Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A. 3) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD... Chứng minh KB = KD..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - NĂM HỌC 2010 - 2011
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010
Đề thi gồm: 01 trang Câu (2,0 điểm)
1) Cho 1 312 135 312 135
3 3
x
Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức M= 9 x3 9x2 32
2) Cho trước a b R, ; gọi x y, hai số thực thỏa mãn x y a b3 3 3 3
x y a b
Chứng minh rằng: x2011 y2011 a2011 b2011
Câu (2,0 điểm)
Cho phương trình: x3 ax2 bx 1 (1)
1) Tìm số hữu tỷ a b để phương trình (1) có nghiệm x 2
2) Với giá trị a b, tìm trên; gọi x x x1; ; ba nghiệm phương trình (1) Tính giá trị biểu thức 5
1
1 1
S
x x x
. Câu (2,0 điểm)
1) Tìm số nguyên x y, thỏa mãn điều kiện: x2 y2 5x y2 60 37xy
2) Giải hệ phương trình:
3
4
2
x x x y y
x x y
Câu (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O ; R) (O’ ; R’) cắt I J (R’ > R) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường trịn đó; chúng cắt A Gọi B C tiếp điểm hai tiếp tuyến với (O’ ; R’); D tiếp điểm tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I điểm B nửa mặt phẳng bờ O’A) Đường thẳng AI cắt (O’ ; R’) M (điểm M khác điểm I )
1) Gọi K giao điểm đường thẳng IJ với BD Chứng minh: KB = KI.KJ2 ; từ suy KB = KD
2) AO’ cắt BC H Chứng minh điểm I, H, O’, M nằm đường tròn 3) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ IBD Câu (1,0 điểm)
Mọi điểm mặt phẳng đánh dấu hai dấu (+) ( ).
Chứng minh điểm mặt phẳng làm thành tam giác vuông cân mà ba đỉnh đánh dấu
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2010 - 2011 Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010
Đáp án gồm : 04 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm theo cách khác vẫn cho điểm tối đa
- Việc chi tiết điểm số (với cách khác, có) phải thống Hội đồng chấm - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu Ý Nội dung Điểm
1 Cho 1 312 135 312 135
3 3
x
.Tính M= - - 3 x3 x2 2.
1,00
Từ 1 312 135 312 135
3 3
x
3 1 12 135 12 135
3
x
3
3 12 135 12 135
3
3
x
3x 13 3 x 1
3
9x 9x
12
M
0,25 0,25 0,25 0,25 Cho trước a b R, ; gọi x,y hai số thực thỏa mãn
3 3 3( )
x y a b I
x y a b
.Chứng minh rằng: x2011 y2011 a2011 b2011
1,00
3 3 ( )
3
x y a b I
x y xy x y a b ab a b
(1) (*) ( ) ( ) (2)
x y a b
xy a b ab a b
+/Nếu a b 0 (*) x y a b xy ab
=> x, y nghiệm phương trình X2 (a b X) ab 0
Giải ta có x b; x a
y a y b
=>
2011 2011 2011 2011 x y a b +/Nếu a b 0 => a b
0,25
(3)Ta có hệ phương trình 3 3 0 x y x y x y => 2011 2011 2011 2011 0 a b x y
=>x2011 y2011 a2011 b2011
0,25 x3 ax2 bx 1 (1)
Tìm a b Q, để (1) có nghiệm x 2 3. 1,00
Thay x 2 3vào (1)ta có :
3
2 a 2 b 2
3 4a b 15 7a 2b 25
+/Nếu 4a b 15 0 =>
7 25
3 15 a b a b
(vơ lí VT số vô tỷ , VP số hữu tỷ) +/ Suy 4a b 15 0 25
4 15
a b a b
Giải hpt, kết luận : 5 a b 0,25 0,25 0,25 0,25 2
Với a=-5 ;b=5 Tính giá trị biểu thức 5
1 1
S
x x x
. 1,00
+/
5 a b
(1) có dạng
3 5 5 1 0 x-1 4 1 0 x x x x x . Khơng tính tổng quát coi x3 1 x x1, nghiệm phương trình x2 4x1 0( có ' 0) =>
1 x x x x
+/ 2 2
1 2 2 14 x x x x x x
+/x13 x23 x1 x2 x12 x22 x x1 2 52
+/x15 x25 x12 x22 x13x23 x x x1 22 2 x2 724 =>S = 725
0,25
0,25
0,25 0,25 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 y2 5x y2 60 37xy
(1) 1,00
2 2 2
(1) x y 5x y 35xy 60 x y 5 xy 4 xy Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn, VT 0
5 xy- xy xy
Do x y Z, =>xy Z =>
4 xy xy +/
2
3
3
xy x y
x x y
(vô nghiệm Z)
0,25
0,25
(4)+/
2
4 2
2
0
xy x y x y
x y x
x y
Vậy
2 x y x y
giá trị cần tìm
0,25 Giải hệ phương trình:
3
4
(1)
2 (2)
x x x y y
x x y
1,00 Điều kiện :y0.
(1) 1 0
1 x y x y x
x
+/Nếu x 1 thay vào phương trình (2) ta có : y 0 y1
+/Nếu x y 0
Khi (2) 2x4 1 x 2 (3)
do 2x4 1 2.2 x4.1 4x2
2x4 1 2 x 2x
nên VT(3) 2( - 2 x x 1) 2 x 12 0 Do Pt (3)
4 1
1
1 x
x y
x
Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;
1
x x
y y
0,25 0,25
0,25
0,25 K giao điểm đường thẳng IJ với BD Chứng minh KB = KD 1,00
H J
O' O
K D
C B
I
M
A
Do AO AO’ hai tia phân giác BAC => A,O,O’ thẳng hàng.
(5)Có BJI IBK
sđ BI ; BKI chung
Δ KBI
đồng dạng vớiΔ KJB (g.g)=> KI =KB KB =KI.KJ2
KB KJ (1)
Tương tự:Δ KDIđồng dạng vớiΔ KJD KI =KD KD =KI.KJ2 KD KJ
(2)
Từ (1) (2) =>KB=KD
0,25 0,25 0,25 Chứng minh điểm I, H, O’, M nằm đường tròn 1,00
+/Xét tam giác vng ABO’ có: AB =AH.AO'2 (3) +/ Có :ABI AMB
2
sđ BI ; BAI chung
Δ ABI đồng dạng vớiΔ AMB (g.g) AB = AI AB =AM.AI2 AM AB
(4)
Từ (3),(4) =>AI.AM=AH.AO' AH AM=
AI AO'
=>Δ AHI đồng dạng với Δ AMO' ( AH AM=
AI AO' ;A chung ) =>AHI=AMO' => tứ giác MIHO’ nội tiếp hay điểm I, H, M, O’
cùng thuộc đường tròn
0,25
0,25
0,25
0,25 Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ IBD 1,00
Do OD // O’B (cùng AB) AO OD R OI OI
AO' O'B R' O'M O'I
nhưng OI cắt O’I A,I,M thẳng hàng => OI // O’M =>DOI=BO'M
mà BDI 1DOI
2
sđ DI BIM 1BO'M
2
sđ BM =>BDI BIM =>IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ΔBID hay AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ IBD
0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh điểm mặt phẳng làm thành
tam giác vng cân mà ba đỉnh đánh dấu
1,00 Dựng tam giác vuông cân ABC đỉnh A
Do đánh hai dấu (+), ( ) nên
tồn hai điểm dấu , không tổng quát giả sử hai điểm A, B dấu dấu (+)
+ Nếu C có dấu (+) tam giác vng cân ABC tam giác phải tìm
+ Nếu C có dấu (- ) ta dựng điểm D cho ABDC hình vng
_ Nếu D có dấu (+) tam giác ABD tam giác cần tìm _ Nếu D có dấu (-) gọi I giao điểm AD BC * Nếu I có dấu (+) tam giác vng cân ABI tam giác cần tìm
0,25
0,25 0,25 D
B A
C
(6)* Nếu I dấu (-) dễ thấy tam giác vng cân CID có ba đỉnh dấu (-) tam giác cần tìm
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(7)NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ CHÌNH THỨC KHĨA NGÀY 21/06/2010 Mơn thi: TỐN ( chuyên) Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm)
1) Giải hệ phương trình
1 +y=1 x+1
2
+5y=3 x+1
2) Giải phương trình :2x -x +2x -x-12=02 2 2 Câu 2: ( điểm)
Cho phương trình x2 – ( 2m + 1) x + m2 + m – = ( x ẩn số ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x x1, 2 1 x2 thỏa
x = x1 2
Câu 3: (2 điểm )
Thu gọn biểu thức: A= 7+ + 7- 5- 3-2 2 7+2 11
Câu 4: ( điểm )
Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn (O).Gọi P điểm cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP BC cắt M.Chứng minh :
a) ABP=AMB
b)MA.MP =BA.BM Câu : ( điểm )
a) Cho phương trình 2x +mx+2n+8=02 ( x ẩn số m, n số
nguyên).Giả sử phương trình có nghiệm số nguyên Chứng minh m +n2 2 hợp số
b) Cho hai số dương a,b thỏa a +b =a +b =a +b100 100 101 101 102 102.Tính P= 2010 2010
a +b Câu : ( điểm )
Cho tam giác OAB vuông cân O với OA=OB =2a.Gọi (O) đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ
Câu 7: ( điểm)
Cho a , b số dương thỏa a +2b2 23c2.Chứng minh 1 3+
a b c
HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(8)NĂM HỌC 2010-2011 KHĨA NGÀY 21/06/2010
Mơn thi: TỐN ( chuyên)
Câu Hướng dẫn chấm Điểm
Câu 1
( đ)
Câu:1: ( điểm
1) Giải hệ phương trình 1 +y=1 x+1 2 +5y=3 x+1 1 +y=1 x+1 2 +5y=3 x+1
2 2y = 2
x+1
2 +5y =3
x+1 3y =1 +5y =3 x+1 x = y =
0,5 x4 đ
2) Giải phương trình : 2x -x +2x -x-12=02 2 2 Đặt t 2x2 x
, pt trở thành:
t2 + t - 12 = t=3 hay t=-4
t =3 =>2 3 1
2 x x x hay x t= -4 =>2x2 x 4
( vơ nghiệm)
Vậy pt có hai nghiệm x =- , x =3/2
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Câu (3 đ)
Câu 2 : (3 điểm )
Cho phương trình x2 – ( 2m + 1) x + m2 + m – = ( x
ẩn số ) (*)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x x1, 2 1x2
thỏa x = x1 2
’=2m 12 4m2 4m 3 4 0
, với
Vậy (*) ln có nghiệm phân biệt với m
0,5 đ
1
x =2m-1 ;x2 =2m+3
2
1 2
x = x 2m 2m 3
7
2 2 2
5
2 2
6 m
m m
m m m
0.5 đ 0,5 đ 1,5 đ Câu Câu 3 : ( điểm)
Thu gọn biểu thức: A= 7+ + 7- 5- 3-2 2 7+2 11
(9)Câu 4 ( đ)
Xét M = 7+ + 7- 5
7+2 11
Ta có M > 14 44 2
7 11
M
, suy M =
A= 2-( 2-1)=1
1 đ
1 đ Câu 4 : ( điểm)
Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P điểm cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP BC cắt M.Chứng minh :
a) ABP=AMB
b)MA.MP =BA.BM
x x
= =
M P
O
C B
A
a)
2
AMB ( s đ AB s đPC) =1
2( s đ AC s đPC )=
2 s đ AP=ABP
2 đ b) PA PC CAP ABP AMB CMAC AB đ MAC MBP (g-g)
MA MC MA MP MB MC MB AB
MB MP
1 đ
Câu 5
( đ)
Câu 5: ( điểm)
a)Cho phương trình 2x +mx+2n+8=02 ( x ẩn số m, n số
ngun).Giả sử phương trình có nghiệm số nguyên Chứng minh m +n2 2 hợp số
Gọi x x1, 2là nghiệm phương trình 2
m
x x ,x x1 2 n 0,5 đ
2 2
m +n = 2 2 2 2
1 2 2
2x 2x x x 4x 4x x x x 16
=
1
x x
0,5 đ
2
1 4,
x x số nguyên lớn nên m +n2 2 hợp số 0,5 đ
b)Cho hai số dương a,b thỏa a +b =a +b =a +b100 100 101 101 102 102.Tính P= 2010 2010
(10)Ta có0 0 101 101 101 101 0 a +b10 10 a b a b a +b10 10
a1001 ab1001 ba1011 ab1011 b
a=b=1 đ
P=a2010+b2010=2 0,5 đ
Câu 6
( đ)
Câu 6: ( điểm)
Cho tam giác OAB vuông cân O với OA=OB =2a.Gọi (O) đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất
Đường thẳng OA cắt (O) C D, với C trung điểm OA.Gọi E trung điểm OC
*Trường hợp M không trùng với C vá D Hai tam giác OEM OMA đồng dạng (
,
2
OM OE
MOE AOM
OA OM
)
1 2.
2
ME OM MA EM
AM OA
đ
* Trường hợp M trùng với C : MA=CA=2.EC=2.EM * Trường hợp M trùng với D: MA=DA=2.ED=2.EM
Vậy ta ln có MA=2.EM 0,5 đ
MA+2.MB=2(EM+MB) 2.EB = số
Dấu “=” xảy M giao điểm đoạn BE với đường tròn (O) Vậy MA +2.MB nhỏ M giao điểm đoạn BE với đường tròn (O)
0,5 đ
Câu 7
( đ)
Câu 7 : ( điểm)
Cho a , b số dương thỏa a +2b2 23 c2.Chứng minh
1 3 + a b c
0,5 đ Ta có:1 1
2 a b b a ab
a b a b
2
2a 4ab 2b a b
(11)a+2b 3a2 2b2 2 a 2b2 3a2 2b2
2
2
2a 4ab 2b a b
( đúng) 0,5 đ
Từ (1) (2) suy
2
1 9
2 3 2
a b a b a b c ( a22b23c2) đ
SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ
(12)Đề thức Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho số x xR;x0 thoả mãn điều kiện: x2 + 12
x = 7
Tính giá trị biểu thức: A = x3 +
3
1
x B = x
5 +
5
1
x
Giải hệ phương trình:
1
2
1
2
y x
x y
Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax2 bx c 0
(a0) có hai nghiệm x x1, thoả mãn điều kiện: 0x1 x2 2.Tìm giá trị lớn biểu thức:
2
2
2
2
a ab b
Q
a ab ac
Câu 3: (2,0 điểm)
Giải phương trình: x + y2009 + z 2010 = ( )
2
z y x
2 Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2 +1 số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng qua A, cắt cạnh BC M cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm đường thẳng EM BN Chứng minh rằng: CK BN
Cho đường trịn (O) bán kính R=1 điểm A cho OA= 2.Vẽ tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm).Một góc xOy có số đo 450có cạnh Ox cắt
đoạn thẳng AB D cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng minh rằng: 2 2DE 1 Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức Pa2b2c2d2acbd,trong ad bc1
Chứng minh rằng: P
Hết
SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010
(13)Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Đáp án thức
Mơn: Tốn ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn)
Ngày thi: 19 tháng năm 2009 (Đáp án gồm 04 trang)
Câu ý Nội dung Điểm
1
1 Từ giả thiết suy ra: (x +
x
1
)2 =
x + 1x = (do x > 0) 21 = (x +
x
1
)(x2 +
2
1
x ) = (x
3 +
3
1
x ) + (x + x
1
) A = x3 +
1
x =18
7.18 = (x2 +
1
x )(x
3 +
3
1
x ) = (x
5 +
5
1
x ) + (x + x
1
) B = x5+
1
x = 7.18 - = 123
0.25 0.25 0.25 0.25
Từ hệ suy 1x 2 1y 1y 2 1x (2) Nếu 1x 1y
x y
1
2 nờn (2) xảy x=y vào hệ ta giải x=1, y=1
0.5
0.5
Theo Viét, ta có: x1 x2 b a
, x x1 2 c a Khi 2 2
a ab b
Q
a ab ac
= 2 b b a a b c a a
( Vì a 0)
=
2
1 2
1 2
2 3( ) ( )
2 ( )
x x x x
x x x x
Vì 0x1 x2 2 nên
1
x x x 2 x x12 x22 x x1 2 4 x1 x22 3x x1 24
Do 2 2
2 3( )
3
2 ( )
x x x x
Q
x x x x
Đẳng thức xảy x1 x2 2 x1 0,x2 2
(14)Tức
4
4
2
2
0 b a
c c b a
a b a
b
c a
c a
Vậy maxQ=3
3
1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Phương trình cho tương đương với:
x + y + z = x +2 y2009 +2 z 2010
( x 2- 1)2 + ( y2009- 1)2 + ( z 2010- 1)2 =
x - = x =
y2009- = y = - 2008 z 2010- = z = 2011
0.25 0.25 0.25 0.25
2 Nhận xét: p số nguyên tố 4p2 + > 6p2 + >
Đặt x = 4p2 + = 5p2- (p - 1)(p + 1) y = 6p2 +
4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) Khi đó:
- Nếu p chia cho dư dư (p - 1)(p + 1) chia hết cho
x chia hết cho mà x > x không số nguyên tố - Nếu p chia cho dư dư (p - 2)(p + 2) chia hết cho
4y chia hết cho mà UCLN(4, 5) = y chia hết cho mà y >
y không số nguyên tố
Vậy p chia hết cho 5, mà p số nguyên tố p = Thử với p =5 x =101, y =151 số nguyên tố
Đáp số: p =5
0.25 0.25
0.25
(15)1
2
Trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = CM Ta có IBE = MCE (c.g.c)
Suy EI = EM , MEC BEI MEI vuông cân E Suy EMI 450 BCE
Mặt khác: ABIB CMCB MNAN IM // BN
BCEEMI BKE tứ giác BECK nội tiếp
0
180
BEC BKC
Lại có: 0
90
90
BEC BKC Vậy CK BN
Vì AO = , OB=OC=1 ABO=ACO=900 suy OBAC hình vng
Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho DOM = DOB MOE=COE
Suy MOD= BOD DME=900 MOE= COE EMO=900
suy D,M,E thẳng hàng, suy DE tiếp tuyến (O) Vì DE tiếp tuyến suy DM=DB, EM=EC
Ta có DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy DE<1 Đặt DM= x, EM=y ta có AD2 + AE2 = DE2
(1-x)2 + (1-y)2 = (x+y)2 1- (x+y) = xy
4
2 y x
suy DE2 + 4.DE - 40
DE2 2
Vậy 2 2DE<1
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
D C N
A I B
K M
E
O
C B
D
E M A x
x
(16)5
Ta có: (ac bd)2 (ad bc)2 a2c2 2abcd b2d2 a2d2 2abcd b2c2
2 2 2 2 2
2 c d b d c a b c d
a
Vì ad bc1 nên ( )2 2 2 (1)
d c b a bd
ac
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm a2 b2 ; c2 d2
có:
a b c d ac bd
bd ac d c b a
P 2 2 2 2 2 2 2
ac bd ac bd
P
2 (theo (1))
Rõ ràng P0 vì: 2
1
2 acbd acbd
Đặt xacbd,ta có: P2 1x2 x
1 1 4
4 2 2 2
2
P x x x x x x x x
2 2 3
x x
Vậy P3
0.25
0.25
0.25
0.25 0.25