[r]
(1)2 a sin u bsin u cosu c cos u d+ + =
Cách giải :
( )
Tìm nghiệm u k lúc cos u sin u
2 π
• = + π = = ±
2
Chia hai vế phương trình cho cos u ta phương trình :
• ≠
( )
2
atg u btgu c d tg u+ + = + Đặt t tgu= ta có phương trình :
(a d t− ) + bt c d 0+ − =
Giải phương trình tìm t = tgu
Bài 127 : Giải phương trình
( )
2
cos x− sin 2x sin x *= + Vì cosx = không nghiệm nên
Chia hai vế (*) cho cos2 ≠ 0 ta
( )* ⇔ −1 3tgx =(1 tg x+ )+tg x2 Đặt t = tgx ta có phương trình :
2
2t +2 3t 0=
t t
⇔ = ∨ = −
Vaäy ( )* ⇔ tgx hay tgx= = − ⇔ x k hay x= π = − + ππ k , k∈
Bài 128 : Giải phương trình
( )
3
cos x sin x 3cos x sin x sin x *− − + = • Khi x k cos x sin x
2 π
= + π = = ±1
thì (*) vô nghiệm
• Do cos x 0= không nghiệm nên chia hai vế (*) cho cos3x
ta coù (*) ⇔ −1 4tg x 3tg x tgx tg x3 − + ( + ) =0
( )( )
⇔ + − − =
⇔ + − =
⇔ = − ∨ = ±
π π
⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈
3
2
3tg x 3tg x tgx tgx 3tg x
3 tgx tgx
3
x k x k , k
(2)Bài 129 : Giải phương trình
( )
4 2
3cos x sin x cos x sin x *− + =
Do cosx = không nghiệm nên chia hai vế (*) cho cos x 04 ≠ Ta có : (*) ⇔ −3 4tg x tg x 02 + =
⇔ = ∨ =
π π
⎛ ⎞ ⎛
⇔ = ± = ⎜± ⎟∨ = ⎜±
⎝ ⎠ ⎝
π π
⇔ = ± + π ∨ = ± + π ∈ ⎞ ⎟ ⎠
2
tg x tg x
tgx tg tgx tg
4
x k x k , k
4
Bài 130 : Giải phương trình sin 2x 2tgx *+ = ( ) Chia hai vế (*) cho cos x 02 ≠ ta (*) 2sin x cos x2 2tgx2
cos x cos x cos x
⇔ + = 2
( ) ( )
2tgx 2tgx tg x tg x
⇔ + + = +
3 t tgx
2t 3t 4t
= ⎧ ⇔ ⎨
− + − =
⎩
( )( )
= ⎧⎪
⇔ ⎨ − − +
⎪⎩
t tgx
t 2t t =0
⇔ =
π
⇔ = + π ∈ tgx
x k , k
4
Bài 131 : Giải phương trình
( )
3 sin x sin 2x sin 3x cos x *+ =
( )* ⇔ 2sin x cos x 3sin x sin x cos x2 + − =
( )
•Khi cos x ( sin x= = ±1 ) * vơ nghiệm • Chia hai vế phương trình (*) cho cos x 03 ≠ ta
( )* ⇔
2
2
2sin x 3sin x. 4sin x
cos x + cos x cos x − cos x3 =
( )
( )( )
⇔ + + − =
⇔ − − + =
⇔ − − =
⇔ = = α ∨ = ±
π
⇔ = α + π ∨ = ± + π ∈ α =
2
3
2
2tg x 3tgx tg x 4tg x tg x 2tg x 3tgx
tgx tg x
tgx tg tgx
x k x k , k ( với tg
(3)Bài 132 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003) Giải phương trình
( )
2
cos 2x
cot gx sin x sin 2x *
1 tgx
− = + −
+
Điều kiện sin2x tgx≠ ≠ −1
Ta có : ( )
2
2 cos x cos x sin x
cos 2x cos x sin x
sin x
1 tgx 1 cos x sin x
cos x
− −
= =
+ + +
( ) (
=cos x cos x sin x− tgx = −1 nên, sin x cos x 0+ ≠ ) Do : ( )* cos x 1 (cos x sin x cos x2 ) sin x2 1sin 2x
sin x
⇔ − = − + −
( ) ( )
( )
−
⇔ = −
⇔ − = −
⇔ − = = −
2 cos x sin x sin2x
sin x
cos x sin x sin x cos x sin x
cos x sin x hay sin x cos x sin x (**)
( )
( )
= ≠
⎡ ⎢
⇔ ⎢ = − ≠
⎢⎣ 2
tgx nhận so với tgx
1 sin x tg x cosx 0
cos x cos x
−
( )
( )
π
⎡ = + π ∈ ⎢
⇔ ⎢
− + =
⎢⎣ π
⇔ = + π ∈ ≠
x k , k
4
2tg x tgx vô nghiệm
x k , k nhaän sin 2x
4
Lưu ý : làm cách khác
( )* * 1sin 2x 1(1 cos 2x)
2
⇔ − + − =0
⇔ = +
π
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
3 sin 2x cos 2x
3 sin 2x : vô nghiệm
4
Bài 133 : Giải phương trình sin 3x cos 3x cos x *+ + = ( )
( )* ⇔ (3sin x sin x− ) (+ 4 cos x 3cos x3 − )+2 cos x =0 =
3
3sin x 4sin x cos x cos x
⇔ − + −
Vì cosx = khơng nghiệm nên chia hai vế phương trình cho ta
3
cos x 0≠
(4)( )( )
⇔ − − + + =
= ⎧ ⇔ ⎨
+ − − =
⎩ = ⎧⎪
⇔ ⎨ + − =
⎪⎩
⇔ = − ∨ = ±
π π
⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈
3
3
2
tg x tg x 3tgx t tgx
t t 3t
t tgx
t t
tgx tgx
x k x k , k
4
Bài 134 : Giải phương trình 6sin x 2cos x3 5sin 4x.cos x( )* 2cos2x
− =
Điều kiện : cos2x 0≠ ⇔ cos x sin x 02 − ≠ ⇔ tgx ≠ ±1 Ta coù : (*)
10sin 2x cos 2x cos x 6sin x 2cos x
2cos 2x cos 2x
⎧ − =
⎪ ⇔ ⎨
⎪ ≠
⎩
6sin x 2cos x 5sin 2x cos x tgx
⎧ − =
⇔ ⎨
≠ ± ⎩
( )
3
6sin x 2cos x 10sin x cos x * *
tgx
⎧ − =
⎪ ⇔ ⎨
≠ ± ⎪⎩
Do cosx = không nghiệm (**), chia hai vế phương trình (**) cho ta
3
cos x
( )
6tgx 2 10tgx
* * cos x
tgx
⎧ − =
⎪ ⇔ ⎨
⎪ ≠ ± ⎩
( 2)
t tgx với t
6t t 10t
= ≠
⎧⎪
⇔ ⎨ + − =
⎪⎩
±
= ≠ ± = ≠ ±
⎧ ⎧
⇔ ⎨ ⇔ ⎨
− − = − + + =
⎩ ⎩
t tgx với t t tgx với t
3t 2t (t 1) (3t 3t 1)
= ≠ ±
⎧ ⇔ ⎨ =
⎩
t tgx với t
: vô nghiệm t
Bài 135 : Giải phương trình sin x sin x cos x *− + = ( )
(5)( )( )
= ⎧ ⇔ ⎨
− + + + =
⎩ = ⎧⎪
⇔ ⎨ − + +
⎪⎩
⇔ =
π
⇔ = + π ∈
3
2 t tgx
3t t t
t tgx
t 3t 2t tgx
x k , k
4
=
Bài 136 : Giải phương trình tgx sin x 2sin x cos 2x sin x cos x *2 − = ( + )( ) Chia hai vế phương trình (*) cho cos2x
( ) ( 2 )
2
3 cos x sin x sin x cos x * tg x 2tg x
cos x
− +
⇔ − =
( )
⇔ tg x 2tg x tg x tgx3 − = − +
( )( )
⇔ + − − =
= ⎧ ⇔ ⎨
+ − − =
⎩ = ⎧⎪
⇔ ⎨ + − =
⎪⎩
⇔ = − ∨ = ±
π π
⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈
3
3
2
tg x tg x 3tgx t tgx
t t 3t
t tgx
t t
tgx tgx
x k x k , k
4
Baøi 137 : Cho phương trình
(4 6m sin x 2m sin x m sin x cos x− ) + ( − ) + ( − ) −(4m cos x *− ) = ( )
a/ Giải phương trình m =
b/ Tìm m để phương trình (*) có nghiệm 0, π ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Khi x
2 π
= + πk cosx = sin x = ±1 nên (*) thành : ±(4 6m− )±3 2m 1( − ) =0
⇔ =1 vô nghiệm chia hai (*) cho cos x 03 ≠ thì
( )* ⇔ (4 6m tg x 2m tgx tg x− ) + ( − ) ( + )+2 m tg x( − ) −(4m tg x− )( + )= 0
)
( ) ( ) (
3
t tgx
t 2m t 2m t 4m * *
= ⎧⎪ ⇔ ⎨
− + + − − + =
(6)
( )( )
t tgx
t t 2mt 4m
= ⎧⎪
⇔ ⎨ − − + − =
⎪⎩
a/ Khi m = (*) thành
( )( )
t tgx
t t 4t
= ⎧⎪
⎨ − − + =
⎪⎩ π
⇔ tgx 1= ⇔ x = + πk , k∈
b/ Ta coù : x 0, π ⎡
∈ ⎢⎣ ⎦⎤⎥thì tgx t= ∈[ ]0,1 Xét phương trình : t2 −2mt 4m 2+ − = ( )
( )
2
t 2m t
⇔ − = −
2
t 3 2m
t −
⇔ =
− (do t = không nghiệm) Đặt y f t( ) t2 3( )C
t −
= =
− (d) y = 2m Ta có : ( )
( )
2
2 t 4t y ' f t
t
− +
= =
−
Do (**) ln có nghiệm t = ∈[ ]0,1 yêu cầu toán
( ) ( )
( ) ( )
⎡ =
⇔ ⎢
= ⎢⎣
d y 2m khơng có điểm chung với C d cắt C tại1điểm t
3
2m 2m
2
⇔ < ∨ ≥
m m
4
⇔ < ∨ ≥1
Caùch khaùc :
Y C B T ⇔f(t) =t2 −2mt 4m 2+ − = ( )vô nghiệm [0 1, )
Ta có (2) có nghiệm [ ], ( ) ( ) ( )( )
af
f f hay af
S
Δ ≥ ⎧
⎪ ≥
⎪⎪
∈ ⇔ ≤ ⎨ ≥
⎪ ⎪ ≤ ≤ ⎪⎩
0
0
0 1
0
2
(7)( ) ( )
m m
m
m m hay
m m
⎧ − + ≥
⎪ − > ⎪
⇔ − − ≤ ⎨
− > ⎪
⎪ ≤ ≤ ⎩
2
4
4
4 2
2
0
m
⇔ ≤ ≤3
Do (2) vơ nghiệm [0 1, )⇔ <m hay m>1hay f(1)
4 =
m m
4
⇔ < ∨ ≥
BÀI TẬP Giải phương trình sau :
a/ cos x sin x 3sin x cos x 03 + − =
b/ sin x tgx 12 ( + )= 3sin x cos x sin x( − )+3 =
c/ 2cos x cos2x sin x 02 + +
d/
3 cos x tg x
1 sin x −
= −
e/ sin x 5sin x cos x 3sin x cos x 3cos x 03 − − + = f/ cos x sin x 3sin x cos x 03 + − =
g/ tgx 2 sin x+ =
h/ sin x cos x sin x cos x3 + = −
k/ 3tg x 4tgx cot gx 3cot g x 02 + + + + =
m/ ( sin ) cos ( )
cos
x x
tg x tgx
x
π
+
− + − − =
2
2
3
3
4
n/ sin x cos x sin 2x
+
=
2 Cho phương trình : sin x m sin x cos x2 + ( − ) −(m cos x m+ ) = a/ Tìm m để phương trình có nghiệm