Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của a. Tính nhân quả và ổn định.[r]
(1)Xử lý số tín hiệu
(2) Biến đổi Z tín hiệu rời rạc thời gian x(n):
Hàm truyền lọc có đáp ứng xung h(n)
1 Định nghĩa
)
2
(
)
1
(
)
0
(
)
1
(
)
2
(
)
(
)
(
2
2
z
x
z
x
x
z
x
z
x
z
n
x
z
X
n
n
n
n
z
n
h
z
(3)2 Các tính chất bản
a Tính tuyến tính
b Tính trễ
c Tính chập
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2 1 1 2 21
1
x
n
A
x
n
A
X
z
A
X
z
A
Z
n
X
z
x
n
D
z
X
(
z
)
x
Z Z D
X(z)H(z)
(z)
)
(
h(n)
(n)
x
n
Y
(4)2 Các tính chất bản
Ví dụ Dùng tính chất biến đổi Z, xác định biến đổi Z của:
a) x(n) = u(n)
b) x(n) = -u(-n-1)
Ví dụ Dùng biến đổi Z tính tích chập lọc tín hiệu ngõ vào sau:
h = [1, 2, -1, 1]
x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
) ( )
1 (
)
(n u n n
(5)Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) X(z):
Ví dụ 1: x(n) = (0.5)nu(n)
Biến đổi Z:
Tổng hội tụ
3 Miền hội tụ
z
C
X
(
z
)
ROC
0
1)
5 ( )
( ) ( )
(
n
n
n
n
nu n z z
z X
5
.
0
1
5
.
0
z
1
z
0
.
5
ROC
z
C
z
,
z
0
.
5
5
.
0
1
1
)
5
.
0
(
1
z
n
u
Zn
|z|
ROC
z-plane z
(6)Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)nu(-n -1)
Biến đổi Z:
Kết quả:
3 Miền hội tụ
1
1
] )
5 [( )
5 ( )
(
m
m n
n
nz z
z X
0
.
5
z
C
z
ROC
5
.
0
z
,
5
.
0
1
1
)
1
(
)
5
.
0
(
1
z
n
u
Zn
|z|
ROC
z-plane z
(7)3 Miền hội tụ
Tổng quát:
a
az
n
u
a
n Z
,
z
1
1
)
(
1a
az
n
u
a
n Z
,
z
1
1
)
1
(
1|a|
ROC
z-plane a
|z|
cực |a|
ROC
z-plane a
|z|
(8) Tín hiệu nhân dạng: có biến đổi Z là:
Với ROC:
4 Tính nhân ổn định
)
(
)
(
)
(
n
A
1p
1u
n
A
2p
2u
n
x
n n
1 )
( 1
2
1
1
z p A z
p A z
X
i i p
z max
p1 p
2
p3 p4
(9) Tín hiệu phản nhân dạng: có biến đổi Z là:
Với ROC:
4 Tính nhân ổn định
)
1
(
)
1
(
)
(
n
A
1p
1u
n
A
2p
2u
n
x
n n
1 )
( 1
2
1
1
z p A z
p A z
X
i i p
z
p1 p
2
p3 p4
(10)Ví dụ Xác định biến đổi z miền hội tụ a x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n)
b x(n) = (0.8)nu(n) – (1.25)nu(-n – )
c x(n) = – (0.8)nu(-n-1) + (1.25)nu(n)
d x(n) = – (0.8)nu(- n – 1) – (1.25)nu(-n – 1)
(11)x(n) ổn định ROC có chứa vịng trịn đơn vị Các trường hợp:
4 Tính nhân ổn định
p1 p
2
p3 p4
ROC
vòng tròn đơn vị
p1 p
2
p3 p4
ROC
(12)5 Phổ tần số
Biến đổi Z x(n):
