Câu 1 (2 điểm): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)......
www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học I/ PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu (2 điểm): a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số; cực trị; giá trị lớn nhỏ hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số; tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng) Câu (1 điểm): Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác Câu (1 điểm): Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số Câu (1 điểm): - Tìm giới hạn - Tìm ngun hàm, tính tích phân - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay Câu (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vng góc đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Câu (1 điểm): Bài tốn tổng hợp II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình chuẩn: Câu 7a (1 điểm): Phương pháp tọa độ mặt phẳng: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường tròn, elip - Viết phương trình đường thẳng - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Câu 8a (1 điểm) Phương pháp tọa độ không gian: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường tròn, Mặt cầu - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 9a (1 điểm): - Số phức - Tổ hợp, xác suất, thống kê - Bất đẳng thức; cực trị biểu thức đại số Theo chương trình nâng cao: Câu 7b (1 điểm): Phương pháp tọa độ mặt phẳng: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường tròn, ba đường conic - Viết phương trình đường thẳng - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Câu 8b (1 điểm): Phương pháp tọa độ không gian: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Đường tròn, mặt cầu - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 9b (1 điểm): - Số phức - Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) số yếu tố liên quan - Sự tiếp xúc hai đường cong - Hệ phương trình mũ lơgarit - Tổ hợp, xác suất, thống kê - Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Theo Toán Học Việt Nam ếp Version – Tháng 2/2013 www.MATHVN.com -1- Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Khảo sát biến thiên hàm số vẽ đồ thị: - Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải dạng hàm số sau: - Lƣu ý vẽ đồ thị: + Khơng đƣợc vẽ đồ thị ngồi mặt phẳng tọa độ + Nét vẽ đồ thị phải trơn, khơng có chỗ gấp khúc Thể “uốn” đồ thị điểm uốn + Đánh dấu tọa độ giao điểm đồ thị với trục tọa độ; điểm cực đại, cực tiểu; điểm uốn (nếu có) Phƣơng trình lƣợng giác: - Ghi nhớ công thức lƣợng giác, quan hệ góc lƣợng giác, giá trị lƣợng giác góc đặc biệt cách giải dạng phƣơng trình lƣợng giác đƣợc nêu SGK - Thông thƣờng ta nên hạ bậc biểu thức lƣợng giác bậc cao biểu thức lƣợng giác bậc thấp có phƣơng trình để dễ dàng đƣa phƣơng trình tích - Nếu phƣơng trình chủ yếu hàm lƣợng giác sin cos ta nên biến đổi hàm tan cot hàm sin cos Phƣơng trình (vơ tỉ), bất phƣơng trình (vơ tỉ), hệ phƣơng trình, phƣơng trình logarit: - Thuộc công thức logarit - Nắm rõ cách giải pt, bpt - Ứng dụng thành thạo phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình PP PP cộng đại số, PP PP đƣợc ứng dụng nhiều - Nắm rõ cách giải dạng hpt thông dụng: đối xứng loại 1, loại 2; hệ đẳng cấp - Nhiều phƣơng trình, bất phƣơng trình hệ phƣơng trình giải dễ dàng cách đặt ẩn phụ (thông thƣờng ta phải biến đổi chút để nhìn ẩn phụ cần phải đặt) Nguyên hàm, tích phân: - Nắm rõ nguyên hàm hàm thông dụng - Nắm rõ phƣơng pháp thơng dụng để tính tích phân: phƣơng pháp đổi biến phƣơng pháp tích phân phần: + Phƣơng pháp đổi biến thƣờng áp dụng cho hàm đa thức, phân thức có chứa thức + Phƣơng pháp tích phân phần thƣờng áp dụng cho hàm có dạng tích biểu thức khác chất: đa thức – lƣợng giác, đa thức-hàm mũ, đa thức – hàm logarit, lƣợng giác- hàm mũ ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com -2- Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học - Lƣu ý tích phân hàm số lẻ, hàm số chẵn - Trong số trƣờng hợp, ta đổi biến cách đặt Hình học khơng gian: - Nắm vững cơng thức tính thể tích khối thơng dụng - Ứng dụng định lí quan hệ vng góc, quan hệ song song không gian để tạo đƣợc mối liên hệ độ dài cạnh góc, qua tính đƣợc độ dài cạnh số đo góc chƣa biết Bất đẳng thức, cực trị: - Nắm vững bất đẳng thức thông dụng, đặc biệt BĐT Cô-si BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki - Với số tốn tìm cực trị hàm nhiều biến, ta nên quy cực trị hàm biến dùng ứng dụng đạo hàm việc tìm min, max hàm số Phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng không gian: Nên ghi định hƣớng làm (sơ đồ giải) trƣớc giải Số phức: Một số tốn ứng dụng cơng thức Moa-vrơ đƣa số phức dạng lƣợng giác góc đặc biệt ếp Version – Tháng 2/2013 www.MATHVN.com -3- Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Vấn đề 1: Tìm cực trị hàm số 16 Qui tắc 1: Dùng định lí 16 Qui tắc 2: Dùng định lí 16 Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 16 Vấn đề 3: Đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị 16 Vấn đề 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ 17 Định nghĩa: 17 Chú ý: 17 Vấn đề 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 17 Các bƣớc khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (quan trọng) 17 Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) 18 Dạng 1:F(x, m) = f(x) = m (1) 18 Dạng 2: F(x, m) = f(x) = g(m) (2) 18 Dạng 3: F(x, m) = f(x) = kx + m (3) 18 Dạng 4: F(x, m) = f(x) = m(x – x0) + y0 (4) 18 Vấn đề 7: Biện luận số nghiệm phƣơng trình đồ thị 18 Vấn đề 8: Biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc ba đồ thị 18 Dạng 1: Biện luận số nghiệm phƣơng trình bậc 19 1.1 Trƣờng hợp 1: 19 1.2 Trƣờng hợp 2: 19 1.3 Trƣờng hợp 3: 19 Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có nghiệm dấu 19 2.1 Trƣờng hợp 1: (1) có nghiệm dƣơng phân biệt 19 2.2 rƣờng hợp 2: (1) có nghiệm có âm phân biệt 19 Vấn đề 9: SỰ TIẾP XƯC CỦA HAI ĐƢỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG 19 Vaán đề 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng) 19 Bài tốn 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C): y =f(x) điểm Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C): y =f(x), biết có hệ số góc k cho trƣớc 20 Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến (C): y = f(x), biết qua điểm A( x A ; y A ) 20 M0 x0 ; y0 : 20 Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc 20 ếp Version – Tháng 2/2013 www.MATHVN.com -4- Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Vấn đề 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung hai đồ thị(C1): y = f(x) C2): y = g(x) 21 Vấn đề 13: Tìm điểm đồ thị (C): y = f(x) cho tiếp tuyến (C) song song vng góc với đƣờng thẳng d cho trƣớc 21 Vấn đề 14: Tìm điểm đƣờng thẳng d mà từ vẽ đƣợc 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) 21 Vấn đề 15: Tìm điểm mà từ vẽ đƣợc tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tiếp tuyến vng góc với 21 Vaán ñeà 16: HỌ ĐỒ THỊ 22 Vấn đề 17: Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) 22 Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng có đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua 22 Vấn đề 19: Tìm điểm mà số đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua 22 Vấn đề 20: TẬP HỢP ĐIỂM 23 Dạng 1: Tìm toạ độ điểm M 23 Dạng 2: 23 Vấn đề 21: HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng) 23 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y f ( x ) 23 Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y f x 23 Vấn đề 22: Tìm điểm đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên 24 Vấn đề 23: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b 24 Vấn đề 24: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) 24 Vấn đề 25: Khoảng cách 25 Vấn đề 1: Công thức lượng giác 26 HỆ THỨC CƠ BẢN ( công thức ) 26 CÔNG THỨC CỘNG ( công