BÀI 1 hàm số

BÀI HÀM SỐ MỤC TIÊU Kiến thức: - Trình bày khái niệm hàm số, hàm số đồng biến hàm số nghịch biến, tập xác định hàm số, hàm số chắn hàm số lẻ, đồ thị hàm số - Phát vấn đề toán học vấn đề hàm số nghiên cứu từ toán thực tế - Phát biểu vận dụng điều kiện để điểm M(x, y, thuộc đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) tập X; điều kiện để hàm số hàm chẵn (hàm lẻ) tập D Kỹ năng: - Biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ - Tính tốn giá trị hàm số điểm cho trước, tìm tập xác định, tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đơn giản, khoảng cách hai điểm mặt phẳng tọa độ - Xét đồng biến, nghịch biến, tính chẵn - lẻ số hàm số đơn giản I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm hàm số - Cho hai đại lượng biến thiên x y , x nhận giá trị thuộc tập số D  Khi đó, đại lượng y gọi hàm số đại lượng x Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi Với giá trị x  D ta xác định giá trị tương ứng y  - Hàm số cho bảng cơng thức - Khi hàm số cho công thức y  f  x  biển số x lấy giá trị làm cho f  x  xác định - Khi x thay đổi mà y nhận giá trị khơng đổi hàm số y gọi hàm Đồ thị hàm số Cho hàm số y  f  x  có tập xác định D Đồ thị hàm số y  f  x  tập hợp tất điểm M  x0 ; y0  hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn x0  D y0  f  x0  Cho hàm số y  f  x  xác định K Sự biến thiên hàm số - Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (hay tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  - Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (hay giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số y  f  x  với tập xác định D Hàm số y  f  x  gọi hàm số chẵn với x  D , ta có – x thuộc D f  x   f  x  Hàm số y  f  x  gọi hàm số lẻ với x  D , ta có  x thuộc D f   x    f  x  Đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ • Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng • Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Trang Ví dụ: y  x2 Ví dụ: Hàm y  Ví dụ: Hàm số y  x  cos đồ thị hình vẽ Hàm số đồng biến x tăng y giảm Hàm số nghịch biến x tăng y giảm Ví dụ: Hàm số f ( x)   x   x hàm số lẻ vì: Tập xác định hàm số D   2;2 nên dễ thấy x  [2; 2]   x [2; 2] f (x)   x   x   f ( x) Ví dụ: Đồ thị hàm số chẵn y  x2 nhận trục Oy làm trục đối xứng Trang Đồ thị hàm số lẻ y  x   x  nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính giá trị hàm số điểm Phương pháp giải Để tính giá trị hàm số y  f  x  x0 ta thay x  x0 vào y  f  x  ta y0  f  x0  Ví dụ: Cho hàm số y  f ( x)  x  Tính f 1 Hướng dẫn giải Thay x  vào biểu thức hàm số f (1)    Ví dụ mẫu Ví dụ Cho y  f ( x)  x Tính giá trị biểu thức f  0  f  6  f  2 Hướng dẫn giải 1 Ta có f (0)    0, f (2)    1, f (6)   (6)  3 2 Vậy f (0)  f (6)  f (2)     4 Ví dụ Cho y  f ( x)  2x 1 Tính giá trị biểu thức f  f  0  Hướng dẫn giải Ta có f (0)  2.0   f ( f (0))  f (1)  2.1 1  Ví dụ Một chất điểm chuyển động biến đổi với vận tốc v  5t   cm / s  , thời gian t  đo giây Khi vận tốc v hàm số theo biến t a) Hãy tính giá trị v theo giá trị t hoàn thành bảng sau Trang b) Tại thời điểm chất điểm đạt vận tốc v  38  cm / s  Hướng dẫn giải a) Với giá trị t ta xác định giá trị v v  5t  b) Với v  38 5t   38  t  Vậy chất điểm đạt vận tốc v  38  cm / s  thời điểm t   s  Ví dụ a) Cho hàm số f  x   x Giá trị lớn giá trị sau? A f  1 1 C f    2 B f    3 D f     4 b) Cho hàm số g  x   4x – Giá trị nhỏ giá trị sau? A g  1 1 C g   2 B g    3 D g     4 Hướng dẫn giải a) Ta Có 1 f (1)   (1)  4, f (0)  4.0  0, f      2, 2 Chọn C b) Ta có g (1)   (1)   9, g (0)  4.0   5  3  3 f          3  4  4 1  3  3 g       3, g           8  2  4  4 Chọn A Nhận xét: Từ tính tốn ta thấy 1 1  3  3 f (1)  g (1), f (0)  g (0), f    g   f     g    2  2  4  4 Ta chứng minh với giá trị x  f  x   g  x   x  x  Ví dụ Cho hàm số f ( x)   Giá trị f ( x ) điểm x  2 x  x  A B 2 C D Hướng dẫn giải Vì x   nên giá trị f  x  x  giá trị hàm số f  x   2x  x  Khi f 1  2.1   Chọn A Ví dụ Cho y  f  x  xác định 1 thỏa mãn f ( x)  f    x  1, x   x Tính f  2 Hướng dẫn giải Cách Thay x  vào đẳng thức đề bài, ta có Trang 1 f (2)  f    1 2 Thay x  vào đẳng thức đề bài, ta có 1 1 f    f (2)   9 f (2)  f     2  2  2 Cộng hai đẳng thức (1) (2) vế với vế, ta thu –8 f  2  Vậy f (2)   Cách Thay x 1 đầng thức đề trở thành ta có f    f ( x)   1, x  x x  x   1 1  f ( x)  f  x   x  1, x   f ( x)  f  x   x  1, x         Ta có   f    f ( x)   1, x  3 f    f ( x)   , x      x   x x  x  8 f ( x)  x   , x  x 1 Từ tính f ( x)   x   , x  4 4x 1 3  Vậy f (2)      4 4.2 Nhận xét: Về chất, hai cách làm tương tự Tuy nhiên cách tính giá trị hàm số điểm x  cách tìm biểu thức f  x  với x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Biểu đồ (trích từ báo Khoa học Đời sống số 47 ngày 8-11-2002) mô tả số công trình khoa học kĩ thuật đăng kí dự giải thưởng Sáng tạo Khoa học Công nghệ Việt Nam số cơng trình đoạt giải hằngnăm từ 1995 đến 2001 Gọi f  x  tỉ số số công trình đoạt giải thưởng tổng số Cơng trình tham dự giải thưởng năm x Ta có hàm số y  f  x  với tập xác định D  {1995,1996,1997,1998, 1999, 2000, 2001) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? Trang A f (1995)  10 39 B f (1996)  17 43 C f (1999)  23 56 D f (2001)  43 141 Câu Cho hàm số f ( x)  x2  x  Giá trị lớn giá trị sau? A f 1 C f  3 B f  1 D f   Câu Cho hàm số f ( x)  x  x  Giá trị f  f  4  C  B A D  Câu Cho hàm số f ( x)  2x  ax  b (với a,b tham số) thỏa mãn f  2  11,  3  7 Giá trị 5a  2b A 22 B 22 C D 26 Câu Cho hàm số y  x  với x  Có giá trị nguyên x để 3  y  10? A B C D Câu Một chất điểm chuyển động chậm dần với vận tốc v  16 – 2t  cm / s  , thời gian t đo giây Tại thời điểm chất điểm đạt vận tốc  cm / s  ? A t=10(s) C t   s  B t = 4(s) D t   s  Bài tập nâng cao x  Câu Cho hàm số f ( x)   2 x  A B 2,5 x     Giá trị f  f    x     C 0,5 Câu Cho hàm số f  x  có tập xác định D 1 \ 0 thỏa mãn f ( x)  f    x, x  Giá trị  x f  4  B  HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM A  1-C 2-C 3-C 4-A C 5-A 6-C D 7-A 8-D Câu Chọn A Trang Vì 5  nên giá trị hàm số f ( x ) x  giá trị hàm số f  x   x  x  2    5  1 Khi f        f  f     f    2  2     1  1 Mà   nên f           2  2    Vậy f  f        Câu Chọn D 1 f ( x)  f    x, x   f ( x)   x 1 f    , x   x x  1  f ( x)  f  x   x 2  x2     f ( x)   x  f ( x)  , x  Ta có  x 3x 4 f ( x)  f        x x Vậy f (4)  Dạng Đồ thị hàm số Phương pháp giải Điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số y  f  x  f  x0   y0 Ví dụ: Xét hàm số y  f ( x)  3x2 1 - Với điểm M  0;1 , ta có f (0)  3.02 1  1  nên điểm M không thuộc đồ thị hàm số y  3x2 1 - Với điểm N 1;2  , ta có f (1)  3.12 1  nên điểm N thuộc đồ thị hàm số y  3x2 1 Ví dụ mẫu 1  Ví dụ Trong hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (t , 1), N (2;5), P  ;1 2  a) Biểu diễn điểm M, N, P mặt phẳng tọa độ x b) Trong điểm M, N, P điểm thuộc đồ thị hàm số y  1 x Hướng dẫn giải a) Biểu diễn điểm cho mặt phẳng tọa độ ta hình vẽ Trang e b) Vì x  khơng thuộc tập xác định hàm số y  số y  x nên điểm M 1; 1 không thuộc đồ thị hàm 1 x x 1 x x 2    nên N  2;5 không thuộc đồ thị hàm số y  1 x  (2) 1 x   1  Vì y     nên P  ;1 thuộc đồ thị hàm số y  1 x   1 2  Vì y(2)  Ví dụ Đồ thị hàm số y   x  cắt trục hoành điểm A cắt trục tung điểm B Tính diện tích tam giác OAB Hướng dẫn giải Xét phương trình 1 x    x    x    x  2 Đồ thị hàm số y   x  cắt trục hoành điểm A  2;0 Với x  y   nên đồ thị hàm số y   x  cắt trục tung điểm B(0;1  3) Ta có OA  2, OB  1 , tam giác OAB vng đỉnh O nên có diện tích 1 S   OA  OB    (  1)   (đvdt) 2 Nhận xét: Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  - Nếu phương trình f  x   có nghiệm x  x0 , M  x0 ;0 điểm chung đồ thị hàm số y  f  x  với trục hoành - Nếu số thuộc tập xác định hàm số y  f  x  đồ thị hàm số cắt trục tung điểm N  0; f  0  - Hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  có k điểm chung phân biệt phương trình f  x   g  x  có k nghiệm phân biệt Độ dài đoạn thẳng AB tính theo cơng thức AB   xB  xA    yB  yA  2 Trang Ví dụ Cho hàm số y   m  1 x  2m  ẩn x m tham số Với giá trị m đồ thị hàm số qua điểm M  2; 1 ? A m  B m  1 C m  D m   Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số y   m  1 x  2m  qua điểm M  2; 1 1  (m  1)   2m   4m   m  Chọn C Ví dụ Cho hai hàm số y  mx – 3, y  x  , biến x m tham số, có đồ thị  d1  ,  d2  Với điều kiện m hai đồ thị  d1  ,  d2  có điểm chung? A m  2, m  3 B m  Hướng dẫn giải Xét phương trình mx   2x   (m  2) x   C m  D m  1 Đồ thị  d1   d2  có điểm chung phương trình (1) có nghiệm, điều xảy m  Chọn B Ví dụ Cho hàm số y   m  1 x  2m  biến x tham số m Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá trị m Hướng dẫn giải Gọi điểm M  x0 ; y0  điểm cố định mà đồ thị hàm số y   m  1 x  2m  qua với m Khi y0  (m  1) x0  2m  1, m   mx0  x0  2m   y0  0, m    x0  2 m  1  x0  y0   0, m    x  2 x     1  x0  y0   y0   Vậy M  2;3 điểm cố định mà đồ thị hàm số y   m  1 x  2m  qua với m Nhận xét: - Điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số y  f  x  y0  f  x  - Điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số y  f  x, m với m y0  f  x0 , m , m  - Ta có Am  B  0, m  A  B  Tương tự Am2  Bm  C  0, m  R A  B  C  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị khơng qua điểm A(-2 ; 3) ? A y  x2  x 1 B y  x  11 C y  x 1 x 1 D y  x3  x2  Câu Với giá trị m đồ thị hàm số y  f  x    m  1 x – qua điểm M  5; 1 ? Trang A m   B m   C m  Câu Hàm số sau có đồ thị khơng cắt đồ thị hàm số y  2x2  x 1? A y  x  B y  2 x  C y   x  D m   D y  x Câu Cho hàm số y  | x | 9 Đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng y =5 hai điểm phân biệt A, B Độ dài đoạn AB A AB = 23 B AB  16 C AB  35 D AB  32 Câu Cho hàm số y  f ( x)  x  Đường thẳng sau cắt đồ thị hàm số cho nhiều điểm nhất? A y  12 B y  C y  3 D y  Sử dụng giả thiết cho câu 6, 8: Trong hệ tọa độ Oxy , cho đồ thị hai hàm số y  x y  3x Đường thẳng y = cắt đường thẳng y  x y  3x điểm A, B Câu Tọa độ giao điểm A,B 2    A A  ;  , B(6; 2) B A   ;  , B(6; 2) 3    2    C A(6; 2), B  ;  D A(6; 2), B   ;  3    Câu Chu vi tam giác OAB (làm tròn kết đến hàng phần trăm) A 15,10 B 15.09 C 15,43 Câu Diện tích tam giác OAB 20 (dvdt) D 15,51 17 (dvdt) Câu Đồ thị hàm số y  x2  x  cắt trục hoành hai điểm A B, cắt trục tung điểm C Diện tích tam giác ABC A 30 (dvdt) B 15 (dvdt) C (đvdt) D 24 (dvdt) Câu 10 Cho hàm số y  ax  b (với a, b số) có đồ thị đường thẳng qua hai điểm A 15 (dvdt) B (dvdt) C D M 1; 2 , N  0;3 Khẳng định sau sai? A Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm cách gốc tọa độ đơn vị B Điểm B  1;8 thuộc đồ thị hàm số C a  b  34 10  1 D a b Bài tập nâng cao Câu 11 Đồ thị hàm số y    m x  m  (với x biến, m tham số) qua điểm cố định A  x0 ; y0  với m Hỏi điểm A  x0 ; y0  thuộc góc phần tư thứ mấy? A Góc phần tư thứ C Góc phần tư thứ ba B Góc phần tự thứ hai D Góc phần tư thứ tư Trang 10 1) xác định f  x  xác định nhận giá trị khác f  x 2) f  x  xác định f  x  xác định nhận giá trị không âm 3) xác định khác f  x  xác định nhận giá trị dương f ( x) Ví dụ 1: Tập xác định hàm số y   x tập hợp tất giá trị x để biểu thức  x xác để  x   x  Vậy tập xác định hàm số định Đó tập giá trị x y   x D  (;1]  1 x  Ví dụ 2: Xét hàm số y    x 4 x0 x0 , A1  [0; ) A2  (;0) Tập giá trị x để biểu thức  x xác định B1  (;1] Tập giá trị x để biểu thức xác định B2  x 4 \{2; 2} Vậy tập xác định hàm số cho D   A1  B1    A2  B2   [0;1]  (;0) \{2}  (;1] \{2} Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau 2x 1 2011 A y  B y  x3 x  5x  Hướng dẫn giải 2x 1 a) Biểu xác định x    x  x 3 2x 1 Vậy hàm số y  có tập xác định D  \ 3 hay viết dạng x3 D  (;3)  (3; ) b) Biểu thức 2011 xác định x2  5x    ( x  2)( x  3)  x  5x  x   x  2 2011 có tập xác định D  x  5x  D  (; 2)  (2;3)  (3; ) Vậy hàm số y  \{3; 2} hay Chú ý: Với số thực a , b ta có a  1) a.b    b  a  2) a  b    b  Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau a) y  2x  b) y  x 1  2 x Trang 12 c) y   3x  x Hướng dẫn giải a) Biểu thức 2x  xác định x    x  3  Vậy hàm số y  2x  có tập xác định D   ;   2  b) Biểu thức x 1  xác định 2 x x 1   x  1   x  2  x  x 1  có tập xác định D  [t , ) \{2} 2 x hay D  [1, 2)  (2; ) Vậy hàm số y  c) Biểu thức xác định  3x  x   4  x   3x  x Vậy hàm số y  có tập xác định D   4;1  3x  x Chú ý Học sinh chưa học bất phương trình bậc hai giải bất phương trình  3x  x  cách đưa bất phương trình tích  3x  x2   ( x  4)(1 x)   x    x  4   4  x  Trường hợp 1:  x  1  x  x    x  4  Trường hợp 2:  (hệ vô nghiệm) x  1  x  Vậy  3x  x   4  x  Ví dụ Tùy theo giá trị tham số m tìm tập xác định hàm số y  mx  Hướng dẫn giải xác định mx   1 Bây ta xét khả m mx  - Nếu m = (1) trở thành  ln đúng) Khi tập xác định hàm só D    - Nếu m > (1)  mx  5  x   Khi tập xác định hàm số D    ;   m  m  Điều kiện để biểu thức - Nếu m < (1)  mx  5  x   5  Khi tập xác định hàm số D   ;   m m  Kết luận Trang 13 Chú ý: b a b  Nếu a  ax  b   ax  b  x   a  Nếu a  ax  b   ax  b  x   Ví dụ Tìm m để hàm số y  m2  có tập xác định mx2  2mx  m  Hướng dẫn giải Hàm số y  m2  có tập xác định mx2  2mx  m  mx2  2mx  m   0, với x  tức phương trình mx2  2mx  m   (1) vơ nghiệm - Nếu m = (1) trở thành = (vơ nghiệm) Do m = giá trị cần tìm - Nếu m = (1) phương trình bậc hai ẩn x có biệt thức thu gọn   m2  m(m  3)  3m, nên (1) vô nghiệm 3m   m  (thỏa mãn m  ) Từ hai trường hợp suy m  thỏa mãn u cầu tốn Chú ý: Ở ví dụ này, học sinh thường bị thiếu trường hợp m   3 x x  4  Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y   x    5  x x  4  Hướng dẫn giải Với x  4 hàm số trở thành y  5  x xác định  x  4  x  4   x  5  5  x   x  5 Với x  4 hàm số trở thành y  3 x xác định x 1   x  4  x  4  x  1    x     x  1   x   x 1    x 1  Vậy hàm số cho có tập xác định D  (; 5]  [1; ) \{3} Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang 14 Câu Tập xác định hàm số y   x  x 1 B 1;2 A 1;  Câu Tập xác định hàm số y  D 1;2 C  2;  D C (; 2) D (; 2] x2 x2  x2 x2 B  2;  A C 1;2 Câu Tập xác định hàm số y   x A [2; ) B \ {2} \ 2 2019 ? 3x  1    B  ;      ;   3    Câu Tập sau tập xác định hàm số y   1 \    3 1  C \   3 Bài tập nâng cao A   1  1   D  ;      ;    ;     3  3   Câu Tất giá trị tham số m để hàm số y  A m  B m  x 1     x  x  12 Câu Tập xác định hàm số y    x 1   5 x  B [1,3)  (3; 4) A [1, 4) có tập xác định D  x  2mx  m2  2m  C m  3 D m  3 x3 x3 C (1;3)  (3; 4] D 1;4 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-B 2-D 3-D 4-C 5-A 6-B Câu Chọn A Hàm số y  có tập xác định x  2mx  m2  2m  phương trình x  2mx  m2  2m   vơ nghiệm Phương trình x  2mx  m2  2m   vô nghiệm  '  m2   m2  2m     2m    m  Câu Chọn B Khi x  hàm số trở thành y  x 1  x  x  12 Hàm số xác định   x  x  12  ( x  3)( x  4)  3  x   x  x  12        x    x  x  x  x        Trang 15 Khi x  hàm số trở thành y  x   