1. Trang chủ
  2. » Kỹ Thuật - Công Nghệ

Phuong phap quy dao

8 6 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 8
Dung lượng 107 KB

Nội dung

Cho k, n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng.. 1) n ®êng th¼ng cã thÓ chia ®êng th¼ng thµnh nhiÒu nhÊt bao nhiªu miÒn? 2) n mÆt ph¼ng cã thÓ chia kh«ng gian thµnh nhiÒu nhÊt bao nhiªu miÒn.. Cho p lµ [r]

(1)

Bài - Phép đếm Các nguyên lý c bn ca phộp m

Định nghĩa:

i) Một tập hợp A đợc nói hữu hạn có n phần tử tồn song ánh A tập hợp 1, 2, , n N Ta viết |A| = n

ii) Nếu A không hữu hạn, ta nói A vô hạn

B (Nguyờn bự trừ): Giả sử B tập tập hợp hữu hạn A Gọi CA(B) phần bù B A Khi ta có

|A| = |B| + |C(B)|

Định lý: Giả sử A, B tập hợp hữu hạn Nếu tồn đơn ánh từ A vào B đơn ánh từ B vào A A B có số phần tử

Nguyªn lý céng: NÕu A, B tập hợp không giao thì |A  B| = |A| + |B|

Nguyªn lý céng phát biểu cách khác nh sau:

Nếu cơng việc thực hai phơng án lọai trừ lẫn nhau: phơng án thứ có m cách thực phơng án thứ hai có n cách thực Khi cơng việc có m+n cách thực

Ngun lý cộng mở rộng: Nếu tập hợp hữu hạn C hợp n tập đôi rời C1, C2, , Cn thì:

|C| = |C1| + | |Cn|

Định nghĩa: Tích Descartes hai tập hợp A, B ký hiệu AxB tập hợp tất cặp thứ tự (a, b) với a A, b B

Nguyên lý nhân: Nếu A B hai tập hợp hữu hạn AxB hữu hạn ta có |A x B| = |A|.|B|

Định nghĩa tích Descartes nguyên lý nhân mở rộng cho nhiều tập hợp Nguyên lý nhân phát biểu mét c¸ch kh¸c nh sau:

Nếu q trình đợc thực qua hai cơng đọan: cơng đọan I có n1 cách thực hiện, cơng đọan II (sau thực I) có n2 cách thực Khi có n1.n2 cách thực q trình

Nguyên lý thêm bớt: Với hai tập hữu hạn A, B bÊt kú ta cã |A  B| = |A| + |B| - |AB|

Câu hỏi tËp:

1) H·y t×m sè tËp cđa mét tập hợp có n phần tử 2) HÃy cho ví dụ áp dụng nguyên lý bù trừ

3) Hãy cho ví dụ phép đếm phải áp dụng nguyên lý cộng nguyên lý nhân 4) Có số có chữ số khác nhau?

5) Cã bao nhiªu sè cã chữ số chia hết cho 3?

6) Có số có chữ số khác chia hÕt cho 3?

7) Trong trò chơi tiến lên, tính xác suất để ngời có tứ q 8) Ngun lý thêm bớt mở rộng nh nào?

Bài - Các đối tợng tổ hợp số tổ hợp

1 Họ tập tập hợp E P(E) = A| A  E

Mệnh đề: |P(E)| = 2|E|

(2)

Gi¶ sư E = a1, a2, , an Chỉnh hợp n phần tử chọn k thứ tự gồm k phần tö (ai1, , aik)

Số chỉnh hợp chập k n phần tử đợc ký hiệu Akn Ta có Akn = n(n-1) (n-k+1) = n!/(n-k)!

3 Tổ hợp n phần tử chọn k (hay tổ hợp chập k n phần tử)

Gi s E = a1, a2, , an Tổ hợp n phần tử chọn k không thứ tự gồm k phần tử ai1, , aik Nói cách khác, tập gồm k phần tử

Số tổ hợp chập k n phần tử đợc ký hiệu Ckn Ta có Ckn = n(n-1) (n-k+1)/k! = n!/k!(n-k)!