thức ) 26 CÔNG THỨC NHAÂN 26 3.1 NHÂN ĐÔI : ( công thức) 26 3.2 NHAÂN BA : ( công thức) 27 HẠ BẬC : ( công thức) 27 GOÙC CHIA ĐÔI : ( công thức) 27 TOÅNG THÀNH TÍCH : ( công thức) 27 TÍCH THÀNH TỔNG : ( công thức) 27 CUNG LIÊN KẾT : 28 ếp Version – Tháng 2/2013 www.MATHVN.com -5- Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC 28 CƠ BẢN : 28 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin Cos 28 2.1 Daïng asinx + bcosx = c (1) ( a2 + b2 ) 28 PHƯƠNG TRÌNH BAÄC HAI: 29 3.1 Đối với hàm số lượng giác: 29 3.2 Phương trình đẳng cấp Sinx, Cosx 29 3.3 Phương trình đối xứng Sinx, Cosx: 29 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 30 4.1 Tổng bình phương : 30 4.2 Đối lập : 30 Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC 30 Phƣơng pháp 1: Dùng công thức lƣợng giác đƣa phƣơng trình dạng tích 30 Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình lƣợng giác phƣơng trình đại số: 31 Phƣơng pháp 3: Quy phƣơng trình lƣợng giác việc giải hệ phƣơng trình lƣợng giác cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức 31 Phƣơng pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số 32 Vấn đề 4: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC 36 Tam giác thường ( định lý) 36 1.1 Chú ý: 37 Hệ thức lượng tam giác vuoâng: 37 Vấn đề 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ 37 Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Ax = B 39 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PT VÀ BPT ÔN THI ĐẠI HỌC: 39 Vấn đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 39 MỘT SỐ VÍ DỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC: 40 1.1 Phƣơng pháp đƣa dạng tích 42 1.2 Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 42 Vaán đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax2 + bx + c = ( a 0) 43 Vấn đề 4: DẤU NHỊ THỨC 44 Vấn đề 5: DẤU TAM THỨC 44 Vấn đề 6: SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ 44 Vấn đề 7: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 45 ếp Version – Tháng 2/2013 www.MATHVN.com -6- Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học p duïng: 46 a Để bình phƣơng vế phƣơng trình – bất phƣơng trình ta biến đổi cho 1.1 vế không âm hai đặt điều kiện cho vế không âm 47 1.2 Chuyển phƣơng trình – bất phƣơng trình tích: 47 1.3 Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai 0, i n pt tƣơng đƣơng với: A1 0, A2 0, An 48 1.4 Sử dụng lập phƣơng: 48 1.5 Nếu bất phƣơng trình chứa ẩn mẩu: 48 1.5.1 TH1: Mẩu dƣơng ln âm ta quy đồng khử mẩu: 48 1.5.2 TH2: Mẩu âm dƣơng khoảng ta chia thành trƣờng hợp: 49 1.6 Dạng 2: 49 1.7 Dạng 3: 50 1.8 Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để) 50 1.9 Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lƣợng giác) 51 1.10 Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đƣa hệ phƣơng trình) 51 Phƣơng pháp hàm số 52 Vaán đề 8: PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 54 Vấn đề 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 54 Vấn đề 1: BẢNG TÍCH PHÂN 55 Công thức NewTon _ Leibnitz : 55 Tích phân phần : 55 Đổi số : 55 Tính chất : 55 Baûng tích phân : 55 Vaán đề 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến soá 57 Vấn đề 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần 58 Vấn đề 4: Thiết lập công thức truy hồi 58 Vấn đề 5: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 58 Diện tích hình phẳng 58 Thể tích vật thể 59 Vấn đề 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 60 Vấn đề 2: Khoảng cách khoâng gian 61 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com -7- Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Tính khoảng cách điểm mặt phẳng 61 Khoảng cách từ đƣờng thẳng đến mặt phẳng: 62 Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng : 62 Khoảng cách hai đƣờng thẳng 62 Vaán đề 3: Cách xác định góc không gian 63 Góc hai đường thẳng: 63 Góc hai mặt phẳng: 63 Goùc đường thẳng mặt phẳng: 