Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Các đường thẳng EF và BC cắt nhau tại P. Qua D kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này lần lượt cắt AC tại Q và cắt AB tại R[r]
(1)ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN
(02 2020)
Câu (3,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2+y2−xy= + +x y
b) Cho ba số tự nhiên a, b, c có số lẻ hai số chẵn Chứng minh
3 3
(a+ +b c) − + −(a b c) − + −(b c a) − − +(a b c) chia hết cho 96 Câu (4,0 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên dương n ta có
2
1 1
1
n n n n
+ + = + −
+ +
b) Tính tổng
2 2
1 1 1 1
S 1 1
3 2014 2016
= + + + + + + + + ++ + +
Câu (4,0 điểm)
a) Giải phương trình 2x2− =x 2x−x b) Giải hệ phương trình
2
2
(x 1)y (y 1)x 2(xy 1)
4x y 2x y
− + − = −
+ + − − =
Câu (7,0 điểm)
Cho BC dây cung cố định đường tròn (O ; R), BC < 2R Gọi A điểm di động cung lớn BC, A không trùng với điểm B C Gọi AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Các đường thẳng EF BC cắt P Qua D kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng cắt AC Q cắt AB R
a) Chứng minh tứ giác BQCR tứ giác nội tiếp
b) Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh tam giác EPM đồng dạng với tam giác DEM c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác PQR ln qua điểm cố định
Câu (2,0 điểm)
Cho số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn x2+y2+z2=3.
Chứng minh bất đẳng thức sau:
3
3
x y z
xy yz xz
yz + xz + xy + +