4 Hãan vÞ

Giả sử E = a1, a2, , an Một hóan vị E cách xếp phần tử E theo thứ tự Nói cách khác, chỉnh chỉnh hợp n phần tử chn n

Số hóan vị n phần tư ký hiƯu lµ Pn Ta cã Pn = n! 5 Chỉnh hợp lặp

Gi s E = a1, a2, , an Chỉnh hợp lặp n phần tử chọn k thứ tự gồm k phần tử (ai1, , aik), cho phép lấy lp li

Số chỉnh hợp chập k n, theo quy tắc nhân, nk. 6 Tổ hợp lỈp

Giả sử E = a1, a2, , an Tổ hợp lặp n phần tử chọn k không thứ tự gồm k phần tử ai1, , aik, cho phép lấy lặp lại Nói cách khác, đa tập hợp gồm k phần tử lấy từ E

Số tổ hợp lặp chập k n phần tử đợc ký hiệu Hkn Ta có Hkn = Ck

n+k-1 7 Hóan vị lặp

Xột a hp E(r1, r2, , rs) có n phần tử, phần tử a1 có r1 phiên bản, phần tử a2 có r2 phiên bản, , phần tử as có rs phiên r1+r2+ +rs = n Một cách xếp phần tử E theo thứ tự đợc gọi hóan vị lặp n phần tử E

Số hóan vị lặp đa tập hợp E(r1, r2, , rs) n!/r1! rs! Bổ đề: (Tính chất hệ số nhị thức)

Ck-1n+Ckn = Ck n+1 Định lý: (Nhị thức Newton)

(x+y)n = C0nxn + C1nxn-1y + + Cnnyn Câu hỏi tập:

1) Nêu rõ khác biệt chỉnh hợp tổ hợp, hóan vị hóan vị lặp 2) Tìm hiĨu ý nghÜa cđa c¸c ký hiƯp A, C, P, H

3) Hãy chứng minh định lý nhị thức

4) Nêu ví dụ áp dụng cho đối tợng tổ hợp 5) Tìm số nghiệm nguyên khơng âm phơng trình

x1 + x2 + x3 = 100

6) Có nam nữ Có cách chọn ngời có nam nữ

7) Rót gän tỉng A = Ckn(-2)k, B = Ckncos(kx). 8) Chøng minh (Ckn)2 = Cn2n.

Bài - Các phơng pháp đếm nâng cao

(3)

Có nhiều phơng pháp đếm nâng cao dựa tảng lý thuyết khác Ví dụ ph-ơng pháp song ánh dựa vào lý thuyết tập hợp ánh xạ, phph-ơng pháp thêm bớt dựa vào lý thuyết tập hợp (cụ thể tổng quát hóa công thức |A  B| = |A| + |B| - |AB|), phơng pháp quỹ đạo dựa vào định lý số đờng ngắn hai điểm lới nguyên, phơng pháp quan hệ đệ quy dựa vào ý tởng quy nạp, phơng pháp hàm sinh sử dụng kiến thức tổng hợp đại số giải tích

Dới đây, qua ví dụ, giới thiệu số phơng pháp đếm nâng cao 1 Phơng pháp song ánh.

Phơng pháp song ánh dựa vào ý tởng đơn giản: Nếu tồn song ánh từ A vào B |A| = |B| Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có số phần tử, cần xây dựng song ánh chúng Hơn nữa, ta đếm đợc số phần tử tập hợp A cách xây dựng song ánh từ A vào tập hợp B mà ta biết cách đếm

VÝ dơ (Bµi tãan chia kĐo Euler)

Cho k, n số nguyên dơng Tìm số nghiệm nguyên không âm phơng trình x1 + x2 + + xn = k (*)

Ví dụ (Định lý phơng pháp quỹ đạo) Chứng minh số đờng ngắn lới nguyên từ điểm A(0, 0) đến B(m, n) Cmm+n

VÝ dơ X©y dùng song ánh từ N vào ZxZ

Ví dụ Chứng minh không tồn song ánh từ tập hợp số hữu tỷ thuộc đoạn [0, 1] vào tập hợp số thực thuộc đoạn

(Xem thêm bài: Song ánh toán giải tích tổ hợp) 2 Phơng pháp quan hệ đệ quy.