63 Vấn đề 4: HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶC BIỆT 64 Hình chóp tam giác 64 Hình chóp tứ giác 64 Hình chóp có canh bên vng góc với đáy 64 Phƣơng pháp xác định đƣờng cao loại khối chóp: 65 Vấn đề 5: DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH HÌNH CHÓP 65 DIỆN TÍCH: 65 1.1 Diện tích xung quanh, tồn phần hình chóp ĐỀU: 65 THỂ TÍCH: 65 TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý) 65 HÌNH CHĨP CỤT 66 4.1 DIỆN TÍCH 66 4.2 THỂ TÍCH 66 Vaán đề 6: HÌNH LĂNG TRỤ 66 DIỆN TÍCH: 66 THỂ TÍCH: 67 Vấn đề 7: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU 67 HÌNH TRỤ 67 1.1 Diện tích: 67 1.2 Thể tích: 67 HÌNH NÓN 67 2.1 Diện tích: 67 2.2 Thể tích: 67 HÌNH NĨN CỤT 67 3.1 Diện tích: 67 3.2 Thể tích: 68 HÌNH CẦU 68 Vấn đề 8: GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 68 ếp Version – Tháng 2/2013 www.MATHVN.com -8- Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học PHƯƠNG PHÁP: 68 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz không gian 68 Vấn đề 1: BẤT ĐẲNG THỨC 73 Định nghóa : 73 Tính chất : 73 BĐT Cô Si : 73 BĐT Bunhia Côp ski (chú ý) 73 BÑT BecnuLi : 73 BĐT tam giác : 74 Vấn đề 2: Cấp số cộng, cấp số nhân 74 Cấp số cộng: 74 Cấp số nhân: 74 Ví dụ: 74 Vaán đề 1: VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ : 76 Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG 76 Phương trình tham số : 76 Phương trình tổng quát : Ax + By + C = ( A2 + B2 0) 77 Phương trình pháp daïng : 77 Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K : 77 Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) B(xB, yB) : 77 Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn) 77 Phương trình tắc : 77 Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) : 77 Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = : 77 10 Vị trí tương đối hai đường thẳng : 78 11 Góc hai đường thẳng d1 d2 : 78 12 Phương trình đường phân giác góc tạo d1 d2 : 78 Vaán ñeà 3: ĐƢỜNG TRÕN 79 Phƣơng trình đƣờng trịn: 79 Sự tƣơng giao đƣờng thẳng đƣờng tròn: 79 Phƣơng trình tiếp tuyến đƣờng tròn 79 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com -9- www.MATHVN.com Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 1.2 Toán Học Một số phương pháp giải phương trình mũ 1.2.1 Đưa số: a f ( x ) ag( x ) f ( x ) g( x ) Với a > 0, a 1: Chú ý: Trong trường hợp số có chứa ẩn số thì: a M a N (a 1)(M N ) 1.2.2 Logarit hoaù: a f ( x ) b g ( x ) f ( x) log a b g ( x) 1.2.3 Đặt ẩn phụ: Daïng 1: f (x) , t , P(t) đa thức theo t P (a f ( x ) ) t a P(t ) Daïng 2: a2 f ( x ) (ab) f ( x ) b2 f ( x ) Chia veá cho b f ( x) a , đặt ẩn phụ t b f (x) Daïng 3: a f ( x ) b f ( x ) m , với ab f (x) b f (x) Đặt t a t 1.2.4 Sử dụng tính đơn điệu hàm số: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) Đoán nhận x0 nghiệm (1) Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến f(x) g(x) để kết luận x0 nghiệm nhất: f ( x ) đồng biến g( x) nghịch biến (hoặc đồng biến nghiêm ngặt) f ( x ) đơn điệu g( x) c số Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) f (u) f (v) u v e) Đưa phương trình phương trình đặc biệt A Phương trình tích A.B = B A B Phương trình A2 B2 f) Phương pháp đối lập Xét phương trình: f(x) = g(x) (1) f (x) M g( x ) M Neáu ta chứng minh được: f (x) M g( x ) M (1) PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 2.1 Phương trình logarit Với a > 0, a 1: 2.2 loga x b x ab Một số phương pháp giải phương trình logarit a) Đưa số ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com - 111 - www.MATHVN.com Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Với a > 0, a 1: Toán Học f ( x ) g( x ) loga f ( x ) loga g( x ) f ( x ) (hoaëc g( x ) 0) b) Mũ hoá Với a > 0, a 1: loga f ( x ) b a loga f ( x ) ab c) Đặt ẩn phụ d) Sử dụng tính đơn điệu hàm số e) Đưa phương trình đặc biệt f) Phương pháp đối lập Chú ý: Khi giải phương trình logarit cần ý điều kiện để biểu thức