Logic (updated)

a) Nếu người đi bộ băng qua đường thì hoặc là đèn điều khiển đang xanh hoặc là sức khỏe người đi bộ không tốt.. b) Người đi xe máy không thể vượt đèn đỏ nếu anh ta thấy công an trừ k[r]

Giảng viên: ThS Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 01

Nội dung Propositional Logic

What is LOGIC?

What is LOGIC?

Logic is the study of arguments. In philosophy

Logic (from the Greek) is the formal systematic study (sự nghiên cứu có tính hệ thống) of the

principles (quy tắc) of valid inference and

correct reasoning (lập luận có cứ và suy luận

What is LOGIC? Trong toán học:

các quy luật Logic giúp xác định ý nghĩa

chính xác của phát biểu tốn học.

 Logic tốn học một nhánh của tốn học có quan

hệ chặt chẽ với khoa học máy tính và logic triết học.

 Phân biệt suy luận (valid) và không

Giảng viên: ThS Trần Quang Khải

PROPOSITIONAL LOGIC (Logic mệnh đề)

Propositions

Mệnh đề (Proposition)

là câu (hoặc phát biểu) tường thuật chỉ

có giá trị “đúng” hoặc “sai”

 Mệnh đề không thể vừa vừa sai

 Giá trị đúng hoặc sai của mệnh đề: chân trị.

Propositions - Examples

1 “Pigs can fly.” “1 + = 2.“

3 “2 + = 3.”

4 “Your teacher is Superman.”

Sentences not to be propositions

1 What time is it?

2 Do your homework x + =

4 x + y = z

Biểu diễn mệnh đề

Biểu diễn mệnh đề bằng kí tự (letter).

 VD: p, q, r, s, t, …

 Gọi biến mệnh đề (propositional variables or statement variables)

 Phủ định mệnh đề: ký hiệu ¬p

Quy ước:

 TRUE: T or

 FALSE: F or p ¬p

1

0 01

Truth table p ¬p

T

Xác định chân trị Xác định mệnh đề là true/false:

không phải nhiệm vụ của Logic

Ex: Today is Friday.

Negation (phủ định)

Phủ định của một mệnh đề: “Today is Friday.”

 “It is not the case that today is Friday.”  “Today is not Friday.”

Compound propositions

Mệnh đề kết hợp

(Mệnh đề phức hợp)

 Các phát biểu thường gồm hay nhiều mệnh đề  Các mệnh đề kết hợp toán tử logic (logical

Compound propositions

George Boole (1854) – English mathematician  “The Mathematical Analysis of Logic” (1848)

Toán tử Logic

Gọi p, q là mệnh đề:

 ¬p: negation (phủ định)

 p  q: conjunction (hội)

 p  q: disjunction (tuyển)

 p  q: exclusive-OR (tuyển loại – phép XOR)

 p  q: implication (kéo theo)

Kết quả của việc kết hợp mệnh đề bằng toán

Toán tử Logic – Bảng chân trị

p q ¬p p  q p  q p  q p  q p  q

Phép hội: p  q Mệnh đề “p và q” là:

 TRUE p q TRUE

 FALSE trường hợp lại

Trong lập trình:

Kết hợp điều kiện AND

if (a > AND a < 4) then … p q p  q

Phép tuyển: p  q Mệnh đề “p hoặc q” là:

 FALSE p q FALSE

 TRUE trường hợp lại

Trong lập trình:

Kết hợp điều kiện OR

if (a > OR a < 4) then … p q p  q

Phép tuyển loại: p  q Mệnh đề “p  q” là:

 FALSE p q TRUE FALSE

 Nhận xét: p q giống

 TRUE trường hợp lại

 Nhận xét: p q khác

Trong lập trình: Phép XOR

p q p  q

Toán tử “kéo theo”: p  q

Toán tử p → q có vai trị đặc biệt quan trọng

trong toán học:

 p: giả thiết (hypothesis)  q: kết luận (conclusion)

 “Nếu p, q”

 “p q”

Toán tử “kéo theo”: p  q Toán tử p → q là:

 FALSE p = TRUE q = FALSE

 TRUE trường hợp lại

p q p  q

Toán tử “kéo theo”: p  q Ví dụ:

1 “Messi đá hay đội Việt Nam bị loại” (đúng  đúng) “Con lợn biết bay iPhone có giá rẻ” (sai  sai)

3 “If today is Friday, then + = 5” (true/false  true)

4 “If today is Friday, then + = 6” (true/false  false) “If you study discrete maths well, you will earn much

Vì TRUE → FALSE là sai?

Chỉ sai giả thiết (hypothesis) p là nhưng

kết luận (conclusion) q sai

Quan hệ “nguyên nhân – hệ quả” Cause (hypothesis, antecedent, premise) – effect

(conclusion, consequence):

 Ex: “Nếu bạn chém gió nhiều người u bạn

khơng cịn tin bạn”

Phép kéo theo logic:

 Ex: “Nếu mơn tốn rời rạc dở, Bill Gates siêu cầu thủ”

Phép kéo theo logic tổng quát hơn quan hệ

Toán tử “kéo theo”: p  q q  p: mệnh đề đảo (converse).

