Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của a. Tính nhân quả và ổn định.[r]
(1)Xử lý số tín hiệu
(2) Biến đổi Z tín hiệu rời rạc thời gian x(n):
Hàm truyền lọc có đáp ứng xung h(n)
1 Định nghĩa
)
2 ( )
1 ( )
0 ( )
1 ( )
2 (
) ( )
(
2
2
z x
z x
x z
x z
x
z n x z
X
n
n
n
n
z n h z
(3)2 Các tính chất bản
a Tính tuyến tính
b Tính trễ
c Tính chập
) ( )
( )
( )
( 2 2 1 1 2 2
1
1x n A x n A X z A X z
A Z
n X z xn D z X (z)
x Z Z D
X(z)H(z) (z)
) ( h(n)
(n) x n Y
(4)2 Các tính chất bản
Ví dụ Dùng tính chất biến đổi Z, xác định biến đổi Z của:
a) x(n) = u(n)
b) x(n) = -u(-n-1)
Ví dụ Dùng biến đổi Z tính tích chập lọc tín hiệu ngõ vào sau:
h = [1, 2, -1, 1]
x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
) ( )
1 (
)
(n u n n
(5)Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) X(z):
Ví dụ 1: x(n) = (0.5)nu(n)
Biến đổi Z:
Tổng hội tụ
3 Miền hội tụ
z C X (z)
ROC
0
1)
5 ( )
( ) ( )
(
n
n
n
n
nu n z z
z X
5 . 0 1
5 .
0 z1 z
0.5
ROC z C z
, z 0.5
5 . 0 1
1 )
5 . 0
( 1
z n
u Z
n
|z|
ROC
z-plane z
(6)Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)nu(-n -1)
Biến đổi Z:
Kết quả:
3 Miền hội tụ
1
1
] )
5 [( )
5 ( )
(
m
m n
n
nz z
z X
0.5
z C z
ROC
5 . 0 z
,
5 . 0 1
1 )
1 (
) 5 . 0
( 1
z n
u Z
n
|z|
ROC
z-plane z
(7)3 Miền hội tụ
Tổng quát: a
az n
u
an Z
, z
1
1 )
( 1
a az
n u
an Z
, z
1
1 )
1
( 1
|a|
ROC
z-plane a
|z|
cực |a|
ROC
z-plane a
|z|
(8) Tín hiệu nhân dạng: có biến đổi Z là:
Với ROC:
4 Tính nhân ổn định )
( )
( )
(n A1 p1 u n A2 p2u n
x n n
1 )
( 1
2
1
1
z p A z
p A z
X
i i p
z max
p1 p
2
p3 p4
(9) Tín hiệu phản nhân dạng: có biến đổi Z là:
Với ROC:
4 Tính nhân ổn định
)
1 (
) 1 (
)
(n A1 p1 u n A2 p2u n
x n n
1 )
( 1
2
1
1
z p A z
p A z
X
i i p
z
p1 p
2
p3 p4
(10)Ví dụ Xác định biến đổi z miền hội tụ a x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n)
b x(n) = (0.8)nu(n) – (1.25)nu(-n – )
c x(n) = – (0.8)nu(-n-1) + (1.25)nu(n)
d x(n) = – (0.8)nu(- n – 1) – (1.25)nu(-n – 1)
(11)x(n) ổn định ROC có chứa vịng trịn đơn vị Các trường hợp:
4 Tính nhân ổn định
p1 p
2
p3 p4
ROC
vòng tròn đơn vị
p1 p
2
p3 p4
ROC
(12)5 Phổ tần số
Biến đổi Z x(n):
Biến đổi DTFT x(n):
Đặt (Tần số số)
Đây biến đổi Z vòng tròn đơn vị
n
fnT j
e n x f
X ( ) ( ) 2
n
n
z n x z
X ( ) ( )
j
e z n
n
j X z
e n x X
( ) ( )
) (
s
f f fT
(13)5 Phổ tần số
Đáp ứng tần số hệ thống h(n) với hàm truyền H(z):
X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs X(ω), H(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π)
DTFT ngược:
j
e z n
n
j H z
e n h H
( ) ( )
) (
X f e df f
d e
X n
x S
S
S
f fn j f
f S n
j /
2 /
2 /
1 2
1 )
(
(14)5 Phổ tần số
Điều kiện tồn X(ω): ROC X(z) chứa
vòng tròn đơn vị ↔ x(n) ổn định
Mặt phẳng Z e
jω
ω = π ω =
0
(15)5 Phổ tần số Xét X(z):
X(z) có cực z = p1 zero z = z1 Thay z = ejω,
1 1
1 1
1 1 )
(
p z
z z
z p
z z z
X
2 1
1 ( )
) (
z e
z e
X p
e
z e
X j
j j
j
(16)5 Phổ tần số
1
z1 p1
ejω
|z-z1| |z-p1|
φ1 ω1
ω
|X(ω)|
zero
pole
(17)6 Biến đổi Z ngược
Tổng quát:
Đưa X(z) dạng
Tùy theo ROC, suy x(n)
Ví dụ:
ROC={z,|z|<0.8} x(n) = -0.8nu(-n-1)-1.25nu(-n-1)
ROC={z, 0.8<|z|<1.25} x(n) = 0.8nu(n) – 1.25nu(-n-1)
ROC={z, 1.25 < |z|} x(n) = 0.8nu(n) + 1.25nu(n)
1 1
)
( 1
2
1
1
z p A z
p A z
X
1 1 1.25
1
1 )
(
z z
(18)6 Biến đổi Z ngược
A Pp khai triển phân số phần:
Bậc mẫu số D(z) M
Trường hợp 1: Bậc N(z) nhỏ M:
Với ) ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( )
( 1 1
2 1 z p z p z p z N z D z N z X M 1 2 1 1 1 1 ) ( z p A z p A z p A z X M M
1 ( ) , i1, 2, , M
i
p z i
i p z X z
(19)6 Biến đổi Z ngược
Ví dụ: Khai triển
=> Với
1 1
1 1 25 . 1 1 8 . 0 1 05 . 2 2 05 . 2 1 05 . 2 2 ) ( z z z z z z z X 1 25 . 1 1 8 . 0 1 ) ( z A z A z X
1
25 . 1 1 05 . 2 2 ) ( 8 . 0 1 1
1
z z z z z X z A
1
8 . 0 1 05 . 2 2 ) ( 25 . 1 1 25 1 25 1
2
(20)6 Biến đổi Z ngược
Trường hợp 2: Khi bậc N(z) bằng M:
Với
1
2
1
1
1 1
)
(
z p A z
p A z
p A A
z X
M M
1 ( ) , i1, 2, , M
i
p z i
i p z X z
A
z X
A
z
0 lim
(21)6 Biến đổi Z ngược
Trường hợp 3: Khi bậc N(z) lớn M:
Chia đa thức D(z) cho N(z):
Khai triển phương pháp phân số phần
) (
) ( )
( )
( ) ( )
(
z D
z R z
Q z
D z N z
X
) (
) (
z D
(22)6 Biến đổi Z ngược
B PP “Khử - phục hồi”:
Đặt
Khai triển phân số phần W(z)
Ví dụ:
Đặt:
Mặt khác:
( ) ( ) ( ) ) ( 1 z W z N z X z D z
W
z z 0.5 ROC , 25 . 0 1 6 ) ( 2 z z z X 1
1 1 0.5
5 . 0 5 . 0 1 5 . 0 25 . 0 1 1 ) ( z z z z W ) ( ) 5 . 0 ( 5 . 0 ) ( ) 5 . 0 ( 5 . 0 )
(n u n u n
w n n