Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 02

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh, sinh viên Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 02 dành cho tất cả các bạn học sinh khối A, A1, B, D. Đề thi gồm có 9 câu hỏi tự luận có kém đáp số và hướng dẫn giải chi tiết. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2015 Mơn: TỐN; Khối A, A1, B, D Thời gian làm 180 phút Facebook: Dangquymaths NĐQ 0982473363 Đề số 02 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  2 x  x  (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y  mx 1 cắt đồ thị hàm số (C) ba điểm phân biệt A  0;1 , B, C cho B trung điểm đoạn AC Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: 1  sin x   2sin x   cos x   2sin x    1 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: x  3x   1   x   x  Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: log3 1  log 1  3log x    Câu (1,0 điểm) Có năm đoạn thẳng có độ dài 2cm, 4cm, 6cm, 8cm, 10cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng năm đoạn thẳng Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy tạo thành tam giác Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Hình chiếu vng góc S điểm H thuộc đoạn AB cho BH  AH Gọi I giao điểm HC BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SCD) theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 10, đường thẳng AD có phương trình x  y  Lấy M đối xứng với D qua C, đường thẳng BM có phương trình x  y  10  Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết B có hồnh độ dương  x x  y  y  x  x3  x  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:   x; y  R   x  y  x   y  x  1   Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn biểu thức: P a b c   bc ca a2  b2  c2 HẾT 1   Tìm giá trị nhỏ a b2 2c Facebook: Dangquymaths HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  2 x  x  (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y  mx 1 cắt đồ thị hàm số (C) ba điểm phân biệt A  0;1 , B, C cho B trung điểm đoạn AC a) HS tự s g b) Hoành độ giao điểm đường thẳng  : y  mx  đồ thị hàm số (C) nghiệm phương trình: 2 x3  x   mx  x  x  mx   x x  x  m  *   Để đường thẳng  cắt đồ thị hàm số (C) ba điểm phân biệt phương trình * có ba nghiệm phân biệt f  x   x  x  m  có hai nghiệm phân biệt khác   '  9  m   m      f  m      m  Ta thấy A  0;1 , giả sử B  x1 ; y1  , C  x2 ; y2  x1 ; x2 nghiệm phương trình f  x   , x1  x2  m Để B trung điểm đoạn AC  x2  x1  x2  x1  x2  x1    x2  x1     mx   mx  1  y  y mx  mx    2   Do đó: x1  x2  x1 x2    x1  x2   x1    x  x  x2    Vậy ta có:  m  m   x1 x2   Với m  thỏa mãn điều kiện đề Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: 1  sin x   2sin x   cos x   2sin x  PT   3sin x  2sin x   3cos x  2sin x cos x      2cos x  sin x cos x  sin x  cos x  Đặt t  sin x  cos x t  2 PT  t  3t     t  1 + Với t  2 Facebook: Dangquymaths    sin x  cos x  2  sin  x    1  x    k 2 3  + Với t  1   x   k 2    sin x  cos x  1  sin  x       3    x    k 2    1 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: x  3x   1   x   x  Điều kiện: x   1 PT   x  x     x  1     x    x  1  1   x  x    x     1   x    x  x  1   x  x    1   x  x    x     x  4x    x  x    1   0  x  x  x 1  x2  x    x  Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: log3 1  log 1  3log x    + Điều kiện:  log 1  3log x   0;1  3log3 x  0; x  + PT   log 1  3log x    log 1  3log3 x     3log3 x  8 +  3log x   log x   x  3 + Thử lại thấy thỏa mãn Câu (1,0 điểm) Có năm đoạn thẳng có độ dài 2cm, 4cm, 6cm, 8cm, 10cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng năm đoạn thẳng Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy tạo thành tam giác + Xét ba đoạn thẳng có độ dài a, b, c thỏa mãn a  b  c  ; điều cận để ba đoạn thẳng tạo thành tam giác a  b  c; b  c  a; c  a  b  b  c  a + Do 2, 4, 6, 8, 10 lập thành cấp số cộng có cơng sai a, b, c  2, 4, 6,8,10 nên a  b  b  c  + Mà b  c  a  b   c   c   b   a  + Nếu a  b, c   4;6    a, b, c   8; 6;  + Nếu a  10 b, c   4;6;8    a, b, c   10;8;  ; 10;8;6  + Ta có ba  a, b, c  thỏa mãn ba cạnh tam giác + Số phần tử không gian mẫu   C53  10 + Số phần tử không gian biến cố  A  + Xác suất biến cố A: P  A  A   10 Facebook: Dangquymaths Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Hình chiếu vng góc S điểm H thuộc đoạn AB cho BH  AH Gọi I giao điểm HC BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SCD) theo a S + Dễ thấy SH   ABCD  + SH  BH AH  a K + Thể tích khối chóp S.ABCD: A a3 V  SH S ABCD  (đvtt) d  I ,  SCD   IC   + Ta có d  H ,  SCD  HC H E I  d  I ,  SCD    d  H ,  SCD   + Vì BI phân giác góc B nên: D B C IC BC IC     IH BH HC + Gọi E hình chiếu H CD, kẻ HK vng góc với SE ta có HK vng góc với mặt phẳng (SCD) + Ta thấy 1 a 22      HK  2 HK HS HE 2a a 11 Vậy khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD): d  I ,  SCD    3a 22 55 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 10, đường thẳng AD có phương trình x  y  Lấy M đối xứng với D qua C, đường thẳng BM có phương trình x  y  10  Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết B có hồnh độ dương N A D + Gọi N giao điểm BM AD + Tọa độ điểm N nghiệm hệ 3 x  y  x    N  2;6   2 x  y  10   y  B C + Dễ thấy A trunh điểm DN  ANB  450 Do tam giác ANB vng cân A Do AD  AN  AB  ABCD hình vng Mà S ABCD  10  AB  10  NB  20 ANB  Ta tính cos  + Vì B thuộc BM nên B  b;10  2b  ; b  + Do NB  20 nên ta có:  b  2    2b   20  b   B  4;  + Phương trình đường thẳng AB : x  y  10  M Facebook: Dangquymaths  x  y  10  x    A 1;3 3 x  y  y  + Tọa độ điểm A nghiệm  + Vì A trung điểm ND nên  D  0;    + Ta có: BC  AD  C  3; 1 Vậy A 1;3 ; B  4;  ; C  3; 1 ; D  0;   x x  y  y  x  x3  x  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:   x  y  x   y  x  1   Điều kiện: x  1; y   x; y  R  PT 1  x x  y  y  x x  x  x x   x2  y  x2  x  x  y x  y  x   x y  x y x2  y  x2  x Với x  y ta có PT    x  x  x   x  x  1   x  x  x   x  x  1     x  x 1    x  x 1   x   x  x 1  25 25  y 16 16 25 25  ;   16 16  Vậy nghiệm hệ phương trình:  x; y    Chú ý: với nghiệm x lẻ, ta dùng 570VN bấm nghiệm, dùng kỹ thuật gọi nghiệm, giá trị x tương ứng Chúng ta đặt t  x  x  1 Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn   Tìm giá trị nhỏ a b 2c biểu thức: P  Ta có P c2 c2   , đặt x  c ; y  c  x  y  ; x  0; y  Dễ thấy x  y  1; xy  a b a b x y   y  x  1 x  y  1 P2 a b c   bc ca a  b2  c2  x  y  xy  x2 y2 2 x2  y  x2 y x2 y  x2 y2 2  xy   x  1 y  1 x2 y2  x2 y2  x2 y  x2 y 2 Facebook: Dangquymaths Đặt t  xy  t   0;   P  f  t    Có f '  t    4 t  2  t  t2 t2   1   f  t  nghịch biến với t   0;   4 1  t2   2  t 1  P  f  t   f    Dấu xảy t   a  b  2c 4 CHÚC CÁC EM THI TỐT! ... HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  2 x  x  (C) a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y  mx 1 cắt đồ thị hàm số (C) ba điểm phân... điểm đường thẳng  : y  mx  đồ thị hàm số (C) nghiệm phương trình: 2 x3  x   mx  x  x  mx   x x  x  m  *   Để đường thẳng  cắt đồ thị hàm số (C) ba điểm phân biệt phương trình... log x   x  3 + Thử lại thấy thỏa mãn Câu (1,0 điểm) Có năm đoạn thẳng có độ dài 2cm, 4cm, 6cm, 8cm, 10cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng năm đoạn thẳng Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy tạo thành