Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số hệ thống các nội dung sau: phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp đánh giá, phương pháp cộng đại số, bài tập tự luyện.
WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ MỤC LỤC Trang • I- Phương pháp 03 • II- Phương pháp đặt ẩn phụ 11 • III- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 21 • IV- Phương pháp đánh giá 25 • V- Phương pháp cộng đại số 27 • VI- Bài tập tự luyện 29 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ I- PHƯƠNG PHÁP THẾ • Mục đích: Đưa việc giải hệ phương trình hai ẩn giải phương trình ẩn • Dưới số hệ phương trình mà có khả giải phương pháp Hệ phương trình có phương trình phương trình bậc với ẩn x (hoặc y) • Phương pháp: Tính x theo y (hoặc y theo x) vào phương trình cịn lại • Một số ví dụ: Ví dụ 1: x + 2y = Giải hệ phương trình: 2 x + y − xy = (1) (2) Giải: y = (1) ⇔ x = − y , thay vào (2), ta được: (2) ⇔ 10 y2 − 30 y + 20 = ⇔ y = • Với y = ta x = • Với y = ta x = Vậy hệ cho có hai nghiệm: x = 3, y = x = 1, y = Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2008) 2 x + x y + x y = x + (1) Giải hệ phương trình: (2) x + xy = x + (I) Giải: Cách 1: Nhận xét x = không thỏa mãn hệ phương trình −x2 + 6x + Xét x ≠ , ta có ( ) ⇔ y = vào phương trình (1), ta được: 2x −x2 + 6x + −x2 + 6x + ⇔ x + x () + x = 2x + x x 2 x = (lo¹i) ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = ⇔ x ( x + ) = ⇔ x = −4 • x = −4 ⇒ y = − 17 17 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = −4; − 4 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ x + xy = x + (1) Cách 2: (I) ⇔ x xy = x + − (2) ( ) Thay xy = 3x + − x2 vào (1), ta phương trình: 2 x = x2 + + − x x 3 = x + ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = ⇔ x ( x + ) = ⇔ x = −4 • x = khơng thỏa mãn (2) • x = −4 ⇒ y = − 17 17 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = −4; − 4 Hệ phương trình có phương trình đưa phương trình tích • Phương pháp: Phân tích phương trình hệ phương trình tích, sau tính x theo y (hoặc y theo x) vào phương trình cịn lại • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối A năm 2003) 1 x− = y− Giải hệ phương trình: x y 2 y = x3 + (1) (2) Giải: Cách 1: (Rút thế) Điều kiện xác định: x ≠ 0; y ≠ (2) ⇔ y = x3 + , vào (1) ta được: (1) ⇔ x − x + x + x − x − x + = ( ) ⇔ ( x − 1) x + x − x + x + x + x − = x = ⇔ x + x − x + x + 3x + x − = • Với x = ta y = (*) Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ • Giải phương trình (*): (*) ⇔ x x + x − + x x + x − + x + x − = ( ( ) ( )( ) ( ) ) ⇔ x2 + x − x4 + x + = x2 + x − = ⇔ x + x + = • x2 + x − = ⇔ x = −1 ± 2 1 1 • x + x + = ⇔ x − + x + + = (phương trình vơ nghiệm) 2 2 Vậy hệ phương trình chó có nghiệm là: −1 + −1 + −1 − −1 − (x ; y) = (1;1), ( x; y) = ; ; , ( x; y) = 2 2 Cách 2: (Phân tích phương trình hệ phương trình tích) Điều kiện xác định: x ≠ 0; y ≠ y = x (1) ⇔ ( x − y) + = ⇔ y = − xy x x = • Với y = x , vào (2), ta được: (2) ⇔ x − x + = ⇔ x = −1 ± • Với y = − , vào (2), ta được: x 2 1 1 (2) ⇔ x + x + = ⇔ x − + x + + = (phương trình vơ nghiệm) 2 2 Vậy hệ phương trình chó có nghiệm là: −1 + −1 + −1 − −1 − (x ; y) = (1;1), ( x; y) = ; ; , ( x; y) = 2 2 Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối D năm 2008) xy + x + y = x − y Giải hệ phương trình: x y − y x − = x − y (1) (2) Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ y ≥ Giải: Điều kiện xác định: x ≥ (1) ⇔ ( x + y) ( x − y − 1) = ⇔ x = y + (vì x + y > điều kiện xác định) Thay x = y + vào (2) ta (2) ⇔ ( y + 1) y = 2( y + 1) ⇔ y = (vì y + > ) • Với y = ta x = Vậy hệ có nghiệm ( x; y) = (5;2) Chú ý: Ta phân tích (1) thành phương trình tích cách sau: (1) ⇔ x − ( y + 1) x − y − y = Xem phương trình bậc hai theo ẩn x, ta tính ∆ = ( y + 1) ( y + 1) + (3 y + 1) x = x = 2y + Do đó: (1) ⇔ ⇔ x = −y x = ( y + 1) − (3 y + 1) Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2011) 5 x y − xy + y − ( x + y ) = (1) Giải hệ phương trình: 2 (2) xy x + y + = ( x + y ) ( ) Giải: Nhận xét x = y = nghiệm hệ xy = ( ) ⇔ xy ( x + y2 ) + = x + y2 + xy ⇔ ( xy − 1) ( x + y2 − ) = ⇔ 2 x + y = • xy = ⇔ x = thay vào (1), ta được: (1) ⇔ y − y + = ⇔ y = ±1 y Trong trường hợp này, hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( −1; −1) • x + y = thay vào (1), ta được: (1) ⇔ 5x y − xy2 + 3y3 − ( x + y ) ( x + y ) = ⇔ y3 − xy + x y − x = (ph−¬ng trình đẳng cấp bậc x y) y y y ⇔ − + − = x x x Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ y x =1 x = y ⇔ ⇔ x = 2y y = x • Với x = y , ta giải ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( −1; −1) • Với x = y , thay vào (2), ta được: (2) ⇔ y = ⇔ y = ± 2 , suy x = ±2 5 2 2 Tóm lại, hệ cho có tập nghiệm: S = (1;1) , ( −1; −1) , ;2 , − ; −2 5 5 Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối D năm 2012) 2 x − x y + x + y − xy − y = Giải hệ phương trình: xy + x − = (1) (2) Giải: Cách 1: (Rút thế) Nhận xét x = không thỏa mãn (2) nên (2) ⇔ y = 2−x , thay vào (1), ta được: x 2−x 2−x − (2 − x ) − = ⇔ x + x − x − 3x + = (1) ⇔ x − x ( − x ) + x + x x x = ⇔ ( x − 1) x + x + x + x − = ⇔ x + x + x + x − = (*) ( ) • Với x = , ta y = 1 35 Giải (*): Đặt x = t − , (*) trở thành: t + t − =0⇔t =± 2 16 • Với t = 5 −1 , ta x = y = 2 • Với t = − − −1 , ta x = y = − 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: −1 − −1 ; , ( x; y) = ; − (x ; y) = (1;1), ( x; y) = Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ Chú ý: • Đồ thị hàm số f ( x ) = x + x + x + x − có trục đối xứng đường thẳng x = − nghiệm chung phương trình f ' ( x ) = f ''' ( x ) = ) Do ta đặt x = t − phương trình (*) đưa phương trình trùng phương (x =− • Có thể phân tích f ( x ) = x + x + x + x − thành tích hai tam thức bậc hai cách sử dụng máy tính Casio 570ES sau: + Sử dụng chức SOLVE ta tìm nghiệm x1 ≈ 0,6180339887 → A (gán cho biến nhớ A) + Sử dụng chức SOLVE ta tìm nghiệm x2 ≈ −1,618033989 → B (gán cho biến nhớ B) + Tính A + B = −1; A.B = −1 , suy x1 ; x2 nghiệm phương trình x + x − = + Thực phép chia x + x + x + x − cho x + x − , ta được: ( )( x + x3 + x2 + x − = x2 + x − x2 + x + ) Cách 2: (Phân tích phương trình hệ phương trình tích) y = 2x + (2) ⇔ ( x − y + 1) x − y = ⇔ y = x −1 ± • Với y = x + , thay vào (1) ta (1) ⇔ x + x − = ⇔ x = −1 − −1 Do ta nghiệm ( x; y) = ; , ( x; y) = ; − • Với y = x , thay vào (1) ta (1) ⇔ x + x − = ⇔ x = Do ta nghiệm (x ; y) = (1;1) ( ) Vậy hệ cho có ba nghiệm: −1 − −1 , ( x; y ) = (x ; y) = (1;1), ( x; y) = ; ; − Hệ phương trình có phương trình đưa phương trình đẳng cấp x y sau rút • Phương trình đẳng cấp bậc n x y phương trình có dạng: a0 x n + a1 x n−1 y + a2 x n −2 y + + an−1 xy n −1 + an y n = (1) với a0 ≠ • Phương pháp giải (1): Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ Xét y = 0; x = có phải nghiệm (1) hay khơng Xét y ≠ , chia hai vế (1) cho y n , ta được: n x x (1) ⇔ a0 + a1 y y n −1 + + an −1 x x + an = (2) Đặt t = (2) trở thành: y y a0t n + a1t n−1 + + an −1t + an = (3) Giải phương trình (3) ta tìm t, có t ta tính x theo y Sau dùng phương pháp để giải hệ phương trình cho • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) x − x = y3 + y Giải hệ phương trình: 2 x − = y + ( ) (I) Giải: 3 x − y3 = ( x + y ) 3 x − y = ( x + y ) (1) (I) ⇔ ⇔ 2 x − y = (2) x − y = ( ) Thế x − 3y = vào (1), ta được: (1) ⇔ ( x − y3 ) = ( x − 3y2 ) ( x + y ) ⇔ x + x y − 12 xy2 = (*) Ta thấy (*) phương trình đẳng cấp bậc x y x = (*) ⇔ x = y x = −4 y • x = vào (2) ta −3y2 = (vơ nghiệm) • x = 3y vào (2) ta y2 = ⇔ y = ±1 • x = −4 y vào (2) ta y2 = 6 ⇔y=± 13 13 Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x; y ) = ( 3;1) , ( x; y ) = ( −3; −1) , ( x; y ) = 6 6 ;− ; , ( x; y ) = −4 13 13 13 13 Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học lần khối A trường THPT chuyên Vĩnh Phúc năm 2013) x + y = y3 + 16 x (1) Giải hệ phương trình: 2 (2) 1 + y = + x ( ) Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ Giải: (1) ⇔ x + ( y − x ) − y3 = (2) ⇔ y − 5x = vào (1) ta được: ( (1) ⇔ x + y − 5x )( y − 4x ) − y = ⇔ 21x − x y − xy = ⇔ x = hc x = −1 y hc x = y • x = vào (2) ta y = ⇔ y = ±2 • x= −1 y vào (2) ta y = ⇔ y = ±3 • x= 31 y vào (2) ta − y = (vô nghiệm) 49 Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x; y ) = ( 0;2 ) , ( x; y ) = ( 0; −2 ) , ( x; y ) = (1; −3) , ( x; y ) = ( −1;3) 10 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ II- PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ • Mục đích: đưa hệ phương trình cho hệ phương trình đơn giản giải phương pháp rút • Phương pháp chung: đặt a = f ( x, y) b = g ( x; y) tìm điều kiện a b (nếu có) Sau đưa hệ cho hệ phương trình hai ẩn a b mà giải phương pháp • Các kỹ thuật hay dùng: + Sử dụng đẳng thức để nhóm số hạng + Chia hai vế cho biểu thức khác • Chú ý: Muốn đặt ẩn phụ ta phải quan sát, phân tích, tìm mối liên hệ biểu thức, số hạng phương trình Do đó, phải làm nhiều tập, từ tích lũy kinh nghiệm, linh hoạt phép đặt ẩn phụ Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B năm 2002) 3 x − y = Giải hệ phương trình: x + y = x− y (1) x+ y+2 (2) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) x − y ≥ Khi Điều kiện xác định: x + y + ≥ x − y = x = y (1) ⇔ ( x − y)2 = ( x − y)3 ⇔ ⇔ x − y = x = y +1 • Với x = y , vào (2), ta được: y ≥ y ≥ (2) ⇔ y = y + ⇔ ⇔ ⇔ y =1 y y = ∨ = − 4 y − y − = • Với x = y + , vào (2), ta được: y≥− + ≥ y (2) ⇔ y + = y + ⇔ ⇔ ⇔y= y + y − = y = −1 ∨ y = Vậy hệ có hai nghiệm x = 1, y = x = , y = 2 Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Đặt u = x − y v = x + y + (điều kiện u ≥ v ≥ ) Hệ cho trở thành: 11 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ Đặt a = x + y + b = x + y với điều kiện a ≥ b ≥ hệ cho trở thành: a2 + b2 = b2 + b − = a = 2; b = ⇔ ⇔ a = −1; b = −2 (lo¹i) a − b = a = + b x + y + = 2 x + y = x = • Với a = 2; b = ta có hệ ⇔ ⇔ x y + = x y + = y = −1 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2; −1) Ví dụ 8: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2005) x + y + x + y = Giải hệ phương trình: x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = Giải: Đặt a = x + y b = xy hệ cho trở thành: a2 + a − 2b = a2 + a = a = a = −1 hc ⇔ ⇔ b = −2 b = −2 b = −2 b = −2 x = x = − x + y = • hc ⇔ xy = −2 y = − y = x + y = −1 x = x = ã xy = −2 y = −2 y = Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x; y ) = (1; −2 ) ; ( x; y ) = ( −2;1) ; ( x; y ) = ( − ) 2; ; ( x; y ) = ( ) 2; − Ví dụ 9: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2005) x + y2 Giải hệ phương trình: 2 x − y ( ( ) ( x − y ) = 13 ) ( x + y ) = 25 (1) (2) (I) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) 25 x + y ( x − y ) = 13.25 (* ) (I) ⇔ 2 x − y ( x + y ) = 25 Thế x − y ( x + y ) = 25 vào (*), ta có: ( ) ( ( ) ) (* ) ⇔ 25 ( x + y2 ) ( x − y ) = 13 ( x − y2 ) ( x + y ) 17 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ x − y = 3y 2y x = ⇔ ⇔ x = y x = 2 25 x + y = 13 ( x + y ) • Với x = y hệ vơ nghiệm 3y (1) ⇔ y3 = ⇔ y = , suy x = • Với x = 2y (1) ⇔ y3 = −27 ⇔ y = −3 , suy x = −2 • Với x = Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ( 3;2 ) ( x; y ) = ( −2; −3) Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) ( x − y )2 + xy ( x − y ) = 13 (I) ⇔ ( x − y ) ( x − y ) + xy = 25 a = a + b a = 13 a + 2ab = 13 Đặt a = x − y b = xy , hệ trở thành: ⇔ ⇔ a a + 4b = 25 a + ab = 25 b = x − y = x = 3; y = ⇔ • xy = x = −2; y = −3 ( ) ( ) ( ) Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ( 3;2 ) ( x; y ) = ( −2; −3) Cách 3: (Phương pháp đặt ẩn phụ) • Nhận xét với y = hệ (I) vơ nghiệm • Xét y ≠ , đặt x = ty (I) trở thành: t + ( t − 1) = 13 (3) y t + ( t − 1) = 13 (*) ⇔ 2 y t − ( t + 1) = 25 t − ( t + 1) = 25 (4) Nhận xét t = nghiệm (*) nên lấy (4) chia (3), vế theo vế ta được: ( t + 1)( t + 1) = 25 ⇔ 6t − 13t + = ⇔ t = ∨ t = 13 t2 + 3y • Với t = hay x = (1) ⇔ y3 = ⇔ y = , suy x = 2 2y (1) ⇔ y3 = −27 ⇔ y = −3 , suy x = −2 • Với t = hay x = 3 Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ( 3;2 ) ( x; y ) = ( −2; −3) Chú ý: Hệ (I) ví dụ trường hợp đặc biệt hệ sau (hệ đẳng cấp): a0 x n + a1 x n−1 y + + an−1 xy n−1 + an y n = b0 x m + b1 x m −1 y + + bm −1 xy m −1 + bm y m (*) p p −1 p −1 p q q −1 q −1 q c0 x + c1 x y + + c p −1 xy + c p y = d0 x + d1 x y + + dq −1 xy + dq y Trong m, n, p, q ∈ » n + q = m + p ( ( ) ) ( ( ) ) 18 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ Để giải hệ (*) ta đặt x = ty , tìm t Có t ta tính x; y Sau ví dụ minh họa Ví dụ 10: (Đề thi thử đại học lần trường Hà Nội - Amsterdam năm 2013 - khối A) 5x − 3y = x − xy (*) Giải hệ phương trình: 2 x − x = y − y Giải: 5 x + xy = x + y (Hệ ứng với n = 2; m = 1; p = 3; q = ) (*) ⇔ 3 2 x + y = x + y 5x = x • Với y = (*) ⇔ ⇔ x =0 x = x • Với y ≠ , đặt đặt x = ty (*) trở thành: y 5t + 3t = y ( t + 3) y 5t + 3t = t + (1) ⇔ 3 2 y t + = y t + y t + = t + (2) Vì t = −3 không thỏa (2) nên t + ≠ Lấy (2) chia (1), vế theo vế ta phương trình: 5t + 3t t + = ⇔ 4t + 5t − = ⇔ t = ±1 t +3 t +1 1 • Với t = (1) ⇔ y = x = y nên suy x = 2 • Với t = −1 (1) ⇔ y = x = − y nên suy x = −1 1 1 Vậy hệ phương trình (*) có nghiệm ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( x; y ) = ; , ( x; y ) = ( −1;1) 2 2 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) Ví dụ 11: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2007) x − x y + x y = Giải hệ phương trình: (I) x y − x + xy = Giải: Cách 1: Đặt a = x ( a ≥ ) b = xy hệ trở thành: ( a − b )2 = b − a a − ab + b = a − ab + b = ab − a + b a = b = ⇔ ⇔ ⇔ a = 0; b = ab − a + b = ab − a + b = ab − a + b = • Với a = b = , ta có ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( −1; −1) • Với