NW359 360 DẠNG 26 hệ OXYZ mặt cầu GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TOÁN 26: MẶT CẦU A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I ĐỊNH NGHĨA I R M I Cho điểm cố định số thực dương Tập hợp tất điểm không gian cách R I R khoảng gọi mặt cầu tâm , bán kính S ( I ; R ) ⇒ S ( I ; R ) = { M / IM = R} Kí hiệu: II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng Phương trình tắc Mặt cầu ( S) ( S ) : ( x − a) có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R>0 + ( y − b) + ( z − c ) = R2 2 Dạng Phương trình tổng quát ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Như ta suy diều kiện để phương trình phương trình mặt cầu  ( S) có tâm I ( a; b; c ) ( S) a2 + b2 + c − d > R = a + b2 + c − d  có bán kính III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mặt cầu S ( I; R) ( P) H mặt phẳng Gọi hình chiếu vng góc ( P) I khoảng cách từ đến mặt phẳng Khi : d>R + Nếu : Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung d=R + Nếu : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Lúc H tiếp điểm TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( P) I lên ( P) ⇒ d = IH là mặt phẳng tiếp diện mặt cầu Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU + Nếu d R : ∆ + không cắt mặt cầu + + IH = R : ∆ IH < R : ∆ tiếp xúc với mặt cầu H Gọi hình chiếu tiếp tuyến ( S) H I lên ∆ Khi đó: tiếp điểm cắt mặt cầu hai điểm phân biệt Lưu ý Trong trường hợp + Xác định ∆ ∆ ∆ cắt ( S) d ( I , ∆ ) = IH hai điểm A, B bán kính R ( S) tính sau: + Lúc  AB  R = IH + AH = IH +  ÷   BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( S ) : x + ( y − 1) + z2 = có bán kính TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B 81 C D Lời giải Chọn B Phương trình mặt cầu là: ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R2 2 nên R2 = ⇒ R = Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu ( S ) : x2 + y + z − x − y + z − = Tọa Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S) độ tâm I tính bán kính R A C I ( −2; −2;3) I ( 4; 4; −6 ) R = 20 R = 71 B I ( 2; 2; −3) D I ( −4; −4;6 ) R = 20 R = 71 Lời giải Chọn B Tâm I mặt cầu Câu ( S) I = ( 2; 2; −3) 2 , bán kính R = + + ( −3) + = 20 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho phương trình sau, phương trình khơng phải phương trình mặt cầu? 2 A x + y + z − x + y + z + 16 = 2 B x + y + z − x + 12 y − 24 z + 16 = 2 C x + y + z − x − y − z − = x + 1) D ( + ( y − ) + ( z − 1) = 2 Lời giải Chọn A x + y + z − x + y + z + 16 = ( 1) ⇔ x + y + z − x + y + z + = 1 13 a = 1, b = − , c = − , d = ⇒ a + b + c − d = − < 2 Ta có: Suy Câu ( 1) khơng phương trình mặt cầu Trong khơng gian Oxyz phương trình mặt cầu tâm , phương trình sau đây? TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA I ( 2; − 3; ) qua điểm A ( 4; − 2; ) Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A C ( x − 2) + ( y + 3) + ( z − ) = ( x + 2) + ( y − 3) + ( z + ) = 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 2 B D ( x + 2) + ( y − 3) + ( z + ) = ( x − 2) + ( y + 3) + ( z − ) = 2 Lời giải Chọn D Ta có IA = + + = Phương