Luyện thi Đại Học : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – 2010 – 2011 - NĐL .PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Quan hệ với đường thẳng: Chứa đường thẳng, vng góc với đ thẳng và song song với dường thằng 1)Cho(d 1 ) là giao tuyến của 2 mp: α α − + − = + − + = 1 2 ( ) : 2 4 0; ( ) : 2 2 4 0x y z x y z ; (d 2 ) : 1 2 1 2 x t y t z t = + = + = + a)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và song song (d 2 ). ĐS : 2x – z = 0 b)Cho M(2;1;4) .Tìm toạ độ điểm H thuộc (d 2 ) sao cho MH nhỏ nhất ? ĐS : H(2;3;3) 2.Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d 1 và d 2 biết: 1 2 : 2 3 x t d y t z t = + = + = − 2 1 2 1 : 2 1 5 x y z d − − − = = ĐS:3x – y – 4z + 7 0= . 3)(d) : 1 3 2 2 3 4 x y z− + − = = ,(d’) : 2 1 4 2 3 4 x y z+ − − = = a.Chứng minh : (d) // (d’) . b.Viết PTmp chứa (d) và (d’) .ĐS : 10x + 16y – 17z + 72 = 0 . 4. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : 1 3 1 1 4 x y z− − = = và điểm M(0 ; - 2 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng ∆ đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4. ĐS:4x - 8y + z - 16 = 0. Hay 2x + 2y - z + 4 = 0. 2. Quan hệ giữa hai mặt phẳng 1. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3 . Đs: x-y+z+2=0 7x+5y+z+2=0 2.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3).Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. ĐS:6x+3y+2z-18=0 3. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Viết phương trình mphẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. ĐS: M( 2 ; 3 ; - 7 ) . PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. 1. Viết phương trình đường thằng 1.Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng : (d 1 ) qua A(1;1;-2) song song với (P) :x – y – z – 1 = 0 và vuông góc với (d) : 1 1 2 2 1 3 x y z+ − − = = ĐS : 1 1 2 2 5 3 x y z− − + = = − 2.Viết PT chính tăùc của đường thẳng (d) qua A(1;1;-2) song song (P) : x – y – z – 1 = 0 và vuông góc với (d 1 ) : 1 1 2 2 1 3 x y z+ − − = = ĐS : 1 1 2 2 5 3 x y z− − + = = − 3.Lập PTĐT đi qua A(0;1;1) vuông góc với (d) : 1 2 3 1 x y z − + = = và cắt (d’): 2 0 1 0 x y z x + − + = + = ĐS : 1 1 1 1 2 x y z− − = = − 4.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d với d : x 1 y 1 z 2 1 1 − + = = − .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vng góc với đường thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d ĐS:d x 1 2t y 1 t z t = + = − + = − M’ 8 5 4 ( ; ; ) 3 3 3 − − 5. Trong kgian Oxyz, cho mp (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đthẳng d 1 : 1 1 2 2 3 1 x y z+ − − = = , d 2 : 2 2 1 5 2 x y z− + = = − 1 Viết ptrình đthẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 . ĐS:d: 1 2 4 3 5 x t y t z t = + = − = − 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình: x 1 2t y 1 t z t = + = − + = − Viết ptrình tham số của đhẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d. ĐS: x 2 t y 1 4t z 2t = + = − = − 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng 1 2 : 1 2 1 − − = = x y z d và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng d′ đi qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d. 1 3 3 ': 1 1 1 x y z d − − − = = − . 8. Trong kgvới hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình: x 1 2t y 1 t z t = + = − + = − Viết ptrtham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d. ĐS: x 2 t y 1 4t z 2t = + = − = − 9. Cho hai đường thẳng có phương trình: 1 2 3 : 1 3 2 x z d y − + = + = 2 3 : 7 2 1 x t d y t z t = + = − = − Viết phương trình đường thẳng cắt d 1 và d 2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). ĐS: 3 2 10 10 1 2 x t y t z t = + = − = − 10.Cho hai đường thẳng có phương trình: 1 2 3 : 1 3 2 x z d y − + = + = 2 3 : 7 2 1 x t d y t z t = + = − = − Viết ptrình đthẳng cắt d 1 và d 2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). ĐS: 3 2 10 10 1 2 x t y t z t = + = − = − 2. Xét vị trí tương đối của đường thẳng 1. Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P). ĐS: ∆ : 3 4 1 6 1 x t y t z t = − = − + = + 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x 2 y 2 z 1 1 1 + − = = − và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đthẳng ∆. ĐS: x 3 y 1 z 1 1 2 1 + − − = = − 3. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : (d) x 1 3 y z 2 1 1 2 + − + = = − và (d’) x 1 2t y 2 t z 1 t = + = + = + Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng . 2 4. Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng : (d) x t y 1 2t z 4 5t = = + = + và (d’) x t y 1 2t z 3t = = − − = − . CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau .Viết ptm phẳng chứa 2 đt ấy. 5 .Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng ( ) 2 1 13 2 : 1 − − == + z y x d và vuông góc với đường thẳng ( ) tztytxd +=−=+−= 2;5;22: 2 ( Rt ∈ ). ĐS: 1 1 1 1 3 1 − − = − = − zyx 3. Khoảng cách 1. Cho đt += = = ∆ tz ty tx 31 : và mp(P): 2x + y – z + 5 = 0. Chứng tỏ )//(P ∆ . Tính khỏang cách từ ∆ đến mp(P). 4. Một số bài toán khác 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d 1: 1 1 2 ;( ) 1 2 x t y t t R z t = + = + ∈ = + , đường thẳng d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0. Gọi I là giao điểm của d 1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng d 3 qua A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I. ĐS:d 3 : 2 3 ;( ) 1 2 x y t R z t = = ∈ = + 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : 1 1 1 2 1 1 x y z+ − − = = − ; d 2 : 1 2 1 1 1 2 x y z− − + = = và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆, biết ∆ nằm trên mp(P) và ∆ cắt hai đthẳng d 1 , d 2 . ĐS: 1 2 1 3 1 x y z− − = = − BÀI TOÁN VỀ TÌM ĐIỂM Bài 1. Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và các đường thẳng 1 1 3 : , 2 3 2 x y z d − − = = − 2 5 5 : . 6 4 5 x y z d − + = = − Tìm điểm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2. ĐS: ( ) ( ) 1 3;0;2 , 1; 4;0t M N= ⇒ − − ; ( ) 0 1;3;0t M= ⇒ Bài 2.Trong kg Oxyz, cho hai đường thẳng: 1 ( ) : 1 1 2 x y z d = = và 2 1 1 ( ) : 2 1 1 x y z d + − = = − Tìm tọa độ các điểm M thuộc 1 ( )d và N thuộc 2 ( )d sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng ( ) : – 2010 0P x y z+ + = độ dài đoạn MN bằng 2 . ĐS: (0; 0; 0), ( 1; 0;1)−M N hoặc 4 4 8 1 4 3 ( ; ; ), ( ; ; ) 7 7 7 7 7 7 −M N . Bài 3.Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC). ) 3 2 ; 3 2 ; 3 4 (' − O Bài 4.Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), ( )DH ABC⊥ và 3DH = với H là trực tâm tam giác ABC. Tính góc giữa (DAB) và (ABC). ĐS: arctan( 6 / 3) ϕ = 3 Bài 5.Cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có phương trình tham số 1 2 1 2 x t y t z t = − + = − = .Một điểm M thay đổi trên đthẳng ∆ , tìm điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: ( ) 1;0;2M và ( ) min 2 29AM BM+ = . Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng ∆ 1 : x 1 y z 9 1 1 6 + + = = ; ∆ 2 : x 1 y 3 z 1 2 1 2 − − + = = − . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ 1 sao cho khoảng cách từ M đến đthẳng ∆ 2 và khoảng cách từ M đến m p (P) bằng nhau. ĐS: M (0; 1; –3) , M 18 53 3 ; ; 35 35 35 ÷ MẶT CẦU 1.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng: ( ) 1 x 1 d : y 4 2t z 3 t = = − + = + và ( ) 2 x 3u d : y 3 2u z 2 = − = + = − a)Chứng minh rằng (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. b)Viết ptr mặt cầu (S) có đkính là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). ĐS: ( ) ( ) 2 2 2 1 49 x 2 y z 1 2 4 − + + + − = ÷ 2.Trong k gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có A(1, 0, 0); B(0, 2, 0); C(0, 0, 3) và D(-2; 2; -2). 1)Tính thể tích tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt phẳng (BCD). 2) Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng BD đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng ( P): x + y + 2z – 2= 0 và ( Q) : 2x – y – z – 1 = 0. ĐS: 8 3 (BCD): 2x – 3y - 2z + 6 = 0. 2 2 2 3 3 27 ( ) ( 2) ( ) = 2 2 8 x y z+ + - + + 2 2 2 3 3 27 ( ) ( 2) ( ) = 4 4 32 x y z- + - + - 3.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 = 0, đường thẳng d: 1 7 3 1 2 x t y t z t = + = = − . Viết phương trình mặt cầu (S) cắt (Q) theo thiết diện là hình tròn có diện tích bằng 20 π và có tâm là giao của d với (P) . ĐS: ( ) ( ) 2 2 2 110 1 1 3 x y z − + + − = 4.Cho đường thẳng (d) : x t y 1 z t = = − = − và 2 mp (P) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q) : x + 2y + 2z + 7 = 0 a. Viết phương trình hình chiếu của (d) trên (P) b. Lập ph.trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) ĐS: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 x 3 y 1 z 3 9 − + + + + = 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) : ( ) ( ) 921 2 2 2 =+++− zyx . Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a : 22 1 1 − = − = zyx và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng 2 ĐS: (P 1 ) : 053522 =+−−+ zyx và (P 2 ) : 053522 =−−−+ zyx 6.Trong kgian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 2 5 1 1 3 4 : 1 − + = − − = − zyx d 13 3 1 2 : 2 zyx d = + = − Viết ptrmặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d 1 và d 2 ĐS: ( ) 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 6x y z − + − + + = 4 7. Cho hai mặt phẳng ( ) ( ) : 2 2z + 5 = 0; Q : 2 2z -13 = 0.P x y x y+ − + − Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) và tiếp xúc với cả hai m.phẳng (P) và (Q). ĐS: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 9x y z− + − + − = và 2 2 2 658 46 67 9 221 221 221 x y z − + − + + = ÷ ÷ ÷ 5 . mp(P) và ∆ cắt hai đthẳng d 1 , d 2 . ĐS: 1 2 1 3 1 x y z− − = = − BÀI TOÁN VỀ TÌM ĐIỂM Bài 1. Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và các đường thẳng. . Bài 3.Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC). ) 3 2 ; 3 2 ; 3 4 (' − O Bài