có nghóa Với a, b, c > a, b, c 1: a logb c c logb a Vaán đề 5: BẤT PHƯƠNG, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Khi giải hệ phương trình mũ logarit, ta dùng phương pháp giải hệ phương trình học như: Phương pháp Phương pháp cộng đại số Phương pháp đặt ẩn phụ …… Vấn đề 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Khi giải bất phương trình mũ ta cần ý tính đơn điệu hàm số mũ a f ( x ) a g( x ) a f ( x ) g( x ) 0 a f ( x ) g( x ) Ta cuõng thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình mũ: – Đưa số – Đặt ẩn phụ – … Chú ý: Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: a M a N (a 1)(M N ) Vấn đề 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Khi giải bất phương trình logarit ta cần ý tính đơn điệu hàm số logarit a f ( x ) g( x ) loga f ( x ) loga g( x ) 0 a 0 f ( x ) g( x ) Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình logarit: – Đưa số – Đặt ẩn phụ – … Chú ý: Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com - 112 - www.MATHVN.com Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 loga B (a 1)(B 1) ; Vấn đề 1: Hoán vị : Số hốn vị n phần tử: Pn n! Tổ hợp : n! K!(n K )! loga B ( A 1)(B 1) HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP CnK loga A Toán Học (0 K n) C nK Cnn K n Cn Cn K K 1 K Cn1 Cn1 Cn n n Cn Cn Cn Chỉnh hợp : AnK n! (n K )! (0 K n ) Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT Nguyên tắc đếm biến cố A B A có m cách xảy B có n cách xảy biến cố A B xảy có m n cách Biến cố A B xảy có m + n cách Chú ý: Nguyên tắc áp dụng cho nhiều biến cố 1.1 Chú ý: Nếu thay đổi vị trí mà biến cố thay đổi ta có hốn vị chỉnh hợp Nếu thay đổi vị trí mà biến cố khơng đổi ta có tổ hợp XÁC SUẤT 2.1 Không gian mẫu: Không gian mẫu tập hợp tất kết xảy Biến cố A tập hợp không gian mẫu 2.2 Xác suất: Nếu phần tử khơng gian mẫu có khả xảy ra, p số phần tử biến cố A, n số phần tử không gian mẫu Xác suất để biến cố A xảy ra: ( ) 2.3 CÁC CÔNG THỨC Không gian mẫu E biến cố chắn xảy ra: p(E) = Biến cố biến cố xảy ra: p() = Biến cố kéo theo A B biến cố A xảy biến cố B xảy ra: A B P(A) p(B) A B biến cố A hay B xảy p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) ếp Version – Tháng 2/2013 www.MATHVN.com - 113 - www.MATHVN.com Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học A B biến cố A B xảy Biến cố A B đối lập không xảy A B = ; p(A B) = 0; p(A B) = p(A) + p(B) Biến cố ̅ đối lập A: p( ̅) = – p(A) Xác suất có điều kiện: Biến cố A xảy với điều kiện biến cố B xảy ra: ( | ) ( ) ( ) hay p(A B) = p(B).p(A|B) Biến cố A B độc lập biến cố B xảy hay khơng xác suất A không đổi: p(A|B) = p(A) p(A B) = p(A).p(B) Vấn đề 3: Nhị thức NIUTƠN Công thức nhị thức Newtơn: n 0a n C1 a n 1b1 C k a n k bk C nbn n C k a n k bk a b C n n n n n k 0 * (1) n N Các nhận xét công thức khai triển: ( a b) n Có n + số hạng Các hệ số số hạng lần lƣợt là: Khai triển bắt đầu Cn0 a n Cn0 ; Cn1 ; Cn2 ; Cn3 ;' ; Cnn kết thúc Cnnb n , sau khơng kể đến hệ số, số mũ a số hạng liền sau giảm đơn vị số mũ b số hạng liền sau tăng lên đơn vị Tổng số mũ a b n Các hệ số số hạng cách hai số hạng đầu cuối Công thức số hạng tổng quát: Số hạng thứ k+1: Tk 1 Cnk a nk bk ( k n ) Một số dạng đặc biệt: * Thay a = 1; b = x ta đƣợc: 1 x n Cn0 C1n x Cn2 x2 Cn3x3 Cnk x k Cnn x n (2) * Thay a = 1; b = - x ta đƣợc: 1 x n Cn0 C1n x Cn2 x2 Cn3x3 (1)k Cnk x k (1)n Cnn x n (3) * Trong (2) ; (3) cho x = ta đƣợc: n 2n 1 1 Cn0 C1n Cn2 Cn3 Cnk Cnn n 1 1 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)k Cnk (1)n Cnn ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com (4) (5) - 114 - www.MATHVN.com Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học Các dạng tốn ứng dụng nhị thức NewTơn Các dạng toán thƣờng gặp là: 1- Dạng 1: Tính tổng tổ hợp 2- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp - Dạng 3: Tìm Giá trị hệ số khai triển nhị thức NewTơn: Các hệ số đối xứng: Tam giác Pascal: ( a b) n Cnm Cnnm 1 1 3 n=0 n=1 n=2 n=3 Vd: ( ĐHBK – 2000- 2001 ): Giải bất phƣơng trình sau: A2 x Ax2 Cx3 10 x Điều kiện x: x N + + Biến đổi bất phƣơng trình dạng: (2 x)! x! x! 10 (2 x 2)! ( x 2)! x 3!