Cuc tri ham da thuc

Chøng minh ®å thÞ c¸c hµm sè sau cã ba ®iÓm cùc trÞ cïng n»m trªn mét Parabol:. a.[r]

TuÇn 3

(Từ ngày 21/9/2009 đến ngy 26/9/2009)

cực trị hàm số đa thức A Kiến thức bản

1 iu kin cn: Hm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm điểm x0 đạt cực trị điểm x0 f’(x0) =

2 Điều kiện đủ: Nếu hàm số f(x) liên tục lân cận điểm x0 đổi dấu x qua x0 f(x) đạt cực trị x0

3 Quy tắc 1: Lập bảng biến thiên Quy tắc 2: Sử dụng đạo hàm cấp B Các dạng toán thờng gp

I Dạng I: Tìm cực trị hàm số đa thức

* K nng tớnh nhanh cực trị hàm số yf x( )ax3bx2 cx d a ;( 0) - Nếu hàm số đạt cực trị điểm x1;x2 ta có f’(x1) = f’(x2) = nên ta chia đa thức f(x) cho f’(x) ta đợc y = f’(x).q(x) + r(x) Từ suy giá trị cực trị

1 Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau:

a y x 3 3x2 9x5 b y x  8x3 22x2  24x10 c y x  2x2  d y x3 3x2 

e y x 3 3x2 4x f

2

y x  x

2 Tìm cực trị hàm sè sau: a y 2x 3 x2 4x 5

      b y x2  x x2  x1 c 2

1

x y

x

 

 d

1

x y

x x

 

  e y 1 3x 5 x2 2

    f y3x 10 x2 II Dạng II: Điều kiện để hàm số có cực trị

* Cho hµm sè yf x( )ax3bx2 cx d a ;( 0), ta cã:

2

'( ) f x  ax  bx c

a Hàm số cực trị f’(x) khơng đổi dấu: +/ a = b = c khác

+/ 0 a   

  

b Hàm số có cực trị: f’(x)= có nghiệm nhất: a = b khác c Hàm số có hai cực trị (có CĐ CT): f’(x) = có hai nghiệm phân biệt d Hàm số có CĐ CT với hoành độ thỏa mãn điều kiện K:

- Điều kiện để hàm số có CĐ CT: f’(x) = có hai nghiệm x1; x2 phân biệt - Vận dụng định lí Viet kiểm tra điều kiện K

e Hµm sè có CĐ CT khoảng I: Phơng trình f(x) = có hai nghiệm phân biệt khoảng I

f Hàm số có CĐ (hoặc CT) khoảng I: Lập BBT để suy điểm cực trị Điều kiện để hàm số có CĐ (hoặc CT) khoảng I xCĐ (hoặc xCT) thuộc I g Hàm số có CĐ CT thỏa mãn xCĐ < xCT a >  0

h Hàm số đạt CĐ (hoặc CT) điểm x0:

0

'( )

"( ) 0;( "( ) 0)

f x

f x f x

 



 



1 Cho hµm sè ( ) ( 1) 3( 2)

3

y f x  mx  m x  m x Tìm m để: a Hàm số có cực trị

b Hàm số đạt CĐ CT x1; x2 thỏa mãn x1+ 2x2 = c Hàm số đạt CĐ CT điểm có hồnh độ dơng d Hàm số đạt CĐ CT thỏa mãn xCĐ < xCT

e Hàm số đạt CĐ điểm x0 =

2 Cho hµm sè y f x( )x33mx2 3(m2  1)x m 3 3m

Cmr với m hàm số cho ln có CĐ CT; đồng thời m thay đổi điểm CĐ, CT ln chạy hai đờng thẳng phân biệt

Híng dÉn:

- Chứng minh phơng trình f’(x) = ln có hai nghiệm pb - Tìm y1 = f(x1) y2 = f(x2) sau rút gọn m để tìm quỹ tích Cho hàm số ( ) (cos 3sin ) 8(cos 1)

3

yf x  x  a a x  a x

a Cmr hàm số cho ln có CĐ, CT

b Giả sử hàm số đạt cực trị điểm x1 x2 Cmr: x12x22 18 Cho hàm số y f x( )x3  2(cosasin )a x2 sin 2a x 1

a Tìm a để hàm số có cực trị

b Giả sử hàm số đạt cực trị điểm x1 x2 Tìm a để: x1x2 x12 x22 Cho hàm số y f x( )x4 8mx3 3(1 ) m x2 Tìm m để:

a Hàm số có cực đại cực tiểu với tổng bình phơng hồnh độ 27 b Hàm số có CĐ, CT với hồnh độ khơng âm

c Hµm sè chØ có CT mà CĐ Hớng dẫn:

Ta cã: '( ) (2 12 3(1 )) 0 2

( ) 12 3(1 ) x

f x x x mx m

g x x mx m

 

      

    



a Hµm sè cã CĐ CT (có cực trị) f(x) = có ba nghiệm phân biệt Điều kiện g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình g(x) = điều kiện toán là:

2

1

5

0 27

6

x x    m  m

b Hàm số có CĐ, CT với hồnh độ khơng âm g(x) = có hai nghiệm d-ơng phân biệt ĐS: 1

2 m



  

c Hàm số có CT mà CĐ khi:

+/ ( ) 0; ' 0 7

6

g x      x   m 

' 1

(0) m

g

  

  

 

6 Cho hàm số yf x( )x4 2mx2 2m m Tìm m để đồ thị hàm số có điểm CĐ CT đỉnh tam giác

Híng dÉn:

- Hàm số có CĐ, CT f’(x) = có ba nghiệm phân biệt ( m > 0) - Khi ta có điểm cực trị là:

4 4

(0; ); ( ; ); ( ; )

A m  m B  m m  m  m C m m  m  m - Điều kiện để tam giác ABC là:

3

( 3)

AB AC

m m m

AB BC  

    

  

7 Cho hµm sè y f x( )x4 mx3mx2 mx1

Chứng minh với m hàm số đồng thời có CĐ CT Hớng dẫn:

- Ta cã

3

4 '( ) ( )

3

x

f x g x m

x x



   

 

- Số nghiệm phơng trình f’(x) = số giao điểm đờng thẳng y = m với đồ thị hàm số y = g(x)

- Ta cã:

2 2

2

4 2( 1)

'( ) 0;

(3 1)

x x x

g x x

x x

 

     

nên hàm số y = g(x) nghịch

bin Suy phơng trình g(x) = m có nghiệm, tức f’(x) = có nghiệm Vậy, hàm số khơng thể đồng thời có CĐ CT

8 Cho hàm số y f x( )x4  6x2 4x6 Chứng minh đồ thị hàm số ln có điểm cực trị gốc tọa độ O trọng tâm tam giác tạo điểm cực trị

Híng dÉn:

- Ta cã: f x'( ) 4 x3 12x4

- Nhận xét: f’(-2) = - 4; f’(-1) = 12; f’(1) = - 4; f’(2) = 12 Từ suy phơng trình f’(x) = ln có ba nghiệm phân biệt với m Vậy đồ thị hàm số ln có ba điểm cc tr vi mi m

- Giả sử điểm cực trị A x y B x y C x y( ; ); ( ; ); ( ; )1 1 2 2 3 3 th× ta cã: +/ x1x2 x3 0

 

2 2

1 1 2 3

2

1 2 3 1

3 ( 2) ( 2) ( 2)

3 ( ) 2( ) 2( )

3 2( 3)

y y y x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

 

            

 

           

     

Suy O(0; 0) trọng tâm tam giác ABC

III Dng III: Đờng thẳng (đờng cong) qua điểm cực trị

* Bài toán 1: Cho hàm số y f x( )ax3bx2cx d Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm CĐ CT đồ thị hàm số:

- Giả sử A x y B x y( ; ); ( ; )1 2 điểm cực trị đồ thị hàm số Khi

ta cã f x'( )1 f x'( ) 02  (*)

- Chia y cho y’ ta đợc: yf x q x'( ) ( ) r x( ) Do điều kiện (*) nên ta có:

1 ( );1 ( )2

y r x y r x Từ suy điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn phơng trình đờng thẳng y r x ( )

* Bài toán 2: Cho hàm số y f x( )ax4 bx3cx2 dx e Viết phơng trình đờng cong qua điểm CĐ CT đồ thị hàm số:

- Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (có cực trị)

- Giả sử A x y( ; )0 0 điểm cực trị đồ thị hàm số Khi f x'( ) 00  (*) - Chia y cho y’ ta đợc: y f x q x'( ) ( ) r x( ) Do điều kiện (*) nên ta có:

0 ( )0

y r x Từ suy điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn phơng trình đờng cong y r x ( )

1 Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số sau: a y x 3 x2  94x95

b y x 3 3x2  6x8

2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số sau có CĐ, CT viết phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị:

a y x 3 3(m1)x2 2(m2 7m2)x (m m2) b y3x33(m 3)x2 11 3 m

c y x 3mx2 7x3

d y x  3(m 1)x2 (2m2 3m2)x m m (  1) e y 2x3 3(3m1)x2 12(m2 m x) 1

3 Cho hàm số y f x( )x3 3mx2 4m3 Tìm m để điểm CĐ, CT đồ thị hàm số đối xứng qua đờng thẳng ( ) : y x

Híng dÉn:

- Ta cã: y' 3 x2  6mx vµ ' 2

3

m

y x  y m x m

 

- Điều kiện để hàm số có CĐ, CT y’ = có hai nghiệm phân biệt  m0 - Giả sử A x y B x y( ; ); ( ; )1 1 2 2 điểm cực trị Ta có:

2 3

1 2 ; 0; ; 2

x x  m x x  y  m x  m y  m x  m Suy phơng trình đờng thẳng AB là: y 2m x2 4m3

- Gọi I trung điểm đoạn AB Khi đó, điều kiện để A B đối xứng qua đờng thẳng ( ) : y x là:

2

1 2

2

2

2

m AB

m

y y x x

I

   

 

  

     



 



4 Cho hàm số y x 3 3x2m x m2  Xác định m để điểm CĐ, CT đồ thị hàm số đối xứng qua đờng thẳng ( ) : x 2y 0

5 Cho hµm sè 3 2

y x  mx m Xác định m để điểm CĐ, CT đồ thị hàm số nằm hai phía đờng thẳng ( ) : x y 0

6 Cho hàm số y mx 3 3mx2 (2m1)x 3 m Xác định m để hàm số có CĐ, CT Cmr đờng thẳng qua điểm cực trị hàm số qua điểm cố định Chứng minh đồ thị hàm số sau có ba điểm cực trị nằm Parabol:

a y x  x3 5x2 1 b 3

4

y x  x  x  x

c y x  6x2 4x6

8 Cho hàm số y x 4(m1)x2 1 a Tìm m để hàm số có CĐ, CT

b Xác định phơng trình đờng cong qua điểm cực trị đồ thị hàm số Cho hàm số 3( 2) ( 6)

4

y x  x  m x  m x

a Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị