Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình được viết với mong muốn giúp các em học sinh có thêm nguồn tài liệu để tham khảo cũng như có cách giải quyết khi gặp các dạng bài toán khó về phương trình và bất phương trình.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học mơn: TỐN  Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mơ hình  Đĩa CD(DVD)  Phim ảnh (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)  Hiện vật khác Năm học: 2014-2015 BM02-LLKHSKKN -0- SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: ĐỖ TẤT THẮNG Ngày tháng năm sinh: 06/09/1981 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: 149/7 Hưng Đạo Vương, Khu phố phường Trung Dũng, BH-Đồng Nai Điện thoại: 0918.306.113 E-mail: dtthangnq@gmail.com Chức vụ : Không Nhiệm vụ giao: +Giáo viên Toán lớp 10A2,10A6 11A6 +Giáo viên chủ nhiệm lớp 10A2 +Tham gia bồi dưỡng đội tuyển Toán lớp 10 +Ủy viên ban tra nhân dân Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Tốn - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Dạy học Tốn - Số năm có kinh nghiệm: năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: Năm học 2010-2011: Ứng dụng tích vơ hướng véctơ để giải số tốn hình học khơng gian qua kì thi đại học Năm học 2011-2012: Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chứng minh bất đẳng thức Năm học 2012-2013: Dự đốn dấu bất đẳng thức Cơ-si để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chứng minh bất đẳng thức Năm học 2013-2014: Đổi biến để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chứng minh bất đẳng thức Năm học 2014-2015: Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình -1- ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Bất đẳng thức (BĐT) kiến thức khơng thể thiếu kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi BĐT áp dụng nhiều trong sống nói chung tốn học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, toán cực trị - Ứng dụng BĐT để giải phương trình hệ phương trình có lời giải hay, ngắn gọn mạnh giải toán mức độ tổng quát hơn, nhiều tốn ứng dụng BĐT khơng cần huy động tới kiến thức đạo hàm lớp 12, phương pháp Hơn hết phù hợp với HS lớp 10 - Ứng dụng BĐT để giải phương trình hệ phương trình hệ thống phương pháp sâu rộng Nhưng với vai trò giáo viên dạy Toán khối 10 phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào dạng phổ biến HS hay gặp phải đề thi CĐ, Đại học, tuyển sinh 10 chuyên, đề thi học sinh giỏi tỉnh …Cụ thể thể sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Qua thực tế dạy học chúng tơi nhận thấy chương trình lớp 10 phần ứng dụng BĐT để giải phương trình hệ phương trình khơng có Nhưng đề thi học sinh giỏi, tuyển sinh 10, đại học lại có Do đó, tơi làm SKKN với mong muốn tài liệu giúp HS đỡ khó khăn gặp có dạng III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Chúng cố gắng biên soạn kĩ thuật giải , hệ thống tập dựa sở lý thuyết bám sát chương trình, mục đích cho HS dễ hiểu Cơ sở lý thuyết phần kiến thức sau đề cập chương trình hành: STT Kiến thức Trang Sách Ghi Các tính chất giá trị tuyệt đối Tính chất bình phương, tổng bình phương 78 Đã học cấp Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) số 76 Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) số 108 Đại số 10 ban Bất đẳng thức Bunnhiacốpski (CauchySchwarz) Bất đẳng thức chứng minh từ tích vơ hướng vecto, tổng độ dài vecto -2- 111 Đại số 10 ban (nâng cao) Đại số 10 ban nâng cao Đại số 10 ban nâng cao Hình học 10 Ban Trong phần đọc thêm Trong phần tiếp theo, chúng tơi phân tích cụ thể phần theo thứ tự lý thuyết trước tập ứng dụng sau Ứng ng ng g ương r n Cho f ( x1, x2 , , xn ) hàm n biến thực D  ¡ n : f : D  ¡ Tương tự với g ( x1, x2 , , xn ) , h( x1, x2 , , xn ) phương trình f ( x1, x2 , , x n )  g ( x1, x2 , , x n ) (1) ước 1:Nhìn vào dấu hiệu lưu ý(sẽ chia cụ thể dạng khác nhau)của phương trình (1) từ suy hướng giải ước 2: Đánh giá vế phương trình cách áp dụng BĐT cơ-si, bunhiacốpski,  f ( x1, x2 , , x n )  h( x1, x2 , , x n ) ( x1, x2 , , xn )  D g ( x , x , , x )  h ( x , x , , x )  n n tính chất ta được:  (2) ước 3: Kết hợp (1) (2) thu :  f ( x1, x2 , , x n )  h( x1, x2 , , x n ) ( x1, x2 , , xn )  D  g ( x , x , , x )  h ( x , x , , x )  n n (3) ước 4: Áp dụng dấu “=” xảy dùng BĐT Từ ta tìm nghiệm phương trình (1) Khi giải lưu ý: Dấu”=” BĐT xảy giá trị biến đồng thời nghiệm phương trình Nghiệm phương trình giá trị biến để dấu “=” xảy lần áp dụng BĐT nên: +Nếu nhẩm nghiệm phương trình ta suy luận nên ứng dụng BĐT nào(Cô-si, Bunnhiacốpski, …)? Ứng dụng để BĐT có dấu”=” xảy BĐT sử dụng +Nếu định hướng dùng BĐT cụ thể ta có dấu”=” BĐT xảy từ suy nghiệm phương trình +Người làm tốn nên kết hợp Dấu”=” BĐT nghiệm phương trình từ cho lời giải nhanh xác Nếu chúng khơng đồng thời xảy phương trình vơ nghiệm phải đổi BĐT hướng khác Cá g ượ r n ày eo ừng ần eo ự lý uyế rướ , ậ sau: Ứng ng n g rị uy Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy “dấu hiệu” sau:  Số ẩn phương trình, hệ phương trình nhiều số phương trình  Số ẩn phương trình, hệ phương trình số phương trình  Phương trình có chứa tổng giá trị tuyệt đối  Phương trình có chứa tổng nhiều bậc hai biểu thức bậc hai bình phương tổng bình phương biểu thức khác thử ứng dụng tính chất giá trị tuyệt đối để giải -3- T n g rị uy : + x  0, x  R Dấu = xảy  x  + x  x, x  R Dấu = xảy  x  + x   x, x  R Dấu = xảy  x  V x2  x   x2  8x  16  x2  12 x  36  Gỉai phương trình Lờ g (k ơng ùng BĐT): Phương trình cho tương đương với  x  2   x  4   x  6 4  x   x   x   (*) x -6  -4 x2 x  x  x4 x  x  x6 x  x6 x 3x VT(*) x  2   x  4   x  6 x6 x6 x 8 3x 12 (Dùng BĐT): 4  x2  x4  x6  Ta có x   x   x    x    x   -4- x2 x4 Vậy phương trình có nghiệm x  4  x  2  x4 Trường hợp 1: x  6 (*)  3x   x   (loại)  Trường hợp 2: 2  x  4 (*)  x   x  4 (nhận)  Trường hợp 3: 4  x  2 (*)  x    x  4 (loại)  Trường hợp 4: x  2 (*)  x  12   x   (loại) Lờ g Phương trình cho tương đương với -2 x    Dấu “=” xảy   x    x  4 x    Vậy phương trình có nghiệm x=-4 Kĩ thuật Lời giải cho phép ta mở rộng giải toán mạnh sau: Mở rộng Ví dụ 1: Giải phương trình x   x   x    x   2n  1  n  n  1 , n  N * Khi n lớn Lời giải gặp khó khăn , ngược lại Lời giải thuận lợi B ng so sán ưu, n ượ m Lờ g Lờ g vớ HS lớ 10: Ưu m N ượ m -Lời giải dài dịng, khó hiểu HS hay sai phần hợp giao kết luận -Khó khăn phương trình có chứa tổng nhiều tuyệt đối Lời giải (Không dùng BĐT) Lời giải (Dùng BĐT) V -Lời giải ngắn gọn, dễ hiểu - iải toán tổng quát phương trình có chứa tổng nhiều tuyệt đối -Tính chất BĐT chứa giá trị tuyệt đối phù hợp lớp 10 x2  x4  2 Giải phương trình Lờ g :  x    x   x2  x4  Ta có  x   x   x    x  2     Dấu “=” xảy x    x  4 Vậy phương trình có tập nghiệm S   4; 2 V Giải phương trình Phân tích: x2 10 x  13  26 x2  24 x   x  Lờ g : x  10 x  13  26 x  24 x   x  2  x   x     x  3     4x   x2  6x   2  x  x  2  5x  2     x   25 x  20 x   x   4x 1 -5-  x     x  3 Ta có:  x  2  5x  2  x 3  3 x  5x   5x   VT  x    x  x  3  x  Dấu “=” xảy  5  x   x  x    Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2 Bà ậ ương ự ( p dụng t nh chất giá trị tuyệt đối): Bài Giải phương trình x   x   x   ĐS: x=-2 Bài Giải phương trình x   x   x   x   x   ĐS: x=-3 Bài Giải phương trình x2  2x   x2  4x   x2  6x   ĐS: x=-2 Bài Giải phương trình x2  x   x2  x   x2  x   x2  8x  16  x2  8x  16  ĐS: x=-3 Bài Giải phương trình x  x   x  x   ĐS: S   1; 2 Ứng ng n n ương, ng n ương: Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy “dấu hiệu” sau:  Số ẩn phương trình, hệ phương trình nhiều số phương trình  Số ẩn phương trình, hệ phương trình số phương trình  Phương trình có chứa tổng nhiều bậc hai biểu thức bậc hai tổng bình phương biểu thức khác thử ứng dụng tính chất bình phương, tổng bình phương để giải T n n ương, ng n ương: + x  0, x  R Dấu = xảy  x = + x  y  0, x, y  R Dấu = xảy  x=y= Từ tính chất ta suy ra:  x2  m  m, x  R Dấu “=” xảy  x=0   x  M  M , x  R Dấu “=” xảy  x=0 V x2  y 3  z 5   x  y  z  7 (*) Giải phương trình: Phân tích:  h có phương trình mà có tới ẩn đ y “dấu hiệu” dùng BĐT  ế trái có bậc hai, vế phải bậc thấy đưa hàng đ ng thức đáng nhớ  a  b  -6- Lờ g : x   x   Đ ều k n:  y     y  z   z    x 2  y 3  z 5  x  y  z 7   (*)    x  2  x   1       x  1   y  3   y  1   y   1       z  5  x   1   z  1   x  1  x      y  1    y   z    z    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y;z)=(3;4;6) N ận : Bài tốn vận dụng BĐT ơ-si số để giải, nhiên nói đến BĐT Sẽ dùng BĐT ô si vào phần sau V Giải phương trình x2  4x   x4  8x2  17  Phân tích:  Nhìn vào biểu thức ta thấy x  x x  x điều liên tưởng đến 2 hàng đ ng thức đáng nhớ nên x  x    x    , x  8x  17   x     Do VT  mặt khác P nên ta thu lời giải sau Lờ g :  x  x    x  2   Ta có   x  x   x  x  17  2 2   x  x  17   x     x  x      x   x  Kết hợp với phương trình ta  x     x  2  Vậy phương trình có nghiệm x=2 V Giải phương trình: 3x2  6x  12  5x2  10 x    x  x2 Lờ g : 2   3x  x  12  3x  x  12   x  1      VT  Ta có  2 x  10 x   x         x  10 x    Lại có VP    x  1  Do x 1   3x  x  12  x  10 x    x  x   x    x  1 x 1   2 -7- Vậy phương trình có nghiệm x=-1 V   x   y   4(1)    x  y  xy  (2) Giải hệ phương trình: Lờ g  xy   x   0, y   ĐK:  x  x  y  xy     y  mà Lấy 2(2)-4(1) ta được:    x  y  xy       x  1  x   y   10  x   4       x 1   :  y  1   y 1    y      x  xy  y      x y  0  x 1    x    y 1     y   x  y   N ận : - Hệ phương trình hệ phương trình đối xứng loại nên dùng cách đặt ẩn phụ Nhưng cách đăt ẩn phụ dài dòng -Dùng BĐT cho lời giải ngắn gọn đẹp Bà ậ ương ự ( p dụng đưa bình phương, tổng bình phương): Bài Giải phương trình x2  x   2 x  ĐS: x=-1 Bài Giải phương trình: x y   y x   xy Bài Giải phương trình:  x2  x   2 x2  8x    1 1 x  y  z  Bài Giải hệ phương trình:    4  xy z ĐS: x=y=2 ĐS : x=2 ĐS: x y=1/2,z=-1/2 Ứng ng B ng Cơ-si (Cauchy) Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy “dấu hiệu” sau:  Số ẩn phương trình, hệ phương trình nhiều số phương trình  Số ẩn phương trình, hệ phương trình số phương trình  ác ẩn phương trình dương khơng m  Phương trình có chứa bậc hai, bậc ba.(biểu thức không m giả thiết cho từ điều kiện) Khi áp dụng BĐT Cô-si số a,b không âm (để dễ lập luận dùng số) -8- Biểu thức ab số biểu thức bé vế cịn lại phương trình  Biểu thức ab số biểu thức lớn vế cịn lại phương trình thử ứng dụng BĐT Cô-si để giải Khi giải lưu ý: Dấu”=” BĐT xảy giá trị biến đồng thời nghiệm phương trình, hệ phương trình Nghiệm phương trình, hệ phương trình giá trị biến để dấu “=” xảy lần áp dụng BĐT ô-si BĐT khác nên: +Nếu nhẩm nghiệm phương trình, hệ phương trình ta suy luận nên ứng dụng BĐT ô-si hay không? Ứng dụng để BĐT ơ-si có dấu”=” xảy BĐT sử dụng +Nếu định hướng dùng BĐT ô-si ta có dấu”=” BĐT xảy từ suy nghiệm phương trình, hệ phương trình +Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” BĐT nghiệm phương trình, hệ phương trình từ cho lời giải nhanh Nếu chúng không đồng thời xảy phương trình vơ nghiệm phải đổi BĐT hướng khác B ng th c Cô-si s không âm a b  ab Dấu " " xảy  a = b Cho a, b  0, ta có: B ng th c Cơ-si s khơng âm Cho a, b, c  0, ta có: a b c  abc Dấu " " xảy  a = b = c Nhận xét:  Dấu hiệu để dùng BĐT ô-si biến BĐT không m dương Điều giúp ta nhận định nhanh tốn có nên dùng BĐT ô-si hay không  Dấu “ ” bất đ ng thức có vai trị quan trọng Nó giúp kiểm tra tính đắn chứng minh, định hướng cách giải Đặc biệt, áp dụng nhiều lần bất đ ng thức dấu “ ” phải đồng thời xảy với điều kiện biến V Giải phương trình:  x  x   x  12 x  38 Phân tích:  Đầu tiên thử bình phương vế không m ta  x  x    x x   x  144 x  1444  24 x3  76 x  912 x  x  24 x3  220 x  912 x  1442   x x  Tới đ y thấy tiếp tục bình phương hai vế xuất phương trình bậc nên cách khơng khả quan Do khơng thể sử dụng cách biến đổi thông thường -9-  x  x 1  (1) 2 1 y  y  1 y  3   (2) 2 1 z  z  1 z     (3) 2 x   y   z    x  y  z  7 1 x    (1)+(2)+(3) ta x    Dấu “=” xảy   y    z    x   y  z   Vậy phương trình có nghiệm (x;y;z)=(3;4;6) Bằng kĩ thuật giải tương tự ta giải tốn mở rộng Ví dụ sau: n Mở rộng 9a: Giải phương trình:  i 1 n 1 n  xi   i   xi    i  n  , n  N * với i  i 1 i 1  số cho trước n n 1 n  *  x    x        i i i i ,n N  Mở rộng 9b: Giải phương trình:  i i  i 1 i 1 i 1 i 1  với  i , i số cho trước  i  n V 10 Giải phương trình x2  x 1   x2  x   x2  x  Phân tích:  Nếu bình phương vế xuất phương trình bậc 4, bậc g y khó khăn  Phương trình có chứa đầy đủ “dấu hiệu” “lưu ý” BĐT ô-si  p dụng BĐT   x  x  1    x  x  1   x  VP  x  ơ-si VT  2  Theo BĐT ô-si dấu “=” xảy x 1, đồng thời x nghiệm phương trình Lờ g :  x2  x 1  Ta có ĐK:    x  x   Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm  x2  x  1  x2  x    x 1 ta có: VT  1 x  x  1  1  x  x  1  2 2  x2  x 1   x2  x   x  Mặt khác: x  x    x  1  x   x  - 11 - Vậy x2  x    x2  x   x2  x   x   x2  x      x  x    1  x  1  x 1 Vậy x=1 nghiệm N ận : ũng với cách giải ta có tốn tổng qt Mở rộng 10a: Giải phương trình: a1 x  b1 x  c1  a2 x  b2 x  c2   a1  a2  x   b1  b2  x   c1  c2    Mở rộng 10b: Giải phương trình: a1 x2  b1 x  c1  a2 x2  b2 x  c2  f ( x) f ( x)   a1  a2  x   b1  b2  x   c1  c2    , x  D Với điều kiện biểu thức bậc hai không âm V 11 Giải hệ phương trình:  x  y  3z   với x, y, z > 1  x  y  z  12  Phân tích:  h có phương trình mà có tới ẩn dương đ y “dấu hiệu” dùng BĐT Cô-si  Nhận thấy x y z 1/2 nghiệm hệ nên áp dụng BĐT ơ-si dấu”=” phải xảy phải kết hợp pt thoả yếu tố để ph n t ch 11 3             x  y  3z     x     y     3z    4 x y z  4x   2y   4z   Lờ g Từ hpt ta có 11 3       x  y  3z   4 x y z          x    2y     3z    4x   2y   4z   Vì x, y, z > ta áp dụng BĐT Côsi cho số  x 1 4x    2y  2  y  4x  4y  3z     3 z    4z 4z   (1) (2) (3) - 12 - :  2y   3z   1   4x 4y 4z Dấu “=” xảy x  y  z   1  Vậy nghiệm hệ phương trình là: S =  , ,    2   Từ (1), (2) (3) ta có: x Tương tự giải toán tổng quát sau, tuỳ theo mức độ khó dễ mà người đề dựa vào dấu "=” xảy 1 x   y   z   1      (1)  1   1       (2)    y z  x Mở rộng 11a: Giải hệ phương trình: với x, y, z > 1 ,  , 3 ,   số cho trước  1       1 x   y   z     1       1       x y z  Mở rộng 11b: Giải hệ phương trình: với x, y, z > 1 ,  , 3 ,   số cho trước V Giải hệ phương trình: 12  x2 1  x  y   y2  z  1  y  2z2  x  1  z Phân tích:  x khác x,y,z dương, đ y “dấu hiệu” BĐT ô-si Lờ g : Trước tiên nhận thấy (x;y;z)=(0;0;0) nghiệm hệ phương trình t x  y  z  Áp dụng BĐT Cô si cho số dương 1>0, x  ta có 2x2  x  1.x  x   x  y  x (1)  x2 2 Tương tự: y2  y  z  y (2) 1 y2 2z2  z  x  z (3) 1 z2 Kết hợp (1),(2),(3) ta y  x  z  y  x  y  z vào hệ thu x  y  z  - 13 - (1) (2) Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (x;y;z)={(0;0;0),(1;1;1)} Nhận : Hpt hệ hốn vị vịng quanh, dùng phương pháp hàm số để giải, nhiên điều g y khó khăn cho HS lớp 10 Bằng kĩ thuật tương tự giải toán tổng quát sau : Mở rộng 12a: Giải hệ phương trình:  x2k 2 1  x k   y   y 2k 2  z ,k  N*  4k 2 1  y  z 2k 2  x  1  z k  Mở rộng 12a gặp khó khăn giải phương pháp hàm số Tuy nhiên, ứng dụng BĐT Cơ-si lời giải đẹp ngắn gọn Bà ậ ương ự ( p dụng BĐT ơ-si): Bài Giải phương trình x    x  HD: p dụng BĐT ô-si x = Bài Giải phương trình: x    x  3x  12 x  14 HD: p dụng BĐT ô-si , x = x   10  x  x  12 x  40 Bài Giải phương trình : HD: p dụng BĐT ô-si , x = Bài Giải phương trình: x 1  y   z   t    x  y  z  t  12  HD: p dụng BĐT ô-si , x = 2, y=4, z=6, t=8 Bài Giải phương trình: x 1  y   z   t    x  y  z  t  68  HD: p dụng BĐT ô-si , x = 2, y=12, z=30, t=56 Bài Giải phương trình: x  y 1  z    x  y  z  11 (Đề thi HSG t nh Quảng Nam) HD: p dụng BĐT ô-si đưa vế trái tổng bình phương x = 1, y=5, z=11 x 1  2 Bài Giải phương trình: x 1 HD: p dụng BĐT ô-si , x = x=-4 3x3  2x2   3x3  x2  2x   2x2  2x  Bài Giải phương trình: (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội) HD: p dụng BĐT ô-si cho T, ĐS: x -1 4 Bài Giải phương trình: 13 x  x  x  x  16 - 14 - 5 HD: p dụng BĐT ô-si cho T, ĐS: x x2 x    x3  x  x  Bài 10 Giải phương trình 2 HD: p dụng BĐT ô-si , ĐS: x x=3 Bài 11 Giải phương trình: 16x4   4x3  x HD: p dụng BĐT ô-si , ĐS: x 1/2 Bài 12 Giải hệ phương trình:  x  y  5z   với x, y, z > 1    x y z  HD: p dụng BĐT ô-si x = y=z=1 Bài 13 Giải hệ phương trình:  x6 1  x10  y   y6  z ĐS: x y z  10 1  y  2z6  x  1  z10 x  y  z   Bài 14 Giải hệ phương trình  1  x 1  y 1  z   xyz HD: p dụng BĐT ô-si số, ĐS: x y=z=1  Bài 15 Giải hệ phương trình:  3x  y     x y    2x  7y  10   1    2  x  3y  x  y   (Đề thi đề nghị trường THPT chuyên Lương Thế inh t nh Đồng Nai thi Olympic 0/4 năm 2012) HD: p dụng BĐT ô-si , hpt có nghiệm x =y=4 Bài 16 Giải hệ phương trình  2 x    y  2y2    x4 HD: p dụng BĐT ô-si số, ĐS: (x;y)={(1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1)} Bài 17 Giải hệ phương trình  2xy  x2  y x   x  2x   2xy y   y2  x  y  2y   - 15 - ĐS: (x;y) {(1;1),(0;0)} Ứng ng B ng Bunn a sk Khi giải phương trình, hệ phương trình mà thấy “dấu hiệu” sau:  Số ẩn phương trình, hệ phương trình nhiều số phương trình  Số ẩn phương trình, hệ phương trình số phương trình  Phương trình,hệ phương trình có chứa bậc hai Khi áp dụng BĐT Bunnhiacốpski với cặp số  a1, a2   b1, b2  (hoặc cặp số) để dễ ph n t ch dùng cặp  Biểu thức (a12  a22 )(b12  b22 ) số biểu thức bé vế lại phương trình  Biểu thức  a1b1  a2b2  số biểu thức lớn vế cịn lại phương trình “thì thử” ứng dụng BĐT Bunnhiacốpski để giải Khi giải “lưu ý”: Nghiệm phương trình, hệ phương trình giá trị biến để dấu “=” xảy lần áp dụng BĐT Bunnhiacốpski BĐT khác nên: +Nếu nhẩm nghiệm phương trình, hệ phương trình ta suy luận nên ứng dụng BĐT Bunnhiacốpski hay không? Ứng dụng để BĐT Bunnhiacốpski có dấu”=” xảy BĐT sử dụng +Ngược lại định hướng dùng BĐT Bunnhiacốpski ta có dấu”=” BĐT xảy để suy nghiệm +Người làm toán nên kết hợp Dấu”=” BĐT nghiệm phương trình, hệ phương trình từ cho lời giải nhanh Nếu chúng không đồng thời xảy phương trình vơ nghiệm phải đổi BĐT hướng khác B ng Bu-nhi-a- -xki (Cauchy- Schwarz)vớ ặ s ự 2 2 Cho hai cặp số thực  a1, a2   b1, b2  ta có: (a1b1  a2b2 )  (a1  a2 )(b1  b2 ) Dấu "=" xảy  a1b2  a2b1 C Ta có (a1b1  a2b2 ) ng m n  (a12  a22 )(b12  b22 )   a1b1    a2b2   2 a1b1  a2b2    a1b1    a1b2    a2b1    a2b2  2 2 2  2 a1b2  a2b1    a1b2    a2b1    a1b2  a2b1   (đpcm) a1 a2 Dấu “=” xảy  a1b2  a2b1    ( b1b2  ) b1 b2 B ng c Bu-nhi-a- -xki (Cauchy- Schwarz) vớ ộ a s Cho hai ba số thực  a1, a2 , a3  ,  b1, b2 , b3  ta có: 2 (a1b1  a2b2  a3b3 )2  (a12  a22  a32 )(b12  b22  b32 ) a1 a2 a3  Nếu b1b2b3  đẳng thức xảy   b1 b2 b3 C ng m n : - 16 - ự Thật (a1b1  a2b2  a3b3 )2  (a12  a22  a32 )(b12  b22  b32 )   a1b1    a2b2    a3b3    a1b1  a2b2    a2b2   a3b3   a1b1   a3b3  2   a1b1    a1b2    a1b3    a2b1    a2b2    a2b3    a3b1    a3b2    a3b3  2 2 2 2  2a1b1a2b2  2a2b2a3b3  2a1b1a3b3   a1b2    a1b3    a2b1    a2b3    a3b1    a3b2  2 2 2   a1b2    a2b1   2a1b2a2b1    a1b3    a3b1   2a1b3a3b1    a2b3    a3b2   2a2b3a3b2         2 2 2   a1b2  a2b1    a1b3  a3b1    a2b3  a3b2   (đpcm) 2 a1b2  a2b1  a a a Dấu "=" xảy  a1b3  a3b1     ( b1b2b3  ) b1 b2 b3 a2b3  a3b2  Trong nhiều trường hợp áp dụng BĐT Bunnhiacốpski để giải phương trình đem lại hiệu cao, lời giải ngắn gọn, xúc tích, phù hợp với học sinh lớp 10 THCS Sau minh hoạ Giải phương trình:  x  1   x  3  Phân tích:  Phương trình có bậc nên HS khó vận dụng hàng đ ng thức đáng nhớ Phương pháp giải HS lớp 10 khơng dùng BĐT “bó tay”  Phương pháp dùng BĐT Bunnhiacốpski lạ hay  ó thể dùng phương pháp hàm số đ y kiến thức HS12, HS lớp 10 chưa học tới Lờ g (k ông ùng BĐT): t hàm số V 13 f ( x)   x  1   x  3 8  f ' ( x)   x  1   x  3 7 f ' ( x)    x  1   x  3  7   x  1    x  7  x 1   x x2 x f’(x)  -  +   f(x) Ta có Min f(x)=2 x  Vậy phương trình có nghiệm x  - 17 - Lờ g (Dùng BĐT): Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski cho số  x  1 ;   x  ; ta   x 1      3  x    1 1    x 1  3  x  1 2 4 8 4   x  1   x  3   x  1    x   (1)  2 Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski cho số  x  1 ;   x  ; ta   x 1       3  x   2  12  12    x    x 1  x   x    x    x  (2)                 2 Tiếp tục, áp dụng BĐT Bunnhiacốpski cho số  x  1 ;   x  ; ta có  x  12    x 2  12  12    x  1    x  1   x  12   x  32       8 Từ (1) (2) ta  x  1   x  3  (3)   x  12   x 2   Kết hợp với phương trình Dấu “=” xảy   x2  x 1   x  1 Vậy phương trình có nghiệm x=2 N ận : Bằng cách áp dụng BĐT Bunnhiacốpski xử l tốn mạnh : ab 2k 2k x  a  x  b  , k  N * với a, b     Mở rộng Ví dụ 13 : Giải phương trình: số cho trước B ng so sán ưu, n ượ Ưu m Lờ g m Lời giải (Không dùng BĐT) Lời giải (Dùng BĐT) Lờ g vớ HS lớ 10: N ượ m - HS lớp 10 không hiểu chưa học phương pháp hàm số -Lời giải ngắn gọn, dễ hiểu - iải tốn tổng qt phương trình có bậc lớn -Ứng dụng BĐT Bunnhiacốpski phù hợp với HS lớp 10 Qua bảng so sánh ta thấy toán trên: + p dụng LG1 phải dùng tới kiến thức lớp 12 (Ứng dụng đạo hàm) Do HS lớp 10 khơng hiểu + p dụng LG2 ch dùng Bunnhiacốpski chương trình, lời giải ngắn gọn Do đó, dễ hiểu HS lớp 10 14 Giải phương trình: x    x  3x  12 x  14 Phân tích:  Bình phương vế phương trình trở thành bậc 4, bậc g y khó khăn V - 18 -  Phương trình có “dấu hiệu” “lưu ý” BĐT Bunnhiacốpski  Tacó 1 x    x   12  12   x      x   2    VT  mà  VP   Áp dụng dấu”=” BĐT xảy ta x 2, thử lại x nghiệm phương trình Lờ g : 2 x    1,5  x  2,5 5  x  ĐK:  x    x  3x  12 x  14  2x    2x  3 x  2  2 Áp dụng Bunnhiacốpxki cho số 1; x  ;  2x 1 x    x    12  12    2x    2x    2x     2x    Do x    x  Dấu “=” xảy  x    x  x  2  x     dấu”=” xẩy  x = Lại có Vậy pt có nghiệm x = N ận :  ó thể áp dụng BĐT ô-si để giải  Bằng kĩ thuật giải mở rộng tốn (đã đề cập phần BĐT ô-si) V 15 x   x    x  3  x  2 Giải phương trình : (1) Phân tích:  Bình phương vế phương trình trở thành bậc cao  Phương trình có “dấu hiệu” “lưu ý” BĐT Bunnhiacốpxki Lờ g : *ĐK: x  Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho bô số x  ; (x -3) ; ta có: 1 x    x  3   12  12      x  1   x  3    x  3  x  2  x   x    x  3  x  (2) (1) (2) xảy khi: x   x   x  5(n) x 1  x        x  2(l ) 2   x   x  x   x  x  10  S  5 - 19 - V 16 Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2  x  x9 x 1 Phân tích:  Bình phương vế phương trình trở thành bậc cao  Phương trình có “dấu hiệu” “lưu ý” BĐT Bunnhiacốpski Lờ g : Giải: Đk x  Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho cặp số 2; x  x ; x 1 x 1 Ta có :     2    x 1       x   x       2 x         2  x      x9 x      x    x           2 Dấu “=” xảy  x    2    x      2 x  x   8x  x   x   x 1   x 1  V 17 2 2   x  y  z   26  x  y  z  Giải hệ phương trình :  3   x  y  z  92 Lờ g : Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski cho số 1,3,4 x,y,z ta 1.x  y  4z   12  32  42  x2  y  z   26  x  y  z  x Dấu “=” xảy   y z  x  Kết hợp với hệ phương trình ta có  y  z   Bà ậ ương ự ( p dụng BĐT Bunnhiacốpski ) 4 Bài Giải phương trình:  x  1   x  3  ĐS: x  Bài Giải phương trình:  x  1   x  3  ĐS: x  16 16 Bài Giải phương trình : x    x  13 ĐS: x  29 13 Bài Giải phương trình :  x  x   x  12 x  38 ĐS x Bài Giải phương trình x   x   x  10 x  16 ĐS x Bài Giải phương trình : x4   x4   x4  ĐS:Ptvô nghiệm  Bài Giải phương trình :  x2  x   x2  1    5 5 36  ĐS x  1   x    5   (Đề thi đề nghị trường THPT chuyên Trà inh thi Olympic 0/4 năm 2012) - 20 - Bài Giải phương trình : x  x   x  x3 ĐS x=1 6x  Bài Giải phương trình :   x  x2 x  1 x 6 x  3xy  x   y Bài 10 Giải hệ phương trình  2  x  y     y  y   x2  1 1 Bài 11 Giải hệ phương trình  ĐS S  {1;1 ,  ; } 2 2    1 y  xy   x   (Đề thi đề nghị trường THPT chuyên Lý Tự Trọng t nh ần Thơ thi Olympic 0/4 năm 2012) Ứng ng n 5.1 Ứng dụng tích vơ hướng véctơ r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho v c tơ: u  x1; y1  , v  x2 ; y2  ta có r ur r r r r u.v  u v cos   u v  x1 x2  y1 y2  x12  y12 x2  y2 r x y Dấu “=” xảy  cos   u  v    k  , ý tỉ số phải dương x2 y2   BĐT có dạng tương tự BĐT Bunnhiacốpski với cặp số thực  x1; y1  ,  x2 ; y2  Do dùng dấu hiệu lưu ý BĐT Bunnhiacốpski V 18 Giải phương trình: x x    x  x2  Phân tích:  Bình phương vế để khử phương trình trở thành bậc cao  Phương trình có “dấu hiệu” “lưu ý” BĐT Bunnhiacốpxki Do dùng t ch vơ hướng véctơ Lờ g : r r Đặt u  x;1 , v  x  1;  x  rr u.v  x x    x Ta có: r r u v  x2  rr r r Do u.v  u v  x x    x  x  r r Kết hợp với phương trình Dấu “=” xảy  u , v hướng   x  x  x   x    x  1  0  x 1 3 x  x  1 0  x  - 21 - 5.2 Ứng dụng tổng độ dài véctơ r r  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho v c tơ: u  x1; y1  , v  x2 ; y2  ta có r r r r uv  u  v   x1  x2    y1  y2   x12  y12 x2  y2 r r x y Dấu xẩy hai v c tơ u , v hướng    k  , ý x2 y2  2 tỉ số phải dương  BĐT có dạng tương tự BĐT Mincốpski V 19 Giải phương trình x  x   x  3x   Phân tích: Nhận thấy Lờ g r 2    2 1  3  x  x   x  3x     x       x        2       2 3 r 1 r :  1 r 1 r r Đặt u  x  ;  , v   x;  Ta có: u  v   ;  uv  2   2    2 2 r r    2 1  3  u  v   x      x              2 2 2 r r r r  3   1 Lại có u  v  u  v   x         x      2      2 r r Kết hợp với phương trình Dấu “=” xảy  u , v hướng 1  3   x  1  x         0   1   1  x  x    2       2x  x  1   1  x  1  x 2 Vậy phương trình có nghiệm x   Bà ậ ương ự ( p dụng hình học ) Bài Giải phương trình x2  x   x2  x   ĐS x Bài Giải phương trình x2  x   x2  x  10  29 ĐS x 1/5 Bài Giải phương trình x2  4x   x2  2x  10  16x2  40 x  26  ĐS x 5/4    x1   x2   x3  3  Bài Giải hệ phương trình  ĐS: x1  x2  x3   1 x  1 x  1 x  2  - 22 -  n 1   x1   x2    xn  n n ,n N* Bài Giải hệ phương trình    x   x    x  n n  1 n  n ĐS: x1  x2   x1980  n Bài Tìm m để phương trình x2  x   x2  x   2m có nghiệm ĐS -1/2