a = 0; b = khơng có x, y thỏa mãn Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( −1; −1) 19 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ Cách 2: − x + xy + x y = (I) ⇔ − x + xy + x y = Đặt a = − x + xy; b = x y hệ trở thành: ( ( ) ) a2 + b = a = 0; b = ⇔ a = 1; b = a + b = x = y = − x + xy = • Với a = 0; b = ta có hệ: ⇔ x = y = −1 x y = − x + xy = (vơ nghiệm) • Với a = 1; b = ta có hệ: x y = Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( −1; −1) 20 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ III- PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ • Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương để đưa hai phương trình hệ dạng f ( u( x ) ) = f ( v( y) ) với y = f ( t ) hàm số đơn điệu tập D (dựa vào phương trình hệ ta tìm D) Từ suy u( x ) = v( y) , suy mối liên hệ hai ẩn x y • Chú ý: Phương pháp hàm số thường dùng cho hệ phương trình mà hai phương trình hệ đưa phương trình mà có đặc điểm vế trái chứa ẩn x, vế phải chứa ẩn y (hoặc ngược lại) • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối A năm 2010) 4( x + 1) x + ( y − 3) − y = (1) Giải hệ phương trình: 2 (2) 4 x + y + − x = Giải: Điều kiện: x ≤ ; y ≤ (1) ⇔ x + x = ( − y + 1) − y (*) ( ) Nhận xét (*) có dạng f ( x ) = f ( ) ( ) − y , với f ( t ) = t + t Ta có f ' ( t ) = 3t + > suy hàm số f ( t ) đồng biến » x ≥ Do đó: (* ) ⇔ x = − y ⇔ − x , vào phương trình (2) ta được: y = ( ) ⇔ x + − x + − x − = (3) 2 Nhận xét x = x = nghiệm (3) 2 5 3 Xét hàm số g ( x ) = x + − x + − x − khoảng 0; 2 4 4 5 g ' ( x ) = 8x − 8x − x2 − = 4x 4x2 − − < , suy hàm số g ( x ) − 4x − 4x 2 3 nghịch biến khoảng 0; 4 1 Mặt khác g = nên phương trình (3) có nghiệm x = , suy y = 2 1 Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x; y ) = ;2 2 ( ) 21 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2012) x − x − x + 22 = y3 + y − y Giải hệ phương trình: 2 x + y − x + y = Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) t + y3 + 3t + y − 9t − y = 22 Đặt t = − x hệ cho trở thành: t y t y + + + = Đặt S = t + y; P = ty hệ trở thành: S − 3PS + S − P − S = 22 2 S + S + 45S + 82 = S = −2 ⇔ ⇔ 1 1 = P S S P = + − − + = S P S 2 2 ( ) x = ;y = − − x + y = −2 2 • ⇔ − x y = x = ; y = − 2 3 1 1 3 Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ; − , ( x; y ) = ; − 2 2 2 2 Cách 2: (Sử dụng tính đơn điệu hàm số) ( x − 1)3 − 12 ( x − 1) = ( y + 1)3 − 12 ( y + 1) 2 Hệ cho tương đương với: 1 1 x − + y + = 2 2 (1) (2) 1 Từ (2) suy − ≤ x − ≤ − ≤ y − ≤ 2 2 3 Xét hàm số f ( t ) = t − 12t đoạn − ; 2 3 Ta có f ' ( t ) = 3t − 12 < 0, ∀t ∈ − ; suy hàm số f ( t ) nghịch biến 2 3 − ; Do (1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − , thay vào (2) ta được: 2 1 3 x − + x − = ⇔ x − x + = ⇔ x = x = 22 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ 3 1 1 3 Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ; − , ( x; y ) = ; − 2 2 2 2 Ví dụ 3: (Đề thi đại học dự bị khối D năm 2006) ln ( x + 1) − ln ( y + 1) = x − y (1) Giải hệ phương trình: 2 (2) x − 12 xy + 20 y = Giải: Điều kiện: x > −1; y > −1 (1) ⇔ ln (1 + x ) − x = ln (1 + y ) − y (*) Nhận xét (*) có dạng f ( x ) = f ( y ) , với f ( t ) = ln (1 + t ) − t t ∈ ( −1; +∞ ) 1 −1 = − < nên hàm số f ( t ) đồng biến ( −1; +∞ ) t +1 t +1 Do đó: (* ) ⇔ x = y vào phương trình (2) ta được: Ta có f ' ( t ) = ( ) ⇔ x − 12 x x + 20 x = ⇔ x = suy y = Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x; y ) = ( 0;0 ) Ví dụ 4: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2007) x + x − x + = y −1 + Giải hệ phương trình: x −1 y + y − y + = + Giải: a + a + = 3b (1) Đặt a = x − b = y − hệ cho trở thành: a b + b + = (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta phương trình: a + a2 + + 3a = b + b2 + + 3b (3) Nhận xét (*) có dạng f ( a ) = f ( b ) , với f ( t ) = t + t + + 3t Ta có f ' ( t ) = + 2 t t +1 t + ln = t2 + + t t +1 + 3t ln Vì t + > t ≥ −t nên t + + t > , f ' ( t ) > 0, ∀t ∈ » Suy hàm số f ( t ) đồng biến » Do (* ) ⇔ a = b , vào phương trình (1) ta được: (1) ⇔ a + ( ) a + = 3a ⇔ ln a + a + − a ln = (4) 23 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ ( ) Xét hàm số g ( a ) = ln a + a2 + − a ln với a ∈ » − ln < − ln < 0, ∀a ∈ » Suy hàm số g ( a ) nghịch biến » a +1 Mặt khác g (1) = nên phương trình (4) có nghiệm a = , suy b = Ta có g ' ( a ) = Từ ta có hệ cho có nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) Ví dụ 5: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2008) x − − y = − x (1) Giải hệ phương trình: ( x − 1) = y Giải: Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ Thế y = ( x − 1) vào phương trình (1), ta được: (1) ⇔ x − − ( x − 1) + x − = (2) Nhận xét x = nghiệm (2) Xét hàm số f ( x ) = x − − ( x − 1) + x − khoảng (1;+∞ ) + x − x + > 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) x −1 Suy hàm số f ( x ) đồng biến khoảng (1;+∞ ) Mặt khác f ( ) = nên phương trình (2) có nghiệm x = , suy y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Ta có f ' ( x ) = 24 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ IV- PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ • Phương pháp chung: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức vectơ để đánh giá vế phương trình hệ • Chú ý: Phương pháp đánh giá thường sử dụng cho hệ phương trình mà phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ,… khó giải • Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2007) xy x + = x2 + y x − 2x + Giải hệ phương trình: xy y + = y2 + x y − 2y + Giải: Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta phương trình sau: xy xy + = x + y (*) 3 x − 2x + y − 2y + Ta có: x2 − x + = Tương tự xy y2 − y + ( x − 1) +8 ≥ ⇒ ≤ xy Suy xy ≤ xy ≤ xy = xy x2 − 2x + x2 − 2x + xy xy + ≤ xy x − x + y2 − y + x = y = Mặt khác x + y ≥ xy Do (* ) ⇔ x = y = Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ( 0;0 ) Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học lần trường THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối B năm 2011) x + y = Giải hệ phương trình: x + 16 + y + 16 = 10 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ rút thế) Đặt a = x ; b = 3y với a ≥ 0; b ≥ Hệ phương trình cho trở thành: (1) a + b = b = − a ⇔ 2 2 a + 16 + b + 16 = 10 a + 16 + a − 12a + 52 = 10 (2) ( ) ⇔ 2a2 − 12a + 68 + ⇔ (a )( (a )( ) + 16 a2 − 12 a + 52 = 100 ) + 16 a2 − 12a + 52 = −a2 + a + 16 25 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ ⇒ a − 12 a3 + 68a2 − 192 a + 832 = a − 12 a3 + a + 192 a + 256 ⇒ a2 − 6a + = ⇒a=3 Thử lại thấy thỏa mãn Do ta a = , suy b = − a = − = x = x = • ⇔ y = y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) Cách 2: (Đánh giá) Đặt a = ( ) 3x ;4 , b = ( ) 3x ;4 , a + b = ( 6;8 ) a = x + 16; b = y + 16; a + b = 10 Ta có a + b ≥ a + b ⇔ 3x + 16 + 3y + 16 ≥ 10 Dấu “=” xảy ⇔ a , b hướng ⇔ x = y = Thử lại thấy Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) 26 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ V- PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ • Mục đích: Tìm hệ thức liên hệ hai ẩn x y mà từ ta tính y theo x (hoặc x theo y) sử dụng phương pháp rút để giải hệ phương trình cho • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi thử đại học báo Toán học tuổi trẻ - Số 400 (tháng 10 năm 2010) y2 + y = x2 Giải hệ phương trình: 3 x = x + y2 (1) (*) (2) Giải: Nhận xét: Từ (1) ta suy y > từ (2) suy x > yx = y + (3) (*) ⇔ 2 xy = x + (4) x = y Lấy (3) trừ (4) vế theo vế ta được: 3xy ( x − y ) = ( y − x )( y + x ) ⇔ 3xy = −( x + y) • Với x = y ( 3) ⇔ x − x − = ⇔ x = , suy y = • Với 3xy = −( x + y) Ta có xy > − ( x + y ) < nên trường hợp hệ vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = (1;1) f ( x; y ) = (1) • Chú ý: Hệ phương trình có dạng với f ( x; y ) = g ( y; x ) gọi hệ g ( x; y ) = (2) đối xứng loại II Để giải hệ ta lấy (1) trừ (2) vế theo vế Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học báo Toán học tuổi trẻ - Số 400 (tháng 10 năm 2010) x − y3 = (1) (*) Giải hệ phương trình: 2 x + y = x − y (2) Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) ( (2) ⇔ ( x − y ) = x + y ) (3) Nhận xét y = khơng thỏa mãn hệ phương trình (*) Xét y ≠ , đặt x = ty từ (1) (3) ta có hệ phương trình: y3 t − = y3 ( t − ) = y6 t + ( ) ( (4) ) (5) 27 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ Vì t = không thỏa (5) nên lấy (4) nhân (5) vế theo vế ta phương trình: t=− 3 2 t − ( t − ) = t + ⇔ ( 2t + 1) ( t + ) t − 2t + = ⇔ t = −2 ( ) • t=− ( ) ( ) ta y = −2 x thay vào (1) ta (1) ⇔ x = ⇔ x = nên y = −2 • t = −2 ta x = −2 y thay vào (1) ta (1) ⇔ −9 y3 = ⇔ y = −1 nên x = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = ( 2; −1) ( x; y ) = (1; −2 ) Cách 2: (Phương pháp cộng đại số) Nhân hai vế phương trình (2) với −3 cộng với phương trình (1), ta được: 3 x − x + 3x = y3 + y + 12 y + ⇔ ( x − 1) = ( y + ) ⇔ x − = y + ⇔ x = y + , vào y = −1 phương trình (2), ta ( ) ⇔ y + 3y + = ⇔ y = −2 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = ( 2; −1) ( x; y ) = (1; −2 ) Nhận xét: Lời giải cách ngắn gọn khơng tự nhiên Ví dụ 3: (Đề thi thử đại học lần trường THPT chuyên Quốc Học Huế - Khối B) x + y = (1) Giải hệ phương trình: 4 x − y = x − y (2) Giải: x ( x + y )3 = x (3) (1) ⇔ ( x + y ) = ⇒ y ( x + y ) = y (4) Lấy (3) trừ (2) vế theo vế, lấy (4) cộng (2) vế theo vế, ta có: 2 2 4 x ( x + y ) − x + y = 3( x + y ) x ( x + y ) 3x + y = ( x + y ) x x + y = (6) ⇔ ⇔ 2 2 4 y ( x + y ) + x − y = ( x + y ) x ( x + y ) x + y = ( x + y ) x x + y = (5) ( ( ) ) ( ( ) ) Lấy ( ) trừ ( 5) vế theo vế, ta có ( x − y ) = ⇔ x − y = (7) 3 +1 −1 ;y = Thử lại thỏa (2) 2 3 +1 −1 Vậy hệ cho có nghiệm là: x = ;y = 2 Từ (1) (7) ta có x = 28 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ VI- BÀI TẬP TỰ LUYỆN Sau tập trích từ đề thi thử Đại học số trường THPT toàn quốc NĂM 2011 x + y = 12 • Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Giải hệ phương trình x + xy + 12 y = Đáp số: ( x; y ) = ( 2; −1) , ( x; y ) = ( −2;1) xy 2 x + y + x + y = • Chun Lê Q Đơn - Đà Nẵng: Giải hệ phương trình x + y = x2 − y Đáp số: ( x; y ) = (1;0 ) , ( x; y ) = ( −2;3) x + y = • Chu Văn An - Hà Nội: Giải hệ phương trình 2 x + + y + = 10 Đáp số: ( x; y ) = ( 4;4 ) 2 x − x ( y − 