Nghien cuu Tich vo huong

Chøng minh r»ng:... Cho h×nh chãp S ABC.[r]

Tìm hiểu thêm tích vô hớng

Định nghĩa: (Có nhiều định nghĩa tích vơ hớng hai véc tơ, ta nêu số định nghĩa quen thuộc chơng trình phổ thơng).

Cho hai véc tơ u,v(0) tích vơ hớng hai vec tơ kí hiệu u.vđợc xác định

nh sau: u.vu.v.cosu,v

Trong hệ toạ độ Oxy tích vơ hớng cịn đợc xác định nh sau: Cho ux1,y1 ,v x2,y2

 

u.v x1.x2 y1.y2 



Trong hệ toạ độ oxyz tích vơ hớng đợc xác định Cho ux1,y1,z1 ,v x2,y2,z2

 

u.v x1x2 y1y2 z1z2 

Ngoài ta viết 2 2

2

.v u v u v u     

Từ định nghĩa ban đầu ta suy u.vu.v (*)

Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức. Thí dụ 1. Cho ba số x,y,zdơng Chứng minh rằng:

2

2 x y z

y x

z x z

y z y

x  

     

Giải. Trong hệ toạ độ Oxyz lấy ; ; ,v y z; z x; x y,

y x

z x z

y z y

x

u    

  

  

 



 

Theo (*) ta suy ra:

   

2 2

2 y z z x x y

y x

z x z

y z y

x z

y

x      

  

  

       

Hay

2

2

2 x y z

y x

z x z

y z y

x  

    

(đpcm)

Dấu = xảy hai vÐc t¬ cïng híng x y z

y x

z x z

y z y

x

        

ThÝ dơ 2. Víi sè a,b,c,d bÊt k×, cmr: a2 b2 c2 d2 a c2 b d2

     



Giải. Chọn ba véc tơ wac,bd ,ua,b ,vc,d ta cã:

   2  2

.u v a c b d w 

Mặt khác: w.u v w.u v a c2 b d2. a2 b2 c2 d2

   

    

    



Từ hai điều suy ra: a2b2 c2d2  ac2bd2 (®pcm)

ThÝ dơ 3. Trong tam gi¸c ABC chøng minh r»ng:

2 cos cos

cosA B C 

Giải. Gọi đờng trịn (I;r) nội tiếp ABC có tiếp điểm A1,B1,C1 lần lợt

thuộc BC,CA,AB xét:

2 1

IA IB IC

 

  

 

 

1 1 1 2

1  

                    IA IC IC IB IB IA IC IB IA (1)

Mµ ; cos ; cos ; 2.cos

1 1 1 1

1 IB IC r IA IB r C IB IC r A IC1 IA r B

IA      

         Nªn

(1) 2 2cos cos cos 

 

 

 r r A B C

 cos cos

cosA B C

Dễ thấy đấu có đợc I trùng với G hay tam giác ABC

ThÝ dơ 4. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC cã:

4 sin

sin

sin2 2  

 B C

A Từ

cmr: sin sin

sinA B C 

Giải. Gọi (O;R) đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC xét:             OC OB OA

2 2

                      OA OC OC OB OB OA OC OB

OA (1)

Ta cã: 2 2 2sin2

2

2 OB OA OB OA OB AB R R C

OA OB

OA      

                 

Tơng tự cho hai tích vơ hớng cịn lại ta thu đợc: (1) 2.sin2 sin2 sin2 

 

 

 R R A B C

 sin

sin

sin2 2  

 B C

A

Dấu có đợc O trùng với Ghay tam giác ABCđều

§Ĩ chøng minh:

2 3 sin sin

sinA B C Ta chọn usinA;sinB;sinC ,v1;1;1 áp

dụng (*) ta cã ngay:

2 3 sin sin sin sin sin

sin 2

     

 B C A B C

A

Dấu đạt đợc tam giác ABCđều

Vận dụng toán liên quan đến ph ơng trình hệ ph ơng trình.

