Gián án Đề&Đ.án HSG vòng 3 huyện Yên Thành năm 2010-2011

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi : Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: a) Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n (n+1)(n+2). Chứng minh rằng 4 1A+ là số tự nhiên b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 4 2 2 4y y x x+ + = − Câu 2: a) Giải phương trình sau: 2 2 17 17 9x x x x+ − + − = b) Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 1 0 x xy y z yz  − + =   − + =   Câu 3: a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a + + ≥ + + + . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 100 10 10 10M x x= − + Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn (M; R) tiếp xúc với AB ở P, tiếp xúc với AC ở Q. Điểm K chạy trên cung nhỏ PQ (K khác P, Q). Tiếp tuyến của đường tròn (M; R) tại K cắt AB, AC lần lượt tại E, F. a. Chứng minh góc BME bằng góc MFC. b. Xác định vị trí của điểm K sao cho diện tích tứ giác BEFC nhỏ nhất. Câu 5: Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K. Chứng minh rằng: 3 2 IA IB IC IM IN IK + + ≥ -------------------Hết---------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010-2011- MÔN TOÁN 9 Câu Nội dung Điểm Câu 1 4,5đ a 2,5đ Ta cã: n(n + 1)(n + 2) = 1 4 n (n + 1)(n + 2). 4= 1 4 n(n + 1)(n + 2). [ ] ( 3) ( 1)n n+ − − 0.5 = 1 4 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - 1 4 n(n + 1)(n + 2)(n - 1) 0.5 4A =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . +n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - n(n + 1)(n + 2)(n - 1) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3). 1.0 4A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1 = ( ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 )( 3 2) 1 3 2 3 1 3 1n n n n n n n n n n+ + + + = + + + + = + + Vậy 4 1A+ là số tự nhiên. 0.5 b 2.0 đ 4 2 2 4 2 4 4 ( 1)y y x x y y x x+ + = − ⇔ + + = − Vì 4y 2 +2>0 nên (y 4 + y 2 + 4) -4 < y 4 + y 2 +4<( y 4 + y 2 +4) + (4y 2 +2) 0.5 2 2 4 2 2 2 ( 1) 4 ( 2)( 3)y y y y y y⇔ + < + + < + + 0.5 Hay y 2 (y 2 +1)<x(x-1)< (y 2 +2)(y 2 +3) Do đ ó x (x-1) = (y 2 +1)(y 2 +2) 0.5 Suy ra (y 2 +1)(y 2 +2)= y 4 +y 2 +4 ⇔ 2y 2 =2 ⇔ 1y = ± ⇒ x 2 – x - 6=0 ⇔ x=-2 hoặc x=3 Nghiệm là (-2;1); (3;1); (-2;-1); (3;-1) 0.5 Câu 2 4,5đ a 2,5đ ĐK: 17 17x− ≤ ≤ . Đặt ( ) 2 17 0y x y= − ≥ 0.5 Ta có hệ PT ( ) 2 2 2 2 2 17 17 2 17 9 9 9 x y x y x y xy x y xy x y xy x y xy    + = + = + − =  ⇔ ⇔    + + = + = − + = −     1.0 ( ) ( ) 2 2 16 7 9 2 17 20 64 0 4 9 9 5 xy x y xy xy xy xy xy x y xy x y xy x y  =      + = − − − = − + =     ⇔ ⇔ ⇔    =  + = − + = −       + =    0.5 Giải các hệ trên ta có nghiệm của phương trình là x = 1; x = 4 0.5 b 2,0đ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 4 (1) 3 2 4 1 0 1 4 (2) 2 4 y x y x xy y z yz y z y    − = − −   ÷  − + =    ⇔   − + =      − = − −  ÷     0.75 Nếu 2y > thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu 2y < thì phương trình (2) vô nghiệm. Do đó hệ chỉ có nghiệm khi 2y = 0.75 Suy ra nghiệm của hệ là x = 1, y = 2, z = 1 và x = -1, y = -2, z = -1. 0.5 Câu 3 (4đ) a 2.0 đ 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 3 1 1 1 2 1 1 1 2 a b c a b c a b c b c a b c a   + + ≥ ⇔ + + − + + ≤ −  ÷ + + + + + +   0.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 1 1 1 (1) 1 1 1 2 1 1 1 2 ab bc ca a b c b c a b c a       − + − + − ≤ ⇔ + + ≤  ÷  ÷  ÷ + + + + + +       0.5 Vì 1 + b 2 ≥ 2b; 1 + c 2 ≥ 2c; 1 + a 2 ≥ 2a nên ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ab bc ca ab bc ca b c a + + ≤ + + + + + (2). 0.5 Mặt khác vì a + b + c = 3 và ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 , với mọi số dương a, b, c nên ab + bc + ca ≤ 3 (3). Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh (Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1). 0.5 b 2.0 đ 100 10 100 10 9so 1 10 10 1+1+ .+1 10 1M x x x x= − + = + − + 1 4 2 43 0.5 10100 100 10 9so 1 1+1+ .+1 10 10x x x+ ≥ = 1 4 2 43 0.75 Suy ra M ≥ 1, đảng thức xẫy ra khi x = ± 1. Vây giá trị nhỏ nhất của M bằng 1 khi x = ± 1. 0.75 Câu 4 (5đ) a 3.0đ Theo tính chất tiếp tuyến ta có ME, MF lần lượt là phân giác của các góc PMK, QMK 0.75 Tứ giác APMQ có 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 180 180APM AQM BAC PMQ+ = ⇒ + = 0.75 Từ đó ˆ EMF = 0 ˆ 180 2 BAC− = ˆ ˆ ABC ACB= = 0.75 Suy ra ˆ ˆ BME MFC= 0.75 b 2.0 đ Từ câu a suy ra tam giác BEM đồng dạng với tam giác CMF 2 . . 4 EB MB BC EB FC MB MC MC FC ⇒ = ⇔ = = 0.5 Ta có : 1 ( ) 2 BEFC BME EMF FMC S S S S R BE EF FC= + + = + + 0.5 = 1 2 R (BE + FC +BE - BP + FC- CQ) 0.25 = R( BE + FC – BP) (do BP=CQ) 0.25 A B P E K F Q M C Câu 5 2,0đ (2 . ) ( )R BE FC BP R BC BP≥ − = − Không đổi Dấu = xẩy ra khi BE = FC ⇔ EF // BC ⇔ K là trung điểm của cung nhỏ PQ . V ậy BEFC S nhỏ nhất khi K l à trung điểm của cung nhỏ PQ 0.5 Đặt 2 2 2 2 2 2 , , BIC CIA AIB ABC S x S y S z S x y z= = = ⇒ = + + 0.25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ABC BIC S AM x y z AI y z AI y z IM S x IM x IM x y z IA IM x + + + + = = ⇔ + = + ⇔ = + ⇔ = 0.5 Chứng minh tương tự ta có: 2 2 2 2 , x y IB z x IC IN y IK z + + = = 0.25 2 2 2 2 2 2 1 6 3 2 2. 2. 2. 2 2 y z x y IA IB IC z x IM IN IK x y z y z z x x y y z z x x y x x y y z z x y z + + + ⇒ + + = + +   + + + ≥ + + ≥ + + + + + ≥ =  ÷   Vây 3 2 IA IB IC IM IN IK + + ≥ 1.0 Chú ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa A B K N I M C . huyện Yên Thành ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi : Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: a) Cho A = 1.2 .3. 1)(n + 2). [ ] ( 3) ( 1)n n+ − − 0.5 = 1 4 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - 1 4 n(n + 1)(n + 2)(n - 1) 0.5 4A =1.2 .3. 4 - 0.1.2 .3 + 2 .3. 4.5 - 1.2 .3. 4 + . . . +n(n