Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C. Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc về thành tích chạy của học sinh... c). Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số t[r]
(1)đề cơng ôn tập khối 10 I.ĐẠI SỐ
CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(2)đề cơng ơn tập khối 10
1 Bất phương trình
Khái niệm bất phương trình Nghiệm bất phương trình Bất phương trình tương đương Phép biến đổi tương đương bất phương trình
2 Dấu nhị thức bậc nhất
Dấu nhị thức bậc Hệ bất phương trình bậc ẩn.
3 Dấu tam thức bậc hai
Dấu tam thức bậc hai Bất phương trình bậc hai
(3)đề cơng ôn tập khối 10
Bài tập.
1. Xét dấu biểu thức
f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7).
g(x)= 1 1
3 x 3x h(x) = -3x2 + 2x – 7 k(x) = x2 - 8x + 15
2. Giải bất phương trình a)
1 7) -x)(x -(5
x > 0 b) –x2 + 6x - > 0; c) -12x2 + 3x + < d) 3 1 2
2 1
x x
e) 2 2
3 1 2 1
x x
x x
f/ 1 1 1
1 2 2
x x x
g) (2x - 8)(x2 - 4x + 3) > 0 h) 112 3 0
5 7
x
x x
k)
2
3 2
0 1
x x
x x
l) (1 – x )( x2 + x – ) > 0
m) 1 2
2 3 5
x
x x
3 Giải bất phương trình a/ x 3 1 b/ 5x 8 11 c/ 3x 5 2 d/ x 2x
e/ 5x x 3 8
4) Giải hệ bất phương trình sau a)
5
6
7
8
2
2
x x
x
x
b)
1 15 2
3 14
2
2
x x
x x
c) 3 1 2 7
4 3 2 19
x x
x x
d)
2 3
1 1
( 2)(3 )
0 1
x x
x x
x
5) Với giá trị m, phương trình sau có nghiệm? a) x2+ (3 - m)x + - 2m =
b)
(m 1)x 2(m 3)x m 2 0
6) Cho phương trình :
2
(m 5)x 4mx m 2 0
Với giá m : a) Phương trình vơ nghiệm b) Phương trình có nghiệm
trái dấu
7) Tìm m để bpt sau có tập nghiệm R: a)
2
2x (m 9)x m 3m 4 0
b) (m 4)x2 (m 6)x m 5 0
(4)đề cơng ôn tập khối 10
8) Xác định giá trị tham số m để phương trình sau vơ nghiệm: x2 – (m – ) x – m2 – 3m + = 0.
9) Cho
f (x ) = ( m + ) x2– ( m +1) x – 1
a) Tìm m để phương trình f (x ) = 0 có nghiệm
b) Tìm m để f (x) , x
CHƯƠNG THỐNG KÊ
1.Bảng phân bố tần số - tần suất. 2 Biểu đồ
Biểu đồ tần số, tần suất hình cột Đường gấp khúc tần số, tần suất Biểu đồ tần suất hình quạt
3 Số trung bình
Số trung bình Số trung vị mốt
4 Phương sai độ lệch chuẩn dãy số liệu thống kê Bài tập.
1 Cho số liệu ghi bảng sau
Thời gian hồn thành sản phẩm nhóm công nhân (đơn vị:phút)
42 42 42 42 44 44 44 44 44 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 54
54 54 50 50 50 50 48 48 48 48
48 48 48 48 48 48 50 50 50 50
a/Hãy lập bảng phân bố tần số ,bảng phân bố tần suất.
b/Trong 50 cơng nhân khảo sát ,những cơng nhân có thời gian hồn thành sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm phần trăm?
2. Chiều cao 30 học sinh lớp 10 liệt kê bảng sau (đơn vị cm):
145 158 161 152 152 167
150 160 165 155 155 164
147 170 173 159 162 156
148 148 158 155 149 152
152 150 160 150 163 171
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với lớp là: [145; 155); [155; 165); [165; 175)
b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất
(5)đề cơng ôn tập khối 10
c) Phương sai độ lệch chuẩn
3. Điểm thi học kì II mơn Toán tổ học sinh lớp 10A (quy ước điểm kiểm tra học kì làm tròn đến 0,5 điểm) liệt kê sau:
2 ; ; 7,5 ; ; ; ; 6,5 ; ; 4,5 ; 10
a) Tính điểm trung bình 10 học sinh (chỉ lấy đến chữ số thập phân sau làm trịn)
b) Tính số trung vị dãy số liệu
4.Cho số liệu thống kê ghi bảng sau :
Thành tích chạy 500m học sinh lớp 10A trường THPT C. ( đơn vị : giây )
a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với lớp :
[ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ] b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc thành tích chạy học sinh.
c) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn bảng phân bố.
5 Số lượng khách đến tham quan điểm du lịch 12 tháng thống kê bảng sau:
Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Số khách
430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất tìm số trung bình
b) Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn
CHƯƠNG GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1 Góc cung lượng giác
Độ rađian
Góc cung lượng giác Số đo góc cung lượng giác
Đường trịn lượng giác.
2 Giá trị lượng giác góc (cung)
Giá trị lượng giác sin, cơsin, tang, cơtang ý nghĩa hình học
Bảng giá trị lượng giác các góc thường gặp
Quan hệ giá trị lượng giác.
3 Công thức lượng giác
Công thức cộng Công thức nhân đôi
(6)đề cơng ôn tập khối 10 Cụng thức biến đổi tớch thành tổng
Cơng thức biến đổi tổng thành tích
Bài tập
(7)1 Đổi số đo góc sau sang ra-đian:
105 ° ; 108° ; 57°37'
2 Một đường trịn có bán kính 10cm Tìm độ dài các cung trên đường trịn có số đo:
a) 712 b) 45°
3 cho sinα =
5 ; và
a) Cho Tính cosα, tanα, cotα.
b) Cho tanα = và
2 3 Tính sinα, cosα
4. Chứng minh rằng:
a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4; b) cos4x - sin4x = - 2sin2x
5 Chứng minh rằng tam giác ABC ta có:
a) sin(A + B) = sinC
b)
sin
2 B A = cosC2
6 Tính:
cos105°; tan15°
7 Tính sin2a nếu sinα - cosα = 1/5
8 Chứng minh rằng:
(8)Hệ phơng trình bậc hai ẩn Dạng ' '
'x b y c
a
c by ax
1 Giải hệ phơng trình
1) 3 )1 2 ( 4 1 2 )1 2 ( y x y x 2) 5 3 1 7 3 1 3 2 5 3 y x y x
2 Giải biện luận hệ phơng trình
1) 5 5 5 5 my x y mx 2) m my x m m y x m 3 )1 ( 7 2 )5 (
3 Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có vơ số nghiệm
1) 2 3 )1 2( 3 )1 2( m my x m m y m mx 2) mn my nx n m ny mx 2 2
4 Tìm m để hai đờng thẳng sau song song
y m
m x m y
x 40,( 1)
5 Tìm m để hai đờng thẳng sau cắt Oy
x my2m, x(2m3)y3m ##
Hệ gồm phơng trình bậc vàmột phơng trình bậc hai hai ẩn
D¹ng )2 ( )1(
2 dxy ey gx hy k
cx
c by ax
PP giải: Rút x y (1) vào (2) Giải hệ phơng trình
1) 4 2 3 5 3 2 2 y y x y x 2) 5 ) (3 0 1 4 3 y x xy y x 3) 100 12 10 5 2 1 3 2
2 xy y x y
x y x
(9)1) 2 2 1 2 2 y x y mx 2) 2 2 1 2 2 y x y mx
Tìm m để đờng thẳng 8x8(m1)y m0
c¾t parabol 2
y x
x t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt ##
Hệ phơng trình đối xứng loại I
D¹ng 0 ) , ( 0 ) , ( y x f y x f
; víi fi(x,y)= fi(y,x)
PP giải: đặt S P
P xy
Sy x
4 ; 2
1 Giải hệ phơng trình
1) 7 5 2 y xy x xy y x 2) 30 11 2y y x x xy y x 3) 931 19 2 4 2 y x y x xy y x 4) 243 2 1 1 1 3 y x y x 5) 49 1 1 ) ( 5 1 1 ) ( 2 2 y x y x xy y x 6) 2 5 17 2 y x y x y x
2 Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm
1) m y x y x 6 2 1 2) m xy y x y x y x )1 )( 1 ( 8 ) 2
3 Cho hệ phơng trình 3 2 2 y xy x
m y x
Giả sử x;y nghiệm hệ Tìm m để biểu thức F= x2y2 xy đạt max, đạt
(10)Hệ phơng trình đối xứng loại II Dạng 0 ) , ( 0 ) , ( x y f y x f
PP giải: hệ tơng đơng
0 ) , ( ) , ( 0 ) , ( x y f y x f y x f hay 0 ) , ( ) , ( 0 ) , ( ) , ( x y f y x f x y f y x f
1 Giải hệ phơng trình
1) y x x x y y 4 3 4 3 2 2) y xy x x xy y 3 3 2 3) y xy x x yx y 40 40 3 4) y x x x y y 8 3 8 3 3
2 Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm
1) m y x x m y x y 2 ) ( 2 ) ( 2 2) my y y x mx x x y 2 4 4 ##
Hệ phơng trình đẳng cấp (cấp 2)
D¹ng )2 ( ' ' ' ' )1 ( 2 2 d y c xy b x a d cy bxy ax
PP giải: đặt y tx x0 Giải hệ phơng trình
1) 9 3 2 2 2 2 2 2 y xy x y xy x 2) 4 2 13 3 2 2 2 y xy x y xy x 3) 16 17 2 4 3 2 2 y x y xy x 4) 1 3 7 1 5 2 xy y y x
(11)1) m y xy x y xy x 17 3 2 11 2 3 2 2 2) m y xy x y xy x 2 2 5 4 1 3 2 #
Một số Hệ phơng trình khác
1 Giải hệ phơng trình
1) 7 1 2 xy y x y x 2) 180 49 2y y x x xy y x 3) 7 2 ) ( 3 y x y x xy 4) 0 ) (9 ) (8 0 1 2
3 y x y
x xy 5) 2 1 1 2 y x y x 6) y x y x x y x y 10 ) ( 3 ) ( 2 2 2
2 Giải hệ phơng trình
1) 1 2 5 2 7 y x y x y x y x 3) 7 14 2 2 z y x y xz z y x 2) 5 2 3 5 3 2 3 2 3 2 y x x x y y
3 Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung a) x 13m x2 4m2 12
b) ( 1) ( 2)
x m x
m vµ
x2 2x m10
4 Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm
0 2 )1 ( xy y x xy a y x 1 1 1 x y m y x
4 Tìm m, n để hệ phơng trình sau có nhiều nghiệm phân biệt
(12)
II.HÌNH HỌC.
CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 1.Tích vơ hướng hai vectơ
Định nghĩa
Tính chất tích vơ hướng
Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Độ dài vectơ khoảng cách giữa hai điểm.
2 Các hệ thức lượng tam giác
Định lí cơsin, định lí sin
Độ dài đường trung tuyến một tam giác
Diện tích tam giác Giải tam giác.
(13)1.Phương trình đường thẳng
Vectơ pháp tuyến đường thẳng Phương trình tổng qt đường thẳng Góc hai vectơ
Vectơ phương đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vng góc với Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Góc hai đường thẳng.
2.Phương trình đường trịn
Phương trình đường trịn với tâm cho trước và bán kính cho trước
(14)Bài tập
Bài 1 Cho tam giác ABC có
600
A , caïnh CA = 8, caïnh AB = 5
1) Tính cạnh BC
2) Tính diện tích tam giác ABC
3) Xét xem góc B tù hay nhọn 4) Tính độ dài đường cao AH 5) Tính bán kính đường trịn
ngoại tiếp tam giác
Bài 2 Cho tam giác ABC có a = 13 ; b = 14 ; c = 15
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Góc B nhọn hay tù
c) Tính bán kính đường trịn nội tiếp r bán kính đường trịn ngoại tiếp R của tam giác
d) Tính độ dài đường trung tuyến ma
Bài 3 Cho tam giác ABC có a = 3 ; b = góc C = 600; Tính các
góc A, B, bán kính R của đường trịn ngoại tiếp trung tuyến ma
Bài 4 Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua A(1;-2) song song với đường thẳng 2x - 3y - 3 =
b) Đi qua hai điểm M(1;-1) N(3;2)
c) Đi qua điểm P(2;1) vuông góc với đường thẳng x - y + =
Bài 5. Cho tam giác ABC biết A(-4;1), B(2;4), C(2;-2)
Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB
Bài 6 Cho tam giác ABC có: A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Viết phương trình tổng quát của: a) cạnh AB, AC, BC
b) Đường thẳng qua A song song với BC
c) Trung tuyến AM đường cao AH tam giác ABC d) Đường thẳng qua trọng tâm
G tam giác ABC vng góc với AC
e) Đường trung trực cạnh BC
Bài 7 Cho tam giaùc ABC coù: A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0).:
a) Viết phương trình tổng quát của cạnh AB, AC, BC
b) Viết phương trình đường trung bình song song cạnh AB
c) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt hai trục tọa độ tại M,N cho AM = AN
d) Tìm tọa độ điểm A’ chân đường cao kẻ từ A tam giác ABC
Bài 8 Viết phương trình đường trịn có tâm I(1; -2)
(15)b) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình x + y = 1
Bài 9 Xác định tâm bán kính của đường trịn có phương trình:
x2 + y2 - 4x - 6y + = 0.
Bài 10 Cho đường trịn có phương trình:
x2 + y2 - 4x + 8y - = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1;0)
Bài 11 Viết phương trình đường trịn (C) qua A(5 ; 3) tiếp xúc với
(d): x + 3y + = điểm B(1 ; –1)
Bài 12 : Cho đường thẳng d :
x y điểm A(4;1)
a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu A xuống d
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d
Bài 13 Cho đường thẳng d : 2
x y điểm M(1;4)
a) Tìm tọa độ hình chiếu H của M lên d
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d
Bài 14 Cho đường thẳng d có phương trình tham số : 2
3
x t
y t
a) Tìm điểm M d cho M cách điểm A(0;1) một khoảng 5 b) Tìm giao điểm d
đường thẳng :x y
Bài 15 Tính bán kính đường trịn tâm I(3;5) biết đường trịn tiếp xúc với đường thẳng : 3x 4y 0
PHƯƠNG PH P TOÁ ẠĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.
Chuyên đề : Véc tơ tọa độ véc tơ. A tóm tắt lí thuyết
I Hệ Trục toạđộ
II Tọa độ vÐc tơ.
1 Đị nh nghĩ a
( ; )
u x y u xi y j
2 C¸c tÝnh chấ t
Trong mặt phẳng Oxy cho
( ; ); ( '; ')
u x y v x y , ta cã :
a u v (x x y y '; ')
b ku( ; )kx ky c u v xx . 'yy'
d u2 x2x'2 u x2x'
e u v u v . 0 xx'yy' 0.
f u v , cïng phương ' '
x y
x y
g '
'
x x u v
y y
3 VÝ dụ
VÝ dụ T×mm tọa độ cña vÐc tơ sau :
;
ai b5 ;j c 3i ;j 1( );
2
d j i
0,15 1,3 ;
e i j
f i (cos 24 ) 0 j
VÝ dụ Cho c¸c vÐc tơ :
(2;1); (3;4); (7; 2)
a b c
a T×m toạđộ vÐc tơ u2a 3b c
b T×m toạ độ vÐc tơ x cho
x a b c
c Tìm số k l, để c k a lb
VÝ dô Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho c¸c vÐc tơ : a(3;2);b ( 1;5);c ( ' 5)
(16)a T×m toạđộ cña vÐc tơ sau
2
u a b c va2b5c ; w 2( a b ) c
b T×m c¸c số x y, cho c xa yb
c Tính tích vô hướng
; ; ( ); ( )
a b b c a b c b a c
VÝ dụ Cho ;
u i j v ki j
T×m k để u v , cïng phương III Toạđộ của điểm
1.
Đị nh ngh ĩa
( ; ) ( ; )
M x y OM x y OM xi y j
2 Mố i liªn hệ gi a toữ ạ độđ i ể m v toà ạ độ c
a vÐc tủ ơ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A x y B x y C x y( ; ); ( ; ); ( ; )1 2 3 Khi đó:
a
2
2 2
( ; ) ( ) ( )
AB x x y y AB x x y y
b Toạ độ trung điểm I đoạn AB : ( ; 2)
2
x x y y
I
c Toạ độ trọng t©m G ABC :
1 3
( ; )
3
x x x y y y
G
d Ba điểm A B C, , thẳng hàng
,
AB AC
cïng phương 3 VÝ d ụ
VÝ dụ Cho ba điểm
( 4;1), (2;4), (2; 2)
A B C
a Chng minh ba im không thẳng hng
b TÝnh chu vi ABC c Tìm ta trc tâm H
Ví d Cho ba điểm
( 3; 4), (1;1), (9; 5)
A B C
a Chứng minh A B C, , th¼ng hàng b T×m toạ độ D cho A trung điểm BD
c Tìm to iểm E Ox cho
, ,
A B E th¼ng hàng
VÝ dụ Cho ba điểm
( 4;1), (2; 4), (2; 2)
A B C
a Chứng minh ba điểm A B C, , to thnh tam giác
b Tìm to trng tâm ABC
c T×m toạ độ điểm E cho ABCE h×nh b×nh hành
đờng thẳng
Chuyên đề 1: phơng trình đờng thẳng.
A kiÕn thøc bản.
I Véc tơ ph ơng véc tơ pháp tuyến của đ ờng thẳng.
1) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ n0 đợc gọi véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) đờng thẳng có giá
2) Véc tơ phơng: Véc tơ u0 đợc gọi véc tơ phơng( vtcp) đờng thẳng
nÕu nã cã gi¸ song song trùng với đ-ờng thẳng
* Chú ý:
- Nếu n u ; véc tơ pháp tuyến ph-ơng đờng thẳng k véc tơ
;
kn ku tơng ứng véc tơ pháp tuyến phơng đờng thẳng - Nếu n( ; )a b véc tơ pháp tuyến đ-ờng thẳng thì véc tơ phơng
( ; )
u b a hc u ( ; )b a
- NÕu u( ; )u u1 2 véc tơ phơng đ-ờng thẳng véc tơ pháp tuyến
2
( ; )
n u u hc n ( u u2; )1
II Ph ơng trình tổng quát đ êng th¼ng.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng qua M0(x0;y0) có véc tơ pháp tuyến
) ; (a b
n Khi phơng trình tổng qt đợc xác định phơng trình : a(x x0)b(y y0)0
(1) ( 2 0.
b
a )
III Ph ơng trình tham số đ ờng thẳng
Trong mt phng Oxy, cho đờng thẳng qua M0(x0;y0) có véc tơ phơng
) ; (u1 u2
(17)của đợc xác định phơng trình :
t u y y
t u x x
2
1
(2) ( tR.)
* Chú ý : Nếu đờng thẳng có hệ số góc k
thì có véc tơ phơng u(1;k)
IV Chuyển đổi ph ơng trình tổng quát ph ơng trình tham số.
1 Nếu đờng thẳng có phơng trình dạng (1) n (a;b)
Từ đờng thẳng
cã vtcp u (b;a)
hoặc
) ; ( b a u
Cho x x0 thay vào phơng trình (2)
0
y y
Khi ptts của :
at y y
bt x x
0
(t ).
2 Nếu đờng thẳng có phơng trình dạng (2) vtcp u (u1;u2)
Từ đờng thẳng
cã vtpt n (u2;u1)
) ; ( u2 u1 n
Và phơng trình tổng quát đợc xác định :
0 ) (
)
(
2 x x u y y
u
* Chó ý :
- NÕu u1 0 th× pttq cđa lµ :
0
0
x
x
- NÕu u2 pttq của :
0
y y
B tập bản
I Vit phng trỡnh đờng thẳng qua
0
( ; )
M x y vµ cã mét vtcp u( ; )u u1 2 .
Ví dụ : Viết phơng trình đờng thẳng trờng hợp sau :
a §i qua M(1; 2) vµ cã mét vtcp u(2; 1)
b Đi qua hai điểm A(1; 2)
(3; 4)
B ; A( 1; 2) vµ
( 1;4)
B ; A(1; 2) B(3;2) c Đi qua M(3; 2) vµ
1
// :d x t (t )
y t
d Đi qua M(2; 3)
:
d x y
II Viết phơng trình đờng thẳng qua
0
( ; )
M x y vµ cã mét vtpt n( ; )a b .
VÝ dô : Viết phơng trình tổng quát đ-ờng thẳng trờng hợp sau :
a Đi qua M(1; 2) vµ cã mét vtpt
(2; 3)
n
b Đi qua A(3; 2)
// : 2d x y 1 0.
c §i qua B(4; 3) vµ
: x t ( )
d t R
y t
III Viết phơng trình đờng thẳng qua
0
( ; )
M x y vµ cã hƯ sè gãc k cho tríc.
+ Phơng trình đờng thẳng có dạng
y kx m
+ áp dụng điều kiện qua M x y( ; )0 0 m
Ví dụ : Viết phơng trình đờng thẳng trờng hợp sau :
a §i qua M( 1; 2) vµ cã hƯ sè gãc k 3
b Đi qua A(3; 2) tạo với chiều dơng trơc Oxgãc 450.
III Lun tËp.
Viết phơng trình đờng thẳng trờng hợp sau :
a §i qua A(3; 2) vµ B( 1; 5) ; M( 3;1)
và N(1; 6) ;
b Đi qua A vµ cã vtcp u, nÕu : + A(2;3) vµ u ( 1;2) + A( 1;4) vµ u(0;1)
c Đi qua A(3; 1) // : 2d x3y1 0 d §i qua M(3; 2) n(2; 2)
e Đi qua N(1; 2) vµ víi : + Trôc Ox
+ Trôc Oy
f Đi qua A(1;1) có hệ số góc k2 g Đi qua B(1; 2) tạo víi chiỊu d¬ng trơc Ox gãc 600.
(18)b Trung điểm cạnh :
( 1; 1); (1;9); (9;1)
M N P
c C( 4; 5) hai đờng cao
(AH) : 5x3y 0;( BK) : 3x8y13 0
d (AB) : 5x 3y 2 hai đờng cao
(AH) : 4x 3y 1 0;(BK) : 7x2y 22 0
e A(1;3) hai trung tuyÕn
(BM) :x 2y 1 0;(CN) :y1 0 f C(4; 1) đờng cao (AH) : 2x 3y0
trung tuyÕn (BM) : 2x3y0
Chuyên đề 2: vị trí tơng đối
hai đờng thẳng. A tóm tắtlí thuyết.
I Bài tốn: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đờng thẳng 1; 2 có phơng trình
2
1 1 1
2
2 2 2
( ) : 0,
( ) : 0,
a x b y c a b
a x b y c a b
Hỏi: Hai đờng thẳng cắt nhau, song song hay rùng ?
Trả lời câu hỏi to¸n
xét vị trí tơng đối hai đờng thng.
II Phơng pháp.
1. Cách 1:
NÕu 2
a a
b b hai đờng thẳng cắt
nhau
NÕu
1 2
a a c
b b c hai đờng thẳng
song song NÕu
1 2
a a c
b b c hai đờng thẳng
trïng
2 Cách 2:
Xét hệ phơng trình 1
2 2
0
a x b y c a x b y c
(1)
Nếu hệ (1) có nghiệm hai đờng thẳng cắt toạ độ giao điểm nghiệm hệ
Nếu hệ (1) vơ nghiệm hai đờng thẳng song song
Nếu hệ (1) nghiệm với x y; hai đờng thẳng trùng
* Chú ý: Nếu tốn khơng quan tâm đến
toạ độ giao điểm, ta nên dùng cỏch
b tập bản.
I Xét vị trí tơng đối hai đờng thẳng. Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối cặp đờng thẳng sau tìm toạ độ giao điểm tr-ờng hợp cắt nhau:
a)
1:x y 0; 2: 2x y
b)
1
1
: 10 0; : ( )
2
x t
x y t
y t
c)
1 '
: ( ) : ( ' )
2 2 '
x t x t
t t
y t y t
II Biện luận theo tham số vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng
2
1: (m 3)x 2y m 0; 2: x my (m 1)
Tìm m để hai đờng thẳng cắt Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1:mx y m 0; 2: x my
Biện luận theo m vị trí tơng đối hai đờng thẳng
III LuyÖn tËp.
Bài 1: Xét vị trí tơng đối cặp đờng thẳng sau tìm toạ độ giao điểm tr-ờng hợp cắt nhau:
a)
1:8x 10y 12 0; 2: 4x 3y 16
b)
1
5
:12 10 0; : ( )
3
x t
x y t
y t
c)
1
6 '
: 1 2 ( ) : ( ' )
2 ' 10
2
x t x t
t t
y t
y t
Bài 2: Biện luận theo m vị trí cặp đ-ờng thẳng sau
a)
1:mx y 2m 0; 2:x my m
b)
1:mx y 0; 2:x my m
Chuyên đề 3: góc hai đờng
(19)I Định nghĩa: Giả sử hai đờng thẳng 1;
cắt Khi góc 1; 2 góc nhọn đợc kí hiệu là: 1, 2 * Đặc biệt:
- NÕu 1, 2 90o th× 1 2 - Nếu 1, 2 0o 1//2
1
II Cơng thức xác định góc hai đờng thẳng mặt phẳng toạ độ.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, giả sử đ-ờng thẳng 1; 2 có phơng trình
2
1 1 1
2
2 2 2
( ) : 0,
( ) : 0,
a x b y c a b
a x b y c a b
Khi góc hai đờng thẳng 1, 2 đợc xác định theo công thức:
2 2 22 22 2
1 2
cos , a a b b
a b a b
* Nhận xét: Để xác định góc hai đờng thẳng ta cần biết véc tơ phơng chúng
b tập bản.
I Xỏc định góc hai đờng thẳng. Ví dụ: Xác định góc hai đờng thẳng
1: 4x 2y 0; 2:x 3y
1: 0; 2:
7
x t
x y t
y t
1
'
: 1 3 : 9 1 '
' 5 2
x t x t
t t
y t
y t
II Viết phơng trình đờng thẳng qua một điểm cho trớc tạo với đờng thẳng cho trớc góc cho trớc.
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng
:
d x y vµ M1; 2
Viết phơng trình đờng thẳng i qua
M tạo với d gãc 45o.
Ví dụ 2: Cho ABC cân đỉnh A Biết AB x y: 1 0; BC : 2x 3y 0 Viết phơng trình cạnh AC biết qua M1;1
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD biết 3; 2
A vµ BD: 7x y 27 0
Viết phơng trình cạnh đờng chéo cịn lại
III LuyÖn tËp.
Bài 1: Xác định góc cặp đờng thẳng sau
a)
1:x 2y 0; 2: 3x y
b)
1:x 2y 0; 2: 2x y
c)
1: 4x 2y 0; 2:x 3y
Bài 2: Cho hai đờng thẳng
1: 3x y 0; 2:mx y
Tìm m để 1, 2 30o
Bài 3: Cho đờng thẳng d: 2x y 3
vµ M3;1
Viết phơng trình đờng thẳng qua
M tạo với d góc 45o.
Bài 4: Cho ABC cân đỉnh A, biết: AB: 2x y 5 0 ; AC : 3x6y1 0
Viết phơng trình BC qua M2; Bài 5: Cho hình vuông tâm I2;3 vµ
AB x: 2y1 0
Viết phơng trình cạnh, đờng chéo cịn lại
Bài 6: Cho ABC cân đỉnh A, biết: AB: 5x2y13 0 ; BC x y : 0
Viết phơng trình AC qua M11;0 Bài 7: Cho ABCđều, biết: A2;6
: 3
BC x y
Viết phơng trình cạnh lại Đờng tròn.
A Tóm t t lý thuyế t
1 Phươ ng tr×nh chÝnh tắ c.
Trong mặt phẳng Oxy cho ng tròn tâm
( ; )
I a b bán kính R Khi ó phng trình tắc đường trßn :
2 2
(x a ) (y b ) R 2 Ph ng trình tổng quát.
(20)2 2 2 0
x y Ax By C
VớiA2B2 C Khi tâm I(A B; ), bán kính R A2 B2 C
3 B i to¸n vià t ph ng trình ng tròn.
Ví d Vit phng trình ng tròn đường kÝnh AB, với A(1;1), (7;5)B
Đáp s : (x 4)2(y 3)2 13 hay 2 8 6 12 0
x y x y
VÝ dụ Viết phng trình ng tròn ngoi tip ABC, vi
( 2;4), (5;5), (6; 2)
A B C
Đáps : x2y2 4x 2y 20 0 VÝ dụ Viết phương trình đường trịn có tâm I( 1; 2) tiếp xóc với đường thẳng
:x 2y
Đáp s : ( 1)2 ( 2)2
x y
Ví d Vit phng trình ng tròn qua
( 4;2)
A tiếp xóc với hai trc to Đáp s : (x2)2 (y 2)2 4
2
(x10) (y10) 100
4 B i tốn tìm tham sà ốđể ph ươ ng trình d
ngạ x2y22Ax2By C 0 là ph
ng trình cươ ủ a mộ t đườ ng tròn.
Điều kiện : A2B2 C
Ví d Trong phng trình sau ây, phng trình no l phng trình ca mt ng tròn Xác nh tâm v tính bán kính a x2y2 4x2y 6 c
2
6 16
x y x y
b x2 y24x 5y 1 d
2
2x 2y 3x
Đáps : c ) I( 3; 4), R3 d)
3
( ;0),
4
I R
VÝ dụ Cho phương tr×nh :
2 6 2( 1) 11 2 4 0
x y mx m y m m
a T×m điều kiện m để pt l
ng tròn
b Tìm qu tích tâm ng tròn
Ví d Cho phương tr×nh 2
( 15) ( 5)
x y m x m y m a Tìm iu kin ca m pt l
ng tròn
b Tìm qu tích tâm đường trßn
VÝ dụ Cho phương tr×nh (Cm):
2 2( 1) 2( 3) 2 0
x y m x m y a T×m m để (Cm) phương tr×nh
mt ng tròn
b Tìm m (Cm) l ng tròn tâm (1; 3)
I Vit phng trình ng tròn ny
c Tìm m (Cm) l ng tròn có
bán kính R5 2. Vit phng trình ng tròn ny
d Tìm hp tâm ng tròn (Cm)
II B I TÀ ẬP.
T×m phương tr×nh đường trßn ( )C biết :
a ( )C tiếp xóc với hai trục toạđộ cã b¸n kÝnh R3
b ( )C tiếp xóc với Ox A(5;0)
cã b¸n kÝnh R3
c Tiếp xóc với Oy B(0;5) vàđi qua
(5;2)
C
Tìm phng trình ng tròn ( )C biết :
a T×m I(1; 5) qua gốc toạđộ b Tiếp xóc với trục tung gốc O cã R 2
c Ngoại tiếp OAB với
(4;0), (0; 2)
(21)d Tiếp xóc với Ox A(6;0) qua
(9;3)
B
Cho hai ểm A( 1;6), ( 5; 2) B Lp phng trình ng tròn ( )C , bit :
a Đường kÝnh AB
b T©m O vàđi qua A; T ©m O vàđi qua B
c ( )C ngoại tip OAB
Vit phng trình ng tròn qua ba điểm :
a A(8;0) , (9;3) , (0;6)B C b A(1;2) , (5;2) , (1; 3)B C B Bà i t ậ p c b ả n
Vit phng trình ng tròn ( )C cã t©m điểm I(2;3) thoả m·n điều kiện sau :
a ( )C cã b¸n kÝnh R5 b ( )C tiếp xóc với Ox c ( )C qua gốc toạđộ O d ( )C tiếp xóc với Oy
e ( )C tiếp xóc với đường th¼ng
: 4x 3y 12
Cho ba điểm A(1;4) , ( 7; 4) , (2; 5)B C a Lp phng trình ng tròn ( )C ngoại tiếp ABC
b T×m to tâm v tính bán kính Cho đường trßn ( )C qua điểm
( 1; 2) , ( 2;3)
A B có tâm ng thng : 3x y 10
a Tìm to tâm ca ng tròn ( )C b Tính bán kÝnh R
c Viết phương tr×nh ( )C
Lập phương tr×nh đường trßn ( )C qua hai điểm A(1; 2) , (3; 4)B tiếp xóc với đường thẳng : 3x y 0
Lập phương trình ng tròn ng kính
AB trng hợp sau :
a A( 1;1) , (5;3) B b
( 1; 2) , (2;1)
A B
Lp phng trình ng tròn ( )C tip xúc vi c¸c trục toạ độ qua điểm
(4; 2)
M
T×m tọa độ tâm v tính bán kính ca ng tròn sau :
a (x4)2(y 2)2 7
d x2y210x10y55
b (x 5)2(y7)2 15
e x2y28x 6y 8
c x2y2 6x 4y36 f x2y24x10y15 0
Viết phương trình ng tròn ng kính AB trng hp sau :
a A(7; 3) , (1;7) B
b A( 3; 2) , (7; 4) B
Vit phng trình ng tròn ngoi tiếp
ABC
biết : A(1;3) , (5;6) , (7;0)B C
10 Viết phương tr×nh đường tròn ( )C tip xúc vi trc to v :
a Đi qua A(2; 1).
b Có tâm thuc ng thẳng
: 3x 5y
11 Vit phng trình ng tròn ( )C tiếp xóc với trục hồnh điểm A(6;0) qua im B(9;9)
(22)Phơng trình bậc hai & hÖ thøc Vi-Ðt
Bài tập : Định giá trị tham số m để phơng trình
x2 m m( 1)x5m20 0
Cã mét nghiƯm x = - T×m nghiệm Bài tập : Cho phơng trình
x2 mx 3 0
(1)
a) Định m để phơng trình có hai nghim phõn bit
b) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm 1? Tìm nghiệm Bài tập : Cho phơng tr×nh
x2 8x m 5 0
(1)
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tìm nghiệm phơng trình trờng hợp Bài tập : Cho phơng trình
(m 4)x2 2mx m 0 (1)
a) m = ? (1) có nghiệm x = 2 b) m = ? (1) có nghiệm kép Bài tập : Cho phơng trình
x2 2(m 1)x m 4 0
(1)
a) Chøng minh (1) cã hai nghiƯm víi mäi m b) m =? th× (1) có hai nghiệm trái dấu
c) Giả sử x x1, nghiệm phơng trình (1)
CMR : M =1 x x2 11 x x1 không phụ
thuộc m
Bài tập : Cho phơng trình
x2 2(m 1)x m 3 0
(1)
a) Chøng minh (1) cã nghiÖm với m b) Đặt M = x12x22 (x x1, 2 nghiệm phơng
trình (1)) Tìm M Bài tập 7: Cho phơng trình
2 2
1 0(1); 0(2); 0(3)
x ax b
x bx c
x cx a
Chứng minh phơng trình phơng trình có nghiệm
Bài tập 8: Cho phơng trình
x2 (a 1)x a2 a 2 0
(1)
a) Chøng minh (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊuvíi mäi a
b) x x1, nghiệm phơng trình (1) Tìm
min B = x12x22 Bài tập 9: Cho phơng trình
x2 2(a 1)x 2a 5 0
(1)
a) Chøng minh (1) cã hai nghiƯm víi mäi a b) a = ? th× (1) cã hai nghiƯm x x1, tho¶ m·n
1
x x
c) a = ? th× (1) cã hai nghiƯm x x1, tho¶ m·n 2
1
x x =
Bµi tËp 10: Cho phơng trình
2x2 (2m 1)x m 1 0
(1)
a) m = ? th× (1) cã hai nghiƯm x x1, 2 tho¶ m·n
1
3x 4x 11
b) Chøng minh (1) hai nghiệm dơng c) Tìm hệ thức liên hệ x x1, 2không phụ
thuộc m
Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý Bài tập 11: Cho hai phơng trình
2
(2 ) 0(1)
( ) 0(2)
x m n x m
x m n x
Tìm m n để (1) (2) tơng đơng Bài tập 12: Cho phơng trình
ax2bx c 0(a0) (1) điều kiện cần đủ để phơng trình (1) có nghiệm gấp k lần nghiệm
2 ( 1)2 0( 0)
kb k ac k
Bµi tËp 13: Cho phơng trình
mx22(m 4)x m 7 (1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x x1, 2
tho¶ m·n x1 2x2 0
c) Tìm hệ thức x x1, 2 độc lập với m Bài tập 14: Cho phơng trình
2 (2 3) 3 2 0
x m x m m (1)
a) Chứng minh phơng trình có nghiệm với m
(23)c) Tìm hệ thức x x1, độc lập với m
Bµi tËp 15: Cho phơng trình
2
(m 2)x 2(m 4)x(m 4)(m2) (1)
a) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm kép
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm x x1,
Tìm hệ thức x x1, độc lập với
m
c) TÝnh theo m biÓu thøc
1
1
1
A
x x
;
d) Tìm m để A = Bài tập 16: Cho phơng trình
x2 mx 4 0
(1)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với
b) Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc
1 2 2 2(x x )
A
x x
c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phơng trình nghiệm ngun
Bµi tập 17: Với giá trị k phơng tr×nh
2 7 0
x kx cã hai nghiƯm h¬n kÐm
đơn v
Bài tập 18: Cho phơng trình
x2 (m2)x m 1 (1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm Bài tập 19: Cho phơng trình
x2 (m1)x m 0 (1) a) CMR ph¬ng rình (1) có nghiệm phân
biệt với m
b) Gäi x x1, 2lµ hai nghiƯm cđa phơng trình Tính x12x22 theo m
c) Tỡm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1,
x x thoả mÃn x12x22 = Bài tập 20: Cho phơng trình
x2 (2m1)x m 23m0 (1)
a) Giải phơng trình (1) víi m = -3
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm tích hai nghiệm Tìm hai nghiệm Bài tập 21: Cho phơng trình
x2 12x m 0
(1)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x x1, 2 toả mãn x2 x12
Bài tập 22: Cho phơng trình
(m 2)x2 2mx 1 (1) a) Gi¶i phơng trình với m =
b) Tỡm m để phơng trình có nghiệm
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x x1, 2
tho¶ m·n 1 2 x1 1 2 x21
Bài tập 23: Cho phơng trình
x2 2(m 1)x m 3 0
(1)
a) Giải phơng trình với m =
b) CMR phơng trình (1) có hai nghiêm phân biệt với m
c) TÝnh A = 3
1
x x theo m
d) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối
Bài tập 24: Cho phơng trình
(m 2)x2 2mx m 4 0
(1)
a) Tìm m để phơng trình (1) phơng trình bậc hai
b) Giải phơng trình m =
2
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phõn bit khụng õm
Bài tập 25: Cho phơng tr×nh
x2 px q 0
(1)
a) Giải phơng trình p = 3 3 ; q =
3
b) Tìm p , q để phơng trình (1) có hai nghiệm : x1 2,x2 1
c) CMR : nÕu (1) cã hai nghiƯm d¬ng x x1,
thì phơng trình qx2 px có hai nghiƯm d¬ng x x3,
d) LËp ph¬ng trình bậc hai có hai nghiệm
1
3x va x3 ; 1
x vµ 2
x ;
1
x x vµ
2
(24)x2 (2m1)x m 0 (1) a) CMR phơng trình (1) có hai nghiêm
ph©n biƯt víi mäi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn : x1 x2 1;
c) Tìm m để x12x22 6x x1 2 đạt giá trị nhỏ
Bµi tËp 27: Cho phơng trình
x2 2(m1)x2m10 (1)
a) Giải phơng trình với m = -6
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1,
x x T×m GTNN cđa biĨu thøc
2
1 10
A x x x x
Bài tập 28: Cho phơng trình
2
(m1)x (2m 3)x m 2 (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, Hãy
tÝnh nghiƯm nµy theo nghiƯm Bài tập 29: Cho phơng trình
2 2( 2) ( 2 3) 0
x m x m m (1)
Tìm m để (1) có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt
tho¶ m·n
1
1
5
x x
x x
Bài tập 30: Cho phơng trình
x2 mx n 0
cã 3m2=
16n
CMR hai nghiệm phơng trình , có nghiệm gấp ba lần nghiệm
Bài tập 31 : Gọi x x1, 2 nghiệm phơng trình 2x2 3x 5 0
Không giải phơng trình , hÃy
tính : a)
1
1
x x ; b)
2
(x x ) ; c)
3
1
x x d) x1 x2
Bµi tập 32 : Lập phơng trình bậc hai có nghiƯm b»ng :
a) 3 vµ 3 ; b) - 3 vµ + 3
Bài tập 33 : CMR tồn phơng trình có hệ số hữu tỷ nhận nghiệm : a)
3
; b)
2
2
; c) 2
Bµi tËp 33 : Lập phơng trình bậc hai có nghiệm :
a) Bình phơng nghiệm phơng trình
2 2 1 0
x x ;
b) Nghịch đảo nghiệm phơng trình
2 2 0
x mx
Bài tập 34 : Xác định số m n cho nghiệm phơng trình
x2 mx n 0
cịng lµ m vµ n
Bµi tËp 35: Cho phơng trình
x2 2mx (m 1)3 0
(1)
a) Giải phơng trình (1) m = -1 b) Xác định m để phơng trình (1) có hai
nghiệm phân biệt , nghiệm bình phuơng nghim cũn li
Bài tập 36: Cho phơng trình
2x2 5x 1 0
(1)
TÝnh x x1 2 x2 x1 ( Với x x1, 2là hai nghiệm
của phơng trình) Bài tập 37: Cho phơng trình
(2m1)x2 2mx 1 (1) a) Xác định m để phơng trình có nghiệm
thc kho¶ng ( -1; )
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1,
x x tho¶ m·n x12 x22 1
Bµi tËp 38 :Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2
= (k tham số)
Chứng minh phương trình ln ln
có nghiệm
Bµi tËp 39:
Tìm giá rị a để ptrình: ( 3) 2
a x a x a a
Nhận x=2 nghiệm Tìm nghiệm lại ptrình?
Bi 40 Xác định giá trị m phơng trình bậc hai :
x2 8x m 0
để + 3 nghiệm phơng trình Với m vừa tìm đợc , phơng trình cho cịn nghiệm Tìm nghiệm cịn lại ấy?
Bµi tËp 41: Cho phơng trình :
2 2( 1) 4 0
(25)1) Giải phơng trình (1) víi m = -5
2) Chøng minh r»ng ph¬ng trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 phân biƯt mäi m
3) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ (x x1, 2 hai nghiệm phơng trình (1) nói phần 2/ )
Bµi tËp 42:
Cho phương trình
Giải phương trình b= -3 c=2 Tìm b,c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng
Bµi tËp 43:
Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m
là tham số x ẩn số
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2
c) Với điều kiện câu b tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nht
Bài tập 44:
Cho phơng tr×nh ( Èn x) : x4 - 2mx2 + m2 = 0
1) Giải phơng trình với m =
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt
Bµi tËp 45: Cho phơng trình ( ẩn x) : x2 - 2mx +
m2–
2
= 0 (1)
1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm nghiệm ptrình có giá trị tuyệt đối
2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm nghiệm số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyn bng
Bài tập 46: Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm lµ:
5
4
1
x vµ
5
4
2
x
1) TÝnh : P =
4
5
4
3
Bài tập 47: Tìm m để phơng trình :
0
2
2
x x m
x có hai nghiệm phân
biƯt
Bµi tËp 48: Cho hai phơng trình sau :
2
(2 3)
2
x m x
x x m
( x lµ Èn , m lµ tham sè )
Tìm m để hai phơng trình cho có nghiệm chung
Bài tập 49:
Cho phơng trình :
2 2( 1) 1 0
x m x m víi x lµ Èn , m lµ tham sè cho tríc
1) Giải phơng trình cho kho m = 2) Tìm m để phơng trình cho có hai
nghiƯm dơng x x1, 2 phân biệt thoả mÃn điều kiện x12 x22 4
Bµi tËp 50: Cho phơng trình :
m2x21 m x m 0 ( x lµ Èn ; m tham số )
1) Giải phơng trình m = -
2
2) CMR phơng trình cho có nghiệm với m
3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm Bài tập 52: Cho phơng trình x2 + x = a) Chứng minh phơng trình cã hai nghiƯm tr¸i dÊu
b) Gọi x1 nghiệm âm phơng trình HÃy tính giá trị biểu thức :
8
1 10 13
P x x x
Bài tập 53: Cho phơng trình với ẩn sè thùc x: x2 - 2(m – ) x + m - =0 (1)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép
Bµi tËp 54:
Cho phơng trình : x2 + 2(m-1) x +2m - =0 (1)
(26)b) Tìm m để nghiệm x x1, (1) thoả
m·n: x12x22 14
Bµi tËp 55:
a) Cho a = 11 , b 11 2 CMR a, ,b hai nghiệm phơng trình bậc hai với hệ số nguyên
b) Cho c 36 10,d 36 10
CMR
2,
c d hai nghiệm phơng trình bậc hai với hệ số nguyên
Bài tập 56: Cho phơng trình bậc hai :
x22(m1)x m 2m 1 0 (x
lµ Èn, m lµ tham sè)
1) Tìm tất giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm phân biệt âm 2) Tìm tất giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm x x1, thoả mãn :
1
x x
3) Tìm tất giá trị tham số m để tập giá trị hm s
y= x22(m1)x m 2m1 chứa đoạn 2;3 Bài tập 57:Cho phơng trình :
x2 - 2(m-1) x +2m - =0.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm bình phơng nghiệm
Bµi tËp 58: Cho phơng trình :
2 6 6 0.
x x a a
1) Với giá trị a phơng trình có nghiệm
2) Giả sử x x1, 2 nghiệm phơng trình HÃy tìm giá trị cđa a cho x2 x13 8x1
Bµi tËp 59: Cho phơng trình :
mx2 -5x – ( m + 5) = (1) đó m tham số, x ẩn
a) Giải phơng trình m =
b) Chứng tỏ phơng trình (1) có nghiệm với m
c) Trong trờng hợp phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x x1, , h·y tính theo m giá trị
ca biu thc B = 10x x1 2 3(x12x22) Tìm m để B =
Bài tập 60:
a) Cho phơng tr×nh :x2 2mx m2 1 0
( m lµ tham sè ,x lµ Èn số) Tìm tất giá trị
nguyờn ca m để phơng trình có hai nghiệm
1,
x x thoả mÃn điều kiện 2000x1x2 2007
b) Cho a, b, c, d R CMR phơng trình sau có nghiệm
2 2
2 0;
2 0;
2 0;
2 0;
ax bx c
bx cx d
cx dx a
dx ax b
Bµi tËp 61:
1) Cho a, b , c, số dơng thoả mÃn
đẳng thức a2 b2 ab c2
CMR phơng trình
2 2 ( )( ) 0
x x a c b c có hai nghiệm phân biệt
Cho phơng trình x2 x p 0
cã hai nghiÖm
d-ơng x x1, 2 Xác định giá trị p
4 5
1 2
x x x x đạt giá trị lớn Bài tập 62: Cho phơng trình :
(m + ) x2 – ( 2m + ) x +2 = , với m tham số
a) Giải phơng trình víi m =
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm gấp lần nghiệm Bài tập 63: Cho phơng trình
: x2 3y22xy 2x10y 4 (1) 1) T×m nghiƯm ( x ; y ) cđa phơng trình ( ) thoả mÃn x2y2 10
2) Tìm nghiệm nguyên phơng trình (1)
Bài tập 64: Giả sử hai phơng trình bậc hai Èn x : a x1 2b x c1 1 0 vµ a x2 2b x c2 2 0
Cã nghiÖm chung CMR
: a c1 2 a c2 12 a b1 2 a b2 1 b c1 2 b c2 1
Bài tập 65: Cho phơng trình bậc hai ẩn x : x2 2(m1)x2m2 3m 1
a) Chứng minh phơng trình có nghiệm vµ chØ 0m1
b) Gäi x x1, 2 nghiệm phơng trình , chứng minh : 1 2 1 2
8
x x x x
Bài tập 66: Cho phơng tr×nh bËc hai Èn x : 2x2 2mx m2 2 0
(27)b) Gäi x x1, 2 lµ nghiƯm phơng trình , tìm giá trị lớn biÓu thøc :
1 2
2
A x x x x
Bài tập 67: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :
(m1)x2 2(m1)x m 0 víi m 1 (1)
a) CMR (1) có hai nghiệm phân biệt với m
b) Gọi x x1, 2 nghiệm phơng trình (1) , tìm m để x x1 2 0 x1 2x2
Bài tập 68: Cho a , b , c đọ dài cạnh tam giác CMR phơng trình
x2(a b c x ab bc ac ) 0 vô nghiệm
Bài tập 69: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :
2
0(1); 0(2)
ax bx c
cx dx a
BiÕt (1) có nghiệm m n, (2) có nghiệm p q CMR : m2n2p2q2 Bài tập 70: Cho phơng trình bậc hai ẩn x : x2 bx c 0
có nghiệm x x1, 2; phơng trình x2 b x bc2 0
có nghiệm x x3, Biết x3 x1 x4 x2 1 Xác định b, c Bài tập 71 : Giải phơng trình sau
a) 3x4 - 5x2 +2 =
b) x6 -7x2 +6 =
c) (x2 +x +2)2 -12 (x2 +x +2) +35 =
d) (x2 + 3x +2)(x2+7x +12)=24
e) 3x2+ 3x = x x
2 +1
f) (x + x
) - ( ) x
x +6 =0 g) 1 2x2 x1
h) 4x 20 x 20 i) 48 10(
3 2
x
x 4)
3 x x
Bµi tËp 72 giải phơng trình sau
a) x2 - 5x - =0
b) - 5.x2- x +1=0
c) ( - 3) ( 1)
x d)5x4 - 7x2 +2 =
e) (x2 +2x +1)2 -12 (x2 +2x +1) +35 = f)
(x2 -4x +3)(x2-12x +35)=-16
g) 2x2+ 2x =
x x2 +1
Bµi tËp 73.Cho phơng trình bậc hai 4x2-5x+1=0 (*) có
hai nghiệm x
1, x2
1/ không giải phơng trình tính giá trị biểu thức sau:
2 2
1
x x
A ; B 2
2 2
1 4
x x x
x
;
2 x
x
C ; D x17 x27
2/ lập phơng trình bậc hai có nghiệm bằng: a) u = 2x1- 3, v = 2x2-3
b) u =
1 x
1
1
, v =
1 x
1
2
Bµi tËp 74 Cho hai phơng trình : x2- mx +3 = x2-
x +m+2=
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm chung b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng Bài tập 75 Cho phơng trình (a-3)x2- 2(a-1)x +a-5 =
a) tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b) T×m a cho
1
x
+
2
x
<3
c) Tìm hệ thức độc lập x1, x2 Bài tập 76 Cho phơng trình bc hai: x2 +(m+2)x +m= 0
a) Giải phơng tr×nh víi m =- 2
b) Tìm m để phng trỡnh cú nghim x1, x2
Tìm giá trị nhá nhÊt cđa C x12 x22 Bµi tËp 77:
Cho phơng trình:
mx2 2( m + 1) x + (m- 4) = (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái
dấu Khi hai nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn ?
c) Xác định m để nghiệm x1 ; x2 PT
(1) cã hai nghiƯm tho¶ m·n x1 + 4x2
=
d) Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2
không phụ thuộc vào m
Bài tập 78: Cho phơng trình mx2 2( m -2) x + (m –
3) = Tìm giá trị m để nghiệm x1 ;x2 PT thoả
m·n ®iỊu kiƯn x12 + x22 =
Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu
(m – 1)x2 – 2x + =
Bµi tËp 80 Cho PT : x2 – 2(m-2) x + ( m2 + m – 3) =
Tìm GT m để PT có hai nghiệm x1; x2
tho¶ m·n :
2
1
5
x x
x x
Bµi tËp 81 Cho PT : x2 – (m+2) x + ( 2m – 1) = cã
c¸c nghiƯm x1; x2 Lập hệ thức liên hệ x1;
x2 độc lập với m
Bµi tËp 82Cho PT x2 – 2(a – 1) x + 2a – = (1)
a) Chøng minh (1) cã nghiÖm với a b) Với giá trị a th× (1) cã hai
(28)c) Víi GT a (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mÃn x12 + x22 =
Bài tËp 83: Cho PT : x2 – 10x – m2 = (1)
mx2 + 10x – = (2) ( m kh¸c
kh«ng )
1) Chứng minh nghiệm PT (1) nghịch đảo nghiệm PT hai
2) Với GT m PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mÃn điều kiện 6x1 + x2 = Bài tập 84: Cho Phơng trình x2 – 2(m+1) x – 3m2 –
2m – = (1)
1) C/mr víi mäi m PT có hai nghiệm trái dấu
2) Tỡm GT m để PT (1) có nghiệm x = -1
3) Tìm GT m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 =
4) Tìm GT m để PT (1) có hai nghiệm x1
; x2 tho¶ m·n x12 + x22 = m2 – 2m + Bµi tËp 85: Cho PT : x2 – (a- 1) x + a =
a) Tìm GT a cho tổng lập phơng nghiệm
b) Với GT a tổng bình phơng nghiệm có GTNN
Bµi 14: Cho PT x2 – 5x + = (1) Không giải
PT lập phơng trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2
a) Đều số đối nghiệm PT (1)
b) Đều lớn nghiệm cảu PT(1)
Bài tập 87 Cho Phơng trình x2 – (m – 1) x – m2 +m
– =
a) Gi¶i PT m =
b) C/mr phgơng trình cho có hai nghiệm trái dấu với GT m c) Gọi hai nghiệm cảu PT cho x1 ; x2
.Tìm m để hai nghiệm thoả mãn
3
1
2
x x
x x
đạt GTLN
Bµi tập 88: Cho Phơng trình : x2 mx m – =
(*)
a) C/mr PT (*) cã nghiƯm x1 ; x2 víi mäi GT
cđa m ; tÝnh nghiƯm kÐp ( nÕu có ) PT GT m tơng ớng
b) Đặt A = x12 + x22 6x1.x2
1) Chøng minh A = m2 -8m + 8
2) T×m m cho A=
3) Tìm GTNN a GT m tơng ứng
Bài tập 89: Cho phơng trình x2 2(a- 1) x + 2a – =
0 (1)
a) C/mr PT(1) cã nghiƯm víi mäi a
b) Với giá trị a (1) có nghiƯm x1
,x2 tho¶ m·n x1 < < x2
c) Với giá trị a phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn
x12 + x22 =6
Bµi tËp 90: Cho phơng trình : x2 2(m+1)x + m –
= ( *)
a) Chøng minh (*) cã hai nghiƯm víi mäi m
b) Tìm giá trị m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu
c) Gi¶ sư x1 ; x2 lµ nghiƯm cđa PT (*)
Chøn minh r»ng : M = (1 – x1) x2 + (1
x2)x1
Bài tập 91: Cho phơng tr×nh : x2 – (1- 2n) x + n – =
a) Gi¶i PT m =
b) Chøng minh r»ng PT cã nghiƯm víi mäi giá trị n
c) Gi x1; x2 l hai nghiệm cảu PT cho
Chøng minh r»ng biÓu thøc : x1(1 + x2) +
x2(1 +x1)
Bài tập 92: Các nghiệm phơng trình x2 + ax + b + =
0 (b khác -1) số nguyên
Chứng minh a2 + b2 hợp số
Bài tập 93: Cho a,b,c ba cạnh tam giác C/m: x2 + ( a + b + c) x + ab + bc + ca =
vô nghiệm
Bài tập 94: Cho phơng trình ax2 + bx + c = ( a.c 0) vµ cx2 + dx + a = có nghiệm x
1; x2 y1 ; y2
¬ng íng C/m x12 + x22 + y12 + y22
Bài tập 95: Cho phơng trình x2+ bx +c =0 (1) x2
+cx +b = (2) Trong
2 1
c b
Bài tập 96: Cho p,q hai số dơng Gọi x1 ; x2 hai
nghiệm phơng trình px2 + x +q = x
3 ; x4 nghiệm phơng
trình qx2 + x + p =
C/m : x x1 2 x x3 4 2
Bµi tËp 97: Cho a,b,c lµ ba sè thùc bÊt kú Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét ba phơng trình sau có nghiệm :
2 1 0; 1 0; 1 0
x ax b x bx c x cx a
Bài tập 98: Cho phơng trình bậc hai :x2 + (m+2) x + 2m
= (1)
a) C/m phơng trình luôn có nnghiệm
b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng
trình Tìm m để 2(x12 + x22 ) =
5x1x2
Bài tập 99: Cho phơng trình x2 + a
1x + b1 = (1) ; x2
+ a2x + b2 = (2)
Có hệ số thoả mÃn a a1 22b1b2.Cmr hai phơng trình có nghiệm Bài tập 100: Chứng minh phơng trình :
2 2 2 0
a x b a c x b
V« nghiƯm
NÕu a + b > c vµ a b c Bµi tËp 101: Cho hai phơng trình :
(29)a) Tìm m để hai phơng trình có nghiệm chung
b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng Bài tập 102: Cho phơng trình: x2 – 2( a + b +c) x +
3( ab + bc+ ca) = (1)
a) C/mr phơng trình (1) ln có nghiệm Trong trờng hợp phơng trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c Biết a2 + b2 + c2 = 14
Bài tập 103: Chứng minh phơng trình :x2 + ax
+ b = vµ x2 + cx + d = cã nghiƯm chung th× : (b –
d)2 + (a- c)(ad – bc) =
Bài tập 104: Cho phơng tr×nh ax2 + bx + c = C/mr
nếu b > a + c phơng trình có nghiệm phân biệt Bài tập 105: G/s x1 , x2 hai nghiệm hai phơng
trình x2 + ax + bc = x
2 , x3 hai nghiệm phơng
tr×nh x2 + bx + ac = ( víi bc kh¸c ac ) Chøng minh
x1, x3 nghiệm phơng trình x2 + cx + ab = Bài tập 106: Cho phơng trình x2 + px + q = (1) T×m
p,q nghiệm phơng trình (1) biết thêm vào nghiệm chúng chở thành nghiệm phơng trình : x2 p2x + pq =
Bµi tËp 107: Chøng minh phơng trình : (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) =
Lu«n cã nghiƯm víi mäi a,b,c
Bµi tËp 108: Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình :
2x2 + 2(m +1) x + m2 +4m + =
T×m GTLN cđa biĨu thøc A = 2 2
x x x x
Bµi tËp 109: Cho a 0 G/s x1 ; x2 nghiệm
ph-ơng trình 12
x ax
a
Chøng minh r»ng : x41x24 2
Bài tập 110 Cho phơng trình x2 ax 12
a
.Gäi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình
Tìm GTNN cđa E = x14 x24
Bµi tËp 111: Cho phơng trình x2 + 2(a + 3) x + 4( a + 3)
=
a) Víi gi¸ trị a phơng trình có nghiệm kép