Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số

Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số CUC CHẤT

MỤC LỤC

Trang

• III- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 21

I- PHƯƠNG PHÁP THẾ

• Mục đích: Đưa việc giải hệ phương trình hai ẩn về giải phương trình một ẩn

• Dưới đây là một số hệ phương trình mà có khả năng giải được bằng phương pháp thế

1 Hệ phương trình có một phương trình là phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y)

• Phương pháp: Tính x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x=3,y=1 và x =1,y=2

Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2008)

Cách 2: ( 2 )2

2

2 9 (1)(I)

2 Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình tích

• Phương pháp: Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích, sau đó tính được x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại

Vậy hệ phương trình đã chó có 3 nghiệm là:

Vậy hệ phương trình đã chó có 3 nghiệm là:

Giải: Điều kiện xác định: 0

1

yx

= ⇔ = thay vào (1), ta được: ( )1 ⇔ y4−2y2+ =1 0⇔ y= ± 1

Trong trường hợp này, hệ có hai nghiệm (x y =; ) ( )1;1 hoặc (x y = − −; ) ( 1; 1)

• x2+y2 =2 thay vào (1), ta được:

• Với x y= , ta cũng giải ra được (x y =; ) ( )1;1 hoặc (x y = − −; ) ( 1; 1)

• Với x =2y, thay vào (2), ta được: 2 2

x= −t thì phương trình (*) sẽ đưa về được phương trình trùng phương

• Có thể phân tích f x( )= x4 +2x3+2x2 +x−2 thành tích hai tam thức bậc hai bằng cách

sử dụng máy tính Casio 570ES như sau:

+ Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được một nghiệm là x ≈1 0,6180339887→A (gán cho biến nhớ A)

+ Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được một nghiệm nữa là x ≈ −2 1,618033989→B (gán cho biến nhớ B)

+ Tính được A+B= −1; A.B= − , suy ra 1 x x1; 2 là nghiệm của phương trình x2+x− = 1 0+ Thực hiện phép chia x4 +2x3+2x2+x− cho 2 x2+x− , ta được: 1

Xét y=0;x=0 có phải là nghiệm của (1) hay không

Xét y ≠ , chia hai vế của (1) cho 0 y , ta được: n

Giải phương trình (3) ta tìm được t, có t ta tính được x theo y Sau đó dùng phương pháp thế

để giải hệ phương trình đã cho

+ Chia hai vế cho một biểu thức khác 0

• Chú ý: Muốn đặt được ẩn phụ ta phải quan sát, phân tích, tìm mối liên hệ giữa các biểu

thức, số hạng trong mỗi phương trình Do đó, chúng ta phải làm nhiều bài tập, từ đó mới tích lũy được các kinh nghiệm, sự linh hoạt trong các phép đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B năm 2002)

2

yy

2 3

2

0 hoÆc 1

2 hoÆc 1 (lo¹i)2

x y

x yxy

Vậy hệ đã cho có một nghiệm là (x y =; ) (3;3)

Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2008)

4 (I)5

54

3; 13

xyxy

+ = −

Chú ý: Thao tác chia hai vế của hệ phương trình cho một lượng khác 0 thường sử dụng cho

những hệ phương trình mà trong mỗi phương trình của hệ có một số hạng có hệ số khác biệt

so với hệ số của các số hạng còn lại Chẳng hạn ở ví dụ trên, trong phương trình (1) số hạng

2

13y có hệ số là 13 khác biệt so với hệ số của các số hạng 1; ;xy x y Cũng thế, trong 2 2

phương trình (2) số hạng 7y có hệ số là 7 cũng khác biệt so với hệ số của các số hạng

;1;

x xy

Dưới đây là một ví dụ tương tự:

Ví dụ 5: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006)

Giải:

• Với y =0 hệ vô nghiệm

• Với y ≠ , chia hai vế của (1) và (2) cho y, ta được: 0

1

x

x yy

a b

a bab

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: (x y =; ) (1;2) và (x y = −; ) ( 2;5)

Ví dụ 6: (Đề thi đại học khối D năm 2009)

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (x y =; ) ( )1;1 và ( ; ) 2; 3

Đặt a= 2x+y+1 và b= x+y với điều kiệna ≥ và 0 b ≥ thì hệ đã cho trở thành: 0

Chú ý: Hệ (I) ở ví dụ trên là một trường hợp đặc biệt của hệ sau đây (hệ đẳng cấp):