Phơng pháp quan hệ đệ quy phơng pháp giải tóan với n đối tợng thơng qua việc giải tóan tơng tự với số đối tợng cách xây dựng quan hệ đó, gọi quan hệ đệ quy Sử dụng quan hệ này, ta tính đợc đại lợng cần tìm ý rằng với n nhỏ, tóan ln giải cách dễ dàng

Ta minh họa phơng pháp thông qua số ví dụ: VÝ dơ (Bµi tãan chia kĐo cđa Euler)

Cho k, n số nguyên dơng Tìm số nghiệm nguyên không âm phơng trình x1 + x2 + + xn = k (*)

Giải Gọi số nghiệm ngun khơng âm phơng trình S(n, k) Dễ dàng thấy S(1, k) = Để tính S(n, k), ta ý (*) tơng đơng với

x1 + + xn-1 = k - xn (**)

Suy với xn cố định số nghiệm (**) S(n-1, k-xn) Từ ta đợc công thức S(n, k) = S(n-1, k) + S(n-1, k-1) + + S(n-1, 0)

Đây coi cơng thức truy hồi tính S(n, k) Tuy nhiên, công thức cha thật tiện lợi Viết công thức cho (n, k-1) ta đợc

S(n, k-1) = S(n-1, k-1) + S(n-1, k-2) + + S(n-1, 0) Từ đây, trừ đẳng thức vế theo vế, ta đợc

S(n, k) - S(n, k-1) = S(n-1, k) Hay S(n, k) = S(n, k-1) + S(n-1, k)

Từ cơng thức này, quy nạp ta chứng minh đợc S(n, k) = Ckn+k-1.

Ví dụ Có xâu nhị phân độ dài n khơng có hai bit đứng cạnh nhau?

(4)

i) an = Khi an-1 = an-2 a2a1 chọn xâu độ dài n-2 thỏa điều kiện Có cn-2 xâu nh vậy, suy trờng hợp có cn-2 xâu

ii) an = Khi an-1 a2a1 chọn xâu độ dài n-1 thỏa điều kiện Có cn-1 xâu nh vậy, suy trờng hợp có cn-1 xâu

Vậy tổng cộng xây dựng đợc cn-1 + cn-2 xâu, nghĩa ta có hệ thức truy hồi cn = cn-1 + cn-2

Ví dụ Có cách lát đờng kích thớc 3x2n viên gạch kích thớc 1x2? Ví dụ n đờng tròn chia mặt phẳng thành nhiều miền?

Ví dụ (VMO 2003): Với số nguyên dơng n gọi sn số hoán vị (a1, a2, , an) tập hợp En = 1, 2, , n, mà hoán vị có tính chÊt  |ai - i|  víi mäi i=1, 2, , n Chøng minh r»ng víi n > ta cã 1.75sn-1 < sn < 2sn-1

H

íng dÉn Chøng minh c«ng thøc truy håi sn+1 = sn + sn-1 + sn-2 + sn-3 - sn-4

Ví dụ Xét tập hợp E = 1, 2, 3, , 2003 Với tập A khác rỗng E, ta đặt r(A) = a1 - a2 + + (-1)k-1ak

trong a1, a2, , ak tất phần tử A xếp theo thứ tự giảm dần Hãy tính tổng S = A E r(A)

3 Phơng pháp thêm bớt Ta xét toán thực tế sau:

Vớ d Rút ngẫu nhiên 13 quân từ 52 qn Tính xác suất để 13 qn có “tứ quý”

Giải Có C1352 cách rút 13 quân từ 52 quân Ta cần tìm số cách rút có 4 quân giống (về số!)

Trớc hết ta đếm số cách rút có “tứ quý” A Rõ ràng có C948 cách rút nh (lấy A và từ 48 lại) Với quân khác Vì có 13 qn khác nên số cách rút có tứ quý 13 C948 (!?).

Trong lời giải trên, đếm lặp Cụ thể cách rút có hai tứ quý, chẳng hạn tứ quý K tứ quý A đợc đếm hai lần: lần tứ quý A lần tứ quý K Nh-ng ta đaNh-ng đếm khôNh-ng hải số tứ quý mà số lần gặp tứ quý Nh thế, nhữNh-ng lần đếm lặp phải trừ Dễ thấy, số cách rút có tứ quý K A C544 Lý luận tiếp tục nh thế, ta có số xác cách rút có tứ quý là:

13 C948 - C213C544 + C313C1 40 xác suất cần tìm b»ng

p = (13 C948 - C213C544 + C313C140)/C1352 = 0.034 Định lý Với n tập hợp A1, , An bÊt kú ta cã c«ng thøc

|A1 An| = |Ai| - |Ai Aj| + + (-1)n-1|A1 An|

Ví dụ Có cách xếp xe lên bàn cờ quốc tế bị gạch đ ờng chéo cho khơng có ăn nào?

Giải Có 8! cách xếp xe xe lên bàn cờ quốc tế cho khơng có ăn Ta cần đếm số cách xếp khơng hợp lệ, tức số cách xếp có xe nằm đờng chéo

Gọi Ai tập hợp cách xếp có quân xe nằm (i, i) Ta cần tìm |A1   A8| Nhng dễ dàng thấy |Ai| = 7!, |Ai  Aj| = 6! |A1 A8| = nên từ định lý ta suy |A1   A8| = C18.7! - C28.6! + C38.6! - - C88.1! = 8! - 8!/2! + 8!/3! - - 8!/8!. Nh số cách xếp xe lên bàn cờ quốc tế bị gạch đờng chéo cho khơng có ăn

N(8) = 8! - (8! - 8!/2! + 8!/3! - - 8!/8!) = 8!(1/2! - 1/3! + + 1/8!)

(5)

Nói thêm: Định lý xe đa thức xe 4 Phơng pháp quỹ đạo

Ví dụ Có m+n ngời đứng quanh quầy vé, n ngời có tiền 5.000 m ngời có tiền 10.000 Đầu tiên quầy khơng có tiền, vé giá 5.000 Hỏi có cách xếp m+n ngời thành hàng để không ngời phải chờ tiền trả lại (m  n)

Ví dụ (Bài tốn bầu cử) Trong bầu cử, ứng cử viên A đợc a phiếu bầu, ứng cử viên B đợc b phiếu bầu (a > b) Cử tri bỏ phiếu Có cách xếp việc bỏ phiếu để lúc A B số phiếu bầu?

Cho x > y số nguyên Quỹ đạo từ gốc toạ độ đến điểm (x; y) đờng gấp khúc nối điểm O, (1; s1), , (k; sk), (x; sx),

|si - si-1| = 1, sx = y

Gọi Nx,y số quỹ đạo nối điểm (0; 0) với điểm (x; y) Ta cú cỏc nh lý sau:

Định lý Nx,y = Cpp+q víi p = (x+y)/2, q = (x-y)/2 x, y tính chẵn lẻ Nx,y = 0

nếu x, y khác tính chẵn lỴ.

Chứng minh: Giả sử quỹ đạo gồm p đoạn hớng lên q đoạn hớng xuống dới Khi p + q = x, p - q = y

từ

p = (x+y)/2, q = (x-y)/2

(vì p q số ngun nên x, y cần phải có tính chẵn lẻ) Vì quỹ đạo hồn tồn đợc xác định ta đoạn đợc hớng lên trên, số quỹ đạo từ điểm O đến điểm (x; y) Nx,y = Cpp+q.

Định lý (Nguyên lý đối xứng gơng) Giả sử A(a; ), B(b; ) điểm có toạ độ nguyên, b > a 0, > 0, > 0, A (a; - ’ ) điểm đối xứng với A qua trục Ox Khi số quỹ đạo từ A đến B cắt trục Ox có điểm chung với Ox số các quỹ đạo từ A đến B

Chứng minh Mỗi quỹ đạo T từ A đến B, cắt trục Ox có điểm chung với Ox ta cho tơng ứng với quỹ đạo T’ từ A’ đến B theo quy tắc sau: xét đoạn quỹ đạo T từ A điểm gặp T Ox lấy đối xứng đoạn qua Ox, T T’ trùng Nh quỹ đạo T từ A đến B cắt Ox tơng ứng với quỹ đạo xác định từ A’ đến B Ngợc lại quỹ đạo từ A’ đến B tơng ứng với quỹ đạo từ A đến B cắt Ox (lấy đoạn quỹ đạo từ A’ đến B đến điểm gặp lấy đối xứng đoạn qua Ox) Nh ta thiết lập đợc song ánh từ tập hợp quỹ đạo từ A đến B cắt Ox vào tập hợp quỹ đạo từ A’ đến B Định lý đợc chứng minh

Định lý Giả sử x > 0, y > Khi số quỹ đạo từ O đến (x; y) khơn có điểm chung với trục Ox (ngoại trừ điểm O) (y/x)Nx,y.

5 Phơng pháp hàm sinh

Phng phỏp hm sinh l phơng pháp đại, sử dụng kiến thức chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt công thức Taylor) Đây phơng pháp mạnh để giải tóan gii tớch t hp

Định nghĩa: Cho dÃy số a0, a1, a2, , an, Chuỗi hình thức

(6)

ý tởng phơng pháp hàm sinh nh sau: Giả sử ta cần tìm cơng thức tổng qt dãy số an Từ cơng thức truy hồi lý luận tổ hợp trực tiếp, ta tìm đợc hàm sinh

A(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn +

Khai triển A(x) thành chuỗi tìm hệ số xn khai triển ta tìm đợc an. Cơng thức khai triển thờng sử dụng (Công thức nhị thức Newton)

(1 + x)α = + αx + α(α-1)x2/2 + + α(α-1) (α-n+1)xn/n!+ VÝ dơ T×m số hạng tổng quát dÃy số f0 = 1, f1 = 2, fn+1 = fn + fn-1 Gi¶i: XÐt hµm sinh

F(x) = f0 + f1x + f2x2 + + fnxn +

= f0 + f1x + (f0+f1)x2 + + (fn-1+fn-2)xn + = f0 + f1x + x2(f0+f1x+ ) + x(f1x+ ) = f0 + f1x + x2F(x) + x(F(x)-f0) Từ suy

F(x) = (1+x)/(1-x-x2)

Tiếp theo, ta khai triển F(x) thành chuỗi Ta cã F(x) = (1+x)/(1-αx)(1-x)

trong α,  nghiệm phơng trình x2 - x - = Ta dễ dàng tìm đợc hai số A, B cho

F(x) = A/(1-αx) + B/(1-x)

Từ đó, sử dụng cơng thức 1/(1-x) = + x + x2 + + xn + ta đợc F(x) = A + B + (Aα + B)x + + (Aαn + Bn)xn+

suy

fn = Aαn + Bn

với α,  hai nghiệm củaphơng trình x2 - x - = A, B, số hòan tòan xác nh

Ví dụ Tìm số hạng tổng quát cña d·y sè a0 = 1, ana0+an-1a1 + + a0an = Giải: Xét hàm sinh A(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn +

Biểu thức truy hồi gợi đến hệ số hai đa thức

A(x).A(x) = a0 + (a0a1+a1a0)x + + (ana0+an-1a1 + + a0an)xn + = + x + x2 + + xn = (1-x)-1

Từ suy

A(x) = (1-x)-1/2 = + (1/2)x + (1/2)(3/2)x2/2+ + (1/2)(3/2) (n-1/2)xn/n! + Vµ nh vËy

an = (2n-1)!!/2n.n! = Cn2n/22n. VÝ dơ (Bµi tãan chia kĐo cđa Euler)

Cho k, n số nguyên dơng Tìm số nghiệm nguyên không âm phơng trình x1 + x2 + + xn = k (*)

Gi¶i: Gäi cn(k) số nghiệm (*) Xét tích tổng vô hạn (1+x+x2+ )(1+x+x2+ ) (1+x+x2+ ) = (1+x+x2+ )n Ta nhận xét khai triển tích thành chuỗi lũy thừa x

(1+x+x2+ )n = c0 + c1x + + ckxk + th× ck = cn(k) (Vì sao? HÃy thử giải thích) Nhng

(1+x+x2+ )n = (1-x)-n = + nx + + n(n+1) (n+k-1)xk/k! + Suy

cn(k) = n(n+1) (n+k-1)/k! = Ckn+k-1.

