Bài 3. Bài tập có đáp án chi tiết về phương trình lượng giác thường gặp | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Tác giả: Nguyễn Minh Thắng ; Fb: https://www.facebook.com/nmt.hnue Chọn C... Lời giải.[r]

Câu 1. [1D1-3.1-2] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Tập nghiệm S phương trình

cos x3cosx0 là

A

S  

 . B S k2 ,k

 

 

   

 .

C

S   

 . D S k k,

 

 

   

 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồ Tú; Fb: Nguyễn Hồ Tú Chọn D.

2 cos

cos 3cos ,

cos 3( )

x

x x x k k

x L

 

 

      



  .

Câu 2. [1D1-3.1-2] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Số nghiệm thuộc khoảng 0;2019 phương trình

4

sin cos 2sin

2

x x

x

  

là:

A 642 B 643 C 641 D 644

Lời giải

Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ Phản biện: Đỗ Hữu Nhân; Fb: Do Huu Nhan Chọn A

 

4

sin cos 2sin sin 2sin sin sin

2 2

x x

x x x x x

         

  sin sin

x

x loai 



  

 (do  1 sinx1) x k k . 0;2019 , 642,

k k    k k  có 642 giá trị k 

phương trình có 642 nghiệm thuộc 0;2019

Câu 3. [1D1-3.1-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Tổng tất nghiệm phương trình cos 5xcos 2x2sin sin 2x x0 đoạn 0;3

A 16

3 

B

11 

C

25 

D 6

Lời giải

 

cos5 cos 2sin sin cos5 cos cos cos5

2

cos

2cos cos 1 , ,

3 cos

2

2

x x x x x x x x

x k

x

x x x m k m n

x

x n

 

 

 

       



    

 

 

        

  

 

   





 

1

1

0 2

1

0;3 ;3 ; ; ;

3 3 3

1

0

3

k k

x m m x

n n

  

   

    

  



   



   

 

 

 

            

  

 



      



  .

Tổng nghiệm thỏa mãn 25

3 

Câu 4. [1D1-3.1-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình:

3

1

cos 3cos cos

3 x  x x   m

có bốn nghiệm thuộc đoạn0;  A.

3

2 m

   

B.

1

3 m 2. C.

1

3 m 2. D.

3

2 m

    Lời giải

Tác giả:Nguyễn Đức Hoạch; Fb: Hoạch Nguyễn Chọn C

Đặt cosx  t Phương trình:

3

1

cos 3cos cos

3 x  x x   m có bốn nghiệm thuộc đoạn0;2 PT

3

1

3

3t  t   t m có nghiệmt 0;1

3

1

3

3t t t m

     

có nghiệm t 0;1

Xét hàm số  

3

1

3

3

f t  t  t  t

với t 0;1 Ta có  

2 6 5 0

5 t f t t t

t          

Vậy

2

3

3

m m

       

Câu 5. [1D1-3.2-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Gọi x nghiệm dương nhỏ phương trình0

2

3sin x2sin cosx xcos x Chọn khẳng định đúng?0 A

3 ;

2 x  

 

 

B

; x  

 . C x0 0;2

 

  

D

3 ;2 x  

  . Lời giải

Tác giả: Phạm Hoài Trung ; Fb: Phạm Hoài Trung Chọn C

2

3sin x2sin cosx xcos x03sin2 x3sin cosx xsin cosx xcos2x0

(3sinx cos )(sinx x cos ) 0x

   

3sin cos sin cos

x x

x x

 



   



3sin cos sin

1 cos

x x x x

 

  

  



1 tan

3

tan

x x

 

 



  

1 arctan

3

x k

x k



 

  

  

   

 k 

0

1 arctan

3 x 

Câu 6. [1D1-3.3-1] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm điều kiện cần đủ a,b, c để phương trình a sinx bcosx c  có nghiệm?

A a2b2  c2 B a2b2  c2 C a2b2  c2 D a2b2 c2.