trình mặt cầu là: Câu ( x − 2) + ( y + 3) + ( z − ) = Trong không gian với hệ trục tọa độ phương trình A C ( x − 2) + ( y − 1) + ( z + 3) = ( x − 2) + ( y − 1) + ( z + 3) = Oxyz , mặt cầu tâm 2 B D I ( 2;1; −3) tiếp xúc với trục ( x − 2) + ( y − 1) + ( z + 3) = 13 ( x − 2) + ( y − 1) + ( z + 3) = 10 Oy có 2 Lời giải Chọn B Mặt cầu tiếp xúc với trục Câu R = 22 + ( −3) = 13 nên bán kính mặt cầu Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz ( S ) : x + ( y − 1) + z = , cho mặt cầu ( S) cho đây, điểm nằm mặt cầu ? M (1;1;1) N (0;1;0) P(1;0;1) A B C Lời giải Chọn C I (0;1;0) R= Mặt cầu có tâm bán kính Vì Câu Oy IP = > R D Trong điểm Q (1;1;0) P nên điểm nằm mặt cầu (S) ABC S M Cho tam giác Gọi tập hợp tất điểm không gian thỏa mãn hệ thức uuur uuur uuuu r MA + MB + MC = a a (với số thực dương không đổi) Mệnh đền sau đúng? a a R= R= S S 3 A mặt cầu bán kính B đường trịn bán kính a S S C đường thẳng D đoạn thẳng có độ dài Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Gọi G uuuu r 3MG = a ABC MG = , từ giả thiết ta có a G M điểm mặt cầu tâm bán kính Câu Câu trọng tâm tam giác 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ hay a Vậy tập hợp ( S) Oxyz Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu có phương trình 2 ( S) x + y + z − 2x − y − 6z + = Tính diện tích mặt cầu 42π 36π 9π 12π A B C D Lời giải Chọn B I ( 1;2;3) ( S) ( S) R=3 Mặt cầu có tâm bán kính Diện tích mặt cầu 2 S = 4π R = 4π = 36π Trong không gian với hệ trục tọa độ I R=4 tâm bán kính A C ( x + 2) + ( y − 2) + z2 = ( x − 2) Oxyz , cho điểm + ( y + ) + z = 16 B Viết phương trình mặt cầu ( x + ) + ( y − ) + z = 16 I ( 2; −2;0 ) D ( x − 2) + ( y + 2) + z2 = Lời giải Chọn C Phương trình mặt cầu tâm Câu I ( 2; −2;0 ) Trong không gian với hệ tọa độ (Oxy ) mặt phẳng A x + ( y − 2) + ( z − 2) = x + ( y − 2) + ( z − 2) = 2 C Oxyz bán kính R=4 , phương trình mặt cầu tâm B D Lời giải K (0; 2; 2) tiếp xúc với x + ( y − 2) + ( z − 2) = x + ( y − 2) + ( z − 2) = 2 ( x − ) + ( y + ) + z = 16 Chọn B R = d( K , (Oxy )) = 2 ⇒ (Oxy ) K Bán kính mặt cầu tâm tiếp xúc với phương trình mặt 2 x + ( y − 2) + ( z − 2) = cầu (S ) : x2 + y + z − x − y − z = Oxyz Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu ba O(0; 0; 0), A(1; 2;3), B(2; −1; −1) điểm Trong số ba điểm số điểm nằm măt cầu A B C D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn D Lần lượt thay tọa độ điểm (S ) O thuộc măt cầu O, A, B vào phương trình mặt cầu (S ) ta thấy điểm  Mức độ Câu Oxyz m Trong khơng gian , có tất giá trị nguyên để phương trình 2 2 x + y + z + 4mx + 2my − 2mz + 9m − 28 = phương trình mặt cầu? A B C D Lời giải Chọn A a = −2m ; b = −m ; c = m d = 9m − 28 Ta có Phương trình cho phương trình mặt cầu a + b + c − d > ⇔ 4m + m + m − 9m + 28 > ⇔ 28 − 3m > ⇔− 21 21 R 22 + 22 + ( −1) ( S) ( P) Suy mặt cầu mặt phẳng điểm chung TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( P) H , A, B đường thẳng qua vng góc với gọi giao điểm ( P) ( S) ∆ I A H MH ≤ MI + IH với mặt phẳng mặt cầu , ở Khi MI + IH = HI + IA ⇒ MH ≤ AH M A Mà Từ suy điểm cần tìm điểm Đường  x = + 2t   y = + 2t  z = − t  ∆ thẳng có phương trình t = t2 = 1⇒  x = + 2t ; y = + 2t ; z = − t t = −1 Thay vào phương trình mặt cầu, suy M ( 3;4;2 ) Từ suy ( 0;1; ) ( 4;1; ) ( S) Cách 2: Dễ thấy điểm có tọa độ không thuộc mặt cầu Trong hai M ( 3;4;2 ) ( P) điểm lại ta thấy điểm có khoảng cách đến mặt phẳng lớn nên điểm M ( 3;4;2 ) điểm cần tìm Giả sử Câu ∆ I Oxyz ABC G Trong không gian với hệ toạ độ , cho tam giác có trọng tâm Biết ( S1 ) : x + y + z = B (6; −6; 0), C (0;0;12) G A đỉnh thay đổi mặt cầu Khi thuộc ( S2 ) mặt cầu có phương trình ( S2 ) : ( x + 2)2 + ( y − 2)2 + ( z + 4) = ( S2 ) : ( x − 2)2 + ( y + 2)2 + ( z − 4)2 = A B 2 2 2 ( S2 ) : ( x − 4) + ( y + 4) + ( z − 8) = ( S2 ) : ( x − 2) + ( y + 2) + ( z − 4) = C D Lời giải Chọn B  x A = xG − xB − xC = xG −   y A = yG − yB − yC = yG +  z = z − z − z = 3z − 12 G B C G  A Ta có M ∈ ( S1 ) Mà , suy 2 2 2 ( 3xG − ) + ( yG + ) + ( 3zG − 12 ) = ⇔ ( xG − ) + ( yG + ) + ( zG − ) = Vậy G thuộc mặt cầu ( S2 ) : ( x − 2) + ( y + 2) + ( z − 4) = TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( S ) : x2 + y2 + z − 2x − y − 6z + = Oxyz A M , cho mặt cầu Ba điểm , , ·AMB = 90° ( S) B AMB nằm mặt cầu cho Diện tích tam giác có giá trị lớn bằng: 4π 2π A B C D Lời giải Chọn A Trong không gian 2 ( S ) ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 3) = ⇒ ( S ) I (1; 1; 3) R=2 Ta có : có tâm bán kính Bài A, M , B S ∆AMB Ta có Dấu "=" (S ) nằm mặt cầu 2 MA + MB AB = MA.MB ≤ = =4 4 ⇔ MA = MB = xảy Do diện tích tam giác Câu ·AMB = 90° ⇒ AB AMB AB =2 2 qua I ⇒ AB = R = S ∆AMB = có giá trị lớn Oxyz (S ) O (0; 0; 0) Ox, Trong không gian với hệ tọa độ , mặt cầu qua điểm cắt tia Oy , Oz A, B, C O ABC điểm khác thỏa mãn tam giác có trọng tâm điểm G (2; 4; 8) (S ) Tọa độ tâm mặt cầu  8  16  ; ; ÷   ; ; ÷ (3; 6;12) (1; 2; 3)  3 3 3 3  A B C D Lời giải Chọn A A( xA ; 0; 0), B(0; yB ; 0), C (0; 0; zC ) G (2; 4; 8) ABC Gọi Do trọng tâm tam giác nên x A = 6; yB = 12, zC = 24 A(6; 0; 0), B (0; 12; 0), C (0; 0; 24) Suy (S ) x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Gọi phương trình mặt cầu có dạng 2 ( a + b + c − d > 0) I ( a ; b; c ) (S ) , tâm mặt cầu Do qua bồn điểm d = d = 36 − 12a + d = a =   ⇔ ⇒ I (3; 6;12)   144 − 24 b + d = b =   576 − 48c + d = c = 12 A, B, C , O nên ta có hệ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 10 Trong khơng gian tọa độ 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ A ( 1; 0; − 1) , B ( −3; − 2; 1) Oxyz ( C) , cho hai điểm Gọi mặt cầu ( Oxy ) A, B 11 I I có tâm thuộc mặt phẳng , bán kính qua hai điểm Biết có tung ( C) độ âm, phương trình : 2 x + y + z + 6y − = x2 + y + z + y − = A B 2 2 2 x + y + z + 4y + = x + y + z + 6y + = C D Lời giải Chọn A ( C) A, B I AB Do mặt cầu qua nên tâm thuộc mặt phẳng trung trực đoạn thẳng uuu r AB = ( −4; −2; ) ( Q) ( Q) AB Gọi mặt phẳng trung trực , ta có nhận véctơ pháp M ( −1; −1;0 ) AB tuyến qua điểm trung điểm đoạn thẳng ( Q ) −4 ( x + 1) − ( y + 1) + ( z − ) = ⇔ x + y − z + = Phương trình I ∈ ( Oxy ) ⇒ I ( Q ) ( Oxy ) ∆ Theo giả thiết thuộc giao tuyến