3.. Gọi D và E là các điểm xác định bởi. Cho hình thang ABCD và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạn[r]
(1)Chương 1: VÉC TƠ § Các định nghĩa:
* Véc tơ đoạn thẳng có hướng
* Ký hiệu AB véc tơ có điểm đầu A, điểm cuối B * Giá véc tơ AB đường thẳng qua A B
* Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ lớn (độ dài) véc tơ AB * Chiều từ gốc A đến B gọi hướng véc tơ AB
* Véc tơ không véc tơ có điểm đầu điểm cuối trùng Ký hiệu:
* Hai véc tơ phương hai véc tơ có giá song song trùng
+ CD AB CD // AB CD // AB
; + Tính chất: //a a ; a c // b// c b // a + CD AB CD AB CD // AB
; + Tính chất: a a ; a c b c b a CD AB CD AB CD
AB ; + T.chất:ABCD CDAB; AB EF
CD EF CD AB
Cho điểm O cố định véc tơ a không đổi ! điểm M cho OMa
§ Tổng hai véc tơ: 1 Định nghĩa:
Tổng hai véc tơ a vàb véc tơ xác định sau:
Từ điểm A xác định điểm B C cho ABa, BCb Khi véc tơ AC gọi tổng hai véc tơ a vàb
Ký hiệu: ACab ACABBC
2 Tính chất:
Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: ABBCAC
5 Quy tắc hình bình hành: Tứ giác ABCD hình bình hành thì:
AC AD
AB
(2)6 M trung điểm đoạn thẳng AB MAMB0
7 G trọng tâm ABC GAGB GC 0
§ Hiệu hai véc tơ: 1 Véc tơ đối véc tơ:
* Nếu ab0 ta nói a véc tơ đối b, b véc tơ đối a * Ký hiệu véc tơ đối véc tơ a - a Từ suy ra:
Véc tơ đối véc tơ a véc tơ ngược hướng với véc tơ a có độ dài với véc tơ a
* Véc tơ đối véc tơ véc tơ
2 Hiệu hai véc tơ:
* a- b = a + (-b)
* Cho trước véc tơ MN điểm O ta ln có: MNON-OM
§ Phép nhân số với véc tơ: 1 Định nghĩa:
* Tích véc tơ a với số thực k véc tơ, ký hiệu ka xác định sau:
1) Về hướng: Nếu k ka a Nếu k ka a
2) Về độ lớn: ka = k. a
* Nhận xét: . a = a
. (-1) a = -a
2 Các tính chất phép nhân véc tơ với số:
Với hai véc tơ a , b số thực k, l, ta có: 1) k(la ) = (kl) a
2) (k + l) a = ka + la; (k – l) a = ka - la 3) k(a + b) = ka + kb; k(a - b) = ka - kb 4) ka = k = o a =
. a = a = a
(3)1 Cho hai véc tơ a b, a a b phương tồn số thực k cho b = ka
2 Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho ABkAC
4) Phân tích véc tơ theo hai véc tơ không phương:
Định lý: Cho hai véc tơ a b không phương Với véc tơ u,
tồn cặp số thực (m, n) cho: u = ma + nb
. Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm O bất kỳ, ta có: OI OAOB
2
. Điểm G trọng tâm ABC với điểm O bất kỳ, ta có:
3
OC OB OA
OG
§ Tọa độ véc tơ điểm:
1) Đối với hệ trục tọa độ O;i, j hay Oxy
1 ua;b u aibj
2 M x;y OM x; y OM xi yj
2) Nếu A = (x; y), B = (x’; y’) ABx' x; y' y
3) Nếu u(x; y)vàv (x'; y')thì: uvx x'; y y'
2 kukx;ky
B BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
1 Cho ABC Gọi A’ đối xứng với A qua B; B’ đối xứng với B qua C C’
đối xứng với C qua A CMR: ABC A’B’C’ có trọng tâm
2 Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) CMR: ACBDADBC2IJ
b) Gọi G trung điểm IJ, CMR: GAGBGCGD0
c) Gọi P, Q trung điểm AC BD ; M, N trung điểm AD, BC CMR: ba đường thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm
3 Cho ABC trọng tâm G Gọi D, E điểm xác định
,
2AB AE AC
AD
a) Tính DE DG theo ABvà AC
(4)4 Cho ABC
a) Xác định điểm D, E thỏa mãn đẳng thức:
0
;
4DA DB EA EC
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: 4MA MB MA2MC Cho ABC Gọi D điểm xác định AD AC
5
, M trung điểm BD a) Tính AM theo ABvà AC
b) AM cắt BC I Tính ICIB
AI AM
6 Cho ABC Gọi D E điểm xác định ;
3
AC AE
AB
AD
Gọi K trung điểm DE M điểm xác định BM xBC
a) Tính AK, AM theo AB, ACvà x
b) Tìm x cho A, K, M thẳng hàng
7 Cho hình thang ABCD O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng cắt cạnh bên AD BC M N CMR:
b a
DC a AB b MN
Trong aAB; bCD
8 Cho tam giác ABC trung tuyến CC1, đường thẳng nối A với trung điểm
M CC1 cắt cạnh BC P Chứng minh rằng: CP : PB 1:2
9 Đối với hệ trục Oxy cho ba điểm A = (a1;a2), B = (b1;b2), C = (c1;c2)
a) Tính toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AC
b) Xác định toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành
10 Cho tứ giác ABCD, cạnh AB CD lấy điểm M,N Gọi P, Q giao điểm đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện hai tứ giác AMND MBCN Chứng minh PQ không phụ thuộc vào
việc chọn điểm M, N
11 Gọi M N điểm chia đoạn thẳng AB = a theo tỷ số m n ( m n lớn 1)
a) Tính theo a, m, n đoạn thẳng MA, NA, NB MN b) Gọi O trung điểm đoạn thẳng MN, tính: OMOB
(5)13 Cho tam giác ABC, Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:
14 Cho ABC Gọi O, G, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng
tâm, trực tâm tam giác, A’ điểm đối xứng với A qua O, D trung điểm BC
a) Xét quan hệ véc tơ: BH A'C ; BA' HC
b) CMR: 2.OD AH
c) CMR: OAOBOCOH 3.OG
Từ suy O, G, H thẳng hàng Tìm tỷ số mà điểm G chia đoạn thẳng OH d) CMR: HAHBHC2.HO3.HG
15 Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H; BD lấy điểm K
sao cho
6 ;
5
BD BK
BC
BH CMR: A, K, H thẳng hàng
16 Cho ABC Gọi A’, B’, C’ điểm xác định CA
CC BC BB
AB
AA' ; ' ; ' CMR:
a) ABC A’B’C’ có trọng tâm
b) MAMBMC MA'MB'MC' với M điểm
17 Cho ABC M điểm bất kỳ:
a) CMR: véc tơ: 3.MA 5.MB2.MC khơng đổi, khơng phụ
thuộc vào vị trí điểm M
b) Tìm điểm I cho: 3.IA 2.IBIC 0
c) CMR: đường thẳng MN xác định MN 3.MA 2.MBMC
qua điểm cố định
d) Tìm tập hợp điểm M cho: MC
MB MC
MB
MA
e) CMR: với điểm A, B, C, M thỏa mãn hệ thức sau A, B, C thẳng hàng MA2.MB 3.MC 0
18 Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR: ADBECF AEBFCD
19 Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AD, BC, DB, AC CMR:
AB DC PQ
b
DC AB MN
a
2 )
2 )
MC MA MB
MA b
MC MB MA a
)
(6)20 Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G Gọi A1, B1, C1, D1 trọng
tâm BCD, CDA, DAB, ABC CMR:
a) G trọng tâm tứ giác A1B1C1D1
b) A, G, A1 thẳng hàng tính:
1
GA GA
21 Cho ABC có AB = 3, AC = 4, I AD phân giác tam giác
sao cho: 107
AI AD
, M trung điểm AC a) Tính BD theo DC; AI theo ID
b) Tính AD, AI theo AB AC
c) Tính BI, BM theo AB AC Từ suy B, I, M thẳng hàng
22 Cho ABC điểm M tùy ý
a) CMR: u(M) 3.MA 5.MB2.MC không phụ thuộc vị trí điểm M
b) Xác định điểm I cho: 3.IA 2.IBIC 0
c) Đường thẳng FQ thay đổi thỏa mãn: PQ3.PA 2.PBPC CMR:
PQ qua điểm cố định
d) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện sau: MB
MA MC
MB
MA
: 10
MC MB MC
MB
MA 3
: 20
MB MC k R
k MC MB
MA ;
: 30
23 Cho tứ giác ABCD đường thẳng Tìm điểm M cho:
MC MB
MA
a) 3 có giá trị nhỏ MD
MC MB MA
b) có giá trị nhỏ
MD MC
MB MA
c) 3 có giá trị nhỏ
24 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 1), B(2; 4), C(1; 3) a) CMR: A, B, C thẳng hàng
b) Xác định tọa độ điểm E cho ABE nhận M(1; 2) trọng tâm
và tính SABE Xác định tọa độ điểm D cho điểm A, B, C, D lập thành
hàng điểm điều hòa
25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5)
a) CMR A, B, C không thẳng hàng Xác định tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
b) Xác định tọa độ điểm I cho: 2.IA 3.IB2.IC 0
(7)26 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 4), B(-4; 0), C(2; -2) a) CMR: ABC
b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c) Tìm tọa độ tâm I bán kính R đường trịn ngoại tiếp ABC
d) Tính chu vi tọa độ trọng tâm G ABC
e) Tính độ dài trung tuyến BI ABC
f) Đường thẳng AC cắt Ox, Oy M, N Các điểm M, N chia đoạn thẳng AB theo tỷ số nào?
g) Phân giác góc ABC cắt AB E Tìm tọa độ điểm E h) Tìm điểm P Ox cho (PA + PC) nhỏ nhất?
27 Cho O tâm M điểm tùy ý thuộc miền tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC C1, B1; kẻ đường
thẳng song song với AC, cắt AB, BC C2, A2; kẻ đường thẳng song song với AB,
cắt AC, BC B2, A1 Gọi D, E, F hình chiếu M cạnh BC, CA, AB
CMR: a) Các tam giác: MA1A2, MB1B2, MC1C2
b) MA1MA2 MB1MB2 MC1MC2 2.MDMEMF
c) MD ME MF MO
2
28 Gọi O, G, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm ABC có cạnh a, b, c CMR:
a) OAOBOCOH
b) H, G, O thẳng hàng HO = 3.GO
c) a.IAb.IBc.IC 0 I tâmđường tròn nội tiếp ABC
d) a.GAb.GBc.GC 0 ABC
29 Cho a không phương với b
a) CMR: uab không phương với va b
b) Tìm x cho: u a(2x 1)b phương với vxab
c) Tìm x cho: u 3.ax.b phương với v x a b
3 )
(
30 Cho ABC vuông A, M điểmm thay đổi tam giác D, E, F
lần lượt hình chiếu M BC, CA, AB Tìm tập hợp điểm M cho: MDMEMF MA
31 Cho ABC Lấy điểm A1 thuộc đoạn BC thỏa mãn A1B 3.A1C; C1
thuộc đoạn AC cho AA1BB1CC1 0 Tính tỷ số: A B
C B
1
CC BA 1
(8)32 Cho ABC vng C, H hình chiếu C AB Lấy điểm
M AB, N AC cho BM = BC, CN = CH CMR: MN AC
33.Cho hình bình hành ABCD Gọi I, J, K điểm xác định bởi:
) (
,
,
AB AJ AC AK AD
AI CMR: điều kiện cần đủ để I, J, K
thẳng hàng là: 1 1 1
34 Sử dụng phương pháp tọa độ, chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpski biến dạng: Cho hai số thực (a1, a2, a3, , an) (b1, b2, b3, , bn) CMR:
a a a b b b a b a b a b2
n n
2 2 2 n
1 n
1
Dấu xảy có số thực t thỏa = t.bi i 1,n
35 Chứng minh định ;lý Mênêlauýt:
Cho ABC cá điểm A’, B’, C’ thuộc BC, CA, AB Chứng minh
rằng điều kiện cần đủ để A’, B’, C’ thẳng hàng là: '
' ' ' ' '
B C
A C A B
C B C A
B A
36 Chứng minh định lý Xêva:
Cho ABC cá điểm A’, B’, C’ thuộc BC, CA, AB Chứng minh
rằng điều kiện cần đủ để đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy hay song
song là:
' ' ' ' ' '
B C
A C A B
C B C A