xác định 5 x x  x     x     x    x  5  x  x    x 1     x  x  12 Vậy tập xác định hàm số y    x 1   5 x D  [1;3)  (3; 4) x  x  Dạng Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Phương pháp giải Để xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số ta thực theo cách sau đây: Cách Cho hàm số y  f  x  có tập xác định D Gọi X tập có hai phần tử D Bước Xét hiệu H  f  x1   f  x2  với x1, x2  X , x1  x2 Bước So sánh - Nếu H  0, x1, x2  X , x1  x2 hàm số f  x  đồng biến X - Nếu H  0, x1, x2  X , x1  x2 hàm số f  x  nghịch biến X Cách Cho hàm số y  f  x  có tập xác định D Gọi X tập có hai phần tử D f  x1   f  x2  Bước Xét thương T  với x1 , x2 thuộc X, x1  x2 x1  x2 Bước So sánh - Nếu T  0, x1, x2  X , x1  x2 , hàm số f  x  đồng biến X - Nếu T  0, x1, x2  X , x1  x2 hàm số f  x  nghịch biến X Ví dụ: Xét hàm số f ( x)  x  [1; ) Với x1  x2  1 ta có hiệu H  f  x1   f  x2   x1   x2   x1  x2 0 x1   x2  Nên hàm số f ( x)  x  đồng biến [1; ) Ví dụ: Xét hàm số f ( x)  x3 x1, x2  , x1  x2 ta có 3 f  x1   f  x2    x1     x2  T     x12  x1 x2  x22  x1  x2 x1  x2   2    x1  x2   x2   0x1 , x2  , x1  x2    Vậy hàm số f ( x)  x3 nghịch biến Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  2 x  a) Tính giá trị tương ứng y theo giá trị x điền vào bảng sau Trang 16 b) Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số cho Hướng dẫn giải a) Để tính giá trị y ta thay giá trị cho x vào hàm số y  2 x  Cũng sử dụng chức TABLE máy tính Casio fx-570ES để tính Ta có bảng kết sau: Ta chứng minh hàm số y  f  x   2x  nghịch biến b) Cách Với x1, x2  , x1  x2 ta có H  f  x1   f  x2    2x1  3   2x2  3  2  x1  x2   Vậy hàm số cho hàm số nghịch biến Cách Với x1, x2  , x1  x2 ta có T f  x1   f  x2   2 x1  3   2 x2  3   2  0, x1 , x2  , x1  x2 x1  x2 x1  x2 Vậy hàm số cho hàm số nghịch biến Chú ý: Bảng biến thiên hàm số y  2 x  sau Ví dụ Cho hàm số y  x 1 với x  2x   3 \   Chứng minh hàm số đồng biến khoảng  2 xác định Hướng dẫn giải x1 , x2   ; x1  x2 ta xét thường  x 1 x 1  T    :  x1  x2    x1  3 x2  3  x1  x2   x 1 Với x1 , x2   x1  x2 T  nên hàm số y  đồng biến khoảng 2x      ;     x 1 3  Với x1 , x2   x1  x2 T  nên hàm số y  đồng biến khoảng  ;   2x  2  3    Vậy hàm số cho đồng biến khoảng  ;   ,   ;   2    Ví dụ Cho hàm số f  x  xác định nghịch biến   Giả sử f  f  f   f  4   Tính f  4 Trang 17 Hướng dẫn giải Với x1, x2  ta có f  x1   f  x2   x1  x2 Khi - Nếu  f (4)   f ( f (4))  f (4)  4 hay  f ( f (4))   f ( f ( f (4)))  f (4)  4   f ( f ( f (4)))   f ( f ( f ( f (4))))  f (4)  4 (mâu thuẫn với f ( f ( f ( f (4))))  4) Tương tự, f  4  4  f (4)    f ( f (4))  4   f ( f (4))    f ( f ( f (4)))     f     |  4   f  4  4 (mâu thuẫn với f ( f ( f ( f (4))))  4    - Nếu f  4  4 đẳng thức f  f    f  4   4 thỏa mãn Vậy f  4  4 Ví dụ Xét hàm số y  f ( x)  x2  4x 1 xác định a) Chứng minh hàm số f  x  đồng biến  2;  nghịch biến (; 2] b) Chứng minh hàm số f  x  hàm đồng biến, hàm nghịch biến Hướng dẫn giải a) Với x1, x2  , x1  x2 ta xét thương 2 f  x1   f  x2   x1  x1  1   x2  x2  1 T   x1  x2  x1  x2 x1  x2 - Nếu x1, x2  2, x1  x2 hai số x1 , x2 Có số lớn x1  x2   T  0, x1, x2 [2; ), x1  x2 Vậy f  x  đồng biến  2;  - Nếu x1, x2  2, x1  x2 , hai số x1 , x2 có số nhỏ x1  x2   T  0, x1, x2  (;2], x1  x2 Vậy f  x  nghịch biến  ;2 b) Giả sử f  x  đồng biến Khi đó, với x1, x2  , x1  x2 , f  x1   f  x2  Suy f 1  f  0 Tuy nhiên, điều không xảy f 1  2 f    Vậy hàm số f  x  hàm đồng biến Giả sử f  x  nghịch biến Khi đó, với x1, x2  , x1  x2 , f  x1   f  x2  Suy f  3  f  2 Tuy nhiên, điều khơng xảy f  3  2, f  2  3 Vậy hàm số f  x  hàm nghịch biến Chú ý: Bảng biến thiên hàm số y  f ( x)  x2  4x 1 