to hop va nhi thu

Bieát raèng trong moãi ñeà thi phaûi goàm 3 caâu hoûi, trong ñoù nhaát thieát phaûi coù ít nhaát 1 caâu lyù thuyeát vaø 1 baøi taäp.[r]

Bài 1: Giải phương trình sau: a) 4 24 23 n n n n A

A C 





 b) 4 5 6

1 1

x x x

C  C C c) Cxx1Cxx2Cxx3 Cxx10 1023

ÑS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 10

Baøi 2: Giải phương trình sau: a) C10x4x C102 10xx

   b)

2

4x 3

x  C x C C  c) Ax22Cxx2101 d) C8xx3 5Ax3 6

   e)

1 6 6 9 14

x x x

C  C  C  x 

ÑS: a) x = 14 b) x = 3 c) x = 10 d) x = 17 e) x = 7 Bài 3: Giải bất phương trình:

a) 1 14 n n n C P A   

 b) 60 32

( )! k n n P A n k      c)

4

1 54

n n n

C   C   A   ĐS: a) đk: n  3, n2 + n – 42 >  n 

b)  (k nn 5)(n 4)(n k 1) 0

    



 Xét với n  4: bpt vô nghiệm

 Xét n  {0,1,2,3} ta nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3) c) đk: n  5, n2 – 9n – 22 <  n = 6; 7; 8; 9; 10

Bài 4: Giải phương trình bất phương trình: a/ Cxx12 2C3x 1 7(x 1)

     b/

3 x 14

x x

A C  x

  c/ 5 336 x x x A C    d/ 28 24 225 52 x x C

C  

e/ 1 1 2

n n n

C   C   A   f/

3 1 14 n n n C P A    

g/ 2Cx213Ax2 30 h/ 22 10 2A x Ax xCx  ÑS: a/ x = b/ x = c/ x = d/ x =

e/ 5 n 10,n N f/ x6,n N g/ x = h/ x = 3, x = Bài 5: Giải hệ phương trình:

a) 1

1

126 720

x

y y x

y x x A C P P           

b) Cxy 1:Cxy1:Cxy1 : :

  c)

1

0

4

y y x x y y x x C C C C            ÑS: a)  xy 75

  b) x y      c) 17 x y      Bài 6: Giải phương trình hệ bất phương trình:

a/ 90

5 80

y y x x y y x x A C A C         

b/

1 : : 24 x x y y x x y y C C C A        

c/ lg(3 ) lg3 1 x x

C C x y       

ÑS: a/ x = 5, y = b/ x = 4, y = c/ x 6; ,x y Z

  

Bài 7: Tìm số tự nhiên k cho C14k ,C14k1,C14k2 lập thành cấp số cộng.

ÑS: k = 4;

Bài 8: Chứng minh rằng: 12

2

2

n n

n C  n

HD: Biến đổi vế trái: 12 2 2(2 )! 1.3.5 (2 1) 2.4.6 (2 )

2 ! !

n n

n n

n n

C

n n n



 

Vậy ta phải chứng minh: 1.3.5 (22.4.6 (2 )1)

2

n

n n

 

 Ta coù:

2

2

2 ( 1) ( 1)

2 4 4 1 2 1

k k k k

k k k k

   

  

 

Cho k từ 1, 2, …, n Rồi nhân BĐT vế theo vế, ta đpcm. Bài 9: Chứng minh rằng: C2nn k C2nn k (C2nn)2 (với k, n  N,  k  n)

HD:  Đặt uk = C2nn k C2nn k (k = 0;1;…;n)

Ta chứng minh: uk > uk+1 (*)

Thật vậy, (*)  C2nn k C2nn k C2nn k 1 2.Cnn k 1  n + 2nk > 0 Điều luôn  đpcm.

Bài 10: Chứng minh hệ thức sau: a) C Cnk n kp k C Cnp kp

  (k  p  n) b)

1

r r

n n n

C C

r    Bài 11: Chứng minh hệ thức sau:

a) Cnm1 Cnm1 2Cnm Cnm21 

   b) Cnk 3Cnk13Cnk2Cnk3 Cnk3 (3  k  n) ĐS: Sử dụng tính chất: Cnk1 Cnk Cnk 1

   Bài 12: Chứng minh hệ thức sau:

a) Cnk 4Cnk1 6Cnk2 4Cnk3 Cnk4 Cn 4k



     (4  k  n)

b) Cnp1 n 1Cnp

p 

 

 c) k k( 1)Cnk n n( 1)Cnk22 

   ( < k < n) Bài 13: Chứng minh hệ thức sau:

a) C Cr0 qp C C1r qp1 C Crp q0 Cr qp



    b) ( )Cn0 2( )Cn1 2 ( ) Cnn C2nn c) C20p C22p C24p C22pp C21p C23p C22 1pp c2 1p

        

d) 1 Cn1Cn2 Cn3 ( 1)  p pCn  ( 1)p pCn1

ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q So sánh hệ số xp vế.

b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử dụng (x+y)2p (x–y)2p

d) Sử dụng Cnr Cnr11 Cnr 1

 

  , với r lẻ nhân vế với –1. Bài 14: Rút gọn biểu thức sau:

A =

2

5 10

2

A A

P  P B = P A1 21P A2 32P A3 43P A4 54 P P P P1 C =

12 11 10

49 49 17 17

10

49 17

A A A A

A A

 

 D = 54 43 32 21 52

5 5

P P P P

A

A A A A

 

  

 

 

 

ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42 Bài 15: Chứng minh rằng:

a/ 2 2 2

2

1 1, , 2.

n

n với n N n

n

A A A



     

b/ Ank Ank 1 k A nk11

 

a) An3 20n b) An35An2= 2(n + 15) c) 3An2 A22n42 0.

ÑS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6

Bài 17: Tìm n  N cho: a) 42

1

210

n n n

P

A P

  

 b) 2( 3

n n

A  A ) = Pn+1 c) 2Pn6An2 P An n2 12

ÑS: a) n = 5 b) n = 4 c) n = 2; 3

Bài 18: Giải phương trình:

a/ Ax10Ax99 Ax8 b/ P Ax x272 6( Ax22 )Px c/ 2A2x 50A22x d/

1

1

72

y

x x y

x

A P

P   





ÑS: a/ x = 11. b/ x = 3; c/ x = d/ x = 8, y 7, y N Bài 19: Giải bất phương trình:

a) 4 15

( n2)! ( 1)! A

n  n b)

4

2

143 0

4

n

n n

A

P  P  ĐS: a) n = 3; 4; 5 b)  n  36 Bài 20: Rút gọn biểu thức sau:

A = (m 2)(6!m 3) (. m 1)(1m 4) ( m(m5)!5! 12.(1)!  m m.(m 4)!3!1)! 

        (với m  5)

B = 7!4! 8!10! 3!5! 2!7!  9! 

  C =

5! . ( 1)! ( 1) ( 1)!3!

m

m m m



 

ÑS: A = – 4(m–1)m; B = 2

3; C = 20

Bài 21: Chứng minh rằng:

a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 b) Pn (n1)Pn1(n 2)Pn2 2 P P2 11

c) 1 1 1! 2! 3! n!

      d)

2 1 1

! ( 1)! ( 2)! n

n  n  n Bài 22: Giải phương trình: x! ((x x1)!1)! 16

 ÑS: x = 2; x = 3

Bài 23: Giải bất phương trình: n12n51 ( n(n3)!4! 12(1)!  nn n.(3).(n1)!4)!2!5

       (1)

ÑS: (1)  ( 1)

6 n n

  n = 4, n = 5, n = 6 Bài 24: Giải phương trình:

a) P2.x2 – P3.x = b)

1

1

x x

x

P P P 



 ÑS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3

Bài 25: Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn?

ĐS: 6840.

Bài 26: Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có cách chọn nếu:

b/ Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số

ÑS: a/ 55440. b/ 120

Bài 27: Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu:

a/ Người có tượng khác nhau? b/ Người có tượng khác nhau? c/ Người có tượng khác nhau?

ÑS: a/ 6!. b/ 360 c/ 20160

Bài 28: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác thoả: a/ Số chẵn b/ Bắt đầu số 24 c/ Bắt đầu số 345

d/ Bắt đầu số 1? Từ suy số khơng bắt đầu số 1? ĐS: a/ 312. b/ 24 c/ d/ 120 ; 480

Bài 29: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau:

a/ n số chaün?

b/ Một ba chữ số phải 1?

(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ĐS: a/ 3000. b/ 2280

Bài 30: a/ Từ chữ số 0, 1, 3, 6, lập số gồm chữ số khác chia hết cho

b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ số có mặt số số

(HVCN Bưu Viễn thông, 1999) c/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số

ÑS: a/ 18. b/ 42000 c/ 13320

Bài 31: a/ Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7,

b/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính tổng số

ÑS: a/ 37332960. b/ 96 ; 259980

Bài 32: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0)

(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số cho

(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997)

ĐS: a/ 3024. b/ 36960

Bài 33: Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi?