Đang tải... (xem toàn văn)
Coi Trái Đất là một quả cầu cứng bao phủ bởi một lớp nước trên bề mặt và cho rằng khi Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất thì sự phân bố bề dày của lớp nước này trong hệ qui chiếu xyz k[r]
(1)TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN THIÊN VĂN HỌC
Bài 1(ol-5)Một tàu vũ trụ bay quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo trịn bán kính gấp đơi bán kính Mặt Trăng.Hỏi phải bắn vật khỏi tàu A theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo với vận tốc tàu để vật rơi xuống mặt trăng B đối diện với A.Biết bán kính Mặt Trăng R=1,7.106m ,gia tốc rơi tợ
do Mặt Trăng g=1,67m/s2
đs: gR 12 13219m/s
Giải
Vật m bắn khỏi tàu phải chuyển động quỹ đạo elíp tiếp xúc với Mặt Trăng B Vật m A có vận tốc v1 tâmMặt Trăng sau đến B có vận tốc v2 tâm Mặt Trăng Gọi khối lượng
của Mặt Trăng M ,thì gia tốc rơi tự Mặt Trăng là: g=GMR Sử dụng định luật bảo toàn năng: wA=wB
mv G mv2 GmMR v22 v12 gR (1)
2 R mM
1
1
Sử dụng định luật III Keple :
21v1. .t2R 21V2 .tR 2v1v2 (2)
Từ (1)(2) cho v1 gR3 (3)
Con tàu vũ trụ có khối lượng mt chuyển động tròn quỹ đạo (o,2R):
gR
R
2 v t m R
M t
m v v
G Vậy phải nén vật phía sau với vận tốc :
219m/s
gR v
v
v 13
2 1
0
Bài (ol-5)Một vệ tinh nhân tạo khối lượng M chuyển động theo quỹ đạo elíp quanh Trái Đất Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vị trí gần xa vệ tinh h,H
Xác định toàn phần vệ tinh
Xác định vận tốc vệ tinh vị trí cách tâm Trái Đất khoảng l Xác định chu kì quay vệ tinh
Xác định khối lượng Trái Đất sử dụng số liệu thu từ vệ tinh nhân tạo Côxmot 380: T=102,2phút;h=6588km;H=7926km
ĐS: a) ;b)v 2GM ;c)T ;d)6.1024kg GM
2 H h h
H1 H
hmH
Giải
Cơ toàn phần A B nhau:
2
B A H
Mm h Mm
B H mM
A h mM
v v G
w G w mv
G mv
G
w
Theo định luật IIKeple :vA.h.tvB.H.t vVAB Hh Từ giải ra: w GHmMh
Cơ vị trí cách tâm Trái Đất khoảng l là:
1 H1h
2
Mm mv v 2GM
G
w
Theo định luật III Keple xác:
GM 2
h H T
a ;
2 2H
h GM
2 ) m M ( G
2 a
2
T
Theo câu c) khối lượng Trái Đất tính theo cơng thức:M 6.1024kg GT
2 ) h H (
Bài Một trạm Vũ trụ bay quanh Trái Đất quỹ đạo trịn có bán kính R=2R0(R0=6400km-bán kính Trái
Đất )
O B A VA
VBA
vA
(2)Xác định chu kì quay vận tốc trạm vũ trụ động không hoạt động.Bỏ qua ma sát cho biết vận tốc vũ trụ cấp sát mặt đất v0=7,9km/s
Khi động hoạt động thời gian ngắn để tăng vận tốc trạm lên đến giá trị v1 chuyển sang quỹ
đạo elíp.Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến trạm lớn nhỏ R1=2R0,R2=4R0.Xác định chu kì vận
tốc v1 trạm quỹ đạo elíp
ĐS:a)v 5,58km/s;T 240phut;b)v 10,5 6,44km/s;Te 441phut v
1
0 v
Giải
Ta có,vận tốc tính từ:
v 2. 2.v 5,58km/s
G 21 0
0 R GM
1
0 R
Mm
R
2
mv
Chu kì trạm:T2 2v.2R0 240phut
Vì động hoạt động thời gian ngắn nên xem bảo tồn chuyển từ quỹ đạo cũ sang quỹ đạo mới,nghĩa là:
2 R GMm
2 mv R GMm
2 mv
(1)
Theo định luật II Keple: v1.R1.tv2.R2.t Vv12 RR12 (2).Kết hợp(1):
3,22km/s
v V06
2 R R
R
GMR
2
áp dụng định luật III Keple cho:
Chuyển động trịn có T=240phút;bán kính 2R0
Chuyển động elíp có chu kì Te;bán kính a=(R1+R2)/2=3R0
3 1,53 Te 441phut
R
R T
2 e T
Bài (ol-7)Quan sát hệ đôi thấy trông thấy quay tròn quanh tâm riêng hệ theo quỹ đạo (o,r1)với vận tốc v1=270km/s chu kì T1=17,3ngày đêm.Biết ngơi thứ hai chuyển động trịn
đều đồng tâm theo quỹ đạo (o,r2),khối lượng trông thấy m1=6MT=6.1,99.1030kg.Xác định khối lượng
của thứ hai? xem lỗ đen khơng? ĐS:9.M;Có
Giải
Do tính chất trường hấp dẫn xuyên tâm m1 m2 chuyển động vận tốc góc
Lực hấp dẫn chúng: 2 r
2 m m G
F
Tính chất khối tâm:
12 2
3 1
2 m
m m
2 1
r m m
m m G
F r r
r m r m ; r r r
Phương trình chuyển động m1:
12 T
1 2
2
3 2
1 2
3 1
2
1 1
2
1 3,47M
G T
r 4 m
m m r
m m
m m G
r T 2 m F r
m
Đặt m2=kMT,ta có:
6 k 3,47 k 9
k
2
Có thể xem m2 lỗ đen khối lượng lớn không
phát sáng
Bài (APHO-2-2001)Khi Mặt Trăng trở thành vệ tinh đồng Trái Đất ?