sau Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang 18 Câu Cho hàm số f  x  xác định Khẳng định sau sai? A Nếu hàm số f  x  đồng biến x1, x2  , x1  x2 te ta có f  x1   f  x2  B Nếu hàm số f  x  đồng biến x1, x2  , x1  x2 ta có f  x1   f  x2  C Nếu hàm số f  x  nghịch biến x1, x2  , x1  x2 ta có f  x1   f  x2  D Nếu hàm số f  x  nghịch biến x1, x2  , x1  x2 ta có f  x1   f  x2  Câu Hàm số sau đồng biến A y  2 x  B y  2 x  ? C y   x D y  6 x  Câu Giá trị m để hàm số y   3m  2 x  2020 nghịch biến A m  B m  Câu Cho hàm số f  x  xác định (1) Nếu hàm f  x  đồng biến (2) Nếu C m  3 D m  Xét khẳng định sau: ( f (a)  f (b))(a  b)  0, a, b  f (a )  f (b)  a, b  , a  b hàm f  x  đồng biến a b (3) Nếu ( f (a)  f (b))(a  b)  0, a, b  , a  b hàm f  x  nghịch biến (4) Nếu hàm f  x  nghịch biến Số khẳng định A f (a)  f (b)  f (c), a, b, c  , a  b  c B C D Câu Cho hàm số f  x  xác định đoạn  a; b , a  b Xét khẳng định sau: (1) Nếu hàm f  x  nghịch biến [a;b]  f  x1   f  x2    x1  x2   0, x1 , x2 [a, b], x1  x2 (2) Nếu  f  x1   f  x2    x1  x2   0, x1 , x2 [a; b], x1  x2 hàm số f  x  nghịch biến [ a; b] (3) Nếu f (a)  f (c)  f (b), c  (a; b) hàm f  x  đồng biến  a; b (4) Nếu hàm f  x  đồng biến Những khẳng định sai A (2), (3) f (a)  f (c)  f (b), c  (a; b) B (1), (2) C (1), (3) D (2), (4) Câu Cho hàm số y  x m2  2019  m với x biến số, m tham số Khẳng định sau đúng? A Nếu m > hàm số đồng biến , m < hàm số nghịch biến B Nếu m > hàm số nghịch biến , m < hàm số đồng biến C Với m hàm số nghịch biến D Với m hàm số đồng biến Câu Cho hàm số f  x  xác định đồng biến   , thỏa mãn f f  f  3   Giá trị f  3 A B C D Câu Có giá trị nguyên dương m để hàm số y   2m   x 1 nghịch biến A Bài tập nâng cao B C.5 Câu Cho hai hàm số f  x  , g  x  xác định (1) Nếu f  x  g  x  đồng biến D Những khẳng định sau đúng? hàm f  g  x   đồng biến Trang 19 ? hàm f  g  x   nghịch biến (2) Nếu f  x  g  x  nghịch biến hàm f  g  x   nghịch biến (3) Nếu f  x  đồng biến g  x  nghịch biến A (1), (3) B (2), (3) C (1), (2) Câu 10 Cho hai hàm số f  x  , g  x  xác định A Nếu hàm f  x  , g  x  đồng biến B Nếu hàm f  x  , g  x  nghịch biến C Nếu hàm f  x  đồng biến biến D (1), (2), (3) Khẳng định sau sai? hàm f  x   g  x  đồng biến hàm f  x   g  x  nghịch biến , hàm f  x  nghịch biến hàm f  x   g  x  đồng D Nếu hàm f  x  nghịch biến , hàm g  x  đồng biến hàm f  x   g  x  đồng biến HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-C 2-C 3-C 4-C 5-A 6-D 7-A 8-B 9-A 10-D Câu Chọn A Khẳng định (2) sai Thật vậy, với a, b  , a  b, g  a   g b  (do hàm g  x  nghịch biến), suy f  g  a    f  g  0  (do hàm g  x  ) nghịch biến), chứng tỏ f  g  x   hàm đồng biến Lập luận tương tự ta thấy khẳng định (1) (3) Câu 10 Chọn D Khẳng định A f  x  g  x  hàm số đồng biến với a, b  , a  b f (a)  f (b); g (a)  g (b)  f (a)  g (a)  f (b)  g (b) Khẳng định B f  x  g  x  hàm số nghịch biến với a, b  , a  b f (a)  f (b); g (a)  g (b)  f (a)  g (a)  f (b)  g (b) Khẳng định C D sai f  x  hàm số đồng biến g  x  hàm số nghịch biến với a, b  , a  b f (a)  f (b), g (a)  g (b)  f (a)  g (a)  f (b)  g (b) Dạng Xét tính chẵn - lẻ hàm số Phương pháp giải Xét tính chẵn lẻ hàm số y  f  x  xác định tập D - Nếu tồn x0  D để  x0  D kết luận hàm f  x  khơng phải hàm chẵn, hàm lẻ D - Trường hợp x  D ta có  x  D (ta gọi tập D trường hợp tập đối xứng) + Tính f   x  so sánh với f  x  + Nếu f ( x)  f ( x), x  D f  x  hàm chẵn D + Nếu f ( x)   f ( x), x  D f  x  hàm lẻ D Trang 20 + Nếu tồn x0  D để f   x0    f  x0  f  x  làm chẵn, hàm lẻ D Ví dụ 1: Hàm số f ( x)  x có tập xác định D  0;   tập đối xứng nên hàm chẵn, khơng phải hàm lẻ Ví dụ 2: Hàm số f ( x)  2x4 có tập xác định D  f (x)  2(x)4  2x4  f ( x), x  tập đối xứng