1) + y = y • Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An: Giải hệ phương trình 2 x + xy − y = x − y Đáp số: ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( x; y ) = (1;1) , ( x; y ) = ( −1;1) , ( x; y ) = ; 43 43 x + x + y − y = • Chuyên Đại học Vinh: Giải hệ phương trình 2 x y + x + y = 23 Đáp số: ( x; y ) = (1;3) , ( x; y ) = ( −1;3) • Chun Lê Hồng Phong - TP Hồ Chí Minh: x + y − xy + y + = Giải hệ phương trình 2 y 7 − ( x − y) = 2( x + 1) Đáp số: ( x; y ) = (1; −2 ) , ( x; y ) = ( −2; −5) 2 8 x + 18 y + 36 xy − 5(2 x + y) xy = • Chuyên Hà Tĩnh: Giải hệ phương trình 2 2 x + y = 30 Đáp số: ( x; y ) = ( 3;2 ) 29 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ NĂM 2012 x + xy − x + y = • Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Giải hệ phương trình 2 x + x y − x + y = Đáp số: ( x; y ) = (1;1) , ( x; y ) = ( 0;0 ) x ( x + y) + y = x − • Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Giải hệ phương trình 2 x ( x + y) − y = x + Đáp số: ( x; y ) = ( 2;1) , ( x; y ) = ( 5; −2 ) x − − y − = 27 − x • Chuyên Vĩnh Phúc: Giải hệ phương trình ( x − 2) + = y Đáp số: ( x; y ) = ( 3;2 ) 2 8( x + y ) + xy + ( x + y)2 = 13 • Chun Vĩnh Phúc: Giải hệ phương trình 2 x + = x+y Đáp số: ( x; y ) = ( 0;1) x3 − xy = 216 y • Chuyên Lê Quý Đơn - Quảng Trị: Giải hệ phương trình y3 xy − x = 24 Đáp số: ( x; y ) = ( 9;3) , ( x; y ) = ( −9; −3) • Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp: 2 x − y + = Giải hệ phương trình 4 y + 8( x − 2) x + = −7 7 Đáp số: ( x; y ) = 2; − 4 • Chuyên Trần Phú - Hải Phòng: x (4 y + 1) + 2( x + 1) x = Giải hệ phương trình 2 x y + y + = x + x + 1 Đáp số: ( x; y ) = 1; 2 ( ) 30 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ NĂM 2013 ( − x ) x + y = x + y • Tạp chí tốn học tuổi trẻ: Giải hệ phương trình 2 ( − y ) x + y = x − y Đáp số: ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( x; y ) = ( 2;1) , ( x; y ) = ( 4;2 ) ( ( ) ) x y − y = • Tạp chí tốn học tuổi trẻ: Giải hệ phương trình 2 x y + xy + y = Đáp số: ( x; y ) = ( 2;1) ( x + 1)2 + ( x + 1) y + + y = • Tạp chí tốn học tuổi trẻ: Giải hệ phương trình x + ( + x ) y + = Đáp số: ( x; y ) = ( 0;3) , ( x; y ) = (1;0 ) x − x − y − = • Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Giải hệ phương trình 2 y + x + y x − y x = Đáp số: ( x; y ) = ( 4;2 ) x + y + x − y = 12 • Chuyên Lê Quý Đơn - Đà Nẵng: Giải hệ phương trình y x − y = 12 Đáp số: ( x; y ) = ( 5;3) , ( x; y ) = ( 5;4 ) • Chuyên Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội: x + y − ( x + y )2 + = Giải hệ phương trình ( x − 3)( x + y ) + = 5 1 Đáp số: ( x; y ) = ; − , ( x; y ) = ( 2; −1) 2 2 x + xy + x + = • Chun Đại học Vinh: Giải hệ phương trình 2 ( x + 1) + ( y + 1) + xy − x y + y = Đáp số: ( x; y ) = ( −1;3) ( ) ( ) HẾT 31 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế ... Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ I- PHƯƠNG PHÁP THẾ • Mục đích: Đưa việc giải hệ phương trình hai ẩn giải phương trình ẩn • Dưới số hệ. .. WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _ II- PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ • Mục đích: đưa hệ phương trình cho hệ phương trình đơn giản giải phương. .. số hệ phương trình mà có khả giải phương pháp Hệ phương trình có phương trình phương trình bậc với ẩn x (hoặc y) • Phương pháp: Tính x theo y (hoặc y theo x) vào phương trình cịn lại • Một số ví