Hướng dẫn giải bài tập Đại số và Giải tích 11: Phần 2

%ieangIV GI6IHAN §1 Gidi hqn cua day so A KIEN THOC CAN NHd Gidi han hum han • lim M„ = va chi IM„I cd thi nhd hon mdt sd' duong be y, kl tfl mdt sd hang nao dd trd di • lim v„ = a lim (v„ - a) = n—>+oo n->+oo Gidi han vo circ* • lim M„ = +00 va chi M„ cd thi ldn hon mdt sd duong ldn y, n—>+oo kl tfl mdt sd hang ndo dd trd di • lim M„ = -00 ãô lim (-M) = +cằ n>+oo ^ n>+ n vdi mgi n Chflng minh ring limM„ = +00 Gidi Vi lim/2^ = +00 (gidi han dac biet), nen n cd thi ldn hon mdt sd duong ldn y, kl tfl mdt sd hang nao dd trd di 142 Mat khdc, theo gia thidt M„ > n vdi mgi n, nen u„ cung cd thi ldn hon mdt sd duong ldn y, k l tfl mdt sd hang ndo dd trd di Vdy lim M„ = +OO ^ Nhan xet : Trong cac vf du tren, ta da van dung true tiep cac djnh nghTa ve gidi han cCia day sd • Vidu An^ Tinh lim -n-l + 2/2^ Gidi An"- Ta cd lim -n-l 4-i-L = lim- + 2/2^ n 4- n = n • ViduS Tfnh lim yj3n^ + + n 1- -2/2^ Gidi , — , Tl n\3 + —r^ + n / 1 3+— +— n n' n\ l-2rf 1-2/2^ -2 • Vidu Tfnh lim n - h+l Gidi lim n n+l = lim n^ + n^ -2 = lim n+l n n ^ = +00 n 143 • Vidu7 -i_ Tfnh lim(-/2^ + n4n + 1) Gidi lim(-/2^ + n4n + 1) = lim{-n^) • I- A V/2 ; n' — —00 ViduS -p Tfnh lim •\//2 + n - -)• Gidi , ^ ^ (V/2^ +/2 - V/2^ - (v/2^ +/2 + V/2^ - lim V/2^ + /2 - V/2^ - = lim-^^ '^ '^ ' yjn^ +n+ yfn^ - n+l = lim y/n^+n + yln^ ^ l+• = lim- n • = lim I 1.1 LX ' nJl+— + nJl—- Luu y : Khi giai bai toan Vf du 7, ta da bien ddi ve dang cd thd ap dung hai tinh chat sau : • limM„ = + 00 lim(-M„) = -OO (1) • Neu limM„ = +oo v^ limv„ = a > thi limM„v„ = +oo (2) Tuy nhien, nhOng bien ddi tren Ichdng cdn thfch hgp vdi Vf du Qu^ thirc, ndu lam tuong tu nhu vay ta se cd : limNn^ +n-^rf - 1 = lim nAl + nAl — - V = lim/2 r V Vi lim 144 -HH 1+- 1n = 0, nen khdng the ap dung tinh chat (2) d tren ^ Nhan xet: De tim gidi han cCia mot day sd ta thudng dUa ve cac gidi han dang dSc biet va ap dung cac dinh li ve gidi han hOu han hoac cac djnh li ve gidi han vd cue De cd the ap dung dUdc cac djnh If ndi tren, thong thudng ta phai thUc hien mdt vai bien ddi bieu thflc xae dinh day sd da cho Sau day la vai ggi >^ bien ddi, cd the van dung theo tflng trUdng hop : - Ndu bieu thflc cd dang phan thflc ma mau va tfl deu chfla cac luy thfla cOa n, thi chia tfl va mau cho n , vdi k la sd mu cao nhat - Neu bieu thflc da cho co chfla n dudi dau can, thi cd the nhan tfl sd va miu sd vdi cijng mot bieu thflc lien hgp • Vidu Cho day sd (M„) xae dinh bdi • Ml = V "n+l = v ••" "n Vdi/2>1 Bilt (M„) cd gidi han huu han 1dii n —> +00, hay tim gidi han dd Gidi Ddt limM„ = a Ta cd ''n+l ^2 + M„ => limM„+i = lun y/2 + M„ => a = yf2 + a =>a -a-2 = 0^^a Vi M„ > nen limM„ = a > VdylimM^ = = -l hoac a = Luu y : Trong Idi giai tren, ta da dp dung tfnh ehd't sau ddy "Nlu limM„ = a thi limM„+i = a" Ban dgc cd thi chiing minh tfnh chdt bing dinh nghia • Vidu 10 Cho day sd (M„) xdc dinh bdi cdng thflc truy hdi "1 = M„^i *n+l = 2-M„ vdi n >l Day sd (M„) cd gidi han hay khdng n^> +(p'? Ndu cd, hay tim gidi han dd 10 BTBS>11-A 145 Gidi Ta cd Ml = — ; M2 = :r- ; M3 = — ; M4 = — Tfl dd dir dodn u„ = -.(1) Chflng minh dfl dodn trln bing quy nap : - Vdi /2 = 1, ta cd MI = - — - = - (dung) - Gia sfl dang thflc (1) dflng vdi /i =fe(fe > 1), nghia la MJ^ = Khi dd ta ed M^+I = = fe + r— = -r—^, nghia la dang thflc (1) ^"feTT cung dflng vdi n-k+l - Vdy u„ = — ^ V/2 e N* " n+l Tfl dd ta cd limM_ = lim = lim = " n+l , 1+ — n ^ Nhan xet : De tim gidi han ciia day sd cho bang cdng thflc truy hdi ta cd the tim cdng thflc tdng quat, cho phep tfnh u„ theo n, bang each dfl doan cdng thflc nay, va chflng minh du doan bang quy nap Sau dd, tim gidi han cua (i2„) qua cdng thflc tdng quat • Vidu 11 Giai Day sd vd han , - V2,1, —j=, —, la mdt cdp sd nhdn vdi cdng bdi -yf2 146 10 BTDS>11-B Vi \q\ = yfi = —j= < nen day sd la mdt cdp sd nhdn lui vd han V2 \ 2V2 + J _ " V + l' Dodd,5=2-V2 + l - = + yfi • Vidu 12 l i m dang khai triln cua cdp sd nhdn lui vd han (v„), bilt tdng cua nd bing 32 va V2 = Gidi Tfl gia thidt suy , ^ = 32 Mat Idiac, V2 = Vi Vi = — The vao dang thflc tren ta cd : —= 32 — >- —, —, V 2y 1.12 Tfnh tdng = + 0,9 + (0,9)^ + (0,9)^ + + (0,9)"n-l' + 1.13 l i m sd hang tdng qudt cua cdp sd nhdn lui vd han cd tdng bdng va cdng bdi^=f 1.14 Cho day sd' (6„) cd sd hang tdng quat la b„ = sina + sin a + + sin"a n vdi a^ — + kn l i m gidi han cua {b„) 149 ... n -^ +oo a) a„ 2/ 2 - / ^ + 3 /2^ -5 /2 + b)&n = n^ +A n^ +n 2/ IV /2 c) f n = -T^ n^ +2n-l e) «„ = 2" + 3" - 4" + g) "n = 148 2. 4" + 2" (2 - 3nf{n + if d)rfn = I-An f)v„ = h)v„ ' yf2^" V "" J + •... Tinh lim -n-l + 2/ 2^ Gidi An"- Ta cd lim -n-l 4-i-L = lim- + 2/ 2^ n 4- n = n • ViduS Tfnh lim yj3n^ + + n 1- -2/ 2^ Gidi , — , Tl n3 + —r^ + n / 1 3+— +— n n' n l-2rf 1 -2/ 2^ -2 • Vidu Tfnh lim... vd han V2 2V2 + J _ " V + l' Dodd,5 =2- V2 + l - = + yfi • Vidu 12 l i m dang khai triln cua cdp sd nhdn lui vd han (v„), bilt tdng cua nd bing 32 va V2 = Gidi Tfl gia thidt suy , ^ = 32 Mat Idiac,