ThÝ dụ 5. Giải phơng trình sau:

1 2   

 x x

x

Giải. Điều kiện x

Chọn 

         ; 1 , ; 2 x x x v x

u  , ¸p dông (*) ta suy ra:

1 2        

 x x

x x

x x

Nh dấu đạt đợc khi: 1 2     x x x

Kết luận phơng trình cho có nghiệm

7



ThÝ dơ 6. Gi¶i hƯ phơng trình sau:



 

 

0 0 1

2 2

zy z

zx y

yz x

Giải. Chọn ba véc tơ: uy;z,vx;z,wy; x

Từ phơng trình thứ ba suy ra: u.v0

Từ phơng trình thứ hai suy : u.w0

NÕu u0 th× suy v,w cộng tuyến x2yz0 trái với phơng trình đầu Nh u0 hay yz0 Từ pt đầu

    yz x

x

KiĨm tra l¹i ta cã nghiƯm cđa hƯ (x;y;z) là: (1;0;0) (-1;0;0)

Thí dụ 7. Giải hệ phơng trình sau: 2

3 3

1 1

x y z

x y z

x y z

   



   



   

Giải. Chọn u x y z v x y z ; ; ,  2; ;2 2 từ đề suy u 1, u v x3 y3 z3 1.

  

Mặt khác ta l¹i cã v  x4y4z4  1 2 x y2 2y z2 2z x2 2 1. Nªn suy u v. 1   

Nh dẫn đến

 

 

0

1, 0,

1

0, 1,

0

cos ,

0, 0,

,

xy

x y z

v yz

x y z

zx u v

x y z

u v

 

  

 

  

       

   



 

    



 

 

 

 

Thử lại ta đợc nghiệm hệ x y z; ;  1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1    

ThÝ dô 8. Gi¶i hƯ

 

   

     

    

     

   

  

2 2

2

1 3

2

0 3

2

0 1

z y

z x z

z x y z

x

yz y

x

Gi¶i Chän ux;y ,v y1;z,w2z 3;x z

Tõ pt đầu suy ra: u.v0 (1)

Từ pt hai suy ra: u.w 0 (2)

Tõ pt ba suy ra: v2 w2

 (3)

NÕu u0  xy 0 thay vµo hƯ suy ra: z 1 hc z 2

NÕu u0 tõ (1) vµ (2) suy v,w céng tuyÕn

Mà từ (3) có v2 w2

nên ta suy ra: vw

Víi

   

    

  

zx zy zxz

zy wv

Thay y z, vào (1) ta đợc , ,

 

 y z

x

Víi

   

    

  

0 24 231

x zy xzz

z y wv

Thay vào (1) ta đợc x0,y 4,z 0 x 0,y 0,z 2

KÕt ln nghiƯm cđa hƯ (x;y;z) lµ: (0;0;1), (0;0;2), (0;4;0) vµ ; ;

   

 

ThÝ dơ 9. Gi¶ sư hƯ

   

  

  

16 3

2

2

z yz y

y xy x

cã nghiÖm Cmr: xyyzzx8

Gi¶i. Chän 

  

  

 

   

  



2 ;

3 ,

3 ;

z y z v x x y

u  Tõ hÖ ta cã: u  3,v 4

Mặt khác: uv xyyzzx

3

 , mµ . . 4 3.

 u v

v

u  

Nh vËy suy ra: xyyzzx8.(®pcm)

ThÝ dơ 10. Cho a,b,c,d R Cã a2b2 c2d21 vµ acbd 0 TÝnh abcd

Giải. Chọn ua;b,vc;d Khi theo đề có: u v 1 u.v0

Do u.v0 nªn ua;b céng tun víi w d;c.Theo gt cã u w 1.Nªn

w u



NÕu     .0

  

  

 ab dc ab dc

cb d a w u 

NÕu     .0

  

  

 ab dc ab dc

c b

da w

u 

KÕt luËn: abdc0

ThÝ dơ 11. Gi¶ sư hƯ

    

 

 

 

b ay cx

a cy bx

c by ax

cã nghiÖm, cmr: a3 b3 c3 3abc

  

Giải. Chọn ua;b;c,vb;c;a,wc;a;b mx;y;1 Nh hệ tơng đơng

    

  

0 .

0 .

0 .

m w

m v

m u

 

 

 

, m0 nªn ta suy ba vÐc t¬

a b c vb c a wc a b

u ; ; , ; ; ,  ; ; đồng phẳng Mặt khác ta dễ dàng kiểm tra đợc góc u,v v,ww,u Điều tơng đơng với uvw u,v v,ww,u =

3 2

NÕu uvw th×  abc  a3b3c3 3abc.(®pcm)

NÕu u,vv,ww,u=

3 2

th× suy uvw    .0

    

 

 

 

 a b c

b a c

a c b

c b a

Theo đẳng

thøc a3b3c3 3abcabca2b2c2 ab bc ca

 a3b3c3 3abc0 a3b3c3 3abc.(đpcm)

Thí dụ 12.Giả sử hệ

 

  

  

4 8

2 2

zx yz xy

z y x

cã nghiÖm, cmr:

3 , ,

 

 x y z

Gi¶i. (Quy íc số có dấu dơng âm)

Do vai trò x y z, , nh nên ta cần chứng minh cho biến x đủ Từ hệ ta đợc x y z, , dấu Thật không tổng quát: Giả sử x,y 0;z0.Ta 4.