Để giải hệ (*) ta đặt x=ty, rồi tìm t Có t thì ta sẽ tính được x y Sau đây là một ví dụ minh ;họa

Ví dụ 10: (Đề thi thử đại học lần 1 trường Hà Nội - Amsterdam năm 2013 - khối A)

⇔ = và x=y nên suy ra 1

2

x =

• Với t = −1 thì (1)⇔ y=1 và x= −y nên suy ra x = −1

Vậy hệ phương trình (*) có 3 nghiệm là (x y =; ) (0;0), ( ; ) 1 1;

• Với a=0;b=1 thì không có x, y thỏa mãn

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: (x y =; ) ( )1;1 và (x y = − −; ) ( 1; 1)

Giải hệ phương trình:

1 (I)1

10



III- PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

• Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa một trong hai phương

trình của hệ về dạng f u x( ( ))= f v y( ( )) với y= f t( ) là một hàm số đơn điệu trên tập D (dựa vào các phương trình của hệ ta tìm D) Từ đó suy ra u x( )=v y( ), suy ra mối liên hệ

giữa hai ẩn x và y

• Chú ý: Phương pháp hàm số thường dùng cho các hệ phương trình mà một trong hai

phương trình của hệ có thể đưa về một phương trình mà có đặc điểm là vế trái chỉ chứa

ẩn x, vế phải chỉ chứa ẩn y (hoặc ngược lại)

02

Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2012)

Cách 2: (Sử dụng tính đơn điệu của hàm số)

Hệ đã cho tương đương với:

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ; ) 3; 1 , ;( ) 1; 3

+ + nên hàm số f t( ) đồng biến trên (− +∞ 1; )

Do đó: ( )* ⇔ x= y thế vào phương trình (2) ta được:

( )2 ⇔x2−12 x x+20x2 =0⇔ x=0 suy ra y =0

Vậy hệ đã cho có một nghiệm là: (x y =; ) (0;0)

Ví dụ 4: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2007)

Giải:

Đặt a=x−1 và b=y−1 thì hệ đã cho trở thành:

2 2

a+ a + + =b+ b + + (3) Nhận xét (*) có dạng f a( )= f b( ), với ( ) 2 1 3t

Do đó ( )* ⇔a=b, thế vào phương trình (1) ta được:

Thế y=(x−1)4 vào phương trình (1), ta được:

( )1 ⇔ x− −1 (x−1)2+x3− = (2) Nhận xét 8 0 x =1 không phải là nghiệm của (2) Xét hàm số f x( )= x− −1 (x−1)2+x3− trên khoảng 8 (1;+∞ )

IV- PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

• Phương pháp chung: Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki,

bất đẳng thức vectơ để đánh giá từng vế của phương trình trong hệ

• Chú ý: Phương pháp đánh giá thường sử dụng cho các hệ phương trình mà các phương

pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ,… khó có thể giải được

• Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2007)

Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học lần 4 trường THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối B năm 2011)

, b

 cùng hướng ⇔ x= y=3 Thử lại thấy đúng

Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là (x y =; ) (3;3)



V- PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

• Mục đích: Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai ẩn x và y mà từ đó ta có thể tính được y theo x

(hoặc x theo y) rồi sử dụng phương pháp rút thế để giải hệ phương trình đã cho

Vì t =4 không thỏa (5) nên lấy (4) nhân (5) vế theo vế ta được phương trình:

t = − ta được y= −2x thay vào (1) ta được (1)⇔9x3 =9⇔ x =1 nên y = − 2

• t = −2 ta được x= −2y thay vào (1) ta được (1)⇔ −9y3=9⇔ y= −1 nên x =2

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x y =; ) (2; 1− ) và (x y =; ) (1; 2− )

Nhận xét: Lời giải cách 2 này tuy ngắn gọn nhưng không tự nhiên

Ví dụ 3: (Đề thi thử đại học lần 2 trường THPT chuyên Quốc Học Huế - Khối B)

Giải:

3 3

VI- BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Sau đây là những bài tập được trích từ các đề thi thử Đại học của một số trường THPT trên toàn quốc

• Chu Văn An - Hà Nội: Giải hệ phương trình 2 8 2

• Chuyên Hà Tĩnh: Giải hệ phương trình

xxyyyxyx