Biến đổi DTFT x(n):
Đặt (Tần số số)
Đây biến đổi Z vòng tròn đơn vị
n
fnT j
e
n
x
f
X
(
)
(
)
2
n
n
z
n
x
z
X
(
)
(
)
j
e z n
n
j
X
z
e
n
x
X
(
)
(
)
)
(
s
f f fT
(13)5 Phổ tần số
Đáp ứng tần số hệ thống h(n) với hàm truyền H(z):
X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs X(ω), H(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π)
DTFT ngược:
j
e z n
n
j
H
z
e
n
h
H
(
)
(
)
)
(
X
f
e
df
f
d
e
X
n
x
SS
S
f fn j f
f S n
j /
2 /
2 /
1
2
1
)
(
(14)5 Phổ tần số
Điều kiện tồn X(ω):
ROC X(z) chứa
vòng tròn đơn vị ↔ x(n) ổn định
Mặt phẳng Z e
jω
ω = π ω =
0
(15)5 Phổ tần số
Xét X(z):
X(z) có cực z = p
1zero z = z
1 Thay z = ejω,
1 1
1 1
1
1
)
(
p
z
z
z
z
p
z
z
z
X
2 1
1
(
)
)
(
z
e
z
e
X
p
e
z
e
X
jj j
j
(16)5 Phổ tần số
1
z1 p1
ejω
|z-z1| |z-p1|
φ1 ω1
ω
|X(ω)|
zero
pole
(17)6 Biến đổi Z ngược
Tổng quát:
Đưa X(z) dạng
Tùy theo ROC, suy x(n)
Ví dụ:
ROC={z,|z|<0.8} x(n) = -0.8nu(-n-1)-1.25nu(-n-1)
ROC={z, 0.8<|z|<1.25} x(n) = 0.8nu(n) – 1.25nu(-n-1)
ROC={z, 1.25 < |z|} x(n) = 0.8nu(n) + 1.25nu(n)
1
1
)
(
12
1
1
z
p
A
z
p
A
z
X
1 1 1.25
1
1 )
(
z z
(18)6 Biến đổi Z ngược
A Pp khai triển phân số phần:
Bậc mẫu số D(z) M
Trường hợp 1: Bậc N(z) nhỏ M:
Với ) ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( )
( 1 1
2 1 z p z p z p z N z D z N z X M 1 2 1
1
1
1
)
(
z
p
A
z
p
A
z
p
A
z
X
M M
1
(
)
,
i
1,
2,
,
M
i
p z i
i
p
z
X
z
(19)6 Biến đổi Z ngược
Ví dụ: Khai triển
=> Với
1
1
1 1
25
.
1
1
8
.
0
1
05
.
2
2
05
.
2
1
05
.
2
2
)
(
z
z
z
z
z
z
z
X
125
.
1
1
8
.
0
1
)
(
z
A
z
A
z
X
1
25
.
1
1
05
.
2
2
)
(
8
.
0
1
11
z zz
z
z
X
z
A
1
8
.
0
1
05
.
2
2
)
(
25
.
1
1
25 1 25 12
(20)6 Biến đổi Z ngược
Trường hợp 2: Khi bậc N(z) bằng M:
Với
1
2
1
1
1
1
)
(
z
p
A
z
p
A
z
p
A
A
z
X
M M
1
(
)
,
i
1,
2,
,
M
i
p z i
i
p
z
X
z
A
z
X
A
z
0
lim
(21)6 Biến đổi Z ngược
Trường hợp 3: Khi bậc N(z) lớn M:
Chia đa thức D(z) cho N(z):
Khai triển phương pháp phân số phần
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
D
z
R
z
Q
z
D
z
N
z
X
)
(
)
(
z
D
(22)6 Biến đổi Z ngược
B PP “Khử - phục hồi”:
Đặt
Khai triển phân số phần W(z)
Ví dụ:
Đặt:
Mặt khác:
(
)
(
)
(
)
)
(
1
z
W
z
N
z
X
z
D
z
W
z
z
0
.
5
ROC
,
25
.
0
1
6
)
(
2
z
z
z
X
11