Chu kì quay Mặt Trăng quanh trục chu kì quay quanh Trái Đất Mặt Trăng ln ln hướng mặt vể phía Trái Đất Ngun nhân khiến hai chu kì tác dụng lực thuỷ triều suốt trình lịch sử lâu dài hệ Trái Đất-Mặt Trăng
v1
v2
R2 R1 R1 v1
v2
r2
m1
r1 m2
(3)Tuy nhiên chu kì quay Trái Đất quanh trục ngắn chu kì quay Mặt Trăng quanh Trái Đất Kết lúc thuỷ triều Mặt Trăng tiếp tục tác động để làm chậm chuyển động quay Trái Đất làm cho Mặt Trăng ngày xa Trái Đất
Trong toán muốn ước tính xem phải chu kì quay Trái Đất quanh trục chu kì quay Mặt Trăng quanh Trái Đất Khi Mặt Trăng trở nên thành vệ tinh đồng vật thể cố định bầu trời quan sát viên phía Trái Đất đối diện với Mặt Trăng nhìn thấy Chúng ta muốn tìm xem Trái Đất thực vòng quay thời gian dài hai chu kì
Hai hệ trục toạ độ vng góc lấy làm hệ qui chiếu Trục thứ ba hai hệ song song với vng góc với mặt phẳng quỹ đạo Mặt Trăng
Hệ qui chiếu thứ gọi hệ qui chiếu CM hệ qui chiếu qn tính mà gốc đặt khối tâm C hệ Trái Đất -Mặt Trăng
Hệ qui chiếu thứ hai gọi hệ qui chiếu xyz có gốc đặt tâm O Trái Đất.Trục z hệ trùng với trục quay Trái Đất ,cịn trục x nằm đường nối tâm Trái Đất tâm Mặt Trăng hướng theo chiều vectơ đơn vị re hình vẽ.Mặt Trăng ln ln phần âm trục x hệ qui chiếu Lưu ý khoảng cách hình khơng mơ tả theo tỉ lệ.Mũi tên cong chiều quay Trái Đất Mặt Trăng khoảng cách từ tâm Trái Đất đến tâm Mặt Trăng kí hiệu r
Cho biết dự liệu sau đây:
Hiện khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng r0=3,85.108 m.Tốc độ năm 0,038m/năm
Chu kì quay Mặt Trăng TM=27,322 ngày
Khối lượng Mặt Trăng M=7,35.1022 kg.
Bán kính Mặt Trăng RM=1,74.106m
Chu kì quay Trái Đất TE=23,933
Khối lượng Trái Đất ME=5,97.1024kg
Bán kính Trái Đất RE=6,37.106m
Hằng số hấp dẫn G=6,67259.10-11Nm2/kg.