có nên hàm số chẵn Ví dụ 3: Hàm số f  x   x có tập xác định D  tập đối xứng có f ( x)  2 x   f ( x), x  nên hàm số lẻ Ví dụ 4: Hàm số f  x   x  có tập xác định D  tập đối xứng, f ( x)   x   x   f ( x), x  , x  f ( x)   x    x    f ( x), x  nên khơng phải hàm chẵn khơng phải hàm só lẻ Ví dụ mẫu Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số sau tập xác định x4 a) y  b) y  f  x   4x 1 x 1 1 c) y  f ( x) | x  1|  | x  1| d) y  f ( x)   3 x 3 x Hướng dẫn giải x4 a) Hàm số y  có tập xác định D  \{1} Ta thấy x  D x 1 x4 1 D nên hàm số y  hàm chẵn, hàm lẻ D  x 1 b) Hàm số y  f  x   4x –1 có tập xác định D  x  \{1} có  x  Vì f  x   4x 1 f   x   4x 1 nên f ( x)  f ( x), x  đồng thời f ( x)   f ( x), x  Vậy hàm số y  f  x   4x –1 hàm chẵn, hàm lẻ D  c) Hàm số y  f  x   x   x  có tập xác định D  x   x  Ta có f ( x) |  x  1|  |  x  1|| x  1|  | x  1| f ( x), x  Vậy hàm số y  f  x   x   x  hàm chẵn D  1 có tập xác định D   3;3 x   x   3 x 3 x 1 Ta có f ( x)     f ( x), x  (3;3) 3 x 3 x 1 Vậy hàm số y  f ( x)  hàm lẻ D   3;3  3 x 3 x Chú ý:  Nếu hàm số y  f  x  hàm số chẵn D đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đới xứng d) Hàm số y  f ( x)   Nếu hàm số y  f  x  hàm số lẻ D đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng  Nếu hàm số y  f  x  vừa hàm chẵn vừa hàm lẻ D f ( x)  0, x  D Trang 21 Ví dụ Với giá trị tham số m hàm số y  f ( x)  (2m  1) x  m  (ẩn x ) hàm chẵn, hàm lẻ Hướng dẫn giải Hàm số y  f  x    2m 1 x  m  hàm chẵn f ( x)  f ( x), x   (2m  1) x  m   (2m  1) x  m  3, x   2(2m  1) x  0, x   2(2m  1)  m Vậy với m  hàm số y  f  x    2m 1 x  m  hàm chẵn Hàm số y  f  x    2m 1 x  m  hàm lẻ f ( x)   f ( x), x   (2m  1) x  m   (2m  1) x  m  3, x   0.x  2(m  3)  0, x   2(m  3)   m  3 Vậy với m  3 hàm số y  f  2m 1   2m 1 x  m  hàm lẻ Chú ý: Hàm đa thức y  an xn  a1x  a0 hàm chẵn hệ số bậc lẻ Tương tự, hàm hàm lẻ hệ số bậc chẵn Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trong hàm số cho sau đây, hàm số hàm chẵn tập xác định nó? A y  x  B y  x 1 D y  2x3 1 C y  x 1 Câu Trong hàm số cho sau đây, hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng? x 1 A y  B y   x   x x 1 C y  2x3 1 D y  x  Câu Giá trị m để hàm số y   2m 1 x  m  hàm số lẻ 1 C m   D m  2 Câu Trong hàm số cho sau đây, hàm số hàm lẻ tập xác định nó? A y  2x  x4 B y  x  C y   x D y  x  x Bài tập nâng cao Câu Cho hàm số A m  4  x3   y  x3   B m  khi x  1 1  x  x 1 Khẳng định sau đầy đủ nhất? A Hàm số hàm chẵn Trang 22 B Hàm số hàm lẻ C Hàm SỔ hàm chẵn, hàm lẻ D Hàm sổ vừa hàm chẵn, vừa hàm lẻ HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-B 2-B Câu Chọn B Tập xác định D  3-A 4-C 5-B tập đối xứng, nghĩa với x   x  Nếu x   x  1 nên y( x)  ( x)     x  1   y( x) Lấy x  Nếu x  1  x  nên y( x)  ( x)3     x3  1   y( x) Nếu 1  x  1   x  y   x    y  x   Do ta ln có y( x)   y( x), x  Vậy hàm số cho hàm lẻ Dạng Tìm tập giá trị hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ Phương pháp giải - Để tìm tập giá trị hàm số y  f  x  với tập xác định D ta tìm tập hợp giá trị y để phương đo trình y  f  x  có nghiệm x  D Kí hiệu G tập giá trị hàm số G  { f ( x)∣ x  D} Xét hàm số y  f  x  với tập xác định D, gọi X tập khác rỗng D.Số m1 gọi giá trị lớn hàm số y  f  x  X , kí hiệu x  X : f ( x)  m1 max f ( x)  m1 ,  xX x0  X : f  x0   m1 - Xét hàm số y  f  x  với tập xác định D, gọi X tập khác rỗng D Số m2 gọi giá trị nhỏ hàm số y  f  x  X, kí hiệu f ( x)  m2 xX x  X : f ( x)  m2  x0  X : f  x0   m2 Ví dụ 1: Xét hàm số y  x  với tập xác định đoạn  0; 4 Khi 0 x4   2x 1    2x 1  Vậy tập giá trị hàm số đoạn 1;3 Ví dụ 2: Xét hàm số f ( x)  2x  1;40 2x 1  2.40 1  9, x [1;40] Đẳng thức xảy x  Vậy max f ( x)  , đạt x  40 Ta có x1;40 Trang 23 Ví dụ 3: Xét hàm số f ( x)  x2  4x Ta có f ( x)  ( x  2)   4, x  Đẳng thức xảy x  Vậy f ( x)  4 đạt x  Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tập xác định tập giá trị hàm số y  2x2  x 1 Hướng dẫn giải Hàm số y  2x2  x 1 có tập xác định D  Xét phương trình (ẩn x , coi y tham số) y  2x2  x 1  2x2  x  ( y 1)  1 Phương trình bậc hai (1) có biệt thức    8( y  1)   y Điều kiện để (1) có nghiệm     y   y  9  Vậy tập giá trị hàm số y  2 x  x  G   ;  8  Chú ý: Bảng biến thiên hàm số sau Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x   2 x  đoạn [-3;4] Hướng dẫn giải Với x  [3; 4]  2 x  8 suy   2 x   Đẳng thức thứ xảy x  , đẳng thức thứ hai xảy x  3 Do f ( x)  7 đạt x  x[ 3,4 ] max f ( x)  đạt x  3 x 3;4 Nhận xét: Bảng biến thiên hàm số f  x   2 x  đoạn  3;4 sau Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho hàm số y   x Xét khẳng định sau: (1) Tìm tập xác định hàm số đoạn 0;4 (2) Hàm số đồng biến khoảng  2;0  nghịch biến khoảng  0;2 (3) Tập giá trị hàm số đoạn  0; 2 (4) Hàm số hàm chẵn, hàm lẻ tập xác định Trang 24 Số khẳng định sai A B Câu Tập giá trị hàm số y  x  4x A B (; 2] C D C (; 4] D [0; ) Bài tập nâng cao Câu Cho hàm y  sổnguyên? A 3x  x  có tập xác định x2  x  B 4x  xác định x2  hàm số Giá trị M – m A B Câu Cho hàm y  tập giá trị G, Trong G có phần tử C D Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ C D -1 Câu Giá trị lớn hàm số f ( x)  x   x A B C 2 D Câu Nhà ơng Minh có 50 phòng trọ cho thuê Biết cho thuê phịng với giá 2000 000 đồng/ tháng 50 phịng có người th Cứ lần tăng giá phịng thêm 50 000 đồng tháng có thêm phịng bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao ơng Minh phải cho th phòng giá đồng tháng? A 2250000 B 2800000 C 2500000 D 2000000 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM | 1-C 2-C 3-C 4-A 5-C 6-A Câu Chọn C 3x  x  có tập xác định x2  x  Xét phương trình ẩn x (với y tham số) Hàm số y  3x  x   y  (3  y) x  ( y  1) x   y  1 x  x 1 - Nếu y  phương trình (1) trở thành 4 x    x   Suy  G - Nếu y  (1) phương trình bậc hai với biệt thức   3 y2 18 y 11 Lúc (1) có nghiệm    3 y  18 y  11   94 94  y 3 9    Vậy G   ;  Trong tập G có số nguyên 1, 2,3, 4,5   Câu Chọn A 4x   4, x  Do (2x 1)2  0, x  , nên x   x  3, x  , hay y  x 1 Trang 25 Dấu đẳng thức xảy x  suy M  Tương tự ( x  2)2  0, x  , nên x    x  1, x  , hay y  4x   1, x  x2  Dấu đẳng thức xảy x  2 Do m  1 Vậy M – m  Câu Chọn C Hàm số f ( x)  x   x Có tập xác định đoạn 0; 4 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có f ( x)  x   x  1 1  ( x   x)  2 2 Đẳng thức xảy x  Vậy giá trị lớn hàm số 2 Câu Chọn A Giả sử ông Minh cho thuê với giá 2000 000  50 000k đồng phòng tháng, k  0;1; 2; ;50, số phịng có người thuê 50 – k Tổng thu nhập tháng ơng Minh từ việc cho th phịng trọ f  x    2000 000  50 000k  (50 – k ) (đồng) Та со  40  k  50  k  f (k )  (2000000  50000k )(50  k )  50000(40  k )(50  k )  50000    101250000   Đẳng thức xảy 40  k  50  k  k  Với k  giá phòng 2250 000 đồng/tháng  ab Chú ý: Ta áp dụng bất đẳng thức ab    , a, b  Đẳng thức xảy a  b   Trang 26 ... định D  {19 95 ,19 96 ,19 97 ,19 98, 19 99, 2000, 20 01) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? Trang A f (19 95)  10 39 B f (19 96)  17 43 C f (19 99)  23 56 D f (20 01)  43 14 1 Câu Cho hàm số f ( x)... giải a) Với x1, x2  , x1  x2 ta xét thương 2 f  x1   f  x2   x1  x1  1? ??   x2  x2  1? ?? T   x1  x2  x1  x2 x1  x2 - Nếu x1, x2  2, x1  x2 hai số x1 , x2 Có số lớn x1  x2  ... 0, x1 , x2  , x1  x2 x1  x2 x1  x2 Vậy hàm số cho hàm số nghịch biến Chú ý: Bảng biến thiên hàm số y  2 x  sau Ví dụ Cho hàm số y  x ? ?1 với x  2x   3   Chứng minh hàm số đồng