hinh hoc chuong 1

3.. Gọi D và E là các điểm xác định bởi. Cho hình thang ABCD và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạn[r]

Chương 1: VÉC TƠ § Các định nghĩa:

* Véc tơ đoạn thẳng có hướng

* Ký hiệu AB véc tơ có điểm đầu A, điểm cuối B * Giá véc tơ AB đường thẳng qua A B

* Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ lớn (độ dài) véc tơ AB * Chiều từ gốc A đến B gọi hướng véc tơ AB

* Véc tơ không véc tơ có điểm đầu điểm cuối trùng Ký hiệu:

* Hai véc tơ phương hai véc tơ có giá song song trùng

+ CD AB CD // AB CD // AB    

 ; + Tính chất: //a a ; a c // b// c b // a       + CD AB CD AB CD // AB      

 ; + Tính chất:  a a ; a c b c b a                   CD AB CD AB CD

AB ; + T.chất:ABCD CDAB; AB EF

CD EF CD AB        

 Cho điểm O cố định véc tơ a không đổi ! điểm M cho OMa

§ Tổng hai véc tơ: 1 Định nghĩa:

Tổng hai véc tơ a vàb véc tơ xác định sau:

Từ điểm A xác định điểm B C cho ABa, BCb Khi véc tơ AC gọi tổng hai véc tơ a vàb

Ký hiệu: ACab ACABBC

2 Tính chất:

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: ABBCAC

5 Quy tắc hình bình hành: Tứ giác ABCD hình bình hành thì:

AC AD

AB 

6 M trung điểm đoạn thẳng AB  MAMB0

7 G trọng tâm ABC  GAGB GC 0

§ Hiệu hai véc tơ: 1 Véc tơ đối véc tơ:

* Nếu ab0 ta nói a véc tơ đối b, b véc tơ đối a * Ký hiệu véc tơ đối véc tơ a - a Từ suy ra:

Véc tơ đối véc tơ a véc tơ ngược hướng với véc tơ a có độ dài với véc tơ a

* Véc tơ đối véc tơ véc tơ

2 Hiệu hai véc tơ:

* a- b = a + (-b)

* Cho trước véc tơ MN  điểm O ta ln có: MNON-OM

§ Phép nhân số với véc tơ: 1 Định nghĩa:

* Tích véc tơ a với số thực k véc tơ, ký hiệu ka xác định sau:

1) Về hướng: Nếu k  ka a Nếu k  ka a

2) Về độ lớn:  ka  =  k. a 

* Nhận xét: . a = a

. (-1) a = -a

2 Các tính chất phép nhân véc tơ với số:

Với hai véc tơ a , b số thực k, l, ta có: 1) k(la ) = (kl) a

2) (k + l) a = ka + la; (k – l) a = ka - la 3) k(a + b) = ka + kb; k(a - b) = ka - kb 4) ka = k = o a =

. a = a = a

1 Cho hai véc tơ a b, a  a b phương tồn số thực k cho b = ka

2 Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho ABkAC

4) Phân tích véc tơ theo hai véc tơ không phương:

Định lý: Cho hai véc tơ a b không phương Với véc tơ u,

tồn cặp số thực (m, n) cho: u = ma + nb

. Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm O bất kỳ, ta có: OI  OAOB

2

. Điểm G trọng tâm ABC với điểm O bất kỳ, ta có:

 

3

OC OB OA

OG  

§ Tọa độ véc tơ điểm:

1) Đối với hệ trục tọa độ O;i, j hay Oxy

1 ua;b  u aibj

2 M x;y  OM x; y  OM xi yj

2) Nếu A = (x; y), B = (x’; y’) ABx' x; y' y

3) Nếu u(x; y)vàv (x'; y')thì: uvx x'; y y'

2 kukx;ky

B BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

1 Cho ABC Gọi A’ đối xứng với A qua B; B’ đối xứng với B qua C C’

đối xứng với C qua A CMR: ABC A’B’C’ có trọng tâm

2 Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) CMR: ACBDADBC2IJ

b) Gọi G trung điểm IJ, CMR: GAGBGCGD0

c) Gọi P, Q trung điểm AC BD ; M, N trung điểm AD, BC CMR: ba đường thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm

3 Cho ABC trọng tâm G Gọi D, E điểm xác định

,

2AB AE AC

AD 

a) Tính DE DG theo ABvà AC

4 Cho ABC

a) Xác định điểm D, E thỏa mãn đẳng thức:

0

;

4DA DB EA EC 

b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: 4MA MB MA2MC Cho ABC Gọi D điểm xác định AD AC

5

 , M trung điểm BD a) Tính AM theo ABvà AC

b) AM cắt BC I Tính ICIB

AI AM

6 Cho ABC Gọi D E điểm xác định ;

3

AC AE

AB

AD 

Gọi K trung điểm DE M điểm xác định BM xBC

a) Tính AK, AM theo AB, ACvà x

b) Tìm x cho A, K, M thẳng hàng

7 Cho hình thang ABCD O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng cắt cạnh bên AD BC M N CMR:

b a

DC a AB b MN

 

 Trong aAB; bCD

8 Cho tam giác ABC trung tuyến CC1, đường thẳng nối A với trung điểm

M CC1 cắt cạnh BC P Chứng minh rằng: CP : PB 1:2

9 Đối với hệ trục Oxy cho ba điểm A = (a1;a2), B = (b1;b2), C = (c1;c2)

a) Tính toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AC

b) Xác định toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành

10 Cho tứ giác ABCD, cạnh AB CD lấy điểm M,N Gọi P, Q giao điểm đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện hai tứ giác AMND MBCN Chứng minh PQ không phụ thuộc vào

việc chọn điểm M, N

11 Gọi M N điểm chia đoạn thẳng AB = a theo tỷ số m n ( m n lớn 1)

a) Tính theo a, m, n đoạn thẳng MA, NA, NB MN b) Gọi O trung điểm đoạn thẳng MN, tính: OMOB

13 Cho tam giác ABC, Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:

14 Cho ABC Gọi O, G, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng

tâm, trực tâm tam giác, A’ điểm đối xứng với A qua O, D trung điểm BC

a) Xét quan hệ véc tơ: BH A'C ; BA' HC

b) CMR: 2.OD AH

c) CMR: OAOBOCOH 3.OG

Từ suy O, G, H thẳng hàng Tìm tỷ số mà điểm G chia đoạn thẳng OH d) CMR: HAHBHC2.HO3.HG

15 Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H; BD lấy điểm K

sao cho

6 ;

5

BD BK

BC

BH   CMR: A, K, H thẳng hàng

16 Cho ABC Gọi A’, B’, C’ điểm xác định CA

CC BC BB

AB

AA' ; ' ; ' CMR:

a) ABC A’B’C’ có trọng tâm

b) MAMBMC MA'MB'MC' với M điểm

17 Cho ABC M điểm bất kỳ:

a) CMR: véc tơ:  3.MA 5.MB2.MC khơng đổi, khơng phụ

thuộc vào vị trí điểm M

b) Tìm điểm I cho: 3.IA 2.IBIC 0

c) CMR: đường thẳng MN xác định MN 3.MA 2.MBMC

qua điểm cố định

d) Tìm tập hợp điểm M cho: MC

MB MC

MB

MA   

e) CMR: với điểm A, B, C, M thỏa mãn hệ thức sau A, B, C thẳng hàng MA2.MB 3.MC 0

18 Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR: ADBECF AEBFCD

19 Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AD, BC, DB, AC CMR:

 

AB DC PQ

b

DC AB MN

a

 



 

2 )

2 )

MC MA MB

MA b

MC MB MA a

  

  

)

20 Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G Gọi A1, B1, C1, D1 trọng

tâm BCD, CDA, DAB, ABC CMR:

a) G trọng tâm tứ giác A1B1C1D1

b) A, G, A1 thẳng hàng tính:

1

GA GA

21 Cho ABC có AB = 3, AC = 4, I  AD phân giác tam giác

sao cho: 107

AI AD

, M trung điểm AC a) Tính BD theo DC; AI theo ID

b) Tính AD, AI theo AB AC

c) Tính BI, BM theo AB AC Từ suy B, I, M thẳng hàng

22 Cho ABC điểm M tùy ý

a) CMR: u(M) 3.MA 5.MB2.MC không phụ thuộc vị trí điểm M

b) Xác định điểm I cho: 3.IA 2.IBIC 0

c) Đường thẳng FQ thay đổi thỏa mãn: PQ3.PA 2.PBPC CMR:

PQ qua điểm cố định

d) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện sau: MB

MA MC

MB

MA   

: 10

MC MB MC

MB

MA  3 

: 20

MB MC k R

k MC MB

MA    ; 

: 30

23 Cho tứ giác ABCD đường thẳng  Tìm  điểm M cho:

MC MB

MA

a)  3 có giá trị nhỏ MD

MC MB MA

b)    có giá trị nhỏ

MD MC

MB MA

c)   3 có giá trị nhỏ

24 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 1), B(2; 4), C(1; 3) a) CMR: A, B, C thẳng hàng

b) Xác định tọa độ điểm E cho ABE nhận M(1; 2) trọng tâm

và tính SABE Xác định tọa độ điểm D cho điểm A, B, C, D lập thành

hàng điểm điều hòa

25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5)

a) CMR A, B, C không thẳng hàng Xác định tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành

b) Xác định tọa độ điểm I cho: 2.IA 3.IB2.IC 0

26 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 4), B(-4; 0), C(2; -2) a) CMR: ABC

b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c) Tìm tọa độ tâm I bán kính R đường trịn ngoại tiếp ABC

d) Tính chu vi tọa độ trọng tâm G ABC

e) Tính độ dài trung tuyến BI ABC

f) Đường thẳng AC cắt Ox, Oy M, N Các điểm M, N chia đoạn thẳng AB theo tỷ số nào?

g) Phân giác góc ABC cắt AB E Tìm tọa độ điểm E h) Tìm điểm P  Ox cho (PA + PC) nhỏ nhất?

27 Cho O tâm M điểm tùy ý thuộc miền tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC C1, B1; kẻ đường

thẳng song song với AC, cắt AB, BC C2, A2; kẻ đường thẳng song song với AB,

cắt AC, BC B2, A1 Gọi D, E, F hình chiếu M cạnh BC, CA, AB

CMR: a) Các tam giác: MA1A2, MB1B2, MC1C2

b) MA1MA2 MB1MB2 MC1MC2 2.MDMEMF

c) MD ME MF MO

2

  

28 Gọi O, G, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm ABC có cạnh a, b, c CMR:

a) OAOBOCOH

b) H, G, O thẳng hàng HO = 3.GO

c) a.IAb.IBc.IC 0  I tâmđường tròn nội tiếp ABC

d) a.GAb.GBc.GC 0  ABC

29 Cho a không phương với b

a) CMR: uab không phương với va b

b) Tìm x cho: u a(2x 1)b phương với vxab

c) Tìm x cho: u 3.ax.b phương với v x a b

3 )

(  



30 Cho ABC vuông A, M điểmm thay đổi tam giác D, E, F

lần lượt hình chiếu M BC, CA, AB Tìm tập hợp điểm M cho: MDMEMF  MA

31 Cho ABC Lấy điểm A1 thuộc đoạn BC thỏa mãn A1B 3.A1C; C1

thuộc đoạn AC cho AA1BB1CC1 0 Tính tỷ số: A B

C B

1

CC BA 1

32 Cho ABC vng C, H hình chiếu C AB Lấy điểm

M  AB, N  AC cho BM = BC, CN = CH CMR: MN  AC

33.Cho hình bình hành ABCD Gọi I, J, K điểm xác định bởi:

) (

,

,

  

 AB AJ  AC AK AD 

AI CMR: điều kiện cần đủ để I, J, K

thẳng hàng là: 1 1 1

34 Sử dụng phương pháp tọa độ, chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpski biến dạng: Cho hai số thực (a1, a2, a3, , an) (b1, b2, b3, , bn) CMR:

a a a  b b b  a b a b a b2

n n

2 2 2 n

1 n

1             

Dấu xảy có số thực t thỏa = t.bi  i 1,n

35 Chứng minh định ;lý Mênêlauýt:

Cho ABC cá điểm A’, B’, C’ thuộc BC, CA, AB Chứng minh

rằng điều kiện cần đủ để A’, B’, C’ thẳng hàng là: '

' ' ' ' '

 B C

A C A B

C B C A

B A

36 Chứng minh định lý Xêva:

Cho ABC cá điểm A’, B’, C’ thuộc BC, CA, AB Chứng minh

rằng điều kiện cần đủ để đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy hay song

song là:

' ' ' ' ' '

  B C

A C A B

C B C A