( x 3)! ( x 2)( x 1) x (2 x 1)2 x ( x 1) x 10 x 3! (2 x 1) x ( x 1) x ( x 2)( x 1) 10 x 12 x x 3; x + Vậy nghiệm bất phƣơng trình x 3; x + Kết hợp với Điều kiện (*) < 26 > (ĐHQG TPHCM – KA - 2000) Một thầy giáo có 12 sách đơi khác có sách văn học, sách âm nhạc sách hội họa Ông muốn lấy đem tặng em học sinh A, B, C, D, E, F em a) Giả sử thầy giáo muốn tặng cho em học sinh sách thuộc thể loại văn học âm nhạc Hỏi tất có cách chọn sách để tặng? Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, loại văn học, âm nhạc, hội hoạ cịn lại Hỏi tất có cách chọn? Giải: Số cách tặng sách số cách chọn sách từ có kể thứ tự Vậy số cách tặng là: A96 60480 Ta nhận xét rằng: chọn cho hết loại sách + Số cách chọn sách từ 12 sách là: A126 665280 + Số cách chọn cho khơng cịn sách văn: + Số cách chọn cho khơng cịn sách nhạc: A65 A71 5040 A64 A82 20160 + Số cách chọn cho khơng cịn sách hội hoạ: ếp Version – Tháng 2/2013 A63 A93 60480 www.MATHVN.com - 115 - Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học + Số cách chọn cần tìm là: 665280 – 85680 = 579600 < 27 > Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam 15 nữ Có cách lập ban cán lớp gồm: a học sinh b học sinh gồm nam nữ c học sinh có nam Giải: Ban cán lớp gồm ngƣời lớp khơng có xếp Mỗi ban cán ngƣời tập phần tử tập hợp 40 học sinh lớp Vậy có: C403 9880 Có C25 Do có Có cách lập ban cán lớp ngƣời cách chọn học sinh nam C15 cách chọn học sinh nam C251 C152 2625 cách lập ban cán lớp gồm nam nữ C153 455 cách chọn nữ sinh nên có 455 cách lập ban cán lớp ngƣời tồn nữ Dó có: 9880 – 455 = 9425 cách lập ban cán ngƣời ma có nam Tìm hạng tử đứng khai triển: ( x3 xy)15 Lời giải * Số hạng tổng quát khai triển ( x3 - xy)15 là: Tk 1 C15k ( x3 )15k ( xy)k * Trong khai triển có n = 15 có 16 số hạng nên ssố hạng đứng số hạng thứ thứ 9: T8 T71 C157 ( x3 )157 ( xy)7 6435x31 y T9 T81 C158 ( x3 )158 ( xy)8 6435x29 y8 Trong khai triển nhị thức: (2x 10 ) tìm số hạng khơng phụ thuộc x x2 Lời giải 10 là: (2x ) x k 10k k k 10k 305k Tk 1 C10 (2 x ) ( ) C10 x x * Số hạng tổng quát khai triển * Tk 1 không phụ thuộc thuộc x 30 5k k * Vậy số hạng không phụ thuộc x số hạng thứ ứng với k = 6: 24 T7 C10 (ĐH-A-2012) Cho n số nguyên dƣơng thỏa mãn 5Cnn1 Cn3 Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị thức n nx , x ≠ Niu-tơn 14 x ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com - 116 - www.MATHVN.com Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học Lời giải Ta có: 5Cnn1 Cn3 5.n n(n 1)(n 2) 30 = (n – 1) (n – 2), (do n > 0) n = 7 i Gọi a hệ số x ta có C x2 2 i 1 14 – 3i = i = C 2 35 Vậy số hạng chứa x5 x 16 i i Khái niệm số phức Tập hợp số phức: i 1 1 ax5 (1)i C77 i x 2 a a= i x143i ax5 35 16 C Số phức (dạng đại số) : z a bi (a, b R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) z số thực phần ảo z (b = 0) z ảo phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo a a ' (a, b, a ', b ' R) b b ' Hai số phức nhau: a bi a’ b’i Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b R) biểu diễn điểm M(a; b) hay u (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức: a bi a’ b’i a a’ b b’ i a bi a’ b’i a a’ b b’ i Số đối z = a + bi –z = –a – bi u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u u ' biểu diễn z + z’ u u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : aa’– bb’ ab’ ba’ i a bi a ' b ' i k(a bi) ka kbi (k R) ếp Version – Tháng 2/2013 www.MATHVN.com - 117 - www.MATHVN.com Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học Số phức liên hợp số phức z = a + bi z a bi z z z z ' z z ' ; z.z ' z.z '; ; z.z a2 b2 z2 z2 z số thực z z ; z số ảo z z z z; Môđun số phức : z = a + bi z a2 b2 zz OM z 0, z C , z.z ' z z ' z 0z0 z z z' z' z z' z z' z z' Chia