[r]
(1)5.Phương pháp tọa độ
Phương pháp tọa độ phương pháp hay để chứng minh BĐT giải phương trình vậy.Chúng ta thử xét ví dụ sau:
Ví dụ 12:Giải phương trình
cosx+ + cosx =3 (1)
Lời giải:Xét không gian tọa độ Oxyz véc tơ
Suy ra:
PT(1) =| |.| | //
Ví dụ 13:Giải phương trình + = (1)
Lời giải:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét véc tơ: + =(3x+2,5)
thì Suy PT(1) | + |= | | + | | =k (k>0)
Vậy PT(1) có nghiệm x=
Ví dụ 14:Giải phương trình + = (1) Lời giải:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét véc tơ:
+ =(-2,5)
thì Suy PT(1) | + |= | | + | | =k (k>0)
(2)Bài Viết6.Phương pháp đổi biến lượng giác
Khi gặp phương trình vơ tỉ mà ĐK:|x| ta nên nghĩ đến PP này.Chắc chăn PP hay đưa lại giải ngăn gọn cần ý(dễ mắc sai lầm)
Ví dụ 15:Giải phương trình sau [ - ] =2+ Lời giải: ĐK: |x| Ta đặt x = cosa bỏ dấu ta có:
(cos +sin )2 - =2+sina Biến đổi tiếp ta có:
(1+sina/2)cosa=1+sina/2 hay ( cosa-1)(1+sina/2)=0 cosa= /2 Vậy x= /2 Ví dụ 16:Giải phương trình + =
Lời giải: ĐK: |x| <
Đặt x=cost , 0< t < Thay vào phương trình ta có:
+ = (Vì < t/2 < /2 nên sin > ) Bởi x = cost =1 - = 1/4
Ví dụ 17:Giải phương trình sau + =
Lời giải: Vì < |x| < 1, nên có thể đặt x=cost ( < t < , t ) Thay vào phương trình ta có :
+ = (Vì sint>0 0<t< )
Từ ta có: cost+sint= cost.sint = sin2t Đặt cost+sint=y
Khi : sin2t= - phương trình cuối viết y=
Giải : = 7/5 , =-5/7
Từ cost+sint=y cos(t- /4)= y/ < Đặt y/ = cosa ta có t- /4 = a + k2
t = /4 a (k=0 < t < )
Vậy x = cost = ( /4 a) = (cosa sina) * cosa = / =
x=[ ] /
= 3/5 , =4/5 * cosa = / =
= , =
(3)Đặt x=cost với t [0; ] , (1) trở thành :
64 t - 112 t+56 t - = (với cost 0)
64 t -112 t+56 t - 7cost = 2sint.cost cos7t = sin2t cos7t = sin( - 2t) (t = +k ) v (t = - + l ) (k,l Z)
Vì cost nên PT(1) có nghiệm:
x = cos v x = cos v x = cos v x = cos v x = cos v x = cos 7.Phương pháp dùng biểu thức liên hợp
Ta biết ( + )( - ) = a - b với a,b
trong + , - biểu thức liên hợp nhau.Thực chất phương pháp nhân biểu thức dạng với biểu thức liên hợp để xuất hiến nhân tử chung.Sau đưa phương trình dạng đơn giản
Ví dụ 19:Giải phương trình - = (1) Lời giải:
ĐK: x x+3 >
Nhận xét thấy (4x + 1) - (3x - 2) = x +
Nếu nhân vế phương trình (1) với biểu thức liên hợp với vế trái(biểu thức lớn 0) xuất nhân tử chung x + ta có:
(1) x+3 = ( + ) (x + 3)( + - 5) = + - = (Do x + > 0)
PT cuối giải cách bình phương vế so sánh giá trị VT với x < x > để tìm thấy nghiệm x =
Ví dụ 20:Giải phương trình + = 2x + (1) Lời giải:
ĐK:
x - - , - + x -1 , x Ta có :
(1) = 2x + - (2)
Thử thấy x = nghiệm PT(2).Giả sử ta có: (2) (2x + + ) = -
Từ (2) ta có
(2x + - ) = - Cộng vế PT ta : 4(x+1) = 3( - 1)
(4)Từ ta có nghiệm = -
Tiếp tục giải phương trình = 3x - cách bình phương vế ta tìm nghiệm = = - (Không thỏa 3(x - 1) _ L)Thử lại ta có phương trình (1) có nghiệm x =
Ví dụ 21: Giải phương trình - = (1) Lời giải:
ĐK: x -1
Ta có:(1) 8x = ( + ) Từ (1) ta có x + = ( - ) Trừ theo vế PT ta được:
7x - = Bình phương vế giải PT ta tìm nghiệm = = - Thử lại PT có nghiệm x =
8.Phương pháp đánh giá
Cái đặc biệt PP giải PT vơ tỉ có bậc lớn.Chủ yếu cách làm tìm nghiệm chứng minh nghiệm nhất.Sau số ví dụ
Ví dụ 22: Giải phương trình sau = x (n dấu căn) Lời giải:
ĐK: x Đặt = ; = ; ; = ( 0) PT có dạng = x (*) Nếu x > > nên > Tương tự ta có:
> > > = x (mt)
Nếu x < < < < = x (mt)
Vậy nghiệm phương trình (*) phải thỏa mãn x = hay x = Nghiệm PT = 0, =
Ví dụ 23(THTT6-2005) Giải phương trình = (1) Lời giải: ĐK:x 5
Đặt = t (x t 0) (1) trở thành =
Nếu t < x-t > x - >
x - < x - < hay < t vô lý Nếu t > x - t < x -
< x- > x -
> hay > t (vô lý) Vậy t = = x - 25 =
x = 30
Vậy phương trình cho có nghiệm x = 30 Ví dụ 24:Giải phương trình + = (1) Lời giải: ĐK; x < 2
(5)Với x < ta có < < Do + < (mt)
Với < x < chứng mnh tương tự ta có + > (mt) Suy (1) có nghiệm x =
Ví dụ 25:Giải phương trình + = a với n số tự nhiên lớn Lời giải:
Với a =0 ta có + = Khi n chẵn x = Nếu n lẻ x nghiệm Với a 0, Đặt y = a - y = z ta có hệ
(*) Ta thấy
là nghiệm (*) Khi = =
Ta chứng minh nghiệm hệ (*) khơng có nghiệm khác với a 0, y 0, z Thật (y,z,a) thỏa mãn (*) (-y,-z,a) thỏa mãn nên ta giả sử a>0 y z * Nếu z > + = khơng xãy với n >
*Nếu z < , ta đặt z = - t Với n chẵn ta có
Vì y > a , nên > + > (mt) Với n lẻ
nên a^ {n} + t^ {n} = y ^{n}}" /> tương tự ta có + < (mt)
Do vai trò y z giống hệ phương trình nên y > y < ta có điề mâu thuẫn
Vậy trường hợp , (*) có nghiệm khác nghiệm suy mâu thuẫn Vậy
Với n lẻ a ta có nghiệm = a , = a Nếu a = x cô nghiệm
Với n chẵn a > ta có nghiệm = a , = a Nếu a = x = nghiệm 9.Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến hàm số
(6)Ví dụ 26:Giải phương trình + = - (1) Lời giải:
ĐK: x
Ta có: (1) + = -
= (Do x+34 > x-1 >0 với x nên - >0) x+2+2 +x+7 = x+34 - + x -
+ = 12
Đặt f(x) = +
Ta nhận thấy f(x) hàm đồng biến x x=2 nghiệm (1) , (1) có nghiệm x=2
10.Phương pháp đưa dạng đặc biệt
* =
* =
Sau số ví dụ cụ thể
Chúng ta thử giải ví dụ cách đưa dạng =0 Lời giải: ĐK:x (*)
(1) 13[(x-1) - + ]+3[(x+1) - + ] =
13 +3 =
x= (thoả(*))
Vậy PT(1) có nghiệm x=
Ví dụ 27: Giải phương trình + = 2006 (1) Lời giải:
(1) = 2006 - + + = +2006 - + = + = | - |= - +1= + - 2005 = Giải kết hợp loại nghiệm ta x =
Ví dụ 28:Giải phương trình
x + y + z + = + + (1) Lời giải:
http:///www.toanthpt.net