¬q  ¬p: mệnh đề phản đảo (contrapositive)

Toán tử “kéo theo”: p  q Ví dụ: Xây dựng bảng chân trị cho mệnh đề

(p  ¬q) → (p  q)

Toán tử “tương đương”: p  q Toán tử p  q là:

 TRUE p q có chân trị

 FALSE trường hợp lại

Chỉ p  q và q  p

Nhận xét: ngược lại toán tử XOR

Thực chất:

 Không thực gọi “tương đương”

 Phát biểu “điều kiện đôi” (biconditional statements)

Toán tử “tương đương”: p  q Diễn giải:

 “p q”

 “p là cần đủ để/đối-với q”

 “nếu p q ngược lại”

Ví dụ:

 “Con bị biết lập trình hạt mưa rơi”

Mệnh đề tương đương

Logical Equivalence

Hai mệnh đề kết hợp được gọi “tương đương

logic” nếu chúng có bảng chân trị giống nhau.

Hai mệnh đề kết hợp p, q là tương đương nếu p  q

là mọi trường hợp (tautology)

Ký hiệu: p  q

Mệnh đề tương đương

 Tautology (hằng đúng): mệnh đề luôn đúng.  Contradiction (mâu thuẫn): mệnh đề ln ln sai.

 Ví dụ:

p ¬p p  ¬p p  ¬p

T F F T F F T T

Mệnh đề tương đương

Ví dụ 1: Chứng minh ¬(pq)  ¬p¬q

p q ¬p ¬q ¬(p  q) ¬p¬q

Mệnh đề tương đương

Ví dụ 2: Chứng minh ¬(p  q)  ¬p  ¬q

Mệnh đề tương đương

Ví dụ 3: Chứng minh ¬p  q  p → q

Bài tập

1 Viết 10 câu mệnh đề cho biết chân trị chúng Lập bảng chân trị cho mệnh đề:

a) (p  ¬q)  q

b) (p  q)  (p  q) c) (p  q)  (q  p) d) p  ¬q

e) (p  q) (p  ¬q)

3 Chứng minh: (p  q)  (¬q  ¬p)

Bài tập

5 Chuyển câu sau sang dạng mệnh đề:

a) Nếu người băng qua đường thì hoặc đèn điều khiển xanh hoặc sức khỏe người không tốt

Giảng viên: ThS Trần Quang Khải

PREDICATE LOGIC (Logic vị từ)

Điểm yếu Logic mệnh đề

Khơng thể biểu diễn phát biểu có chứa biến

(variables). Ex:

 x = y + 4.  x > 3

Các biến KHƠNG có giá trị cụ thể.

Điểm yếu Logic mệnh đề

Một số phát biểu tương đương:

“Not all birds fly.” AND “Some bird don’t fly.” “Không phải tất cả bánh đều ăn được.”

“Chỉ một số bánh ăn được.”

“Không phải số nguyên số lẻ.” AND “Một số số nguyên số lẻ.”

Điểm yếu Logic mệnh đề

Giả sử ta biết:

“Mọi sinh viên IT phải học toán rời rạc.”

Khơng có luật của Logic mệnh đề cho phép kết

luận chân trị của phát biểu:

“Ronaldo phải học tốn rời rạc.”

Trong Ronaldo sinh viên IT

Khơng có luật để tìm chân trị của phát biểu:

Vị từ (Vị ngữ)

Ví dụ: “x > 3” (x lớn hơn 3)

“x”: chủ ngữ

“lớn hơn 3”: vị ngữ

P(x): x > (P kí hiệu vĩ ngữ “lớn hơn 3”)

Xét P(x): x > 3

 Mệnh đề P(4) có chân trị TRUE (4 > 3)

 Mệnh đề P(2) có chân trị FALSE (2 > 3)

Vị từ (Vị ngữ)

Thực tế: câu thường có nhiều biến hơn.

Ví dụ: xét câu “x = y + 3”  Q(x,y): x = y +3

Predicate Vị từ

Predicate (vị từ) một hàm mệnh đề mô tả

thuộc tính của đối tượng mối quan hệ

giữa chúng.

Ký hiệu

Một phát biểu có n biến x1, x2, …, xn, biểu diễn P(x1, x2, …, xn), được gọi hàm mệnh đề.

Predicate IS NOT Proposition

Statement “x > 1” is not a proposition. How to make it to be a proposition?

