SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THPT NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 29/10/2016 Bài (7,0 điểm) 1) Cho số tự nhiên n thỏa: C21n1 C22n 1 C2nn1 1023 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển (1 + x + x2 + x3)n 2) Tìm tất cặp số nguyên tố p; q thỏa mãn p 5q Bài (7,0 điểm) Cho tứ giác ABCD thỏa mãn AB.CD AD BC AC.BD Biết đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có tiếp điểm với cạnh AB, BC, CD DA K, L, M N 1) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh KL2 MN KN LM Bài (6,0 điểm) Tìm số tự nhiên a1; a2; a3…; an thỏa mãn a + a2 + a3 + … + an = 2015 cho biểu thức P = a 1.a2.a3…an lớn ………………………… Hết ………………………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh ……………………………… … Số báo danh ………… Phịng thi …… Cán coi thi thứ ……………………… Cán coi thi thứ hai ………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK NƠNG Vịng KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm có trang) Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, mà ngắn gọn cho điểm tương ứng Câu NỘI DUNG Điểm 1a a Cho số tự nhiên n thỏa: C21n1 C22n 1 C2nn1 1023 Tìm hệ số số 2.0 điểm n hạng chứa x khai triển (1 + x + x + x ) (1 x)2 n 1 n 1 n 1 C2kn 1 x k 22 n1 C k 0 k n 1 0,5 k 0 Ta có: n 1 22 n 1 C2kn 1 2048 n k 0 5 5 k (1 x x x ) (1 x) (1 x ) C x C5m x2m k 0 k 0,5 m0 Vì hệ số chứa x8 nên ta có k+2m =8 suy (k;m) = (0;4), (2;3), (4;2) Vậy hệ số cần tìm C50 C54 C52 C53 C54 C52 1b điểm b Cho dãy số thực x xác định bỡi n 0,5 x1 2015 x xn , n N * n 1 xn2 0,5 5, 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 7,0 a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường trịn (C1 ),(C2 ) có 2a 3.0 điểm phương trình: x y x y ; x y x y Lập phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C1 ) cắt (C2 ) A, B thỏa mãn 3.0 AI B arccos với I2 tâm đường tròn (C2 ) Ta có I1 (1; 2); R1 5; I (1; 3); R Phương trình đt I1I2 : x y A H B 0.75 1 Do AI B arccos nên cosAI 2B 9 2 Ta có: AB I A I B I A.I B cos AI B 16 I2 0.75 suy d ( I ; d ) I H Do d tiếp xúc với (C1 ) nên d ( I1; d ) R1 Vì khoảng cách từ điểm I1 ; I đến d nên d song song I1I2 d qua trung điểm I1I2 1.0 Nếu d//I1I2 d có dạng: x y m ; d ( I1 ; d ) nên m 0; m 10 Nếu d qua trung điểm I1I2 d có dạng ax b( y ) ( a b ) a d ( I1 ; d ) b 2 a 2b 5( a b ) a b a 4ab 4b 20a 20b 19a 4ab 16b a b (vô lý) ĐS: x y ; x y 10 2 2b b Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, điểm AB = 2a, AD = DC = a Góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABCD) 600; I t rung điểm AD, mặt phẳng (SIB) mặt phẳng (SIC) vng góc với mặt phẳng (ABCD), H hình chiếu I lên SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC) theo a 0,5 1,0 1,0 1,0 1,0 6,0 điểm Tìm số tự nhiên a1; a 2; a3…; an thỏa mãn a1 + a2 + a + … + an = 6,0 2015 cho biểu thức P = a1.a2.a3…an lớn Ta chứng tỏ số a1; a2; a3…; an khơng có số Thật vậy, giả sử tồn số 1, chẳng hạn a1 = 1, 1,5 số cịn lại phải có số aj >2, ta giả sử a2 >2, ngược lại dễ thấy điều vơ lý Khi ta thay a1 số a2 bỡi a2 -1 2 ( a2 1) a3 an 2015 a2 2( a2 1) a3 an 1a2 a3 an Vi phạm P = a1.a2.a 3…an lớn 1,0 Suy n số tự nhiên cần tìm a1; a 2; a 3…; a n nhận giá trị 2,3,4 Tuy nhiên = 2.2 = + nên thay số hai số Trong n số có nhiều hai số giả sử có ba số 2 3 2.2.2 3.3 2,0 Tức thay ba số thành hai số để có tích lớn Lại có 2015 = 3.671 +2 Từ suy có 672 số a 1; a2; a3…; a 672 có 671 số số 1,5 tích 671.2 đạt giá trị lớn ……………………… HẾT………………………… ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK NƠNG Vịng KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm có trang) Lưu ý: Mọi... C x C5m x2m k 0 k 0,5 m0 Vì hệ số chứa x8 nên ta có k+2m =8 suy (k;m) = (0;4), (2;3), (4 ;2) Vậy hệ số cần tìm C50 C54 C52 C53 C54 C52 1b điểm b Cho dãy số thực x xác định bỡi n... với (C1 ) cắt (C2 ) A, B thỏa mãn 3.0 AI B arccos với I2 tâm đường trịn (C2 ) Ta có I1 (1; ? ?2); R1 5; I (1; 3); R Phương trình đt I1I2 : x y A H B 0.75 1 Do AI B arccos