Lời giải

Tác giả: Lê Phương Anh; Fb: Anh Phương Lê Chọn D

Điều kiện cần đủ a,b, c để phương trình a sinx bcosx c  có nghiệm là:

2 2

a b  c

Câu 7. [1D1-3.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Tập hợp giá trị thực m để phương trình cos 2x2 sin cosm x x có nghiệm là?

A   ; 2 2; B.2; C.2; 2 D.  ; 2 2; Lời giải

Tác giả: Ngô Thị Lý ; Fb: Lý Ngô Chọn D

Ta có: cos 2x2 sin cosm x x 5cos 2x m sin 2x

Phương trình có nghiệm 

2 1 5 4

2 m

m m

m          

 hay m    ; 2 2; Vậy m    ; 2 2;

Bài tập tương tự :

Câu 8. Tập hợp giá trị thực m để phương trình 3sinx m cosx vơ nghiệm là?5

A 4; 4 B 4; 4 C   ; 4 4; D.  ; 4 4; Câu 9. Với giá trị m phương trình  

2

3 sin 2x m 2cos x 1

có nghiệm? A m B.khơng có m C m D  m

Ghi nhớ: Điều kiện tồn nghiệm phương trình sina x b cosx c với a2b2 0 là:

2 2

a b c

Câu 10. [1D1-3.3-2] (Liên Trường Nghệ An) Gọi M và N giá trị lớn nhỏ của biểu thức

cos 2sin

x A

x  

 Giá trị M N A

3

2 B

1

3 C

2

3. D

Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa; Fb: Nghĩa Văn Nguyễn Chọn D

+ Ta có

cos 2sin

x A

x  

 2 sinA xcosx 1 4A

+ Điều kiện có nghiệm x :    

2 2 2

2 0;

3 A   A    A  

 

+ Vậy

2 M 

và N  suy

2 M N 

Câu 11. [1D1-3.3-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tìm điều kiện m để phương trình

2m1 cos 2 x2 sin cosm x x m 1 vô nghiệm?

A m B  

1

;0 ;

2 m   

. C

1

2 m  

D

1

2 m  

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thành Đô; Fb: Thành Đô Nguyễn Chọn D

2m1 cos 2 x2 sin cosm x x m  1 2m1 cos 2 x m sin 2x m 1 Phương trình vơ nghiệm    

2 2 2

2 1 0

2 m m  m  m     m m

Câu 12. [1D1-3.3-3] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hàm số

sin cos

m x

y

x  

 . Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng 10;10 để giá trị nhỏ y nhỏ 1.

A 14. B 13. C 12. D 15.

Lời giải

Tác giả: Hồng Tiến ; Fb: Cơ Tiến Tốn Chọn A

Có cosx   0, x

sin cos

m x

y

x  

 msinx 1 ycosx2  

sin cos 1

m x y x y

   

Coi  1 phương trình ẩn x (tham số ,m y ) Điều kiện có nghiệm phương trình  1 là:

  2 2

2 2 1

m  y  y

 

2

3y 4y m

    

Xét tam thức f y  3y24y 1 m2 có hệ số a  biệt thức:3

 2

4 m 3m 0, m 

       

Do bất phương trình  2 có tập nghiệm:

b b

y

a a

   

      

2

2 3

3

m y m

   

  

Giá trị nhỏ y nhỏ 1 tương đương:

2

2

1

m

   

2

2 3m

    

 3 m2 5  1 3m2 25 m2 

2 2 m

m    

   Vậy m   ; 2  2;

Kết hợp điều kiện m   m  10;10 nên có tất 14 giá trị m thỏa mãn.

Câu 13. [1D1-3.3-3] (CHUYÊN LÊ THÁNH TƠNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Phương trình cos2x7cosx sin2 x7sinx 8 có nghiệm đoạn 2 ; 2 

A 4. B 7. C 6. D 5.

Lời giải

Tác giả:Đoàn Ngọc Hoàng; Fb:Hoàng Đoàn Chọn D

PT cos2x 3sin2x 7 cosx 3sinx 8

1 3

cos2 sin2 cos sin

2 x x x x

   

     

   

cos 7cos

3

x   x

   

      

   

2

1 2sin 7sin

6

x  x 

   

       

   

2

2sin 7sin

6

x  x 

   

       

   

  sin

6

sin

6 x

x l

     

 

  

 

   

 

  

2

6

5

6

x k

x k

  

  

    

 

   



 

2

2 x k

k

x k



 

  

 

  





Vì x  ; 2  nên x 2 ; x0; x2 ;

4 x  

;

3 x 

Câu 14. [1D1-3.3-3] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Số nghiệm 0;2018 

x 

phương trình sin2x1009sin 2x là0

A.4037 B.4036 C.3027 D.2019

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: Thu Thủy Chọn A

2

sin x1009sin 2x 0 sin x2018sin cosx x0

 

sinx sinx 2018cosx

  

sin

sin 2018cos x

x x

 

   



tan 2018 x k

x   

  



 

arctan 2018 x k

k

x k



 



  



 

+ Với x k 0; 2018 k 0;1; 2; 2018 , phương trình ban đầu có 2019 nghiệm thỏa mãn

+ Với xarctan 2018k0; 2018 k 0;1; 2; 2017 , phương trình ban đầu có 2018 nghiệm thỏa mãn

Vậy số nghiệm thỏa mãn toán 4037

Câu 15. [1D1-3.4-2] (Đoàn Thượng) Cho x nghiệm phương trình0

sin cosx x2(sinxcos ) 2x  giá trị P 3 sin 2x0 là:

A.P3 B P2 C P0 D.

2

2 P 

. Lời giải

Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb: Hoàng Điệp Phạm Chọn A

Đặt tsinxcosx Điều kiện t 

2 1 2sin cos sin cos

2 t

t x x x x 

    

Khi phương trình sin cosx x2(sinxcos ) 2x  trở thành:

2 1

2

2 t

t   

2 4 5 0

5 t

t t

t  

        Đối chiếu điều kiện t1 thỏa mãn sinx cosx sin 2x

     Vì x nghiệm phương trình nên 0 sin 2x0   0 P 3.

Câu 16. [1D1-3.4-3] (TTHT Lần 4) Cho phương trình:

 

2

2sin x sin 2x2 sinxcosx  m

Để phương trình có hai nghiệm x x1,

thuộc ;

  

 

 

  ma b;  Giá trị b a là

A 3. B 3. C 4 D 2.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung ; Fb: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung Chọn B

Ta có:

 

 

   

 

2

2

2

2

2sin sin 2 sin cos

2sin sin cos sin cos

3 sin cos sin cos

3 1

sin cos sin cos

2 2

1

sin sin

6

x x x x m

x x x x x m

x x x x m

m

x x x x

m

x  x 

    

     

     

    

     

   



   

      

   

Đặt

sin u x

  , với

1 ;1 u  

  , phương trình  1 trở thành:  

m u  u 

Xét hàm số f u  u2u, với

1 ;1 u  

 .

Đạo hàm:    

/ 2 1, / 0

2 f u  u f u   u

Phương trình  1 có hai nghiệm x x thuộc 1, ;       

  phương trình  2 có

một nghiệm thuộc ;1     

  có hai nghiệm phân biệt thuộc   ; 2         .

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra:

1 3

2 2

4 4

1 m m m m                    

Câu 17. [1D1-3.5-3] (Sở Bắc Ninh) Cho phương trình   

2

2sinx1 tanx2sinx  3 4cos x Gọi T tập hợp nghiệm thuộc đoạn 0;20 phương trình Tính tổng phần tử của T.

A 570

3 . B

875

3  . C

880

3  . D

1150 . Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Thanh Huyền; Fb: Vu Thi Thanh Huyen Chọn B

Điều kiện: ,

 

  

x k k Z

Phương trình cho tương đương với   

2

2sinx1 tanx2sinx 4sin x1

2sinx1 tanx 1

sin tan         x x 6                     x k x k x k 6               x k x k

, k (thỏa mãn điều kiện) *Trường hợp 1: Với

5     x k

, k  1 0; 20  20

6 

  

    

x k 115

12 12



  k

Mà  k nên k0; 1; ; 9  Tổng tất nghiệm thuộc đoạn 0;20 họ nghiệm  1 là:

9             k

S k 295

3  

*Trường hợp 2: Với

 

 

x k

, k   2

0; 20  20

6 

  

    

x k 119

6

   k

Mà  k nên k0;1; ;19  Tổng tất nghiệm thuộc đoạn 0;20 họ nghiệm  2 là:

Vậy tổng phần tử T 875

3 

 

S S

Câu 18. [1D1-3.5-3] (HSG Bắc Ninh) Tổng tất nghiệm phương trình cos3xcos 2x9sinx  khoảng 4 0;3 là

A 5 B

11 

C

25 

D 6

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp, FB: Nguyễn Ngọc Diệp Chọn D

Ta có:  

3

cos3xcos 2x9sinx  4 4cos x3cosx 1 2sin x 9sinx 4

 

 

cosx sin x 2sin x 9sinx

      

       

cosx 2sinx 2sinx 2sinx sinx

       

2sinx 1  2sin cosx x cosx sinx 5 (*)

      

Do

sin cos sin

4 x x x  

  ; 2sin cos x x sin 2x  1 nên: 2sin cosx xcosxsinx 5 sinxcosxsin 2x  5 0

2

1

(*) 2sin sin

5

2

x k

x x

x k

 

 

   

      

  

 k 

Với x k2

 

 

,  

1 17

0;3

6 12 12

x    k       k

 0;1 ;13

6

k  k   x  

 

Z

Với

2

x  k 

,  

5 13

0;3

6 12 12

x     k       k

 0;1 ;17

6

k  k   x   

 

Z

Tập nghiệm phương trình cho là:

5 13 17

; ; ;

6 6

S     

 .

Tổng tất nghiệm 6

Câu 19. [1D1-3.6-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Số nghiệm thực thuộc

3029 ;

3

 

 

 

  phương trình sin

0 cos

x

x  là:

C 1206 D 1261. Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Tuấn ; Fb:Vũ Văn Tuấn Chọn D

Điều kiện cosx    1 x  k2 , k

Với điều kiện phương trình sin

0 sin 3 ,

cos

x k

x x k x k

x

 

       

 

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm

,

x k

x k k

x k

 

 

    



    

    



+) Với x k

 

 

,

3029

; 504,5

3

x    k

  , mà k   nên có 504 nghiệm thỏa mãn

+) Với x k

 

  

,

3029 3031

;

3 6

x    k

  , mà k   nên có 505 nghiệm thỏa mãn

+) Với x k 2,

3029 3029

;

3 6 12

x    k

  , mà k   nên có 252 nghiệm thỏa mãn

Vậy số nghiệm thực thuộc

3029 ;

3

 

 

 

  là: 504 505 252 1261  

Bài tập tương tự :

Câu 20. Tổng nghiệm thực thuộc 2 ;4  phương trình sin

0 cos

x

x  là:

A 11 B 10 C 9 D 12

Câu 21. Tổng nghiệm thực thuộc 0; 2019 phương trình cos

0 sin

x x 

 là:

A 206885, 25 B 206588, 25 C 206424,5 D 206242,5

Câu 22. [1D1-3.7-3] (Sở Hà Nam) Cho phương trình tanx1 sin x2 cosxmsinx3cosx Có giá trị nguyên tham số m0; 2019 để phương trình có nghiệm thuộc khoảng

0; 

 

 

 .