 Cách 1: gán giá trị cho biến x (Ex: > 1)

 Cách 2: biến đổi câu thành

hoặc

Nhận xét: liên quan đến “số lượng”

Có một số tự nhiên x sao cho x > 1

Lượng từ (quantifier)

Để biến vị từ thành mệnh đề  “Sự lượng hóa”

: for-all (với mọi)

∀xP(x) = “P(x) is T for all x”

“với mọi x, P(x)” : exists (tồn tại)

∃xP(x) = “There exists x such that P(x) is T”

“tồn tại x sao cho P(x)”

Các khái niệm “few, many,…” có thể được diễn đạt

Miền giá trị biến

Trong phát biểu tốn học:

 Một tính chất có thể đúng với giá trị biến

một miền đặc biệt nào (Miền xác định – Tốn phổ thông)

 Domain (universe) of discourse:

hoặc

Ví dụ - Lượng từ 

Ví dụ 1: “All IT students must study discrete maths”

P(x) = “x must study discrete maths” Proposition: xP(x)

Lưu ý: x ngụ ý một sinh viên IT (domain). Ví dụ 1: Diễn giải một cách cụ thể hơn

 S(x) = “x is an IT student”

Ví dụ - Lượng từ 

Ví dụ 1: Diễn giải một cách cụ thể hơn

 S(x) = “x is an IT student”

 P(x) = “x must study discrete maths”  Proposition: x(S(x)  P(x))

Ví dụ - Lượng từ 

Ví dụ 2: P(x) = “x > 3”  Domain: x  

 Proposition:  xP(x)  TRUE or FALSE?

Ví dụ 3: Q(x) = “x=x+ 1”

 Domain: x  

Làm để xác định chân trị?

 ∀xP(x) =P(x1) ∧ P(x2) ∧ ∧ P(xn)  ∃xP(x) =P(x1) ∨ P(x2) ∨ ∨ P(xn)

Trong x1, x2 … xn mọi giá trị có thể có của x.

Kiểm tra mọi xi đối với  để xác định TRUE.

Thứ tự ưu tiên lượng từ

Thứ tự giữa ký hiệu lượng từ là quan trọng.

Trừ các trường hợp sau:

 Mọi ký hiệu lượng từ “for-all”

 Mọi ký hiệu lượng từ “exists”

Thứ tự:

 từ trái sang phải,

Thứ tự ưu tiên lượng từ Ví dụ 1:

∀x∀y (x + y = y + x) ∀y∀x (x + y = y + x) TRUE for all x, y ∈ 

Ví dụ 2:

∀x∃y (x + y = 0) is T, when

Dịch sang ngôn ngữ tự nhiên

Translate the following proposition: ∀x(C(x)∨ ∃y(C(y)∧F(x, y))))

In which:

•C(x): “x có máy tính” •F(x, y): “x, y bạn”

•x, y ∈ all students in the university

 Với mọi sinh viên x trong trường, hoặc x có máy

tính, hoặc tồn tại sinh viên y có máy tính và sinh

Dịch sang ngôn ngữ tự nhiên

Ví dụ 1: xét mệnh đề sau

∀x(C(x)∨ ∃y(C(y)∧F(x, y)))) Trong đó:

•C(x): “x có máy tính” •F(x, y): “x, y bạn”

•x, y ∈ all students in the university

 Với mọi sinh viên x trong trường, hoặc x có máy

tính, hoặc tồn tại sinh viên y có máy tính và sinh

Dịch sang ngôn ngữ tự nhiên

Ví dụ 2: xét mệnh đề sau

∃x∀y∀z(((F(x, y)∧F(x, z)∧(yz)) → ¬F(y, z))) Trong đó:

•F(x, y): “x, y bạn”

•x, y ∈ all students in the university

 for allThere existsstudenta studentz different fromx, such thaty, if xfor allis friend ofstudenty andy,

Cơng thức hóa ngơn ngữ tự nhiên

(1) “There are some students in our class who have visited Hanoi.” (2) “All students in our class have visited Nha Trang or Vung Tau.”  If we have following predicates:

C(x): “x has visited Hà Nội”

D(x): “x has visited Nha Trang” E(x): “x has visited Vũng Tàu”

Then:

(1): ∃xC(x)

Cơng thức hóa ngơn ngữ tự nhiên “All people have at least one best friend.”

(“Mọi người có người bạn tốt nhất.”)

 If we have following predicates: B(x, y): “y is best friend of x”

Then:

Cơng thức hóa ngơn ngữ tự nhiên “If one is woman and parental, then she is the

mother of some one.”

(“Nếu một người phụ nữ và là cha mẹ, thì người mẹ người đó.”)



If we have following predicates:

C(x): “x phụ nữ” D(x): “x cha mẹ”

E(x, y): “x mẹ y”

Then:

Phủ định lượng từ

“Tất cả sinh viên IT phải học Toán Rời Rạc”

∀x P(x)

Phủ định (negation) của câu trên:

“Không phải tất cả SV IT phải học TRR”

∃x ¬P(x)

Phủ định Tương đương với ¬ (∃xP(x))

¬ (∀xP(x))

∀x ¬P(x)

Đọc thêm textbook

Sự tương đương của vị từ được lượng hóa:

Bài tập

Biểu diễn câu sau ở dạng vị từ:

a) “Tất sư tử dữ.”

b) “Một số sư tử không uống cà phê.”

c) “Có phụ nữ bay tất tuyến bay

Bài tập

Cho mệnh đề sau:

R(x) = “x lợn”

H(x) = “x thik uống bia Ken”

Trong x xét tập tất vật

Dịch sang ngôn ngữ tự nhiên mệnh đề sau: ∀x (R(x)  H(x))