hai mặt phẳng r r r r r u =  n; k  = ( 1; −2; ) n = ( 2;1; − 1) , k = ( 0; 0;1) ⇒ ∆ Đặt nhận véctơ phương qua N ( 0; − 3; ) điểm có phương trình x = t   y = −3 − 2t ( t ∈ ¡ ) z = ⇒ I ( t ; −3 − 2t ; ) , ( yI = −3 − 2t < )  Ta có bán kính  t = ( thỏ a mã n)  ⇔ 2  t = −2 ( loaïi ) R = IA = 11 ⇔ ( t − 1) + ( 2t + ) + = 11 ⇔ 5t + 10t = Với  Mức độ Câu t = ⇒ I ( 0; − 3; ) ⇒ ( C ) : x + y + z + y − = Trong không gian với hệ tọa độ thay đổi mặt phẳng M thay đổi, điểm N ( ABC ) Oxyz , cho ba điểm N A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 4;0 ) , C ( 0; 0;6 ) điểm tia OM cho Điểm OM ON = 12 M Biết thuộc mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ C Lời giải D Chọn A ( ABC ) : x y z + + = ⇔ x + y + z − 12 = *Phương trình mặt phẳng M ( x0 ; y0 ; z0 ) , N ( x1 ; y1 ; z1 ) *Giả sử thỏa mãn toán 12 12 OM ON = 12 ⇔ OM = ⇔ OM = ON ON ON *Mà (*) uuuur uuur 2 2 OM = ( x0 ; y0 ; z0 ) , ON = ( x1 ; y1 ; z1 ) , ON = x1 + y1 + z1 Mà nên từ (*) ta suy  12 x1  x0 = x1 + y12 + z12   12 y1  y0 = x1 + y12 + z12   12 z1  z0 = M ∈ ( ABC ) x1 + y12 + z12  Vì nên 12 x1 12 y1 12 z1 x0 + y0 + z0 − 12 = ⇔ + + 2 − 12 = 2 2 x1 + y1 + z1 x1 + y1 + z1 x1 + y12 + z12 ⇔ x1 + y1 + z1 = x12 + y12 + z12 3 49 2  ⇔ ( x1 − 3) +  y1 − ÷ + ( z1 − 1) = 2  Vậy Câu N thuộc mặt cầu 49 ( S ) ( x1 − 3) +  y1 − ÷ + ( z1 − 1) = 2  có bán kính ( S) Oxyz M Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm thuộc mặt cầu có phương trình 2 A ( 1;0;0 ) , B ( 2;1;3) , C ( 0; 2; −3 ) ( x − 3) + ( y − 3) + ( z − ) = ba điểm Biết quỹ tích điểm A r= M thỏa uuur uuuu r MA2 + MB.MC = B r=6 đường trịn cố định, tính bán kính C Lời giải r =3 D r đường tròn r= Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU I ( 3;3; ) ( S) Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ R=3 Mặt cầu có tâm bán kính uuur uuuu r 2 2 M ( x; y; z ) MA = x + y + z − x + 1; MB.MC = x + y + z − x − y − Gọi ta uuur uuuu r 2 2 2 MA + 2MB.MC = ⇔ 3x + y + 3z − x − y − 21 = ⇔ x + y + z − x − y − = Ta có I ′ ( 1;1;0 ) M = ( S ) ∩ ( S ′) ( S ′) R′ = M Suy thuộc mặt cầu có tâm bán kính nên ( C) R = R′ = H II ′ đường trịn có tâm trung điểm đoạn (vì ) ( C ) r = R − IH = Vậy bán kính đường trịn Oxyz ( S ) : ( x − 3) + ( y − 2) + z = Trong không gian tọa độ , cho mặt cầu hai điểm ( S) K ( a; b; c) A( −1; 2; 0) B(2 : : 0) KA + KB Gọi điểm thuộc cho nhỏ Giá trị a −b+c A − B − C D + Lời giải Chọn B K ∈ ( S ) ⇒ (a − 3) + (b − 2) + c = Do Ta có KA = (a + 1)2 + (b − 2)2 + c = a + b + c + 2a − 4b + 12 − = (a + 1) + (b − 2) + c + ( a − 3) + (b − 2) + z  − = 2KM , với M (2; 2;0) (S ) (S ) B M Dễ thấy nằm mặt cầu nàm mặt cầu ⇒ KA + KB = 2( KM + KB ) ≥ 2MB Dấu "= " xảy K giao điểm đoạn thằng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MB với mặt cầu (S ) Trang 19 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Phương trình 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ x =  MB :  y = + 3t ⇒ K (2;5 + 3t; 0) z =   K ∈ ( S ) ⇒ +  9(1 + t ) = ⇔ t = −1 ± ⇒ K (2 : − 3; 0)  và K (2; + 3; 0)  K (2; + 3;0) Do Câu K nằm B, M nên K (2; + 3;0) ⇒ a − b + c = − ( S ) : ( x − 4) Oxyz + ( y − ) + ( z − ) = 2 Trong không gian cho mặt cầu ( S) a2 + b2 + c2 thuộc Tim giá trị nhỏ 25 29 24 A B C Lời giải Chọn A M ( a; b; c ) ∈ ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = Vì 2 nên D ( a − 4) Điểm 26 M ( a; b; c ) + ( b − ) + ( c − ) = 2 suy a + b + c + 35 = 8a + 4b + 8c ≤ 82 + 42 + 82 × a + b + c ⇔ ≤ a + b + c ≤ Vậy a + b + c ≥ 25, ′′ dấu =′′ xảy  10  a = b = c a = 8    2 ⇔ b =  a + b + c = 25   2 a − + b − + c − = ( ) ( ) ( )   10  c =   Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ động thỏa dương A Oxyz uuur uuur uuur uuur uuur uuur OP AP + OP.BP + AP.BP = a b tối giản cho B OP 13 cho A ( 2t ; 2t ;0 ) , B ( 0;0; t ) Biết có giá trị a t= b với với ( t > 0) a, b C 11 P di số nguyên đạt giá trị lớn Khi giá trị Điểm Q = 2a + b D Lời giải Chọn C Từ giả thiết ta có uuu r uuu r uuur OA = ( 2t; 2t;0 ) OA ×OB = ⇒  uuu r r uuur  uuu OB = 0;0; t OA ( )  + OB = ( 2t ; 2t ; t )  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Ta có uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r OP AP + OP.BP + AP.BP = uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r ⇔ OP OP − OA + OP OP − OB + OP − OA OP − OB = uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur ⇔ 3OP − OP.OA + OP.OB + OA.OB = uuur uuu r uuur ⇔ 3OP = 2OP OA + OB + ( *) ( ) ( ( ( ) ( ) ) )( ) ( *) ⇔ ( x02 + y02 + z02 ) = x0t + y0t + z0t + ⇔ x02 + y02 + z02 − Vậy P Suy Câu thuộc măt cầu có tâm OP Oxyz 1  M  ; ;0÷ ÷ 2  , cho điểm d S=4 bán kính lớn thay đổi, qua điểm S OAB lớn tam giác A R = t2 +1 OI + R = t + t + = ⇔ t = Trong không gian thẳng  2t 2t t  I  ; ; ÷,  3 3 B M cắt mặt cầu S= ⇒ Q = ×4 + = 11 mặt cầu ( S) C 4t 4t 2t x0 − y0 − z0 − = 3 ( S) : x2 + y + z = hai điểm phân biệt S =2 Đường A B , Tính diện tích D S =2 Lời giải Chọn B Mặt cầu ( S) có tâm OM = < R O ( 0;0;0 ) M bán kính R=2 ( S) Vì nên nằm mặt cầu Gọi Ta dùng mơ hình để giải tốn Đặt x = OH , ta có < x ≤ OM H hình chiếu vng góc O lên d HA = R − OH = − x , đồng thời SOAB = OH AB = OH HA = x − x OAB Vậy diện tích tam giác TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Xét hàm số f ( x ) = x − x2 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( 0;1] f ′( x) = − ( x2 − 4) Ta có − x2 > 0, ∀x ∈ ( 0;1] max f ( x ) = f ( 1) = Suy ( 0;1] Vậy diện tích lớn S tam giác O d hình chiếu vng góc lên Câu Oxyz OAB ( S) H trùng với điểm I ( −2;1; ) M , hay M A ( 1; −2; −1) Trong không gian , cho mặt cầu có tâm qua điểm Xét S ( ) B, C , D AB, AC , AD điểm thuộc cho đôi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn 72 216 108 36 A B C D Lời giải Chọn D AB = a, AC = b, AD = c ABCD A Đặt thì tứ diện vuông đỉnh , nội tiếp mặt cầu ABCD A Khi tứ diện đặt góc hình hộp chữ nhật tương ứng có cạnh AB, AC , AD a2 + b2 + c2 = 4R AA′ đường chéo đường kính cầu Ta có 1 V = VABCD = abc ⇔ V = a 2b c 36 Xét Mà  a + b2 + c   4R  2 2 a +b +c ≥ a b c ⇔  ÷ ≥a b c ⇔ ÷ ≥ 36.V ⇔ V ≤ R 27     Với Vậy Câu 2 2 R = IA = 3 Vmax = 36 Oxyz ( S ) : x2 + y2 + z − x + y + 2z − = I Trong không gian cho mặt cầu tâm hai điểm A ( −1;0;0 ) , B ( 0;0; −3) M ( xM ; y M ; z M ) ( S) A B Xét tiếp tuyến cắt Tìm yM IM đoạn đạt giá trị nhỏ −14 14 −22 10 IM = IM = IM = IM = 3 13 13 A B C D Lời giải Chọn D I ( 1; −2;1) ( S) R = có tâm TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ( S) A Mặt phẳng tiếp xúc với có phương trình ( PA ) : ( −1 − 1) ( x + 1) + ( + ) y + ( + 1) z = ⇔ −2 x + y + z − = ( S) B Mặt phẳng tiếp xúc với có phương trình ( PB ) : ( −1) ( x + 1) + ( + ) y + ( −3 + 1) ( z + 3) = ⇔ − x + y − z − = M nằm đường thẳng d d giao ( PA ) ( PB ) , IM ngắn r uu r uur u =  IA ; IB  = ( −6; − 5; − ) d * Đường thẳng có véc tơ phương là: uuur r ( PA ) ( PB ) IM ⊥ u M , nên có toạ độ nghiệm hệ: 14  x = −  13  −2 x + y + z − =  10   ⇔ y = − x + y − z − = 13  −6 x − − y + − z + =  ) ( ) ( )  ( 22   z = − 13  Câu Oxyz ( S ) : ( x − 1) M hình chiếu Ta có M I nằm + ( y − ) + ( z − 3) = 25 2 Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu A ( 3;1;5 ) A điểm Ba mặt phẳng thay đổi qua đơi vng góc với nhau, cắt mặt cầu ( S) p1 p2 p3 T = p12 + p22 + p32 theo giao tuyến ba đường trịn có chu vi , , Tính 2 2 T = 66π T = 264π T = 132π T = 36π A B C D Lời giải Chọn C * ( S) I ( 1; 2;3) R = có tâm ; TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 23 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ H1 H H I Gọi ; ; hình chiếu đến mặt phẳng * Ta có: IH1 I H1 H H A IA , , , tạo thành hình hộp chữ nhật với đường chéo cạnh , IH IH , hình vẽ IH1 + IH 2 + IH 32 = IA2 = Từ r1 r2 r3 3 Gọi , , bán kính đường trịn giao tuyến mặt phẳng với mặt cầu r12 = R − IH12 r2 = R − IH 2 r32 = R − IH 32 Ta có: ; ; 2 2 2 r1 + r2 + r3 = 3R − ( IH1 + IH + IH ) = 66 Suy ra: 2 2 2 2 p1 + p2 + p3 = 4π ( r1 + r2 + r3 ) = 264π Từ đó: ( S1 ) : ( x − 1) Oxyz + y + ( z − 1) = 25 ( S2 ) : ( x − ) Câu 10 Trong không gian , cho hai mặt cầu , 2 + ( y − ) + ( z − 3) = 25 V Tính phần thể tích giới hạn hai mặt cầu 1127 1135 1127 1127 V= π V= π V= π V= π 6 24 12 A B C D Lời giải Chọn D Mặt cầu ( S1 ) ( S2 ) có tâm I ( 1; 0;1) bán kính I ′ ( 2; 2;3) R=5 R′ = Mặt cầu có tâm bán kính uur II ′ = ( 1; 2; ) II ′ = , Giả sử ta có điểm hình vẽ h = HF = R − IH = R − II ′ = 2 Khi Do hai mặt cầu có bán kính nên phần giới hạn hai mặt cầu hai chỏm cầu có thể tích TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 24 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy thể tích giới hạn hai mặt cầu TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ h  1127  V = 2π h  R − ÷ = π  12  Trang 25 ... giải Chọn B Mặt cầu tiếp xúc với trục Câu R = 22 + ( −3) = 13 nên bán kính mặt cầu Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz ( S ) : x + ( y − 1) + z = , cho mặt cầu ( S) cho đây, điểm nằm mặt cầu ? M... ( Q) Đường tròn giao tuyến d khoảng cách từ tâm Mặt cầu ( S) Mặt khác, Câu Câu tâm I mặt cầu mặt cầu đến I ( 0; −2;1) ( Q) , R ( S) bán kính mặt cầu ( S) theo 6π nên có bán kính d = R −r = + (... (Oxy ) K Bán kính mặt cầu tâm tiếp xúc với phương trình mặt 2 x + ( y − 2) + ( z − 2) = cầu (S ) : x2 + y + z − x − y − z = Oxyz Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu ba O(0; 0; 0),