Khi giải toán ta chấp nhận điều sau đây:
Hệ Trái Đất-Mặt Trăng cô lập với phần lại vũ trụ Quỹ đạo Mặt Trăng quanh Trái Đất vòng tròn
Trục quay Trái Đất vng góc với mặt phẳng quỹ đạo Mặt Trăng
Nếu khơng có Mặt Trăng Trái Đất khơng quay phân bố khối lượng Trái Đất đối xứng cầu bán kính Trái Đất RE
Đối với Trái Đất Mặt Trăng mơmen qn tính I trục qua tâm xem mơmen qn tính hình cầu đồng chất khối lượng M,bán kính R,tức I=52MR2
O c x
y
Trái Đất Mặt Trăng
Trái Đất
r
ME
(4)Các câu hỏi phải trả lời
Xác định giá trị mômen động lượng toàn phần hệ Trái Đất-Mặt Trăng khối tâm C Khi chu kì quay Trái Đất quanh trục chu kì quay Mặt Trăng quanh Trái Đất thời gian để Trái Đất quay vòng ?Trong lời giải thời gian gọi T biểu diễn đơn vị ngày tại.Chỉ yêu cầu lời giải gần để tìm kết
Coi Trái Đất cầu cứng bao phủ lớp nước bề mặt cho Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất phân bố bề dày lớp nước hệ qui chiếu xyz không thay đổi theo thời gian.Theo mô hình đề người ta có xét đến lực ma sát phần cầu rắn lớp nươchiết suất bao phủ Trái Đất Dưới sức hút Mặt Trăng nước bị hút phía Mặt Trăng tạo thuỷ triều Phần rắn dạng cầu Trái Đất quay quanh kéo lớp nước theo làm đường nối hai điểm thuỷ triều cao mặt đất nghiêng góc trục x hình vẽ.Kết lúc thuỷ triều Mặt Trăng gây ,Trái
Đất tác dụng mômen lực quanh O làm cho Trái Đất chuyển động quay chậm lại
Cho góc khơng thay đổi độc lập với khoảng cách r từ Trái Đất đến Mặt Trăng Khi chuyển động
quay Mặt Trăng quanh Trái Đất đồng với chuyển động quay Trái Đất quanh trục nó,là lúc ma sát khơng tồn góc khơng.Khi người ta chứng minh mômen lực tỉ lệ với 1/r6,r
là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng
Hãy dùng mơ hình để tính xem chuyển động Trái Đất quanh trục chuyển động Mặt Trăng quanh Trái Đất có chu kì ?
Trong lời giải ,kí hiệu thời gian tf tính giá trị theo đơn vị năm tại.Khi làm bo có
thể sử dụng cơng thức tốn học đây:
(M1) Với s r x=scos :
r 2
s x 3 r
x r 1 rx 2 s r
1
3 2
2
(M2) Nếu a0 b ( 't). (t) ( 't t)ab;
dt
d 1 a a a
Giải
1)Mơmen động lượng quỹ đạo tồn phần LLz hệ Trái Đất-Mặt Trăng với khối tâm C tính sau:Vì tất mơmen động lượng theo trục z nên mơmen động lượng tính theo trục z Khoảng cách khối tâm C tâm Trái Đất :
E
0 E
CM r 4,68.10 m 0,735R
M M
M
r
Vận tốc góc Mặt Trăng quanh Trái Đất là:
) a 1 ( s / rad 10 . 6617 , 2 86400 .
322 , 27
2
0
Mômen động lượng quỹ đạo Mặt Trăng khối tâm C là:
r r . 2,83.10 kgm /s M
LM 0 CM 0 34
Vận tốc góc chuyển động quay Mặt Trăng quanh trục là: M=0
Mơmen động lượng spin Mặt Trăng là:SM IM.M 2,37.1029kgm2/s8,4.106LM Giá trị nhỏ mômen quỹ đạo động lượng Mặt Trăng nên bỏ qua
Mơmen quỹ đạo động lượng Trái Đất với khối tâm C là: s
/ kgm 10
. 48 , 3 L . .