2

2

2 2 2

       

 xy x y x y z ( Vô lí)

Giả sö x0;y,z0 Ta suy ra: 4

2

2

2 2 2

      

yz y z x y z (Vô lí)

Nên ba số x,y,z 0 hc x,y,z0

Ta cã xyz2x2y2z22xyyzzx, theo gt suy ra:

  

 

   

      

4 16

2

z y x

z y x z y x

-Trêng hỵp xyz 4  x,y,z 0

Trong hệ tọa độ oxyz chọn điểm Mx;y;z thay đổi, chọn A1;1;1 nh  ; ; ,  1;1;1



OA z y x

OM tõ gt   8, 

 

OA

OM OM .OA xyz4 Từ

suy khix,y,z thay đổi 

OM nằm góc phần tám thứ tạo víi



OA góc khơng đổi Chiếu M lên trục Oxta xác định đợc hoành độ x hay

.cos( , )

x OM OM Ox               , nh x đạt giá trị lớn phụ thuộc vào góc MOx Xét

trong gãc tam diÖn (OM OA Ox, , ) ta lu«n cã AOM  AOx MOxAOM AOx

Mặt khác AOM, AOx không đổi nên MOx đạt lớn hay nhỏ ba

đ-ờng thẳng OA, OM, Ox đồng phẳng OM,OA i 0 yz

  



    Víi y z thay vµo

hệ đợc

  

 

 

3

x x

Tøc trờng hợp

3 0x

- Trêng hỵp xyz 4  x,y,z 0 §Ỉt x a;y b;z cvíi a,b,c0 ta

quay vỊ trêng hỵp võa xÐt

3 4

3

0        

 a x x

Nh từ hai trờng hợp cho ta kết

4

 

 x

Vai trò x,y,z nh nên ta có đợc , ,

 

 x y z (®pcm)

VËn dụng t tởng giải toán sau: ThÝ dơ 13. Cho c¸c sè a b c x y z, , , , , 0 Chøng minh r»ng :

 2 2  2 2 2   

3

ax by cz   a b c x y z  a b c x y z   

Giải. Chọn véc tơ u a b c  ; ; , vx y z; ; , w1;1;1 BĐT là:

   

2

3

u v u v                 u w v w  

Chia hai vế cho u v  ý đến w 



ta cã:

1

u v u w v w

u v   u w v w

           

Gäi   u v  , ,                u w, ,  v w,  B§T trë thµnh:

cos 1 cos cos 

Từ gốc tọa độ O kẻ ba véc tơ OA u OB v OC w  ,   ,  Theo đề a b c x y z, , , , ,

nên đoạn thẳng OA, OB, OC nằm góc phần tám thứ nhÊt XÐt gãc tam diÖn OA,OB,OC suy AOBAOCCOB      Suy

 

cos cos 

Suy ra: cos cos  cos 

cos 2cos cos

    

  

    

  

DÊu =   vµ  2

Cuối xin đa tốn hình học nhng cách giải lại mang đậm chất đại số

Thí dụ 14. Cho hình chóp S ABC có SA SB SC, , vng góc với đơi một, M điểm thuộc phần tam giác ABC Gọi   , , lần lợt góc đ-ờng thẳng SM với SA SB SC, , Chứng minh cos2 cos2 cos2 1.

  

Giải. Lấy SM SA SB SC, , , véc tơ đơn vị lần lợt m, a, b, c Theo đề suy ra:

- Ba véc tơ a b c, ,  vng góc với đơi

-Tồn số thực x y z, , để m x a y b z c    (1)

Tõ (1) suy x2 y2 z2 1

   (*)

Nh©n hai vÕ (1)lần lợt với véc tơ a, b, c bình phơng lên ta suy

2 cos2

x   ,y2 cos2 , z2 cos2

Nh vËy theo (*) suy ra: cos2 cos2 cos2 1.

    (®pcm)