ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀ VI PHÂN TRONG TÍNH TOÁN HÌNH HỌC

Tham khảo tài liệu ''ứng dụng của tích phân và vi phân trong tính toán hình học'', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chơng ứng dụng Tích phân vi phân tính toán hình học 6.1 ứng dụng tích phân xác định Diện tích hình phẳng a Hình phẳng giới hạn đờng cho toạ độ Đềcác Nh đà nêu phần trớc, miền phẳng hình thang cong giới hạn đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) với f(x) hàm liên tục, đơn trị [a,b] f ( x) x [a, b] cã diƯn tÝch tÝnh bëi c«ng thøc: b S = ∫ f ( x)dx a Do ®ã dƠ dàng thấy, miền phẳng giới hạn đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) hàm f(x) liên tục, đơn trị [a,b] f ( x) x ∈ [ a, b] cã diƯn tÝch lµ: b S = − ∫ f ( x )dx a MiỊn ph¼ng giới hạn đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) hàm f(x) liên tục, đơn trị [a,b] có diƯn tÝch lµ: b S = ∫ | f ( x ) | dx (1) a Miền phẳng đợc giới hạn đờng x=a, x=b, y=f1(x), y=f2(x) hàm y=f1(x), y=f2(x) liên tục, đơn trị [a,b] ∀x ∈ [ a, b] cã diƯn tÝch lµ: b S = ∫ f ( x) − f1 ( x) dx (2) a Hình 18 Tơng tự, miền phẳng giới hạn đờng y=c, y=d, Oy, x=g(y), hàm g(y) liên tục, đơn trị [c,d] cã diƯn tÝch lµ: d S = ∫ g ( y ) dy (3) c DiƯn tÝch cđa miỊn ph¼ng đợc giới hạn đờng y=c, y=d, x=g1(y), x=g2(y) hàm x=g1(y), x=g2(y) liên tục, đơn trị [c,d] y [c, d ] là: d S = ∫ g ( y ) − g1 ( y ) dy (4) c Trang -1 VÝ dô 6.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng cong: a { y=2-x2 , y=x} Ta cã: − x = x ⇔  x =1 x2 + x − = ⇔   x = −2 VËy H×nh 19 1 S = ∫ | − x − x | dx = ∫ (2 − x − x) dx −2 −2  x x  =  x − −  1− =   b {y=(x+1) , x=sinπy, y=0} Tõ y=(x+1)2 cã x= y − , x≤ nªn y∈[0,1] ta cã: [ ]  1 +  π 3 S= ∫ sin πy − y + dy =  H×nh 20 VÝ dơ 6.2: TÝnh diện tích hình phẳng giới hạn Elip x2 y2 + =1 a2 b2 Do hình Elip đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tính diện tích theo phần t hình nằm góc phần t thứ Trong góc phần t thứ nhất, phần hình b a − x VËy ph¼ng giíi hạn hai trục toạ độ cung elip có phơng trình y = a a b b S =4 a − x dx = a a ∫ a ∫ a − x dx 4b x a x a [ a2 − x2 + arcsin ]| = πab a 2 a b Miền phẳng giới hạn đờng cho dới dạng tham số Miền phẳng giới hạn đờng x=a, x=b, Ox, đờng cong cho phơng tr×nh tham sè:  x = x (t ) víi a=x(t1), b=x(t2), t10) quay quanh trơc Ox Chun sang toạ độ cực: x = r cos  y = r sin ϕ π ) r= a cos , (0 Ta đợc: Xem phơng trình tham số x,y theo ta có: x'ϕ2 + y 'ϕ2 = r + r ' = a2 cos 2ϕ VËy S = 2π π ∫y r + r ' dϕ π = 2π a cos 2ϕ sin ϕ ∫ a2 dϕ cos 2π π π = 2πa sin ϕdϕ = −2πa cos ϕ 04 = πa (2 − ) ∫ 6.2 H×nh học vi phân mặt phẳng Độ cong a Định nghĩa Cho đờng cong L, không tự giao có tiếp tuyến điểm Trên L chọn chiều làm chiều dơng, tiếp tuyến L M, ta chọn hớng ứng với hớng dơng L gọi tiếp tuyến dơng Nếu điểm M0 L ta vẽ tiếp tuyến dơng tiếp điểm di chuyển đoạn s = M M đờng cong, tiếp tuyến dơng quay góc Đờng cong L cung M M cong gãc ∆α cµng lín Trang -11 Ngêi ta gäi tû số , độ cong trung bình s đờng cong cung M M Trong góc hai tiếp tuyến dơng t¹i hai mót cđa cung M M , ∆s độ dài cung đó, ký hiệu: Ctb= Hình 33 s Hiển nhiên , s phụ thuộc đờng cong mà không phụ thuộc hệ toạ độ biểu diễn đờng cong L Từ khái niệm độ cong trung bình ta có định nghĩa độ cong điểm Định nghĩa 1: Độ cong điểm M0 đờng cong L giới hạn, có, độ cong trung bình cung M M M dần đến M0 L Ký hiệu độ cong M lµ C(M0) ta cã: ∆α dα C tb = lim = C(M0)= Mlim →M ∆s →0 ∆s ds b Công thức tính độ cong Nếu gọi góc tiếp tuyến M đờng cong L với chiều dơng trục Ox, đó: dy tgα = y ' = dx Hay α=arctg y’ dα y" = dx + y ' (i) NÕu đờng cong cho phơng trình y=y(x), từ biểu thức vi ph©n cung ds = + y ' ta cã: ds = + y ' ( x )dx hay dx dα dα dx y" = = ds dx ds 2 (1 + y ' ) y" VËy: C(M)= (1) (1 + y ' ) (ii) Nếu đờng cong có phơng trình tham sè:  x = x (t )   y = y (t ) dy y 't = Do: nªn dx x't ( ) 2  x' t + y ' t (1 + y ' ) = x't   d y x' t y"t − y ' t x"t  y " =  x dx = x' t (2) Thay vào (1) ta đợc biểu thức phụ thuéc t: Trang -12 C(M) = x' y"− y ' x" (3) ( x' + y ' ) (iii) Nếu đờng cong có phơng trình toạ độ cực: r=r() Chuyển toạ độ cực toạ độ Đề theo công thức: x = r (ϕ ) cos ϕ   y = r (ϕ ) sin xem phơng trình tham số cña L theo ϕ Ta cã: x' (ϕ ) = r ' cos ϕ − r sin ϕ y ' (ϕ ) = r ' sin ϕ + r cos ϕ x" (ϕ ) = r" cos ϕ − 2r ' sin ϕ − r cos ϕ y" (ϕ ) = r" sin ϕ + 2r ' cos ϕ − r sin ϕ  x' + y ' = r ' + r Do (4)   x' y"− y ' x" = r + 2r ' rr" Thay vào (3) đợc biểu thức phô thuéc ϕ: C(M) = r + 2r ' −rr" (5) (r + r ' ) VÝ dơ 6.14: a TÝnh ®é cong cđa đờng Parabol y=ax2 góc O Do y=2ax, y=2a nên t¹i x=0 ta cã: y" =2 a C= 2 (1 + y ' ) Nh vËy nÕu a lớn đỉnh Parabol cong b Tính ®é cong t¹i ®iĨm bÊt kú cđa ®êng Xycloit  x = a(t − sin t ) (a>0)   y = a (1 − cos t ) Ta cã: x’=a(1 - cos t), y’=a sint x”=a sin t, y”=a cos t VËy x' y"− y ' x" cos t − t = = C= 4a sin 2 2 ( x' + y ' ) 2 a (1 − cos t ) c Tính độ cong điểm =0 đờng Cácđiôit: r=a(1+cosϕ) Ta cã: r=a(1+cosϕ) t¹i ϕ=0, r=2a r’=- a sinϕ t¹i ϕ=0, r’=0 r”=- a cosϕ t¹i ϕ=0, r”=-a Do ®ã: r + 2r ' −rr" 4a + 2a C= = = 4a 8a (r + r ' ) 2 Đờng tròn khúc khúc tâm a Định nghĩa Trang -13 Tại điểm M đờng cong L, phía lõm đờng cong, đờng vuông góc với tiếp tuyến M ( ta gọi pháp tuyến L M), lấy điểm I cho: MI= 1 Đờng tròn tâm I, bán kính R= đợc gọi đờng C (M ) C (M ) tròn khúc L M Tâm I đờng tròn khúc Hình 34 đợc gọi khúc tâm ứng với M, bán kính R= đờng tròn khúc gọi C (M ) khúc bán kính Đờng tròn khúc M L có chung tiếp tuyến với L M M chúng có độ cong C(M)= Tại lân cận M xấp xỉ L đờng tròn khúc R tốt xấp xỉ tiếp tuyến M b Toạ độ khúc tâm Giả sử M(x,y), khúc tâm I có toạ độ (X,Y) Ta cần tìm biểu thức (X,Y) qua (x,y) Giả sử L có phơng trình y=f(x) Gọi (,) toạ độ điểm pháp tuyến L M, phơng trình pháp tuyến L M η − y = − (ξ − x ) y' Vì khúc tâm I(X,Y) nằm pháp tuyến nên ta cã: Y − y = − ( X x) (6) y' Vì MI=R nên: (X-x)2+(Y-y)2=R2 (7) Từ hai phơng trình suy ra: y ' (1 + y ' ) + y'2 X = x± , Y = y y" y" NÕu y”>0 ®êng L lâm nªn Y>y, vËy: + y'2 Y = y+ y" Nếu y