Ví dụ Vé xe búyt hệ thống giao thông công cộng đợc đánh số từ 000000 đến 999999 Một vé đợc gọi vé hạnh phúc tổng ba chữ số tổng ba chữ số cuối Hãy tìm xác suất gặp vé hạnh phúc ngời mua vé

(7)

T =  1/n1!n2! n1994!(n2+2n3+ +1993n1994)!

ở tổng lấy theo tất có thứ tự số tự nhiên (n1, n2, , n1994) thoả mÃn điều kiện

n1+2n2+3n3+ +1994n1994 = 1994

Ví dụ Có 2n điểm đờng trịn Hãy tìm số cách nối 2n điểm n dây cung khơng cắt

C©u hái vµ bµi tËp

1 1) n đờng thẳng chia đờng thẳng thành nhiều miền? 2) n mặt phẳng chia khơng gian thành nhiều miền? Hàm sinh dãy an A(x) Hãy tính hàm sinh dãy số sau

1) bn = can 2) bn = an + b

3) bn = an + an-1 + + a1 + a0 4) bn = a2n

3 Giả sử  tập hợp gồm n phần tử Họ tập A1, A2, , Ak đợc gọi họ Sperner tập hợp A1, A2, , Ak khơng có tập tập tập khác.

1) Gi¶ sư A1, A2, , Ak họ Sperner với số phần tử tơng ứng i1, i2 , ik Chứng minh 1/Ci1n + 1/1/Ci2n + + 1/Cinn  1.

2) (Định lý Sperner) Giả sử A1, A2, , Ak họ Sperner Khi k  C[n/2]n. 3) Gọi An số họ Sperner khác  Chứng minh

2Tn < An < CTn 2^Tn Tn = C[n/2]n.

4 (Mỹ 1996) Gọi an số xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi 010, bn số xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi 0011 1100 Chứng minh bn+1 = 2an với n nguyên dơng

5 (Việt Nam 1996) Cho số nguyên k n cho  k  n Tìm tất thứ tự (a1, a2, , ak) a1, a2, , ak số khác từ tập hợp 1, 2, , n, thoả mãn điều kiện:

1) Tån s t cho s < t  k vµ as > at

2) Tồn s cho  s  k as không đồng d với s theo mod Tìm số tất n số (x1, x2, , xn) cho

(i) xi =  víi i=1, 2, , n;

(ii)  x1 + x2 + + xr < víi r = 1, 2, , n-1; (iii) x1 + x2 + + xn =

7 (PTNK 2000) Cho M = 1, 2, , n

1) Tìm số tất c¸c bé ba tËp A, B, C cđa M thoả điều kiện A B C = M, B  C = ;

2) T×m sè tÊt bốn tập A, B, C, D M thoả điều kiện A B C  D = M, B  C  D = 

Bài - ứng dụng phép đếm

Giải tích tổ hợp khơng giải tốn đợc đặt lý thuyết mà nhiều ứng dụng thú vị ngành tốn học khác, ví dụ nh đại số, số học, hình học tổ hợp, lý thuyết xác suất

Các hệ số nhị thức thờng đợc nảy sinh cách tự nhiên số học modular, đại số giao hoán, lý thuyết đại số Lie modular, vậy, đẳng thức liên quan đến hệ số nhị thức đóng vai trị đặc biệt quan trọng

Dới đây, xét số ví dụ liên quan đến ứng dụng giải tích tổ hợp lĩnh vực khác toán học

(8)

Giải Mỗi mội cung có a cách tơ màu, nh có ap cách tơ màu p cung (với quy ớc cố định vị trí) Trong số có a cách tơ màu màu Với cách tô màu dùng màu trở lên, ta dùng phép quay để tạo p cách tơ màu khác đợc tính ap cách tơ màu nhng khơng đợc tính theo cách tính đề Nh số cách tô màu thoả mãn điều kiện đề (ap-a)/p + a

Hệ (Định lý nhỏ Fermat) Cho p số nguyên tố a số nguyên, ap - a chia hết cho p

Ví dụ Chứng minh từ 2n-1 số ngun ln tìm đợc n số có tổng chia hết cho n

Giải Ta gọi mệnh đề đề A(n) Trớc hết ta chứng minh A(m), A(n) A(mn) (hãy chứng minh!) Từ đây, toán quy việc chứng minh A(p) với p số nguyên tố Xét E = a1, a2, , a2p-1 Giả sử ngợc lại với ai1, , aip lấy từ E ta có ai1 + + aip khơng chia hết cho p Khi đó, theo định lý nhỏ Fermat

(ai1 + + aip)p-1 (mod p) Từ suy

 (ai1 + + aip)p-1 Cp2p-1 (mod p)

trong tổng tính theo tất tập p phần tử E Mặt khác, ta đếm số lần xuất đơn thức aj11 ajkk với 1 + + k = p-1 tổng vế trái Có Ck2p-1.Cp-k

2p-k-1 tổng dạng ai1 + + aip có chứa aj1, , ajk Trong tổng này, đơn thức aj11 ajkk xuất với hệ số (p-1)!/1! k! Nh vậy, đơn thức aj11 ajkk xuất tổng vế trái với hệ số Ck2p-1.Cp-k2p-k-1.[ (p-1)!/1! k!] = [(2p-1)!/k!(p-k)!(p-1)!].[ (p-1)!/1! k!] Do  k  p-1 nên hệ số chia hết cho p, suy tổng vế trái chia hết cho p Mặt khác Cp2p-1 = (2p-1)/p!(p-1)! = (p+1) (2p-1)/(p-1)! khơng chia hết cho p Mâu thuẫn. Ví dụ Chứng minh k=0nk(Ckn)2 = nCn-12n-1.

Ví dụ Cho a số thực dơng n số nguyên dơng cho trớc Tìm giá trị lớn biểu thức x1x2 xn/(1+x1)(x1+x2) (xn-1+xn)(xn+an+1), x1, x2, , xn số dơng tuỳ ý

Giải Đặt u0 = x1, u1 = x2/x1, , un = an+1/xn u0u1 un = an+1 ta cần tìm giá trị nhỏ nhất (1+u0)(1+u1) (1+un) Ta có (1+u0)(1+u1) (1+un) = + ui + ui1ui + + ui1 ui k + + u0u1 un Tổng ui1 ui k có Ckn+1 số hạng Tích chúng biểu thức bậc kCkn Do tính đối xứng, số hạng góp bậc kCkn+1/(n+1) Suy tích của tất số hạng (an+1)^(kCkn+1/(n+1)) = a^(kCkn+1) áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có ui1 ui k  Ckn+1ak Do + ui + ui1ui 2 + + ui1 ui k + + u0u1 un

 + (n+1)a + C2n+1a2 + + Ckn+1ak + + an+1 = (1+a)n+1 Dấu xảy u0 = u1 = = un = a tøc lµ x1 = a, x2 = a2, , xn = an.

Ví dụ (Vietnam ST 1993) Xét n điểm A1, A2, , An khơng gian, khơng có điểm đồng phẳng Mỗi cặp điểm Ai, Aj đợc nối với đoạn thẳng Tìm giá trị lớn n cho tơ tất đoạn thẳng hai màu xanh, đỏ thoả mãn ba điều kiện sau:

1) Mỗi đoạn thẳng đợc tô màu

2) Với i=1, 2, , n số đoạn thẳng có đầu mút Ai mà đợc tơ màu xanh không vợt

Ngày đăng: 30/04/2021, 08:48

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w