Lời giải

Tác giả: Lại Văn Trung ; Fb:Trung Lại Văn Chọn A

Xét phương trình: tanx1 sin x2cosx msinx3cosx (1) Chia hai vế phương trình (1) cho cos x ta được

    tan tan 2

3 tan tan tan

tan

x x

x x m x m

x

 

     

 (2)

Đặt t tanx , 0;

2 x  

  nên t 1;  Phương trình (2) trở thành :

3

3

2 t t m

t  

 (3)

Nhận xét: Với giá trị t 1;  từ cách đặt t tanx cho ta giá trị1 0;

2 x  

  Do u cầu tốn tương đương với tìm m để phương trình (3) có một nghiệm t1:

Đặt    

3

3

, 1;

2 t t

f t t

t 

  

 Ta có

 

   

4

2

3 15

0, 1;

2

t t

f t t

t

 

     

 Bảng biến thiên hàm f t  :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có nghiệm t1: m Do m 2 m0; 2019 nên m3; 4; ; 2019

Vậy có 2017 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Câu 23. [1D1-3.7-3] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 4cos3xcos 2xm3 cos x 1 có bốn nghiệm khác thuộc khoảng

; 2  

 

 

 

A 2. B 3. C 0. D 1.

Lời giải

Chọn C

Ta có: 4cos3xcos 2xm3 cos x  1 4cos3x2cos2xm3 cos x0

 

2

cos

4cos 2cos

x

x x m

 

     



 cosx x k , k

 

     

khơng có nghiệm thuộc khoảng ; 2  

 

 

 

 Đặt tcosx, x 2;  

 

  

  nên t0;1 Khi phương trình  1  4t2   2t m  2

Ycbt  phương trình  2 có nghiệm phân biệt t t1, thỏa mãn 0t t1, 1.

Cách 1:

Đặt f t  4t2  2t m 3, với t0;1

Khi đó, phương trình  2 có nghiệm phân biệt t t1, thỏa mãn 0t t1, 1

   

13

4

0

3 13

3

1 1 4

1

0 0 1

2 4

m f

m

m

f m

b a

 

 

  

  

 

 

     



 



   

 

 

 

Vì m ngun nên khơng có giá trị nào.

Cách 2:

 2   m 4t2  2t 3 g t 

Ta có bảng biến thiên g t  t0;1

thì

13

4 m  

Vì mngun nên khơng có giá trị

Câu 24. [1D1-3.7-3] (Chuyên KHTN) Cho phương trình

2

cos cos 2sin 0. cos sin

x x x

x x

  

 Tính diện tích đa giác có đỉnh điểm biểu diễn nghiệm phương trình đường trịn lượng giác

A B 2 C

2

2 D

2

Lời giải

Tác giả: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải.

Chọn A.

Điều kiện: sinx cosx x k k,

 

      

Phương trình tương đương: cos 4xcos 2x2sin2x0

2

2 cos 2x cos 2x cos 2x

     

2

cos 2x cos 2x

  

cos

cos

4

x k x

x x k



 

  

 

 



  

 

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm

x k

x k



 

  

   

Biểu diễn nghiệm phương trình đường trịn lượng giác ta điểm cuối cung nghiệm tạo thành hình chữ nhật Đó hình chữ nhật ACA C hình vẽ, đó’ ’

AOC 

Từ ta có, diện tích đa giác cần tính

'C'

1

4S .OA.OC.sin

2

ACA OAC

Câu 25. [1D1-3.7-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Biết m m 0 phương trình

 

2

2sin x 5m1 sinx2m 2m0 có 5 nghiệm phân biệt thuộc  2;3  Mệnh đề sau đúng?

A.m0  1;0. B.m0   4; 2. C.m0 0;2 . D.m0 0;1 .

Lời giải

Tác giả: Nguyên Phi Thanh Phong ; Fb: Nguyên Phi Thanh Phong Chọn A

Đặt tsinx   1 t 1 (1) Phương trình trở thành: 2t25m1t2m22m0  * (2) Xét hai trường hợp:

 Trường hợp 1:

Phương trình  * có nghiệm t1 1 (cho hai nghiệm x ) nghiệm   1 t2 0 (cho ra

ba nghiệm x ).

Do t1 1 nên

2

t m m

Thay t1 1vào phương trình  * , ta có

 

 

2

2

1 1;0

2 1 3

1;0

2

m t

m m

m t

     



    

    

 Vậy giá trị m thỏa mãn.

 Trường hợp 2:

Phương trình  * có nghiệm t1 1 (cho nghiệm x ) nghiệm 0 t2 1 (cho ra

bốn nghiệm x )

Do t1 1 nên

2

t  m m

Thay t1 1vào phương trình  * , ta có

   

2

2

1

0;1

2

2

3 0;1

m t

m m

m t

      

    

      

Vậy

1 m 

thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 26. [1D1-3.7-4] (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Trên đoạn 0;2019 có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m3cos4 xsin -x m có nghiệm0

A 12. B 1. C 2019. D 2020.

Lời giải

Đặt tsinx, t  1;1, phương trình cho trở thành  

2

3 1 0

m t   t m (2)

Phương trình cho có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t  1;1 Xét hàm số    

2

3 1

f t m t  t m

Ta có hàm số f t  liên tục  f  0 m m 1 m1; f     1 m; f  1  1 m Bảng xét dấu

Qua bảng xét dấu, ta thấy:

- Với m0, phương trình (2) có nghiệm t0

- Với m 1, phương trình (2) có nghiệm t0; t 1 - Với m1, phương trình (2) có nghiệm t0; t1

- Với   1 m 0, f    1 f 0 nên phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng 1;0 - Với 0 m 1, f    1 f 0 nên phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng  0;1

- Với

1 m m

    

 , f    1 f 0; f    1 f 0 nên phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng 1;0  0;1

Do đó, với giá trị thực tham số m phương trình (2) ln có nghiệm t  1;1 hay phương trình cho ln có nghiệm

Vậy số giá trị ngun m đoạn 0;2019để phương trình cho có nghiệm 2020 info@123doc.org

Câu 27. [1D1-3.8-4] (Chuyên KHTN) Phương trình sin 2019 x x

có nghiệm thực ?

A.1290 B.1287 C.1289 D.1288

Lời giải

Cách :

Đk: 2019  x 2019

Nhận xét x nghiệm phương trình.0

Nếu x x 0 nghiệm phương trình x x0 nghiệm phương trình

Ta xét nghiệm phương trình đoạn 0; 2019 Vẽ đồ thị hàm số ysinxvà 2019

x y

Ta thấy :

Trên đoạn 0;2 phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng 2 ;4  phương trình có hai nghiệm phân biệt Trên nửa khoảng 4 ;6  phương trình có hai nghiệm phân biệt …

Trên nửa khoảng 640 ;642  phương trình có hai nghiệm phân biệt Trên nửa khoảng 642 ;2019  phương trình có hai nghiệm phân biệt

Như đoạn 0; 2019 phương trình có nghiệm x 321 x +1 = 643 nghiệm dương phân biệt Mà x x 0 nghiệm phương trình x x0 nghiệm

phương trình nên nửa khoảng 2019;0 phương trình có 643 nghiệm âm phân biệt Do đoạn 2019; 2019 phương trình có số nghiệm thực 643 x +1 = 1287 nghiệm Vậy số nghiệm thực phương trình cho 1287 nghiệm

Cách :Theo cách giải Thầy Nguyễn Đắc

Lời giải Chọn B

Đk: 2019  x 2019

Xét hàm số ( ) sin 2019 x f x  x

,ta có f x( ) hàm số lẻ, liên tục R

( )

2019 f x cosx

,

1

( ) 0

2019

f x  cosx     x  k  với

1 2019 cos 

0;   

  Chia 0;2019 thành hợp nửa khoảng k2 ;2  k2( vớik 0;320) và 642 ;2019  

(vì 2019 642,67 )

Xét nửa khoảng k2 ;2  k2( vớik1;320) , ta có f x( ) 0 có hainghiệm

1

x   k  x2    2k2 Ta có

2

( )

2019 k f k     

1

2 ( ) sin

2019 k

f x      2020.2018 2019

k

 

  

do

0;   

  2k  642

2

2

( ) sin

2019 k f x          

2

(2 )

2019 k

f  k        Bảng biến thiên

 Trênk2 ;2  k2 phương trình f x( ) 0 có hai nghiệm phân biệt (với k1;320) Tương tự xét nửa khoảng0;2phương trình có nghiệm nửa khoảng

642 ;2019   phương trình có hai nghiệm.