r M
L MME M 32
0 CM E
E
Vận tốc góc chuyển động quay Trái Đất quanh trục là:
s / rad 10 . 2926 ,
7
3600 933 , 23
E
(5)Mômen động lượng spin Trái Đất:SE 52ME.RE2.E 7,07.1033kgm2/s20,3I.E
Vậy mơmen động lượng tồn phần hệ Trái Đất-Mặt Trăng : ) S L L ( s / kgm 10 . 57 , 3 S S L L
L 34 M E E
M E E
M
(2)
2) Sử dụng định luật III Keple xác cho chuyển động Mặt Trăng quanh Trái Đất :
) M M ( G r . ) M M ( G 4 r T E E
(3) Do mơmen động lượng quỹ đạo hệ Trái Đất-Mặt Trăng với khối tâm C là:
E E E E M M G . M . M . r M M M M
L
(4)
Chú ý E M
2 E E E E E E
M . L L L
M M M . M L ; . M M r . M M
L
Khi vận tốc góc chu kì quay Trái Đất vận tốc góc quỹ đạo Mặt Trăng ,bỏ qua mômen động
lượng spin Mặt Trăng mơmen động lượng tồn phần hệ Trái Đất Mặt Trăng là:
s / kgm 10 . 57 . 3 . R . M ) M M ( G . MM S L
L 52 E 2E 34
1 E E E E
M
(5a)
Đẳng thức cuối tính từ định luật bảo tồn mơmen động lượng tồn phần phương trình (2).Với tính tốn mơmen động lượng spin Trái Đất bỏ qua phương trình (5a),ta có:
3 1,36.10 6rad/s
357 96 ,
1
(phép lặp thứ nhất)
Nếu dùng giá trị 1 để tính mơmen động lượng spin Trái Đất dùng phương trình (5a) để tính :
3358,96 1,35.10 6rad/s
2
(phép lặp lần thứ hai) (5b)
Lặp lại nhiều lần theo phép lặp,tìm chu kì Trái Đất là:
9 , 53 86400 . 10 . 35 , 1 2832 , 6 2 T 6 f
f
ngày
3) Do mômen lực tỉ lệ với 1/r6 ,tacó: = const
r 1
6 (6) Thay giá trị r0và 0 vào (6) ta có : 0
6 . r r
(7)
Mômen lực độn biến thiên mômen động lượng spin I Trái Đất ,tức là:
dt d
I (8)
Theo định luật Niutơn lực phản lực bảo tồn mơmen động lượng tồn phần - =độ biến
thiên mơmen quỹ đạo toàn phần hệ Trái Đất-Mặt Trăng nên:
dt dL
(9) Dựa vào phương trình (3) để viết lại phương trình (4) sau:
3 E E 2 E E E E . M M G MM r. M M G MM r. M M MM
L
(10)
Như
dt d . . M M G MM dt dr . 2 1 . M M G MM dt
dL 13 34
E E 2 E
(6) 3,65.8,64 4,5.10 Nm 10 . 8 , 3 . 10 . 85 , 3 . 10 97 , 5 0735 , 0 10 . 67 , 6 . 10 . 97 , 5 . 35 , 7 . dt dr . r ) M M ( G MM dt dL 16 8 24 11 46 0 E E 0
Cũng với phương trình(11) ta có : 0 r r dt dL
Dùng phương trình(3)để tính với số hạng có ,được:
16 16 E E 16 E E E . b . M M G GMM . r 3 dt d . M M G . r dt d . M M G MM
(với b số thay cho biểu thức trước ) Phương trình dẫn đến:
tf 0
3b 13 13 13
f
;tf thời gian cần để chu kì quay Trái Đất chu kì quay Mặt Trăng
xung quanh Trái Đất Dùng giá trị f 0 phương trình (1a)và (5b) giá trị 0 phương trình
(13) ta có:
10 13 13 f b 133 f E
E 3,4.10 t 2,6.10
r 13 M M G GMM b 13 3 năm
Bài (VLQT-11)Một tàu vũ trụ có khối lượng 12 quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn độ cao 100km Để chuyển sang quỹ đạo hạ cánh động hoạt động thời gian ngắn với vận tốc khí khỏi ống 104m/s Biết bán kính Mặt Trăng 1,7.103 km ,gia tốc bề mặt Mặt Trăng 1,7m/s.
Xác định khối lượng nhiên liệu đốt cháy để động hoạt động A làm tàu đáp xuống Mặt Trăng điểm đối diện với A
Trong phương án thứ hai ,ở điểm A tàu nhận xung lượng hướng tâm Mặt Trăng chuyển sang quỹ đạo tiếp tuyến với Mặt Trăng điểm C bán kính xác định vị trí A,C quỹ đạo vng góc với nhau.Trường hợp tốn nhiên liệu
ĐS:a)m29kg;b)m'116kg
Bài (VLQT-16)Có hai phương án thám hiểm vũ trụbằng tàu thái dương hệ Phương án 1,con tàu phóng với vận tốc đủ lớn để trục tiếp thoát khỏi thái dương hệ.Phương án 2,con tàu tiến lại gần hành tinh xa Mặt Trời Trái Đất tác dụng hành tinh ,vận tốc tàu đổi hướng tăng tới giá trị cần thiết để thoát khỏi thái dương hệ (giả thiết tàu chuyển động trường hấp dẫn Mặt Trời hành tinh ,tuỳ theo trường hợp mạnh vị trí xem xét)
Xác định vận tốc nhỏ Trái Đất va hướng so với hướng vận tốc Trái Đất theo
phương án
Giả thiết t5àu phóng theo hướng câu a) với vận tốc Trái Đất vb bé va Xác định
vận tốc tàu qua quỹ đạo Hoả Tinh ,nghĩa xác định thành phần song song vng góc với quỹ đạo ấy.Giả thiết Hoả Tinh xa tàu qua quỹ đạo
Theo phương án hai ,con tàu vào trường hấp dẫn Hoả Tinh.Xác định vận tốc nhỏ từ Trái Đất để tàu thoát khỏi thái dương hệ
(7)