hai số phức: z1 z (z 0) z z' z '.z z '.z z ' z1 z z.z z z' w z ' wz z Caên bậc hai số phức: z x yi bậc hai số phức w a bi z2 w 2 x y a xy b w = có bậc hai z = w có hai bậc hai đối Hai bậc hai a > a Hai bậc hai a < a i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ) B2 AC : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 B , ( bậc hai ) 2A B 2A Chú ý: Nếu z0 C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) : (*) có nghiệm kép: z1 z2 10 Dạng lượng giác số phức: z r(cos i sin ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (z 0) ếp Version – Tháng 2/2013 www.MATHVN.com - 118 - Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học r a2 b2 a cos r b sin r acgumen cuûa z, (Ox, OM ) z z cos i sin ( R) 11 Nhân, chia số phức dạng lượng giác Cho z r(cos i sin ) , z ' r '(cos ' i sin ') : z.z ' rr '. cos( ') i sin( ') z r cos( ') i sin( ') z' r ' 12 Coâng thức Moa–vrơ: n r(cos i sin ) r n (cos n i sin n) , ( n N* ) n cos i sin cos n i sin n 13 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: Số phức z r(cos i sin ) (r > 0) có hai bậc hai là: r cos i sin 2 vaø r cos i sin r cos i sin 2 2 2 Mở rộng: Số phức z r(cos i sin ) (r > 0) có n bậc n là: n k 2 k 2 r cos i sin n n , k 0,1, , n 14 Các dạng tập: 14.1 Dạng : Tìm mô đun ,căn bậc hai số phức, giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình tập số phức Phƣơng Pháp : Cho số phức : z = a + bi với a,b số thực + Mô đun số phức z : z a b2 +Gọi w = x + yi với x,y R bậc hai số phức z x2 y a giải hệ phƣơng trình tìm đƣợc xy b Ta có w a bi x yi a bi bậc hai số phức z +Việc giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình đƣợc giải tƣơng tự nhƣ giải trƣờng số thực nhƣng ý đến việc tìm bậc hai số âm bậc hai số phức Bài tập minh họa Bài 1: Tìm mơđun số phức z 4i 1 i Lời giải: Vì 1 i 13 3i 3i i 3i i 2 2i ếp Version – Tháng 2/2013 www.MATHVN.com - 119 - www.MATHVN.com Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 1 Suy ra: z 1 2i z Toán Học 22 Bài 2: Cho hai số phức: z1 5i ; z2 i Tính Lời giải: z1 5i z2 i z1 22 z2 z z1 z2 z2 5i i 4 i i 3i 3i Bài 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phƣơng trình: z z 10 Tính giá trị biểu thức A = z1 z2 2 Lời giải: Ta có: = 12 - 10 = -9 = 9i2 Phƣơng trình có nghiệm: z1 = - - 3i; z2 = - + 3i Ta có: z1 z2 1 3 1 32 20 2 2 Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn: z i 10 z.z 25 Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b , ta có: z.z 25 a b 25 a b 25 2 a b i 10 z i 10 a b 1 10 a a b 25 b a 2a b 10 b 2 Vậy có hai số phức cần tìm : z = + 4i , z = + 0i Bài 5: z z2 Cho số phức z = - 3i Tìm z 2 Lời giải: z z 3i 3i 11 27i z z 11 27i 11 27i 3i 37 141i 3i 42 32 25 z Bài 6: Giải phƣơng trình sau (ẩn z): z z 1 5i Lời giải: Giả sử z a bi ; z z 1 5i 2 (*) a bi a bi 10i 25i 3a 24 a 8 3a bi 24 10i z 8 10i b 10 b 10 Bài 7: ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com - 120 - Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học 3 i 2 3 2 3 3 Lời giải: Ta có: z i i isin cos 2 4 Tìm bậc hai số phức sau: z Suy z có hai bậc hai là: 3 k 2 3 k 2 cos isin k 0;1 3 3 + Khi k w = cos isin 8 3 3 + k w = cos isin 11 11 = cos isin 8 w= Bài 8: Tìm bậc hai số phức: z 21 20i Lời giải: Gọi x yi x, y bậc hai z x y 21 (1) 2 xy 20 (2) 10 (2) y x 10 100 Thay y vào (1) ta đƣợc: x 21 x x x 21x2 100 x2 25 x 5 x y 2; x 5 y Vậy số phức cho có hai bậc hai là: 2i 5 2i 2 * Cách khác: z 25 2.5.2i 2i 2i Vậy số phức cho có hai bậc hai là: 2i 5 2i Ta có: Bài 9: Giải phƣơng trình: z i z 4i Lời giải: Ta có: ' 35 12i Ta tìm bậc hai x yi ' : x y 35 x yi 35 12i 2 xy 12 Do ta giải đƣợc bậc hai là: 1 6i ;1 6i nên phƣơng trình có hai nghiệm: z1 4i z2 2i Bài 10: Giải phƣơng trình sau (ẩn z): z z z z Lời giải: ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com - 121 - Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 z 2z3 z 2z z www.MATHVN.com Toaùn Hoïc 1 z (do z 0) z z 1 z w , ta đƣợc: z z w=1 w 2w w 2w w=-3 1 Do đó: z (1) hay z 3 (2) z z + Giải (1) z z Đặt w = z+ Ta có: 3 3i Vậy phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: z1 3i 3i ; z2 2 + Giải (2) z 3z Ta có: Vậy phƣơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt: z3 3 3 ; z4 2 Tóm lại phƣơng trình cho có bốn nghiệm: z1 3i 3i 3 3 ; z3 ; z2 ; z4 2 2 Bài 11: Giải phƣơng trình sau (ẩn z): z z z z Lời giải: z z z z z 1 1 z 1 z z 1 z w , ta đƣợc: z z 2 w 2w 2w2 2w Đặt w = z + Giải: 2w2 2w (*) Ta có: ' 10 9 3i Vậy phƣơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt: w1 3i 3i ; w2 2 1 3i 1 3i (1) hay z (2) z z 3i + Giải (1) z z z 1 3i z Do đó: z Ta có: 1 3i 16 6i Số phức z x yi ( x, y ) bậc hai 6i x2 y z 6i x yi 6i x y xyi 6i (**) xy x2 x x x x Giải (**) 3 y y y x x x ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com - 122 - Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học x 3 x x 3 hay y y 1 y 1 x Suy có hai bậc hai i i 3i i 3i i 1 Vậy phƣơng trình (1) có hai nghiệm: z1 i; z2 i 4 2 3i + Giải (2) z z z 1 3i z Ta có: 1 3i 16 6i Số phức z x yi x, y bậc hai 6i x2 y z 6i x yi 6i x y xyi 6i (***) 2 xy 6 x x x x Giải (***) 3 y y x x x x2 x 3 y 1 x 3 y y x x y Suy có hai bậc hai 3 i i 3i i 3i i 1 Vậy phƣơng trình (2) có hai nghiệm: z3 i; z4 i 4 2 Tóm lại phƣơng trình cho có bốn nghiệm: 1 1 z1 i; z2 i ; z3 i; z4 i 2 2 Bài 12: Z1 Z 3i 2 Z1 Z 4i Giải hệ phƣơng trình sau tập số phức: Z1 Z 3i Z1.Z 5 8i Lời giải: hpt Z1 Z2 nghiệm phƣơng trình: Z2 - (2 + 3i)Z - + 8i = Có = 15 20i i 3 i Z1 3 i Z2 14.2 Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Phƣơng pháp : + Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y số thực + Dựa vào giả thiết tốn tìm xem với điểm M( x; y) thỏa mãn phƣơng trình + Kết luận tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com - 123 - www.MATHVN.com Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 Toán Học Bài 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i Lời giải: Đặt z = x + yi; x, y z 4i x 3 y , ta có: x 3 y i 2 x 3 y 2 2 2 Vậy tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện cho đƣờng trịn tâm I(3; -4); bán kính R = Bài 14: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z i z z 2i Lời giải: Gọi z = x + yi (x, y ) Ta có: z i z z 2i x y 1 i y i x y 1 2 y y 2 x Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 5i Lời giải: Đặt z = x + yi (x, y ) Ta có: z - 5i + = (x + 2) + (y - 5)i Suy ra: z 5i x y 5 2 x y 5 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đƣờng trịn tâm I(-2; 5), bán kính R = 14.3 Dạng 3: Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số , dạng lƣợng giác Phƣơng pháp : + Nắm vững Acgumen số phức z + Dạng đại số : z = a + bi với a,b R + Dạng lƣợng giác : z r cos +i.sin với r mô đun số phức z Acgumen số phức z + Nhân chia hai số phức dƣới dạng lƣợng giác + Công thức Moivre : r cos + i.sin r n (cosn + i.sinn ) n Bài 16: Viết số phức sau dƣới dạng đại số: z i 1 i i i cos isin 6 2 9 9 9 z19 29 cos isin cos isin 2 Lời giải: + Xét z1 i cos isin 4 + Xét z2 1 i ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com - 124 - Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Hoïc 5 5 cos isin 4 3 z9 3 z 15 64 cos isin 64 i 64 64i z2 2 z25 cos 54 isin 54 ếp Version – Thaùng 2/2013 www.MATHVN.com - 125 - ... – lƣợng giác, đa thức-hàm mũ, đa thức – hàm logarit, lƣợng giác- hàm mũ ếp Version – Thaùng 2 /2013 www.MATHVN.com -2 - Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học - Lƣu ý tích phân hàm... AB.AC 2 ếp Version – Tháng 2 /2013 www.MATHVN.com - 25 - Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Vấn đề 1: Toán Học Công thức lượng giác HỆ THỨC CƠ BẢN ( công thức ) 1/ Sin x Cos x 2/... y0 : 20 Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc 20 ếp Version – Thaùng 2 /2013 www.MATHVN.com -4 - Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học 2013 www.MATHVN.com Toán Học Vấn đề 12: Lập phƣơng