận hòa nên tổng sớ điểm 23 trận hòa 2.23 = + Tổng sớ điểm đội trận hòa nên tổng sớ điểm 23 trận hòa 2.23 = 46 + Tổng số điểm đội trận khơng hòa nên tổng sớ điểm 68 trận khơng hòa 3.68 = 204 46+204 Vậy sớ điểm trung bình trận 91 = 250 điểm 91 Bài 13 Xem sớ có chữ sớ vị trí thẳng hàng + Bước 1: chọn vị trí để sắp chữ sớ (khơng hốn vị) có C 72 = 21 cách + Bước 2: chọn vị trí lại để sắp chữ sớ (khơng hốn vị) có C 53 = 10 cách + Bước 3: chọn chữ số 1, 4, để sắp vào vị trí lại (có hốn vị) có A23 = cách Vậy có 21.10.6 = 1260 sớ Bài 14 + Loại 1: chữ sớ a1 - Bước 1: chọn vị trí đầu để sắp chữ sớ có cách - Bước 2: chọn chữ số (trừ chữ sớ 1) để sắp vào vị trí lại có A47 = 840 cách Suy có 3.840 = 2520 số + Loại 2: chữ số a1 - Bước 1: chọn vị trí thứ để sắp chữ sớ có cách - Bước 2: chọn chữ số (trừ 1) để sắp vào vị trí lại có A36 = 120 cách Suy có 2.120 = 240 sớ Vậy có 2520 – 240 = 2280 số Bài 15 13 + Loại 1: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh khối B khới A có C 52 C 25 cách + Loại 2: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh khối B khối A không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: Chọn học sinh khối C, 10 học sinh khối B học sinh khối A có 10 C 52 C 10 C 15 cách - Trường hợp 2: Chọn học sinh khối C, học sinh khối B học sinh khới A có C 52 C 10 C 15 cách 13 10 Vậy có C 52 (C 25 − C 10 C 15 − C 10 C 15 ) = 51861950 cách Bài 16 + Trường hợp 1: khới có học sinh khới lại khới có học sinh - Bước 1: chọn khới có học sinh có cách - Bước 2: khới chọn ta chọn học sinh có C 43 = cách - Bước 3: khới lại khới có cách chọn Suy có 3.4.4.4 = 192 cách + Trường hợp 2: khới có học sinh khới lại có học sinh - Bước 1: chọn khới có học sinh có C 32 = cách - Bước 2: khới chọn ta chọn học sinh có C 42 = cách - Bước 3: khới lại có cách chọn Suy có 3.6.6.4 = 432 cách Vậy có 192 + 432 = 624 cách Cách khác: + Chọn học sinh tùy ý có C 12 = 792 cách = 56 12 + Chọn học sinh khối A B (tương tự khới A C, B C) có C 85 = 56 cách Vậy có 792 – 3.56 = 624 cách Bài 17 + Số tập hợp không chứa phần tử X\{0; 1} C 50 + Số tập hợp chứa phần tử X\{0; 1} C 51 + Số tập hợp chứa phần tử X\{0; 1} C 52 + Số tập hợp chứa phần tử X\{0; 1} C 53 + Số tập hợp chứa phần tử X\{0; 1} C 54 + Số tập hợp chứa phần tử X\{0; 1} C 55 Suy số tập hợp X\{0; 1} C 50 + C 51 + C 52 + C 53 + C 54 + C 55 = 32 tập hợp với {1} 32 tập hợp thỏa tốn Ta hợp Bài 18 Cách giải sai: + Trường hợp 1: chọn học sinh lớp A lớp B có C 94 cách + Trường hợp 2: chọn học sinh lớp A lớp C có C 84 cách + Trường hợp 3: chọn học sinh lớp B lớp C có C 74 cách Vậy có C 94 + C 84 + C 74 = 231 cách! Sai ta tính lặp lại trường hợp chọn học sinh lớp A trường hợp chọn học sinh lớp B Cách giải sai khác: + Loại 1: chọn tùy ý 12 học sinh có C 12 = 495 cách + Loại 2: chọn học sinh có mặt lớp - Bước 1: chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có: 5.4.3 = 60 cách - Bước 2: chọn học sinh học sinh lại lớp có cách Suy có 9.60 = 540 cách chọn loại (lớn số cách chọn loại 1!) Sai thực bước bước 2, vơ tình ta tạo thứ tự cách chọn Có nghĩa từ tổ hợp chuyển sang chỉnh hợp! Cách giải đúng: + Loại 1: chọn tùy ý 12 học sinh có C 12 = 495 cách + Loại 2: chọn học sinh có mặt lớp, ta có trường hợp sau: - Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có C 52 4.3 = 120 cách - Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có 5.C 42 = 90 cách - Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có 5.4.C 32 = 60 cách Vậy có 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cách Bài 19 Gọi số cần lập A = ¯a¯¯¯1¯¯a¯¯¯2¯¯a¯¯¯3¯¯¯ a¯¯4¯¯a¯¯¯5 với ≤ a ≤ + Trường hợp 1: a1 = Có cách chọn a5 A35 cách chọn chữ sớ lại nên có 4.A35 = 240 sớ + Trường hợp 2: a1 = 2, a2 lẻ Có cách chọn a2, cách chọn a5 A24 cách chọn chữ số lại nên có 2.3.A24 = 72 sớ + Trường hợp 3: a1 = 2, a2 chẵn Có cách chọn a2, cách chọn a5 A24 cách chọn chữ sớ lại nên có 2.2.A2 = 48 sớ 2.2.A24 = 48 sớ Vậy có 240 + 72 + 48 = 360 số Bài 20 Số tập hợp chứa k phần tử A C nk Ta có: C n4 = 20C n2 ⇔ n! 4!(n−4)! n! = 20 2!(n−2)! ⇔ (n − 2)(n − 3) = 240 ⇔ n = 18 ⇒{ ⇔{ k−1 k C 18 ≥ C 18 k C 18 ≥ k+1 C 18 ⎧ ⇔⎨ ⎩ 19 − k ≥ k k + ≥ 18 − k Vậy k = 18! k!(18−k)! 18! k!(18−k)! ⇔ 17 ≥ 18! (k−1)!(19−k)! ≥ 18! (k+1)!(17−k)! ≤k≤ 19 ... hoán vị tổ hợp chập 10 Vậy có C 10 = 210 sớ Nhận xét: i) Điều kiện để xảy hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp n phần tử phải phân biệt ii) Chỉnh hợp tổ hợp khác chỗ sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có... nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp Bước Đáp án tổng kết trường hợp Ví dụ Một nhóm cơng nhân gờm 15 nam nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành tổ cơng tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ. .. 1: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A215 cách + Bước 2: chọn tổ viên, có nữ - Trường hợp 1: chọn nữ nam có 5.C 13 cách - Trường hợp 2: chọn nữ nam có 13.C 52 cách - Trường hợp 3: chọn nữ có