cac dang de on luong giac hay

TT§T Bu chÝnh viÔn th«ng I.. TT§T Bu chÝnh viÔn th«ng I..[r]

(1)

I Biến đổi đa phơng trình quen thuộc:

1 a §H Qc gia (D+G) 97: 2cos2x - 3cosx + =  cos

cos

x x

  

 

1

 x k

x k

   

 

2

3

  b CĐSP Quảng Ninh (D) 98: cos2(x +

3 ) + 4sin(x +



3 ) =

2  - 2sin

2(x +

3 ) + 4sin(x +



3 ) =

 4sin2(x +

3 ) - 8sin(x +



3 ) + = 

sin( ) sin( )

x x

 

  



 12 32

 x k

x k

     



 

6

2

c CĐSP Quảng Ninh (F) 98: sinx + cosx = sin5x  sin(x + 450) = sin5x  x x k

x x k

  

   

 

 45 360

45 180 360

0

0 0

d §H KTQD 97: cos7x - 3sin7x =  sin300cos7x - cos300sin7x = sin450 sin(300 - 7x) = sin450 B¹n tự giải tiếp e ĐH Ngoại ngữ 98: sin3x + cos2x = + 2sinxcos2x  3sinx - 4sin3x + - 2sin2x = + 2sinxcos2x 

 sinx(4sin2x + 2cos2x + 2sinx - 3) = Bạn tự giải tiếp

f ĐH Ngoại th¬ng 98: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 

 sinx - cosx + (sinx - cosx)( sinx + cosx) + (sinx - cosx)(1 + sinxcosx) + (sinx - cosx)(sinx + cosx) =  (sin x - cosx)[2 + 2(sinx + cosx) + sinxcosx] =  sin cos ( )

(sin cos ) sin cos ( )

x x

x x x x

 

   

  

0

2 2

(1)  tgx =  x =

4



+ k (2)  §Ỉt: sinx + cosx = t, -  t  + 4t + t2 - = 0  t2 + 4t + =  t = - 1; -  sin(x +

4



) = - 2 /2  x k

x k

    

  

  2 

2

g ĐH Dân lập Đông Đô 97: cos2x + 2cosx + sin2x + =  cos2x + 2cosx + =  cosx = - 1. h TTĐT Bu viễn thơng I 97: Cho y = 4x - sin2x + cosx Tìm x để y ‘ =

Ycbt  - 2cos2x - 2 sinx =  2sin2x - 2

2sinx + =  sinx = 2 /2 Bạn tự giải tiếp i.TTĐT Bu viễn thông I 98: 2(1 + cos2x)sinx = sin2x  sin

cos cos

x

x x



 

  

0

4 2 Bạn tự giải tiếp

k ĐH NNghiÖp (B) 98: cos sin cos

cos sin

x x x

x x



  

2

2 (1) §K: 2sin2x - sinx -   x  

2 + 2k;

(1)  3cos2x + sin2x = cosx - 3sinx 

2 cos2x +

1

2 sin2x =

2 cosx -

3

2 sinx  sin(2x + 60

0) = sin(300 - x) l §H NNghiƯp (A) 98: sin cos

sin cos

22 42 1

0

x x

 

 m - sinx + tgx = 5cos4

2

x

(Đại số hoá)

2.a 63.II.1: 16(sin8x + cos8x) = 17cos22x  (1 - cos2x)4 + (1 + cos2x)4 = 17cos22x  2cos42x - 5cos42x + =   cos22x = 1

2  cos4x =  x =



8 +

k

4

b 52.II: cos

3

x

= cos2x  cos

3

x

=

2

cos x

 4cos22

3

x

- = - 3cos

3

x

+ 4cos32

3

x   (cos2

3

x

- 1)(4cos22

3

x

- 3) = Bạn tự giải tiếp c 15.III.1: 2cos2

5

x

+ = 3cos4

5

x

 cos6

5

x

+ = 6cos22

5

x

-  - 3cos

5

x

+ 4cos32

5

x

+ = 6cos22

5

x

-  4cos32

5

x

- 6cos22

5

x

- 3cos

5

x

+ =  (cos2

5

x

- 1)( 4cos22

5

x

- 2cos

5

x

- 5) = Bạn tự giải tiếp d 48.II.2: sin22x - cos28x = sin(17

2



+ 10x) 

2

1 16

2



 

cos x cos x

= cos10x 

(2)

 x k

x x x x

 

   

  

  2

2cos 2sin cos 2sin (*) (*)  2(sinx + cosx) + 2sinxcosx + =

Đặt: sinx + cosx = t, -  t  th× cos: t =  x = -

4

 + k

f 69.III.2: 4cosx - 2cos2x - cos4x =  4cosx - 2cos2x - 2cos22x =  4cosx - 2cos2x(1 + cos2x) =   4cosx - 4cos2xcos2x =  cos

cos cos

x

x x

  

 

0

2 Bạn tự giải tiếp g 72.II.1: cos4x - cos2x + 2sin6x =  cos4x - + 2sin2x + 2sin6x = 

 (cos2x - 1)(cos2x + 1) + 2sin2x(1 + sin4x) =  sin2x[2(1 + sin4) - cos2x - 1] = 0  x k

x x



  

  



2sin4 cos2 (*) (*)  2sin4x - sin2x =  sin2x(2sin2x + 1) =  x = k

h 76.II.1  §H TCKT.98: cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos33x 

cos10x + cos8x + = cosx + 2cos(4cos3x - 3cos3x)  2cos9xcosx + = cosx + 2cos9xcosx  cosx =  x = 2k. i ĐH Dân lập HP 97: 2cos2x + cos2 x

2 - 10cos(

2



- x) +

2 =

2 cosx  4cos2x + + cosx - 20sinx + = cosx  -

8sin2x - 20sinx + =  2sin2x + 5sinx - =  sinx =

2  x = 30

0 + k3600 Hay x = 1500 + k3600

k §H Mü thuËt c«ng nghiƯp 96: cos7xcos5x - 3sin2x = - sin7xsin5x cos2x - 3sin2x = Bạn tự giải tiếp l. sin4x + cos4x = cos4x  sin4x + cos4x = cos22x - sin22x 

 sin4x + cos4x = sin4x + cos4x - 2cos2xsin2x -4sin2xcos2x  sin2x =  x k900.

m §H Më 97: cosx(cos4x + 2) + cos2xcos3x = 0 cosx(cos4x + - 3cos2x + 4cos2xcos2x) =  cosx = Hc 2cos22x - + - 3cos2x + 2cos2x(1 + cos2x) =  cosx =  x = 

2 + k

n ĐH Thái Nguyên (A).98: 2cos2(

2 cos

2x) = + cos(sin2x)  2cos2(

2 cos

2x) - = cos(sin2x)  cos(cos2x) = cos(sin2x)  cos2x =  sin2x + 2k  cos sin

cos sin

2 2

x x k

  

  

  

Cã nghiÖm  12 + 22 16k2 - 8k +  4k2 - 2k -   1



 k 

4

k = Bạn tự giải tiếp o Đ KTQD 98: 16cosxcos2xcos4xcos8x = Nhân vế với sinx Bạn tự giải tiếp

p ĐHDân lập Đông Đô 97: cos2x - 7sinx + =

q CĐ Lao động xã hội: + sin2x + cosx + sinx + cos2x =  (cosx + sinx)2 + cosx + sinx+ cos2x - sin2x=0  (cosx + sinx)(2cosx + 1) = Bạn tự giải tiếp

r §H Thủ lỵi 98: (1 + sinx)2 = cosx  (1 + sinx)4 = cos2x  (1 + sinx)4 =1 - sin2x Bạn tự giải tiếp Cách 2: Nhân hai vế với cosx Cách 3: Đổi góc x/2

s ĐH Hàng hải 98: sin2x = + 2cosx + cos2x  2sinxcosx = + 2cosx + 2cos2x - Bạn tự giải tiếp II.Phơng trình có Èn sè ë mÉu sè:

1 a. tg(1200 + 3x) - tg(1400 - x) = sin(800 + 2x)  tg3(x + 400) + tg(x + 400) = sin2(x + 400)

Đặt: X = x + 400 ĐK: cos3X  0; cos(x + 400)  PT  tg3X + tgX = sin2X  sin4X = sin2Xcos3XcosX

sin2X(cos3XcosX - 2cos2X) = Bạn tự giải tiếp

b §H KiÕn Tróc 92: 2tg3x - 3tg2x = tg22xtg3x §K: cos3xcos2xcosx  0.

PT  2(tg3x - tg2x) = tg2x(1 + tg3xtg2x)  2tgx = tg2x (Chia hai vế cho: + tg3xtg2x).Bạn tự giải tiếp c 84.II.1: tg2x - tg3x - tg5x = tg2xtg3xtg5x §K: cos5xcos3xcos2x 

PT  tg2x - tg5x = tg3x(1 + tg2xtg5x)  tg(-3x) = tg3x (Chia hai vế cho: + tg2xtg5x) Bạn tự giải tiếp d 34.II1: tg22xtg23xtg5x = tg22x - tg23x + tg5x §K: cos5xcos3xcos2x  0.

PT  tg23x - tg22x = tg5x(1 - tg23xtg22x)  tg5x = ( )( )

( )( )

tg x tg x tg x tg x tg xtg x tg xtg x

3

1 3

 

   tg5x = tg5xtgx

e - 100.III.1: tg2x = 1

1

3  

cos sin

x

x §K: cosx  PT 

1

2  

cos sin

x x =

1

3  

cos sin

x x  

1

2 





 

 

cos sin (

cos sin

cos cos sin sin )

x x

x x = 

cos

(cos sin )(sin cos sin cos )

x

x x x x x x



   

  

1

(3)

f §H KiÕn tróc 93: tg2x = 1

1

3  

cos sin

x

x g - 61.III.1: tg 2x = 1

1

 

cos sin

x

x Bạn tự giải tiếp h ĐH Ngoại ngữ 96: tgx + tg2x - tg3x = §K: cos3xcos2xcosx 0 PT  tgx = sin

cos cos

x

x x

3 

 sin

cos cos cos

x

x x x

  

 

0

3 

sin

cos cos

x k

x x

  

 



5 B¹n tự giải tiếp kiểm tra ĐK i ĐH Quốc gia (B) 95: tgx - tg2x = sinx B¹n tù giải tiếp kiểm tra ĐK

2 a ĐH Giao thông vận tải 97: 3(cotgx - cosx) - 5(tgx - sinx) = §K: x  k900.

PT 3cos cos sin

sin

sin sin cos

cos

x x x

x

x x x

x 

  =  3cos2x -3cos2xsinx -5sin2x + 5sin2xcosx = 2sinxcosx  3(cos2x - cos2xsinx - sin2x + sin2xcosx) - 2(sinxcosx + sin2x - sin2xcosx) = 0

 3(cosx - sinx)(cosx + sinx - sinxcosx) - 2sinx(cosx + sinx - sinxcosx) =   (cosx + sinx - sinxcosx)(3cosx - 3sinx - 2sinx) = B¹n tù giải tiếp kiểm tra ĐK b - 106.I.2: 2(tgx - sinx) +3(cotgx - cosx) + =0 §K:x  k900 2( sin

cos

x

x- sinx + 1) + 3(

cos sin

x

x - cosx + 1) = 

cosx(sinx+cosx-sinxcosx) +

3

sinx (sinx+cosx-sinxcosx) = 

sin cos sin cos /

x x x x

tgx

  

 

 

0

3

c - 97.II2: 6tgx + 5cotg3x = tg2x §K: x  k900 PT  5(tgx + cotg3x) = tg2x - tgx   cos

sin cos

sin

cos cos

2

3

x

x x

x

x x

  5cos22x = sin3xsinx  10cos22x = cos2x - cos4x Bạn tự giải tiếp

d - 143.II.1: 3sinx + 2cosx = + 3tgx §K: cosx  PT  2(1 - cosx) + 3tgx(1 - cosx) =  (1 - cosx)(2 + 3tgx) =  cosx

tgx   

 

1

2

Bạn tự giải tiếp kiểm tra ĐK e ĐH KTQD 96: ( cos ) ( cos )

( sin ) sin

sin

1

4

1

2

  

  

 

x x

x tg x x

x

tg x §K: cosx  PT  ( cos ) ( cos )

( sin )

sin sin

1

4

1

2

1

2

  

 



 

x x

x

tg x x 

 ( cos ) ( cos )

( sin )

sin

( )

1

4

1

2

  

 



x x

x

tg x  + 2cos2x = 2cos2x(1 + 2tg2x)  2sin2x =  x =

4

 +k

2

3 a §H Quèc gia (A) 98: 2tgx + cotg2x = 2sin2x +

2

sin x §K: sin2x  PT  2sin sin cos

cos

x x x

x



+ cos

sin

2

x x 

=  2sinx 2

 cos

cos

x x +



2

sin sin

x

x =  

cosx(sinx - 4sinxcos

2x) =  4cos2x - =  + 2cos2x - = B¹n tù giải tiếp b ĐH Công đoàn 98: sin

sin cos

2

2 x

x x



 = tg

2 x

2 V×: sin

2x = 4cos2 x

2 sin

2 x

2 Nên ĐK: cos

x

2

PT  4cos2 x

2 sin

2 x

2 - = - 4cos

2 x

2 sin

2 x

2  sin

2x =  x = 

2 + k

c ĐH Giao thông vận tải 98: tgx + cotgx = 2(sin2x + cos2x) ĐK: x  k900. PT 

sin cosx x = 2(sin2x + cos2x)  sin

22x + cos2xsin2x =  cos2xsin2x - cos22x = 0  cos

2

x tg x

  



 

x k

 

  

45 90

22 90

0

0, B¹n tự kiểm tra điều kiện d ĐH Luật 98: tgx - sin2x - cos2x + 2(2cosx -

cosx) = §K: x  

2 + k

PT  sinx(

cosx - 2cosx) - cos2x + 2cos2x

1

cosx =  -

cos sin

cos

2x x

x - cos2x + 2cos2x

(4)

 cos2x(

cosx -

sin cos

x

x - 1) = 

cos

sin cos ( )

2

x

x x VN



 

 

  x = 4 + k2

e §H An ninh (A) 98: 3sinx + cosx =

cosx §K: x  

2 + k PT  3sinxcosx + cos

2x =  3sinxcosx - sin2x =  sinx

tgx

    

0 

x k

   

 



g ĐH Báck khoa 98:

1

tgx gx

x x

gx

 

 

cot

(cos sin )

cot sinx.cosx  0; cosx - sinx > PT  sinx cosx =

1 (cos sin )

cot

x x

gx 

  cosx(cosx - sinx) = 2(cosx sin )x 

cosx sinx( - cosx cosx sinx ) =  cosx cosx sinx = 

cos cos cos sin

x

x x x



 

  

0

3 Vơ nghiệm (Đánh giá) III Phơng trình đẳng cấp:

1 a HV Kü thuËt qu©n sù 97: 2cos3x = sin3x  2cos3x = - 4sin3x + 3sinx 

 2cos3x = - 4sin3x + 3sinx(sin2x + cos2x)  sin3x - 3sinxcos2x + 2cos3x =  tg3x - 3tgx + =   (tgx - 1)2(tgx + 2) =  x k

x arctg k  

  

  

 



2

( )

b §H LuËt 96: 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx =  4sin3x + 3cos3x - 3sinx(sin2x + cos2x) - sin2xcosx = 0  sin3x - sin2xcosx - 3sinxcos2x + 3cos3x =  tg3x - tg2x - 3tgx + =  (tgx - 1)(3tg2 - 1) = 0.

c ĐH Ngoại thơng 96: cos3x - 4sin3x - 3cosxsin2x + sinx =  3tg3x + 3tg2x - tgx - =  (tgx + 1)(3tg2 - 1) = d §H Quèc gia 96: + 3sin2x = 2tgx  cosx + 6sinxcos2x = 2sinx  (tgx + 1)(3tg2 - 1) = 0

6sinxcos2x + (cosx - 2sinx)(cos2x+sin2x) =  2sin3x - sin2xcosx - 4sinxcos2x - cos3x = 0   2tg3x - tg2x - 4tgx - =  (tgx + 1)(2tg2x - 3tgx - 1) =  Bạn tự giải tiếp Cách 2: Đặt tgx = t. e ĐH Xây dựng (Tại chức) 96: sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) +  sin2x

sin cos

cos

x x

x 

= 3(1 - sin2x + sinxcosx)  sin3x + sin2xcosx = 3cos3x + 3sinxcos2x  tg3x + tg2x - 3tgx - =  (tgx + 1)(tg2x - 3) = Bạn tự giải tiếp f ĐH Thái Nguyên 97: 4cos2x - cos3x = 6cosx + 2(1 + cos2x)  4cos2x - cos3x = 6cosx - 4cos2x

 cosx(4cos2x - 8cosx - 3) =  x = 

2 + k Hc: x = 



3 + 2k

g §H Má 97: sin sin

5

x

x = §K: sinx  PT  sin5x = 5sinx  sin3xcos2x + sin2xcos3x = 5sinx  (3sinx - 4sin3x)(cos2x - sin2x) + 2sinxcosx(-3cosx + 4cos3x) = 5sinx(cos2x + sin2x)2

 12sin5x + 20sin3xcos2x =  3sin2x + 5cos2x =  x 

C¸ch 2: PT  sin3xcos2x + sin2xcos3x = 5sinx  (3 - 4sin2x)cos2x + 2cosxcos3x = Vô nghiệm. Cách 3: PT  sin5x - sinx - 4sinx =  4cos3xcosxsinx - 4sinx = Bạn tự giải tiếp

h ĐH Phơng Đông 98: sin2x - 3sinxcosx = -  sin2x - 3sinxcosx = - sin2x - cos2x  2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0 i §H HuÕ 98: cos3x + sinx - 3sin2xcosx = k Quèc Gia (B) 98: cos3x + sin3x = 2(cos5x + sin5x)

l. sin(3x + 

4 ) = sin2xsin(x -



4 )

IV Phơng pháp đánh giá : * sinx + 2sin2x = + sin3x  2sin2x - 2sinxcos2x = VN Vì: 22 + 22sin2x < 32 1 a ĐH Thơng mại 97: cos2x + cos

4

x

= V×: cos2x  1; cos

4

x

 Nªn: PT  cos cos

2

1

4

x

  

Bạn tự giải tiếp b CĐSP Qu¶ng Ninh (T) 97: 2cos2x + 3cosx - =  2cos2x + 3cosx =

V×: 2cos2x  2; 3cosx  Nªn: PT  cos cos

2

1

x x

  

 

 x = 2k

c ĐH Thuỷ lợi 97: sin6x + cos6x = Vì: sin6x sin2x; cos6x cos2x Nên: sin6x + cos6x  sin2x + cos2x = 1 VËy: PT  sin sin

cos cos

6

x x

  

 

(5)

d 94.III.2: sin14x + cos13x =  sin sin

cos cos

14

13

x x

  

 



sin sin

cos cos x x

x x

  

 

  

     

  

0 1

 x = k

2

e 109.II.2: sin cos sin cos

cos sin

10 10 6

2

4 2

x x x x

x x



 

 . Ta cã: VP =

sin cos cos sin

6

2

4 2

x x



 = = (sin cos ) sin cos (sin cos )

sin

2 2 2

2

3

4

1

x x x x x x

x

  

  VËy PT  sin

10x + cos10x = Bạn tự giải tiÕp f §H An Ninh 97: (cos2x - cos6x)2 = - 2sin3x VT  4; VP  Bạn tự giải tiếp Vô nghiệm.

g 74.II.1: (cos4x - cos2x)2 = + sin3x Bạn tự giải tiếp

74.II.2: Giải biện luận (cos4x - cos2x)2 = (a2 + 4a + 3)(a2 + 4a + 6) + + sin3x.

Gi¶i: VT  VP = [(a + 2)2 - 1][(a + 2)2 + 2] + + sin3x = t4 + t2 + + sin3x = t2(t2 + 1) + + sin3x  4. VËy: PT  VT

VP     

4 

t x

x x

 

 

  

 

0

3

4 2

sin cos cos

Bạn tự giải tiếp h §H KiÕn tróc 97: sin3x(cosx - 2sin3x) + cos3x(1 + sinx - 2cos3x) = 

 sin3xcos3x - 2sin23x + cos3x + cos3xcosx - 2cos23x = cos2x + cos3x = Bạn tự giải tiếp i 35.II: sinx + cosx = 2(2 - sin3x) VT = 2sin(450 + x)  2 VP  2 Bạn tự giải tiếp 2 a ĐH Quốc gia 96: 8sin2x

+ 8cos2x

= 10 + cos2y  sin2x

+ 81

sin x = + 2cos2y Đặt: 8sin2x

= t §K:  t  PT  t t t  9 8

= 2cos2y VP  VT  V× : t n»m hai nghiÖm VËy: PT  t t

y

2 9 8 0

0

    

  cos

Bạn tự giải tiếp b ĐH Giao thông vËn t¶i 98: - 4x - x2 =

|sin cos |yx y x

VP = 102

|sin xy|

 10 VT = - (x + 2)2 + 10  10 VËy: PT  x y

x

  

 

2

sin 

x

y k

   

 

2 2

 

c DL Đông Đô 98: cos2x + = 7sinx VP  7; VT  HÖ  cos sin

2

1

x x

  



 x =



2 + 2k

d 105.II: sin2x + sin2y + sin2(x + y) = 9

4 

1

2

1

2



 

cos x cos y

+ - cos2(x + y) =9

4

 cos2(x + y) + cos(x + y)cos(x - y) +

4 =  [cos(x + y) +

2 cos(x - y)]

2 + 1

4 [1 - cos

2(x - y)] = 0  sin( )

cos( ) x y x y

 

 

  

0

 y x l

x k l

     

 

 

6

 y k l

x k l

     

 

 

6

e 99.V: tg2x + tg2y + cotg2(x + y) = (*) V× Cotg(x + y) = 1

 tgxtgy

tgx tgy  (tgx + tgy)cotg(x + y) = - tgxtgy 

 tgxtgy + tgy(cotg(x + y) + tgx(cotg(x + y) = (**) LÊy (**) trõ (*):

tg2x - tgxtgy + tg2y + cotg2(x + y) - tgxcotg(x + y) - tgycotg(x + y) = Nh©n víi 2: (tgx - tgy)2 + [tgx - cotg(x + y)]2 + [tgy - cotg(x + y)]2 = 

 tgx tgy

tgx g x y



 

 

 cot ( )

 x y k

x x y l

      

 

 

2

Bạn tự giải tiếp f 131.III.2: sin2x +

4 sin

23x = sinxsin23x  sin2x +

4 sin

23x +

4 sin

43x = sinxsin23x + 1

4 sin

43x 

 sin2x - sinxsin23x + 1

4 sin

23x +

4 sin

43x +

4 sin

23x -

4 sin

(6)

 [sinx -

2 sin

23x]2 + 1

4 sin

23x(1 - sin23x) =  sin

sin

1 3x x

  

 

 cos sin

3

1

x x

  

 



x k

k k

 

         

30 60 30 360 150 360

0

g 91.II.1: sin4xcos16x = 

sin cos sin cos

4

16

4

16

x x x

x 

 

 

  

  

    



x k

    

 

    

  

     

 

8

32 16

8 16

16

2 a - 77.III.2: [tgx +

4 cotgx]

n = cosnx + sinnx (n = 2, 3, 4, ) + n = 2: VT = [tgx +

4 cotgx]

2 1; VP = VËy: PT  tgx =

4 cotgx  tg

2x =

4  x =  arctg + k

+ n > 2: VT   VP Nhng vÕ ph¶i =  x = k

2 lúc VT khơng xác định  PT vô nghiệm

b 136.II.2: (cos2x +

cos x)

2 + (sin2x +

sin x )

2 = 12 + 0,5siny VP  12,5. Theo B§T Bunhiacèpxki: a + b  2

(a b ) 

2 (a + b)

2 a2 + b2 VT 

2 [cos

2x + sin2x + 2

sin xcos x ] 2 = 1

2 [ +

4

2

sin x]

2 25

2 = 12,5 VËy PT 

sin sin

y x

  

 

1

2

2 

y k

x k

    

 



 



2

4

2

c 83.III.1: (cos3 x

2 +

2

3

cos x )

2 + (sin3 x

2 +

2

3

sin x )

2 =81

4 cos

24x VP  81

4

VT = cos6 x

2 + sin

6 x

2 +

1

2 cos x +

1

2

sin x + = cos6

x

2 + sin

6 x

2 +

sin cos

2

x x



+ =

= (cos2 x

2 + sin

2 x

2 )

3 - cos2 x

2 sin

2 x

2 ( cos

2 x

2 + sin

2 x

2 ) + +

1 3

2

64

 sin cos

sin

x x

x =

= -

4

sin2x + 64

4

6

( sin )

sin

 x

x  -

.1 + 64 1

3

(  ) = 81

4 PT  cos

sin

2

4

1

x x

  

 

 x = 

2 + k

d - 101.II.1: sinx - 2sin2x - sin3x = 2

VT = -2cos2xsinx - 2sin2x  [(2cos2x)2  ( 2sin2x) ](sin2 x12) = sin2 x 1

  2

VËy: PT      

 

1 sin sin

2

cossin

2

x x

x x  V« nghiƯm

e - 146.III: sinx + 2 2

 sin xsinx  sin x =

Ta cã: sinx + 2

 sin x  (12 12)(sin2 x2 sin2x) =

sinx 2

 sin x  | sinx 2 sin2 x| = |sinx|.| 2 sin2 x|  (|sin |x 2 sin x|)

2

2 1 Céng hai B§T thøc cïng chiỊu cã: VT  VËy PT  sinx = - sin2x  sinx =  x =900+k3600 f * 2cosx +

(7)

 4 4 228

 cos x[

2

4 228

cos cos

x x

 -

2 28

4 228

cos sin

cos

x x x

 ] + 2sin10x =   1 1 28

 cos x [

cos cos

x x

1 228 -

cos sin

cos 28

1 228

x x x

 ] + 2sin10x = Đặt:

1cos228x = cos ;

cos cos

28

1 228

x x

 = sin PT  1 28

2

 cos x cos(+x) + 2sin10x=3

VT  2 + = VËy PT 

cos cos( )

sin

228 1 10

x x x



 

 

   

 

x k

x k

  

  

   



 

 

28 20

2 g sin8x + cos8x = 32(sin12x + cos12x) HD: VT  1; VP   VN.

V Phơng trình chứa GTTĐ :

1 a §H B¸ch Khoa 97: ( 1 cosx  cosx)cos2x =

2 sin4x 

cos ( )

cos cos sin ( )

1 2

x

x x x



  

  

B¹n tự giải tiếp (1) Còn (2) cos ; sin

cos cos cos cos sin

x x

x x x x x

 

    

  

0

1 2 22

 cosx cos2 x = - cos22x  cos22x = (Theo trªn) KL: x = 

4



+ 2k b 108.II.2: 4sinx = 1cos  1 cos

cos

x x

x  4sinxcosx = 2(|cos

x

2 | + |sin

x

2 |) (1)

Ta thấy: Nếu x0 nghiệm (1) x0 +  nghiệm Nên ta tìm nghiệm x  [0, ] Lúc đó: (1)  4sinxcosx = 2( cos x

2 + sin

x

2 )  2sin2x = 2sin(

x

2 +



)  x x

    



6

 x k

x k

 

  



 

6

6 c C§SP Qu¶ng Ninh (A, B) 97: 4

 x (sin2x + 3cosx) = §K: -  x   x =  Hc:

cosx(2sinx + 3) =  cos x = x = 

2 + k x = + k

Do §K: x = -

2 ; x = - ; x =

1 ; x =

3

2 ; = - 2; x =

d CĐSP Quảng Ninh (D) 97: x2 1

(cos22x - 2cos2x + 1) = Bạn tự giải tiÕp

e HVQH Quèc tÕ 97: sinx + sinx + sin2x + cosx =  sinx + sinx + cosx - cos2x = 0 Đặt: sinx = U  0; cosx = V Ta cã U + U2 + V - V2 =  U V

U V



 

 

 1

sin cos ( ) sin cos ( )

x x



 

 



1 (1)  cos

sin cos x

x x

  

 

0

2  sinx =

2 (Kết hợp điều kiện): x =  - arcsin

 1

2 + 2k (2)  sinx = Vµ cosx =  x = 2k

f 37.II.1: 1 sinx 1sinx= 2cosx 

cos

cos cos

x

x x



 

  

0

2 2  cosx =  x = 2k 37.II.2: Giải biện luận: sinx 1sinx= kcosx 

k x

x k

k

cos ( )

|cos | ( )



   

   

0

1

1 2

2 Tõ (2) cã: 1 2

 k  k2 -  k  - Hc k 

+ NÕu k  -2 Th×: cosx = - 1 2

  k

k  x =  arccos(-

1 2

2

  k

k ) + 2k + NÕu k  Th×: cosx = 1 2

2

  k

k  x =  arccos

1 2

2

  k

(8)

+ NÕu - < k < Thì: PT Vô nghiệm g. 1 cosx  1cosx= 4sinxcosx 

 ( 1 cosx  1cosx)( 1 cosx  1cosx) = 4sinxcosx( 1 cosx 1cosx )

 - 2cosx = 4sinxcosx( 1 cosx 1cosx )  sin (x coscosxx cos )x

   

  

0

2 1

+ x = 2k1800.Hc sin

sin ( sin )

x

x x



 

  

0

4 2 2 1 4sin2x(2 - 2sinx) =  (2sinx - 1)(4sin2x - 2sinx - 1) =

 sinx =

 = sin (-180)  x k

x k

 

 

 

 18 360

198 360

0

h 64.II.1: cos2x 1sin2x 2 sinxcosx 

 (cosx sin )(cosx xsin )x  (sinxcos )x 2 sinxcosx (1) §K: cosx+sinx  0; cos2x - sin2x  0. + NÕu: cosx + sinx = Th× PT cã nghiƯm tgx = -  x = -

4

 + k

+ NÕu: cosx + sinx > Thì ĐK: cosx - sinx (1)  cosx sinx  cosxsinx =   (cosx sin )(cosx xsin )x = - cosx  cos2x + 4cosx - =  cosx =  x = 2k

i 111.II.1: cos2x 1 sin2x 2 sinx cosx Bạn tự giải tiếp

k §H SP II 97: 5cosx cos2x + 2sinx =  5cosx cos2x = - 2sinx  sin

cos cos

x

x x



  

  

0

2

l ĐH Văn hoá 97: 1 cos2 sin

x

x = 2(cosx -

1 )

2.a §H Quèc gia (A) 97: cosxsinx + |cosx + sinx| = Đặt: |cosx + sinx| = t; §K:  t  PT 

2 (t

2 - 1) + t =  t2 + 2t - =  t =  cosxsinx =  sin2x =  x = k

2

b 51.II.1: |cosx - sinx| + 4sin2x = Bạn tự giải tiếp c ĐH Công đoàn 96: |tgx| = cotgx +

cosx ĐK: x  k90 0

+ NÕu tgx > Th× ta cã: sin2x = cos2x + sinx  2sin2x - sinx - =  sinx = -

2  x = 210

0 + k3600 + NÕu tgx < Th× cã: - sin2x = cos2x + sinx  sinx = - (Lo¹i).

d 46.I.2: |cotgx| = tgx +

sinx Bạn tự giải tiếp e 57.III.2: Gi¶i víi k = 2, 3: 3cosx + 2|sinx| = k + k = 2: 2|sinx| = - 3cosx  cos

sin cos cos

x

x x x



  

  

2

4 12  cosx =  x = 

2 + k

+ k = 3: 2|sinx| = - 3cosx  4sin2x = - 18cosx + 9cos2x  cos

cos

x     

1

5 13

 x k

x k



 

  

2

5 13

 

arccos

 |2sin2x(sinx + 1)| = 2sinx(sinx + 1)  sin

| sin | sin

x

x x

  

 

1

2  sinx = - Hay sinx = Hay cosx =

1 Phơng trình chứa tham số:

1 a: ĐH Kiến Trúc 88: Giải vµ biƯn ln: 2msinxcosx - (sinx + cosx) + = (1) m Đặt: sinx + cosx = t |t|  (*) Th× (1)  f(t) = mt2 - t + - m = (2)

Cách 1: + (1) Vô nghiệm   

    

 

0

2

1

t t (§ cã ac < 0) ·  mf

mf

( )

 

 

 

2

2 Bạn tự giải tiếp Cách 2: + Nếu m = PT có nghiÖm t =  x =

4



+ 2k

(9)

b ĐH Thơng mại 96: Tìm m để phơng có hai nghiệm thuộc [0,]:

3 sin sin

x x

  = m Đặt: sinx = t Thì Ycbt  Tìm m để phơng trình có nghiệm  [0,1]:

3

t t



 = m B¹n tù gi¶i tiÕp

c ĐH Ngoại ngữ 97: Tìm m để f(x) = sin4 x cos4 x 2msin cosx x

  cã nghÜa x

Gi¶i: Ycbt  sin4x + cos4x - 2msinxcosx  0, x  - 1

2 sin

22x - msin2x  0, x  f(t) = X2 + 2mX - , X [-1,1]  X

1 - <  X2 f

f ( )

( )

   

 

1

1  -

1

2  m 

d 5.II - 56.II.2: Tìm a để PT có nhiều nghiệm thuộc(0,

2 ): (1 - a)tg

2x -

cosx + + 3a = Gi¶i: PT  (1 - a) 12

cos x -

2

cosx + 4a = Đặt: X =

1

cosx Ví: < x < 

2  < cosx <  < X < 

Nªn:Ycbt  f(X) = (1 - a)X2 - 2X + 4a = tho¶: < X

1 < X2

( ) ( ) '

1

0

2

 

  

   

a f

S

  a

a      

1

3 1

e 11.II.1: Tìm a để PT có nghiệm: sin6x + cos6x = a|sin2x| C1: PT  a|sin2x| =

-4

sin22x  a = |sin x|-

3

|sin2x| =

|sin x|+ |sin2x| -

7

4 |sin2x| 2 -

4 |sin2x| 

C2: Đặt |sin2x| = X, ĐK: < X < Khảo sát hàm số KL

C3: Đặt |sin2x| = X Xét f(X) = 3X2 + 4aX - = cã nghiƯm  (0,1). 2.a §H Bách khoa 98: Giải biện luận: 2 2

 x sinx x cosx|a + 1| + |a - 1|

Giải: PT Vô nghiệm < 2a2 +  a < - Hc a > 1. + NÕu: a =  PT  2 2

 x sinx x cosx  12 ( 2 x2sinx 2x2 cosx) =

Đặt:

2

 x = cos;

2

x = sin PT  sin( + x) =  + x = 

2 + 2k x = - +



2 + 2k

+ NÕu: - < a < 1: Th× PT  sin( + x) = |a 1| |a 1|

2  x = -  + (-1)

karcsin |a 1| |a 1|

2 + 2k

b ĐH Xây dựng 98: Giải biện luận: mcotg2x = cos sin

cos sin

2

6

x x



  mcotg2x =

cos sin cos

2

1 2

x

x x

 + Lu«n cã nghiƯm: x =

4

 + k

2 Ngoµi ra:

m

x x

sin2 sin 4 22

Đặt sin2x = X, X  -  X  Cã 4m - mX = 4X  (m + 4)X = 4m NÕu: m = -  VN m  -  X =

4

m

m Bạn tự giải tiếp

c. Tìm m để PT có nghiệm  (0,2): mcos2x + sinx = cosxcotgx PT  sin ( )

cos ( sin ) ( )

x x m x



 

  

0

2

+ NÕu m = HÖ  cos2x =  x1 =

4



; x2 =

4



; x3 =

4



; x4 =

4



KL: m = giá trị + Nếu m HÖ  cos

sin

2

1 x x m

  



 Có nghiệm  sinx =

1

m V« nghiƯm  |

1

m | >  |m| < vµ m  Hc sinx =

m cã nghiƯm  c¸c nghiƯm cđa cos2x =  |

1

m | =

2  |m| = KL: |m| < Hoặc |m| = d. Tìm m để: sin5x + cos5x - m(sinx + cosx)  sinxcox(sinx + cosx),  x [0,

4

 ]

(10)

Ycbt  Tìm m để f(X) = X2 + 4X + 4m -  0, X (0;1)  X

1 <  X2 f

f

( ) ( )

0

1

  

 

 m  -

4

e. Tìm m để: sin3x + msin2x + 3sinx  (*), x [0,

2 ]

Gi¶i: (*)  -2sin3x + msinxcosx + 3sinx   - 2sin2x + mcosx +  (V× sinx  0) 2cos2x + mcosx + Đặt cosx = X Th×:  X  1

Vµ Ycbt  f(X) = 2X2 + mX + 1, X [0;1] 

 

 

 



   

0

1 2

X X

 m  - 2 3 a Giải biện luận: (8a2 + 1)sin3x - (4a2 + 1)sinx + 2acos3x = 0

+ NÕu a = Ta cã: sin3x - sinx =  x = k

2

+ NÕu a  V× sinx = không nghiệm nên PT 2aCotg3x - (4a2 + 1)Cotgx + 8a2 + = 0  (Cotgx - 2a)(2aCotg2x - Cotgx - 2a) =  x arc g a k

aCotg x Cotgx a

 

  

  

cot

(*)

2 2



(*)  4a =

1

2

cot cot

gx

g x  tg2x = 4a  x =

1

2 arctg4a + m



2

b. Tìm m để phơng trình có nghiệm: sin2x + sin23x - mcos22x = 0. Giải: PT 

2

1

2



 

cos x cos x

- mcos22x =  4cos32x + 2mcos22x - 2cos2x - = 0 Đặt: cos2x = X, -  X  Thì Ycbt  Tìm m để f X X X mX

X

( )       

 

2

1

3

VÏ h×nh cã m 

Hệ Phơng trình, Bất phơng trình:

1 a §H Më 98: Cho sin

sin

2

x mtgy m tg y m x m

 

  

a Giải m = b Tìm m để hệ có nghiệm + m = Đặt: sinx = X, -  X  1; tgy = Y (x = 

2 + k) Cã:

X Y

2

1

 

  

 X2 - Y2 + Y - X = 

(X - Y)(X + Y - 1) =  Y X

Y X

    

 1 NÕu Y = X Th× X2 + X - =  Y = X =1

2

  x k

y arctg k

   

 

   

  

( ) arcsin1

1

2



NÕu Y = - X  X2 - X = Bạn tự giải tiếp

+ T¬ng tù: NÕu Y = X cã X2 + mX - m = NÕu: Y = m - X cã: X2 - mX + m2 - m = KL: m  0 b Gi¶i: sin cos cos

cos sin sin

2

x x y

  

Cộng trừ hai phơng tr×nh cã: cos( ) cos( ) cos

x y

x y x

 

  

 

1

2 B¹n tù gi¶i tiÕp

c.Gi¶i:

x y tgx tgy

 

  

    



3

( ) ( )

(1)  cos(x + y) =  tgxtgy = H Ö  tgx tgy

      

3 3

Hc tgx tgy

      

3

d.Gi¶i: sin cos

sin cos

x y

y x



  

  

7

5  sin

2x + cos2x = 49cos2y + (5siny + 6)2 siny = - Bạn tự giải tiếp e Tìm a để hệ sau có nghiệm: cos cos

sin sin

x a y

  

 

3

3  cos2x + sin2x = a2(cos6y + sin6y)   sin22y = 4

3

2

(a )

a



cã nghiÖm  

2

(a )

a



(11)

f Tìm a để hệ có nghiệm nhất: ax a y x tg x y

2

1

1    

 

  

|sin | ( )

( ) NÕu (x,y) lµ nghiƯm  (-x,y) cịng lµ nghiƯm

Ycbt  x = thay vào hệ có a = Hoặc a = Ngợc lại: Với a = có  

 

  

1

2

y x

tg x y

|sin |

có (0,-1) (,-1) nghiệm  Loại a = Với a = 2: (1)  y = 2x2 + + |sinx|  1; (2)  y2 = - tg2x  Vậy y =  x = KL: a = 2 g Tìm m để hệ có nghiệm: sin cos

sin cos

x y m

y x m

  

 

2

 (Céng vµ trõ cã) sin( )

sin( )

x y m m

  

  

  

2

2 Cã nghiÖm 

   

   

  

1

2

m m

m m  - -  m  - Hc: - +  m  + h Ngoại ngữ - Tin hoc 97: cos cos sin

sin sin cos

3

0

x x y

y y x

  

  

i Văn Lang 97: sin / sin sin

cos / cos cos

x x y

 

  

1

2 a §H Dợc 97: Tìm x (0, 2)mà: cosx - sinx - cos2x >  (cosx - sinx)(1 - cosx - sinx) > Bạn tự giải tiếp b. cosx + 3sinx < c.cosx(1 - 2sinx) > d. sinx + sin3x < sin2x

e QGTP Hå ChÝ Minh 97: 2cos2x + sin2cosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx) Ghi chú:Một số toán chứa hàm lợng giác ngợc:

1 Tính: a A =cos(arsin

4 ) Đặt t = arsin

4  sint =

4 (0  t 



2 )  cost =

15

4 = cos( arsin

1 )

b. A = sin(2arccos

3) Đặt: t = arccos

3  cost =

3  sint =

2

3 Ta tÝnh sin2t = 2sintcost =

9 c. A = tg(arsin

6) Đặt: t = arsin

6  sint =

6  cost =

35

6 VËy A = tgt =

1 35

d. A = arccos

5 - arccos

4 §Ỉt: x = arccos

5  cosx =

5 ; sinx =

5; y = arccos

4  cosy =

4 ; siny =

15 V× A = x - y  cosA = cos(x - y) =

5

3 15 20

  A = arccos(1

5

3 15 20

 )

e. A = arctg

3 - arctg

4 Đặt: arctg

3 = x; arctg

4 = y  tgx = 3; tgy =

1

A = x - y  tgA = tg(x - y) = tgx tgy

tgxtgy  

1 =

1

13  A = arctg 13

2 Gi¶i: a. arccos(x 3) + arccosx = 

2  arccos(x 3) =



2 - arccosx  x = cos(



2 - arccosx) 

 x = sin(arccosx)  3x2 = - cos2(arccosx)  3x2 = - x2 x = 

2 Thư l¹i lo¹i x = -

b. arcsinx = arccos 1

 x cos(arcsinx) = x2 Đặt: y = arcsinx  x = siny

PT  cosy = 1

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	1,89 MB